8.2.2 第2课时 两角和与差的正切-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第三册教师用书配套课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦两角和与差的正切公式，通过情境问题（已知tanα=1/2，tanβ=1/3求tan(α±β)）导入，衔接正弦、余弦公式，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以逻辑推理为核心推导公式，结合数学运算设计分层例题（如给角求值、条件求角），通过“反思领悟”总结公式变形策略（如tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ)）。助力学生提升推理与运算能力，教师可直接用于课堂教学，高效落实核心素养。

第八章　向量的数量积与三角恒等变换 8.2　三角恒等变换 8.2.2　两角和与差的正弦、正切 第2课时　两角和与差的正切 学习任务 1．能利用两角和与差的余弦公式、正弦公式推导出两角和与差的正切公式．(逻辑推理) 2．能利用公式进行简单的求值、化简等．(数学运算、逻辑推理) 3．熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用． (逻辑推理、数学运算) 第2课时　两角和与差的正切 如图所示，每个小正方形的边长为1，tan α＝，tan β＝，∠COD＝α－β． 必备知识·情境导学探新知 问题　能否求出tan (α－β)和tan (α＋β)的值？ [提示]　能，利用两角和与差的正切公式可求． 第2课时　两角和与差的正切 知识点　两角和与差的正切公式 名称 简记符号 公式 使用条件 两角和 的正切 Tα＋β tan (α＋β)＝ α，β，α＋β≠k＋(k∈Z)且tan α· tan β≠1 两角差 的正切 Tα－β tan (α－β)＝ α，β，α－β≠k＋(k∈Z)且tan α· tan β≠－1 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　两角和与差的正切 (1)在两角和与差的正切公式中，角α，β，α＋β，α－β均不等于k＋(k∈Z)，这是由正切函数的定义域决定的． (2)公式的结构特征及符号特征如下： ①公式Tα±β的右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和． ② 符号变化规律可简记为“分子同，分母反”． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　两角和与差的正切 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)存在α，β∈R，使tan (α＋β)＝tan α＋tan β成立． (　　) (2)对任意的α，β∈R，tan (α＋β)＝都成立． (　　) (3)tan 能根据公式tan (α＋β)直接展开． (　　) × √ × 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　两角和与差的正切 [提示]　(1)令α＝，β＝0，则有tan (α＋β)＝tan α＋tan β＝1． (2)两角和的正切公式的适用范围是α，β，α＋β≠k＋(k∈Z)且tan αtan β≠1． (3)的正切值不存在． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　两角和与差的正切 2．2－tan 15°＝(　　) A． B．－2 C．－2－ D．2＋ √ A　[2－tan 15°＝2－tan ＝2－ ＝2－＝2－(2－)＝．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　两角和与差的正切 3．已知tan α＝2，tan β＝4，则tan ＝(　　) A． B．－ C．－ D． √ B　[因为tan α＝2，tan β＝4，所以tan ＝＝＝－．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　两角和与差的正切 关键能力·合作探究释疑难 类型1　利用公式化简求值 【例1】　【链接教材P99例5】 计算： (1)； (2)tan 23°＋tan 37°＋tan 23°tan 37°． 第2课时　两角和与差的正切 [解]　(1)原式＝tan (74°＋76°)＝tan 150°＝－． (2)∵tan 60°＝＝， ∴tan 23°＋tan 37°＝tan 23°tan 37°， ∴tan 23°＋tan 37°＋tan 23°tan 37°＝． 【教材原题·P99例5】 例5　求下列各式的值． (1)tan 75°；(2)；(3)． 解：(1)tan 75°＝tan (45°＋30°)＝＝＝2＋． (2)＝tan (17°＋43°)＝tan 60°＝． (3)因为tan 45°＝1，所以 ＝＝tan (45°－15°)＝tan 30°＝． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　两角和与差的正切 反思领悟　给角化简求值的策略 (1)分析式子结构，正确选用公式形式： Tα±β是三角函数公式中应用灵活程度较高的公式之一，因此在应用时先从所化简(求值)式子的结构出发，确定是正用、逆用还是变形用，并注意整体代换． (2)化简求值中要注意“特殊值”的代换和应用： 当所要化简(求值)的式子中出现特殊的数值“1”“”时，要考虑用这些特殊值所对应的特殊角的正切值去代换． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　两角和与差的正切 [跟进训练] 1．求下列各式的值： (1)；(2)． [解]　(1)原式＝tan (43°＋17°)＝tan 60°＝3． (2)原式＝＝tan ＝tan ＝－． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　两角和与差的正切 类型2　条件求值(角)问题 【例2】　(源自北师大版教材)已知tan α＝2，tan β＝－，其中0＜α＜＜β＜．求： (1)tan (α－β)；(2)α＋β． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　两角和与差的正切 [解]　(1)tan (α－β)＝＝＝7． (2)tan (α＋β)＝＝＝1． 因为0＜α＜＜β＜，所以＜α＋β＜． 由于在与之间，只有的正切值等于1， 故α＋β＝． 反思领悟　给值求值或求角问题的解题策略 (1)式子的变换：分析已知式子的结构特点，结合两角和与差的三角函数公式，通过变形，建立与待求式间的联系以实现求值． (2)角的变换：首先从已知角间的关系入手，分析已知角和待求角间的关系，如用α＝β－(β－α)，2α＝(α＋β)＋(α－β)等关系，把待求的三角函数与已知角的三角函数巧妙地建立等量关系，从而求值． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　两角和与差的正切 (3)在给值求角的过程中把握好两点： ①限定角的范围． ②求角的某一个三角函数值． 二者缺一不可． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　两角和与差的正切 [跟进训练] 2．(1)在△ABC中，已知cos A＝，tan B＝，则tan ＝(　　) A．　　B．－　　C．－　　D． (2)已知tan α，tan β是方程x2＋3x＋4＝0的两根，且－<α<， －<β<，则α＋β的值为(　　) A．　　B．－　　C．或－　　D．－或 √ √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　两角和与差的正切 (1)C　(2)B　[(1)由已知可得sin A>0． 又因为cos A＝，所以sin A＝，所以tan A＝． 所以tan C＝tan ＝－tan ＝－＝－＝－2， 所以tan ＝＝＝－． (2)由题知，tan α，tan β是方程x2＋3x＋4＝0的两根，所以tan α＋tan β＝－3，tan α·tan β＝4， 即tan α<0，tan β<0． 因为－<α<，－<β<， 所以－<α<0，－<β<0， 所以－<α＋β<0， 因为tan (α＋β)＝＝＝>0，所以α＋β＝－．] 类型3　公式的变形应用 【例3】　已知△ABC中，tan B＋tan C＋tan Btan C＝，且tan A＋ tan B＋1＝tan Atan B，判断△ABC的形状． [思路导引] 结论． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　两角和与差的正切 [解]　因为tan A＝tan [－(B＋C)]＝－tan (B＋C) ＝＝＝－， 而0°＜A＜180°，所以A＝120°． 因为tan C＝tan [－(A＋B)]＝－tan (A＋B)＝ ＝＝， 而0°＜C＜180°， 所以C＝30°，所以B＝30°． 所以△ABC是顶角为120°的等腰三角形． [母题探究] (变条件)把例题中条件改为“tan B＋tan C－tan Btan C＝－，且tan A＋tan B＋1＝tan Atan B”，结果如何？ [解]　tan A＝tan [－(B＋C)]＝－tan (B＋C)＝ ＝＝． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　两角和与差的正切 又0°<A<180°，所以A＝60°． tan C＝tan [－(A＋B)]＝－tan (A＋B)＝ ＝＝． 又0°<C<180°，所以C＝60°，所以B＝60°． 所以△ABC是等边三角形． 反思领悟　公式Tα＋β的逆用及变形应用的解题策略 (1)“1”的代换：在Tα＋β中，如果分子中出现“1”常利用1＝ tan 45°来代换，以达到化简求值的目的，如： ＝tan ；＝tan ． (2)整体意识：若化简的式子中出现了“tan α±tan β”及“tan α· tan β”两个整体，常考虑tan (α±β)的变形公式． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　两角和与差的正切 (3)熟知变形：两角和的正切公式的四种常见变形： ①tan α＋tan β＝tan (α＋β)(1－tan αtan β)． ②1－tan αtan β＝． ③tan α＋tan β＋tan α·tan β·tan (α＋β)＝tan (α＋β)． ④tan α·tan β＝1－． 提醒：当一个式子中出现两角正切的和或差时，常考虑使用两角和或差的正切公式． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　两角和与差的正切 [跟进训练] 3．已知α，β均为锐角，且(1－tan α)(1－tan β)＝4，则α＋β＝(　　) A．　　B．　　C．　　D． √ B　[由＝4， 得1－tan β－tan α＋3tan αtan β＝4， 所以－＝3， 所以＝－＝－，所以tan (α＋β)＝－． 因为α，β∈，所以α＋β∈，所以α＋β＝．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　两角和与差的正切 学习效果·课堂评估夯基础 1．已知tan ＝3，则tan α＝(　　) A．－　　　B．　　　C．－2　　　D．2 √ B　[由tan ＝3， 得tan ＝＝＝3，解得tan α＝．] 第2课时　两角和与差的正切 2．(教材P99练习AT2(3)改编)tan 105°的值为(　　) A．－1－ B．－2－ C．－2＋ D．2－ √ B　[tan 105°＝tan ＝＝＝－2－．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　两角和与差的正切 3．已知α＋β＝－，则＝ (　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 √ D　[因为α＋β＝－，所以tan ＝＝tan ＝－1， 所以tan α·tan β－＝1， 所以＝tan α·tan β－＋1＝2．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　两角和与差的正切 4．(教材P100练习BT3改编)已知tan α＝2，tan β＝3，α∈，β∈，则α＋β＝________． 　[因为α∈，β∈，所以α＋β∈． 因为tan α＝2，tan β＝3， 所以tan (α＋β)＝＝＝－1，所以α＋β＝．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　两角和与差的正切 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．两角和与差的正切公式有何结构特征？ [提示]　公式Tα±β的右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和，符号间的关系为：   符号变化规律可简记为“分子同，分母反”． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　两角和与差的正切 2．两角和与差的正切公式的常见变形有哪些？ [提示]　变形公式如：tan α＋tan β＝tan (α＋β)·(1－tan αtan β)； tan α－tan β＝tan (α－β)(1＋tan αtan β)； tan αtan β＝1－等． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　两角和与差的正切 章末综合测评(一)　动量守恒定律 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 一、选择题 1．tan 10°＋tan 50°＋tan 10°tan 50°的值为(　　) A．　　　B．　　　C．1　　　D．－ 课时分层作业(十九)　两角和与差的正切 √ 35 B　[∵tan 60°＝tan (10°＋50°)＝＝， ∴tan 10°＋tan 50°＝tan 10°tan 50°， ∴tan 10°＋tan 50°＋tan 10°tan 50°＝．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 2．已知tan (α＋β)＝，tan ＝，则tan ＝(　　) A． B． C． D． √ C　[tan ＝tan ＝＝．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　两角和与差的正切 37 3．我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长l与太阳天顶距θ(0°≤θ≤180°)的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表，根据三角学知识可知，晷影长度l等于表高h与太阳天顶距θ正切值的乘积，即l＝h tan θ．对同一“表高”两次测量，第一次和第二次太阳天顶距分别为α，β，且tan (α－β)＝，若第二次的“晷影长”与“表高”相等，则第一次的“晷影长”是“表高”的(　　) A．1倍 B．2倍 C．3倍 D．4倍 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　两角和与差的正切 38 B　[依题意，tan β＝1，则tan α＝tan [(α－β)＋β]＝＝＝2，所以第一次的“晷影长”是“表高”的2倍．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 39 4．已知A＋B＝，则(1＋tan A)(1＋tan B)＝(　　) A． B．1 C． D．2 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　两角和与差的正切 40 D　[∵A＋B＝， ∴ ＝1＋tan A＋tan B＋tan A tan B ＝1＋tan ＋tan A tan B ＝1＋tan ＋tan A tan B ＝1＋1 ＝2．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 41 5．(多选)已知在△ABC中，C＝120°，tan A＋tan B＝，则下列各式正确的是(　　) A．tan A tan B＝ B．tan(A＋B)＝－ C．tan A＝tan B D．cos B＝sin A 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ √ √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　两角和与差的正切 42 ACD　[∵C＝120°，∴A＋B＝60°，∴2(A＋B)＝C．∴tan (A＋B)＝＝，故B错误； ∵tan A＋tan B＝(1－tan A tan B)＝， ∴tan A tan B＝①，故A正确；又tan A＋tan B＝②，由①②联立解得tan A＝tan B＝，故C正确；由以上易知，A＝B＝30°，所以cos B＝sin A，故D正确．故选ACD．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 43 二、填空题 6．若tan α＝4，tan ＝6，则tan β＝________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 －　[tan β＝tan [α－(α－β)] ＝＝＝－．] － 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　两角和与差的正切 44 7．已知α，β均为锐角，且tan β＝，则tan (α＋β)＝________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 1　[因为tan β＝＝， 所以tan β＋tan αtan β＝1－tan α， 所以tan α＋tan β＝1－tan αtan β， 所以＝1，所以tan (α＋β)＝1．] 1 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　两角和与差的正切 45 8．已知tan α，tan β是方程x2－3x＋10＝0的两根，且α，β∈，则α＋β的值为________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 　[已知tan α，tan β是方程x2－3x＋10＝0的两根， 所以 所以α，β∈，所以α＋β∈， tan ＝＝＝－．因为α＋β∈，所以α＋β＝．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　两角和与差的正切 46 三、解答题 9．(源自人教A版教材)在△ABC中，cos A＝，tan B＝2，求tan (2A＋2B)的值． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 [解]　在△ABC中，由cos A＝，0<A<，得 sin A＝＝＝， 所以tanA＝＝＝， 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　两角和与差的正切 47 tan 2A＝＝＝． 又tan B＝2， 所以tan 2B＝＝＝－． 于是tan (2A＋2B)＝＝＝． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 48 10．(多选)已知tan α＝lg (10a)，tan β＝lg ，且α＋β＝，则实数a的值可以为(　　) A． B．1 C． D． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　两角和与差的正切 49 BD　[因为α＋β＝，所以tan (α＋β)＝＝1， tan α＋tan β＝1－tan αtan β， 即lg (10a)＋lg ＝1－lg (10a)lg ， 即1＝1－lg (10a)lg ， 所以lg (10a)lg ＝0， lg (10a)＝0或lg ＝0，得a＝或a＝1．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 50 11．在△ABC中，tan A＋tan B＋tan C＝3，tan2B＝tanA tan C，则B＝(　　) A．30° B．45° C．120° D．60° 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　两角和与差的正切 51 D　[由公式变形得，tan A＋tan B＝tan (A＋B)(1－tan A tan B) ＝tan (180°－C)(1－tan A tan B)＝－tan C(1－tan Atan B) ＝－tan C＋tan Atan Btan C． 所以tan A＋tan B＋tan C＝－tan C＋tan Atan B·tan C＋tan C ＝tan Atan Btan C＝3． 因为tan2B＝tanAtan C，所以tan3B＝3，所以tanB＝，B＝60°．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 52 12．已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan α＋tan β＝4， tan αtan β＝＋1，则sin (α＋β)＝________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 －　[法一：由题意得tan (α＋β)＝＝ ＝－2， 因为α∈，β∈，k，m∈Z， 则α＋β∈((2m＋2k)＋，(2m＋2k)＋2)，k，m∈Z， － 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　两角和与差的正切 53 又因为tan (α＋β)＝－2<0， 则α＋β∈，k，m∈Z， 则sin (α＋β)<0， 则＝－2，联立sin2(α＋β)＋cos2(α＋β)＝1，解得sin(α＋β)＝－． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 54 法二：因为α为第一象限角，β为第三象限角，则cos α>0，cos β<0， cos α＝＝，cosβ＝＝， 则sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝cos αcos β·(tan α＋tan β) ＝4cos αcos β＝＝＝＝－．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 55 13．已知tan (α－β)＝，tan β＝－，且α，β∈(0，)，则tan α＝________，2α－β＝________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 － 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　两角和与差的正切 56 　－　[tan α＝tan [(α－β)＋β]＝＝＝． tan (2α－β)＝tan [(α－β)＋α]＝＝1． 因为tan β＝－<0，所以<β<． 又因为tan α＝>0，所以0<α<．所以－<α－β<0． 而tan (α－β)＝>0，所以－<α－β<－， 所以2α－β∈(－，0)，所以2α－β＝－．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 57 14．已知A，B，C为△ABC的内角，且△ABC不为直角三角形． (1)求证：tan A＋tan B＋tan C＝tan A tan B tan C； (2)当tan C－1＝时，求B． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　两角和与差的正切 58 [解]　(1)证明：在△ABC中，由A＋B＋C＝，得A＋B＝－C， ∴tan (A＋B)＝tan (－C)， ∴＝－tan C， ∴tan A＋tan B＝－tan C＋tan A tan B tan C， ∴tan A＋tan B＋tan C＝tan A tan B tan C． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 59 (2)由tan C－1＝，得 tan A tan C＝tan A＋tan B＋tan C ＝tan A tan B tan C， ∴tan B＝． ∵B为△ABC的内角，∴B＝． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 60 15．是否存在锐角α，β，使得(1)α＋2β＝；(2)tan ·tan β＝2－同时成立？若存在，求出锐角α，β的值；若不存在，说明理由． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 [解]　假设存在锐角α，β使得(1)α＋2β＝， (2)tantan β＝2－同时成立． 由(1)得＋β＝，所以tan ＝＝． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　两角和与差的正切 61 又tan tan β＝2－，所以tan ＋tan β＝3－， 因此tan ，tan β可以看成是方程x2－(3－)x＋2－＝0的两个根， 解得x1＝1，x2＝2－． 若tan ＝1，则α＝，这与α为锐角矛盾， 所以tan ＝2－，tan β＝1，所以α＝，β＝， 所以满足条件的α，β存在，且α＝，β＝． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 62 $