第八章 微专题3 三角函数中的最值问题-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第三册教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦高中数学三角函数中的最值问题核心知识点，系统梳理正弦型函数、二次函数型、sinx=f(y)型等六种类型，从基础转化方法到具体应用场景，构建递进式学习支架，帮助学生逐步掌握求解思路。 资料通过分类例题与强化练习结合，以例1转化为正弦型函数、例2换元为二次函数等实例，培养学生用数学思维分析问题，通过规范解题步骤提升数学语言表达能力。课中辅助教师高效授课，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用。

微专题3　三角函数中的最值问题 三角函数的最值问题是三角函数基础知识的综合应用，在日常考题中经常出现，其形式是在小题中单纯地考查三角函数的值域问题，或者是隐含在解答题中，作为解决解答题所用的知识点之一，又或者在解决某一问题时，应用三角函数有界性会使问题更易于解决．题目给出的三角关系式往往比较复杂，进行化简后，再进行归纳，主要有以下几种类型． (1)将所求三角函数式转化为y＝A sin (ωx＋φ)＋B(正弦型三角函数)，然后结合角x的取值范围求最值． (2)将所求三角函数式转化为关于sin x(或cos x)的二次函数的形式，然后结合二次函数的性质求解． (3)利用正弦函数、余弦函数的有界性求最值．此外换元法、数形结合法等都是常用于求最值的方法．一般函数求值域的方法(如分离常数法、判别式法、图象法等)在三角函数中也适用． 类型1　y＝A sin (ωx＋φ)＋B型的最值问题 【例1】　函数f ＝2cos2x＋2sinx cos x－1，x∈R． (1)求函数f 的单调递增区间； (2)求函数f 在上的值域． [解]　(1)由题意知f ＝1＋cos 2x＋sin 2x－1＝sin ． 令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，则kπ－≤x≤kπ＋， 故函数f 的单调递增区间为(k∈Z)． (2)当0≤x≤时，≤2x＋， 则≤sin ≤1， 所以1≤f ， 故f 在上的值域为． 类型2　y＝f (sin x或cos x)型的值域问题 【例2】　已知函数f (x)＝cos 2x－2a cos x－2a的最小值为f (a)，且f (a)＝． (1)求a的值； (2)求函数f (x)的最大值． [解]　(1)由f (x)＝cos 2x－2a cos x－2a得f (x)＝2cos2x－2a cosx－(2a＋1)， 令cos x＝t，t∈[－1，1]，则y＝2t2－2at－(2a＋1)，其图象的对称轴为t＝． ①当<－1，即a<－2时，函数在[－1，1]上单调递增，ymin＝1； ②当>1，即a>2时，函数在[－1，1]上单调递减，ymin＝－4a＋1； ③当－1≤≤1，即－2≤a≤2时，函数在上单调递减，在上单调递增，ymin＝－－2a－1． ∴f (x)的最小值 f (a)＝ 令f (a)＝，解得a＝－1． (2)由(1)知当a＝－1时，函数y＝2t2＋2t＋1在上单调递减，在上单调递增， 又当t＝－1时，y＝1；当t＝1时，y＝5． 所以f (x)的最大值为5． 类型3　可化为sin x＝f (y)型 【例3】　求y＝的最大值和最小值． [解]　由已知y＝，得sin x＝(y≠3)． ∵|sin x|≤1， ∴≤1，∴≤1， ∴(y＋2)(3y－4)≤0，解得－2≤y≤． 故所求函数的最大值为，最小值为－2． 类型4　f (x)＝a(sin x±cos x)＋bsin x cos x＋c型 【例4】　函数y＝2sin x cos x＋sin x－cos x＋2的最大值为(　　) A．　　　B．3　　　C．　　　D．4 C　[根据题意，设t＝sin x－cos x＝2sin ∈[－2，2]， 则2sin x cos x＝1－， 则原函数可化为y＝1－＋t＋2＝－＋t＋3＝－(t－1)2＋，t∈[－2，2]， 所以当t＝1时，函数取得最大值．故选C．] 类型5　化为某个角的一种三角函数的一次式 【例5】　已知函数f (x)＝sin 2x－cos2x． (1)求f (x)的最小正周期和最小值； (2)将函数f (x)的图象上每一点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，当x∈时，求g(x)的值域． [解]　(1)f (x)＝sin2x－cos2x＝sin2x－(1＋cos 2x)＝sin 2x－cos 2x－＝， 因此f (x)的最小正周期为π，最小值为－． (2)由条件可知，g(x)＝sin ． 当x∈时，x－∈， 从而y＝sin 的值域为， 则g(x)＝sin 的值域为， 故g(x)在区间上的值域为． 类型6　ω的最值 【例6】　已知函数f ＝sin 的图象过点，若f 在内有5个零点，则a的取值范围为________． 　[由题意知，函数f 的图象过点，所以sin ＝1，解得 ＋ φ ＝ ＋ 2kπ，k∈Z， 因为<π，所以φ＝，所以f ＝sin ， 当x∈时，可得πx＋∈， 因为f 在内有5个零点，结合正弦函数的性质可得3π≤aπ＋<4π， 所以≤a<， 即实数a的取值范围是．] 微专题强化练(三)　三角函数中的最值问题 一、选择题 1．已知函数y＝2cos x的定义域为，值域为[a，b]，则b－a的值是(　　) A．2 B．3 C．＋2 D．2－ B　[因为x∈，所以cos x∈， 故y＝2cos x的值域为[－2，1]，所以b－a＝3．] 2．函数y＝3sin x＋cos 2x－的最小值是(　　) A．　　　 B． C．－　　　 D．－ C　[y＝3sin x＋cos 2x－＝－sin2x＋3sinx－＝－＋， 令sin x＝t，则－1≤t≤1．因为y＝－＋在上单调递增，所以当t＝－1时，ymin＝＋＝－．] 3．已知f (x)＝sin 2x－cos 2x，若对任意实数x∈，都有|f (x)|<m，则实数m的取值范围是(　　) A． B． C． D． A　[因为f (x)＝sin 2x－cos 2x＝2sin ，x∈，所以2x－∈， 所以2sin ∈(－，1]，所以0≤|f (x)|<，所以m≥．] 4．函数y＝的值域是(　　) A．∪[4，＋∞) B．(－∞，0]∪[2，＋∞) C． D． B　[令cos x＝t，t∈，y＝＝＝， 可得2t－1∈∈， ∈，故y∈．] 5．已知函数f (x)＝sin 在区间上恰有一个最大值与一个最小值，则正实数ω的取值范围是(　　) A． B． C． D． D　[根据题意，当x∈时，ωx＋∈， 而函数f (x)在区间上恰有一个最大值与一个最小值， 因此<⇒<ω≤．] 二、填空题 6．函数f ＝sin ，x∈的值域为________． 　[因为x∈，所以2x＋∈， 则由正弦函数的图象可知sin ∈， 所以f ∈．] 7．已知函数f ＝sin x＋cos x＋2sin x cos x＋2，则f 的最大值为________． 3＋　[设t＝sin x＋cos x，则sin x cos x＝＝，t＝sin x＋cos x＝＝sin ∈[－]，则g(t)＝t＋t2－1＋2＝＋， ∴t＝时，g(t)max＝＋2＋1＝3＋， 即f (x)max＝3＋．] 8．已知函数f (x)＝sin在区间上既有最大值又有最小值，则α的取值范围为________． 　[因为－≤x<α，所以－≤x＋<α＋， 因为函数f (x)＝sin 在x∈上既有最大值又有最小值， 所以α＋>或＜α＋，解得α>或＜α≤π．] 三、解答题 9．若x∈，求函数y＝(sin x＋1)(cos x＋1)的最值及取得最值时相应的x的值． [解]　y＝(sin x＋1)(cos x＋1)＝sin x＋cos x＋sin x cos x＋1，令sin x＋cos x＝t， 则sin x cos x＝． ∵x∈，∴x＋∈， ∴t＝sin x＋cos x＝sin ∈． 从而原函数化为y＝t＋＋1＝(t＋1)2， 问题转化为求关于t的二次函数在区间上的最值． 显然，由二次函数的性质可知， 当t＝sin x＋cos x＝， 即x＝－时函数取得最小值； 当t＝sin x＋cos x＝， 即x＝时函数取得最大值． 10．已知函数f (x)＝sin (ω＞0)，f (x)图象上相邻两个对称中心的距离为． (1)求函数f (x)的解析式和单调递增区间； (2)若将函数f (x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平行移动个单位，得到函数g(x)的图象，求函数h(x)＝(sin x＋cos x)·g(x)在上的最大值． [解]　(1)由题意知，＝，又ω＞0，则T＝π＝，得ω＝2， 所以f (x)＝sin ． 由－＋2kπ≤2x＋＋2kπ，k∈Z， 得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 所以f (x)的单调递增区间为(k∈Z)． (2)将函数f (x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得y＝sin 的图象，再将曲线向右平行移动个单位，得g(x)＝sin x的图象． 则h(x)＝sin x(sin x＋cos x)＝sin2x＋sinx cos x＝＝sin ， 因为0≤x≤，则－≤2x－， 所以0≤sin ≤1＋， 当且仅当2x－＝，即x＝时，h(x)在上有最大值1＋． 3/7 学科网（北京）股份有限公司 $