8.2.2 第1课时 两角和与差的正弦-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第三册教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦“两角和与差的正弦”核心知识点，前承两角和与差的余弦公式，通过诱导公式推导正弦公式，构建“余弦公式→正弦公式→辅助角公式”的知识链。设置问题引导推导、公式结构对比、“正余余正符号同”记忆口诀等学习支架，助力学生理解公式逻辑。 资料突出逻辑推理与数学运算素养，通过“问题链”引导公式推导，母题探究结合变式训练提升运算能力，如例1将非特殊角转化为特殊角求值。分层作业设计兼顾基础与提升，课中辅助教师系统授课，课后帮助学生查漏补缺，培养数学思维与应用能力。

8.2.2　两角和与差的正弦、正切 第1课时　两角和与差的正弦 学习任务 1．能利用两角和与差的余弦公式及诱导公式推导出两角差的正弦公式、两角和的正弦公式．(逻辑推理) 2．能利用公式解决简单的化简求值问题．(逻辑推理、数学运算) 问题　(1)由诱导公式及两角和与差的余弦公式如何推导两角和的正弦公式？ (2)用类比的方法，由sin (α＋β)能推导出sin (α－β)吗？ [提示]　(1)sin (α＋β)＝cos ＝cos ＝cos ·cos β＋sin ·sin β ＝sin αcos β＋cos αsin β． (2)sin (α－β)＝sin [α＋(－β)] ＝sin αcos (－β)＋cos αsin (－β) ＝sin αcos β－cos αsin β． 知识点1　两角和与差的正弦公式 名称 简记符号 公式 使用条件 两角和 的正弦 Sα＋β sin (α＋β)＝ sin αcos_β＋cos αsin_β α，β∈R 两角差 的正弦 Sα－β sin (α－β)＝ sin αcos β－cos αsin β α，β∈R 对照识记两角和与差的余弦公式的方法，你能总结一下识记两角和与差的正弦公式的方法吗？ [提示]　可简单记为“正余余正，符号同”，展开后的两项分别为两角的正弦乘余弦、余弦乘正弦；展开前两角间的符号与展开后两项间的符号相同． 知识点2　辅助角公式 a sin x＋b cos x＝·sin (x＋φ)(或a sin x＋b cos x＝·cos (x－φ))，其中sin φ＝，cos φ＝． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的． (　　) (2)存在α，β∈R，使得sin (α＋β)＝sin α＋sin β成立． (　　) (3)sin 56°cos 26°－cos 56°sin 26°＝sin 30°． (　　) [提示]　(1)根据公式的推导过程可得． (2)当α＝30°，β＝0°时，sin (α＋β)＝sin α＋sin β． (3)因为sin 56°cos 26°－cos 56°sin 26°＝sin (56°－26°)＝sin 30°，故原式正确． [答案]　(1)√　(2)√　(3)√ 2．sin 160°cos 10°＋cos 20°sin 10°的值是(　　) A．　　　B．－　　　C．－　　　D． A　[由诱导公式得sin 160°＝sin 20°， 故sin 160°cos 10°＋cos 20°sin 10° ＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10° ＝sin ＝sin 30°＝．] 3．cos －sin 的值为(　　) A．0 B．－ C． D．2 C　[cos －sin ＝2cos ．] 类型1　利用公式化简求值 【例1】　计算： (1)cos 285°cos 15°－sin 255°sin 15°； (2)sin 7°cos 37°－sin 83°cos 307°； (3)sin (x＋60°)＋2sin (x－60°)－cos (120°－x)． [解]　(1)原式＝cos (270°＋15°)cos 15°－sin (270°－15°)sin 15°＝sin 15°cos 15°＋cos 15°sin 15°＝sin (15°＋15°)＝sin 30°＝． (2)原式＝sin 7°cos 37°－cos 7°cos (270°＋37°)＝sin 7°cos 37°－cos 7°sin 37°＝sin (7°－37°)＝sin (－30°)＝－． (3)原式＝sin x cos 60°＋cos x sin 60°＋2sin x cos 60°－2cos x sin 60°－cos 120°cos x－sin 120°sin x＝3sin x cos 60°－cos x sin 60°＋cos 60°cos x－＝sin x－cos x＋cos x－sin x＝0． 　解决给角求值问题的策略 (1)对于非特殊角的三角函数式，要想利用两角和与差的正弦、余弦公式求出具体数值，一般有以下三种途径： ①化为特殊角的三角函数值． ②化为正负相消的项，消去，求值． ③化为分子、分母形式，进行约分再求值． (2)在进行求值过程的变换中，一定要本着先整体后局部的基本原则，先整体分析三角函数式的特点，如果整体符合三角公式，则整体变形，否则进行各局部的变换． [跟进训练] 1．(1)＝(　　) A．－　　　B．1　　　C．　　　D．2 (2)cos sin －sin cos (10°＋α)＝________． (1)C　(2)－　[(1) ＝ ＝ ＝＝2sin 60°＝． (2)cos sin －sin (70°＋α)cos (10°＋α) ＝cos sin －sin ＝cos sin (10°＋α)－sin (70°＋α)cos (10°＋α) ＝sin ＝sin ＝－sin 60°＝－．] 类型2　给值(式)求值 【例2】　设α∈，β∈，若cos α＝－，sin β＝－，求sin (α＋β)的值． [思路导引]　应用公式→注意角的范围→求出所给角的正弦值． [解]　因为α∈，cos α＝－， 所以sin α＝，因为β∈，sin β＝－， 所以cos β＝． 所以sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β ＝． [母题探究] 1．(变条件)若将角β的条件改为第三象限角，其他条件不变，则结果如何？ [解]　因为α∈，cos α＝－，所以sin α＝． 因为β为第三象限角，sin β＝－，所以cos β＝－． 所以sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝＝0． 2．(变结论)若条件不变，试求sin (α－β)＋cos (α－β)的值． [解]　由例题解析得sin (α－β)＋cos (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＋cos αcos β＋sin αsin β＝＝－1． 　给值求值的解题策略 (1)在解决此类题目时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、拼角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化异角为同角，具体做法是： ①当条件中有两角时，一般把“所求角”表示为已知两角的和或差； ②当条件中只有一个已知角时，可利用诱导公式把所求角转化为已知角． (2)此类问题中，角的范围不容忽视，解题时往往需要根据三角函数值缩小角的范围． [跟进训练] 2．(1)已知sin θ＝，θ∈，求sin ； (2)已知sin ，θ∈，求sin θ． [解]　(1)∵θ∈，sin θ＝，∴cos θ＝－， ∴sin ＝sin θcos ＋cos θsin ＝． (2)∵θ∈，∴θ－∈，又sin ，∴cos ， ∴sinθ＝sin ＝sin cos ＋cos sin ． 类型3　辅助角公式的应用 【例3】　【链接教材P98例4】 设函数f (x)＝sin x＋sin ． (1)求f (x)的最小值，并求使f (x)取得最小值的x的集合； (2)不画图，说明函数y＝f (x)的图象可由y＝sin x的图象经过怎样的变化得到． [解]　(1)f (x)＝sin x＋sin x cos ＋cos xsin ＝sin x＋sin x＋cos x＝sin x＋cos x ＝sin ， 当sin ＝－1时，f (x)min＝－， 此时x＋＋2kπ(k∈Z)，所以x＝＋2kπ(k∈Z)． 所以f (x)的最小值为－，取得最小值时x的集合为． (2)将y＝sin x的图象上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍，得y＝sin x的图象； 然后将y＝sin x的图象上所有的点向左平移个单位，得f (x)＝sin 的图象． 【教材原题·P98例4】 例4　已知函数f (x)＝sin 5x－cos 5x，求f (x)的周期、最小值及最小值点． 解：因为＝2，所以 f (x)＝2 ＝2 ＝2sin ． 由此可知函数f (x)的周期为，最小值为－2，而且最小值点x0满足5x0－＋2kπ，k∈Z，因此最小值点为－，k∈Z． 　辅助角公式a sin x＋b cos x＝·sin (x＋φ)可以把含sin x，cos x的一次式化为A sin (ωx＋φ)的形式，其中φ所在象限由点(a，b)决定，大小由tan φ＝确定．研究形如f (x)＝asin x＋b cos x的函数的性质都要用到该公式． [跟进训练] 3．已知Rt△ACB中，两直角边AC＝b，BC＝a，斜边AB＝c，周长为定值l，求斜边c的最小值． [解]　在Rt△ACB中，C＝90°，AC＝b，BC＝a，AB＝c．则a＝c sin A，b＝c cos A，∴l＝a＋b＋c＝c(1＋sin A＋cos A)，∴c＝．∵sin ≤1， ∴c＝＝l， 即当sin 时，斜边c最小，最小值为l． 1．sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝(　　) A．－　　　B．　　　C．－　　　D． D　[] 2．cos x－sin x＝(　　) A．2cos B．2cos C．2sin D．2sin D　[cos x－sin x＝2 ＝2 ＝2sin ．] 3．(教材P99练习AT3改编)若cos θ＝－且θ∈，则sin 的值为(　　) A． B．－ C． D． A　，故sin θ>0， 因为cos θ＝－，所以sin θ＝， 所以sin＝sin θcos ＋cos θsin ．] 4．＝________． 　[＝ ＝＝ ＝＝cos 60°＝．] 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．两角和与差的正弦公式如何表示？有何结构特点？ [提示]　sin (α±β)＝sin αcos β±cos αsin β． 特点：(1)公式中的α，β均为任意角． (2)两角和与差的正弦公式可以看成是诱导公式的推广，诱导公式可以看成是两角和与差的正弦公式的特例． 2．两角和与差的正弦、余弦公式有何内在联系？ [提示]　两角和与差的正弦、余弦公式的内在联系． 课时分层作业(十八)　两角和与差的正弦 一、选择题 1．化简cos (x＋y)sin y－sin (x＋y)cos y＝(　　) A．sin(x＋2y)　　　　　 B．－sin(x＋2y) C．sin x D．－sin x D　[cos (x＋y)sin y－sin (x＋y)cos y ＝sin [y－(x＋y)]＝－sin x．] 2．若cos α＝－，α是第三象限角，则sin ＝(　　) A．－　　　 B．　　　 C．－　　　 D． A　[因为cos α＝－，α是第三象限角，所以sin α＝－，由两角和的正弦公式可得sin ＝sin αcos ＋cos αsin ＝＝－．] 3．已知α，β为锐角，且sin β＝，cos (α＋β)＝－，则sin α＝(　　) A． B． C． D． A　[因为α，β为锐角， 所以α＋β∈(0，π)． 因为cos (α＋β)＝－， 所以sin (α＋β)＝＝． 因为sin β＝，所以cos β＝＝， 故sinα＝sin [(α＋β)－β]＝sin (α＋β)cos β－cos (α＋β)sin β＝＝．故选A．] 4．(多选)cos α－sin α化简的结果可以是(　　) A．cos B．2cos C．sin D．2sin BD　[cos α－sin α＝2＝2＝2cos ＝2sin ．] 5．已知cos α＝，α∈，sin ＝－，β∈，则β＝(　　) A． B． C． D． D　[由α∈，β∈，可得α＋β∈， 又sin ＝－，所以cos ＝， 又cos α＝，α∈， 所以sin α＝－， 所以sin β＝sin ＝sin cos α－cos sin α＝＝， 由β∈，可得β＝．] 二、填空题 6．函数f (x)＝sin x－cos x在[0，π]上的最大值是________． 2　[由题意知，f (x)＝sin x－cos x＝2sin ，当x∈[0，π]时，x－∈， sin ∈，于是f (x)∈[－，2]，故f (x)在[0，π]上的最大值为2．] 7．cos 16°cos 104°－sin 16°cos 14°＝________． －　[cos 16°cos 104°－sin 16°cos 14°＝－cos 16°·sin 14°－sin 16°cos 14°＝－(cos 16°sin 14°＋sin 16°·cos14°)＝－sin ＝－sin 30°＝－．] 8．计算 ＝________． 　[因为sin 68°＝sin (60°＋8°)＝sin 60°cos 8°＋cos 60°sin 8°，cos 68°＝cos (60°＋8°)＝cos 60°cos 8°－sin 60°sin 8°， 所以＝＝tan 60°＝．] 三、解答题 9．(源自苏教版教材)已知cos (α＋β)＝，cos β＝，α，β均为锐角，求sin α的值． [解]　由α，β均为锐角，可知0°<α＋β<180°，从而 sin β>0，sin (α＋β)>0． 由cos (α＋β)＝，得 sin (α＋β)＝＝＝． 由cosβ＝，得 sin β＝＝＝． 由公式Sα－β，可得 sinα＝sin [(α＋β)－β]＝sin (α＋β)cos β－cos (α＋β)sin β ＝＝． 10．(多选)已知黄金三角形是一个等腰三角形，其底与腰的长度的比值为黄金比值，则下列式子的结果等于的是(　　) A．sin 10°cos 8°＋cos 10°sin 8° B．cos 40°cos 32°－sin 40°sin 32° C．sin 100°cos 26°＋cos 100°sin 26° D．sin 92°sin 16°－cos 92°cos 16° ABD　[对于A，sin 10°cos 8°＋cos 10°sin 8°＝sin (10°＋8°)＝sin 18°＝，A正确； 对于B，cos 40°cos 32°－sin 40°sin 32°＝sin 50°·cos 32°－cos 50°sin 32°＝sin ＝sin 18°＝，B正确； 对于C，sin 100°cos 26°＋cos 100°sin 26°＝sin (100°＋26°)＝sin 126°＝sin 54°≠，C错误； 对于D，sin 92°sin 16°－cos 92°cos 16°＝sin 92°·cos 74°－cos 92°sin 74°＝sin ＝sin 18°＝，D正确．] 11．在△ABC中，3sin A＋4cos B＝6，3cos A＋4sin B＝1，则C的大小为(　　) A． B． C．或 D．或 A　[由已知可得(3sin A＋4cos B)2＋(3cos A＋4sin B)2＝62＋12，即9＋16＋24sin (A＋B)＝37， 所以sin (A＋B)＝， 所以在△ABC中，sin C＝，所以C＝或C＝．又1－3cos A＝4sin B>0，所以cos A<． 又<，所以A>，所以C<， 所以C＝不符合题意，所以C＝．] 12．已知α，β∈，sin ＝，tan α＝2tan β，则sin ＝________． 　[由tan α＝2tan β得，＝， 则sin αcos β＝2cos αsin β，① 由sin ＝得， sin αcos β＋cos αsin β＝，② 联立①②解得 ∴sin ＝sin αcos β－cos αsin β＝．] 13．若<β<π<α<，且cos ＝－，sin 2β＝，则α－β＝________． 　[因为<β<π，所以<2β<2π， 又sin 2β＝>0，所以<2β<π，所以<β<， 所以－<－β<－，又π<α<， 所以<α－β<． 因为<2β<π，sin 2β＝， 则cos 2β＝－， 因为<α＋β<2π，cos ＝－， 所以sin ＝－， 所以sin ＝sin ＝sin ·cos 2β－cos sin 2β＝－＝，所以α－β＝．] 14．已知锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点P(3，4)． (1)求sin 的值； (2)若锐角β满足cos (α＋β)＝－，求sin β的值． [解]　(1)因为角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P(3，4)， 所以sin α＝，cos α＝， 所以sin ＝sin cos α＋cos sin α ＝＝． (2)因为α，β均为锐角，所以α＋β∈(0，π)， 因为cos (α＋β)＝－＜0， 所以α＋β∈，所以sin (α＋β)＝． 所以sin β＝sin [(α＋β)－α]＝sin (α＋β)cos α－cos (α＋β)sin α＝＝． 15．设函数f (x)＝sin －cos x． (1)求f (x)的最小正周期； (2)若函数y＝g(x)与y＝f (x)的图象关于直线x＝1对称，求当x∈时，y＝g(x)的最大值． [解]　(1)f (x)＝sin x cos －cos x sin －cos x ＝sin x－cos x＝sin ， 故f (x)的最小正周期为T＝＝8． (2)法一：在y＝g(x)的图象上任取一点(x，g(x))，它关于直线x＝1的对称点为(2－x，g(x))． 由题设条件，知点(2－x，g(x))在y＝f (x)的图象上，从而g(x)＝f (2－x)＝sin ＝sin ＝cos ． 当0≤x≤时，x＋，因此y＝g(x)在区间上的最大值为g(x)max＝cos ＝． 法二：因为区间关于直线x＝1的对称区间为，且y＝g(x)与y＝f (x)的图象关于直线x＝1对称，故y＝g(x)在上的最大值为y＝f (x)在上的最大值． 由(1)知f (x)＝sin ， 当≤x≤2时，－x－． 因此y＝g(x)在上的最大值为g(x)max＝sin ＝． 1/13 学科网（北京）股份有限公司 $