7.3.3 余弦函数的性质与图象-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第三册教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦余弦函数的性质与图象核心知识点，从过山车运动实例引入，系统梳理余弦函数的定义、定义域、值域、奇偶性、周期、单调性等性质，结合五点法与图象变换法作y=Acos(ωx+φ)的图象，形成从实例到抽象的学习支架。 资料以过山车实例激发兴趣，体现用数学眼光观察现实世界，通过性质表格梳理、五点法作图步骤及单调性、最值例题解析，培养数学思维与运算能力，规范数学语言表达。课中辅助教师分层教学，课后分层作业与拓展内容帮助学生查漏补缺，巩固知识。

7.3.3　余弦函数的性质与图象 学习任务 1．会用“五点法”“图象变换法”作y＝A cos (ωx＋φ)的图象．(直观想象) 2．理解余弦函数的性质，会求余弦函数的周期、单调区间及最值．(直观想象、数学运算) 过山车是一项富有刺激性的娱乐工具．乘坐过山车时那种风驰电掣、有惊无险的快感令不少人着迷．过山车的运动包含了许多物理学原理，人们在设计过山车时巧妙地运用了这些原理．如果能亲身体验一下由能量守恒、加速度和力交织在一起产生的效果，那感觉真是妙不可言．一个基本的过山车构造中，包含了爬升、滑落、倒转(儿童过山车没有倒转)等几个循环路径． 问题　(1)函数y＝cos x的图象也像过山车一样“爬升”“滑落”，这是它的什么性质？ (2)过山车爬升到最高点，接着滑落到最低点，然后再爬升，对应y＝cos x的什么性质？y＝cos x在什么位置取得最值？ [提示]　(1)单调性． (2)最值；波峰，波谷． 知识点1　余弦函数的定义 对于任意一个角x，都有唯一确定的余弦cos x与之对应，所以y＝cos x是一个函数，一般称为余弦函数． 知识点2　余弦函数的性质 定义域与值域 定义域为R，值域为[－1，1] 当且仅当x＝2kπ，k∈Z时，ymax＝1； 当且仅当x＝π＋2kπ，k∈Z时，ymin＝－1 奇偶性 偶函数 周期 2π 单调性 单调递增区间 [－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z 单调递减区间 [2kπ，π＋2kπ]，k∈Z 零点 1．余弦型函数y＝A cos (ωx＋φ)的周期是多少？ [提示]　T＝． 知识点3　余弦函数的图象 (1)图象 　 (2)对称性：对称轴x＝kπ，k∈Z，对称中心． (3)五点：(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1)． 2．(1)余弦函数y＝cos x能否由y＝sin x变换得到？ (2)余弦函数y＝cos x的图象与正弦函数y＝sin x的图象有何异同？ [提示]　(1)能．由诱导公式可知y＝cos x＝sin ． (2)两个函数的图象大小形状完全相同，只是两图象的位置不同．由y＝cos x＝sin 可知，只需把正弦函数y＝sin x的图象向左平移个单位即可得到y＝cos x的图象． 1．函数f (x)＝sin 是(　　) A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 D　[函数f (x)＝sin ＝cos 4x， 故该函数为偶函数，且它的最小正周期为＝．] 2．用“五点法”作出函数y＝3－cos x的图象，下列点中不属于五点作图中的五个关键点的是(　　) A．(π，－1)　　　　　 B．(0，2) C． D． A　[易得当x＝π时， y＝3－cos π＝4， 故(π，－1)不属于五个关键点之一．] 3．比较大小：cos ________cos ． ＞　[∵y＝cos x在(0，π)上单调递减，且0<<<π， ∴cos ＞cos ．] 4．函数f ＝cos 在区间上的最小值是________． －1　[因为x∈， 所以2x＋∈， 所以当2x＋＝π时，函数f ＝－1．] 类型1　余弦型函数图象的画法 【例1】　已知函数f (x)＝cos ，用“五点法”画出f (x)在一个周期内的闭区间上的简图(必须列表)． [解]　列表如下， 2x＋ 0 π 2π x － f (x)＝cos 1 0 －1 0 1 在坐标系中画出图象如图所示． 　画函数y＝A cos (ωx＋φ)的图象时，确定“五点”的方法 在画函数y＝A cos (ωx＋φ)的图象时，所取的五点应由ωx＋φ＝0，，π，，2π来确定，而不是令x＝0，，π，，2π． [跟进训练] 1．用五点法作函数y＝cos ，x∈的大致图象． [解]　由题知y＝cos ，x∈， 列表如下： x＋ 0 π 2π x － y＝cos 1 0 －1 0 1 根据表格画出图象如图． 类型2　余弦型函数的单调性及应用 【例2】　(1)设函数f (x)＝cos，则f (x)在上的单调递减区间是(　　) A．　　　　　　 B． C． D． (2)不通过求值，比较cos ，cos 的大小． (1)D　[由已知得f (x)＝cos ，令2kπ≤2x－≤2kπ＋π，k∈Z，得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，又x∈，∴单调递减区间为．] (2)[解]　cos ＝cos ，cos ＝cos ＝cos ， ∵y＝cos x在(0，π)上单调递减， ∴cos >cos ，即cos >cos ． 　1．余弦型函数单调区间的求法 (1)如果x的系数为负，则利用诱导公式变为正． (2)将ωx＋φ看作整体，代入到余弦函数的单调区间解出x的范围． (3)若求具体的或一个范围内的单调区间，则给k赋值，即可求出符合条件的单调区间． 2．关于三角函数值比较大小 利用诱导公式，统一成正弦或余弦函数，化到同一个单调区间内，利用单调性比较大小． [跟进训练] 2．函数y＝cos x在区间上为增函数，则a的取值范围是________． (－π，0]　[因为y＝cos x在上是增函数，在上是减函数，所以只有－π<a≤0时满足条件，故a∈(－π，0]． 即a的取值范围为(－π，0]．] 3．求函数y＝2cos 的单调区间． [解]　令2kπ－π≤2x－≤2kπ(k∈Z)， 即2kπ－≤2x≤2kπ＋(k∈Z)， ∴kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)． ∴单调递增区间为(k∈Z)． 令2kπ≤2x－≤2kπ＋π(k∈Z)， 即2kπ＋≤2x≤2kπ＋(k∈Z)， ∴kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)， ∴单调递减区间为(k∈Z)． 类型3　余弦型函数的值域(最值)问题 　定区间上求值域 【例3】　【链接教材P54例4】 求函数y＝cos ，x∈的值域． [解]　由y＝cos ，因为x∈，所以2x－∈， 又函数y＝cos x在区间上递增，在上递减， 所以当2x－＝－时，函数取最小值0； 当2x－＝0时，函数取最大值1． 所以函数的值域为[0，1]． 【教材原题·P54例4】 例4　求函数f (x)＝cos x，x∈的最大值和最小值． 解：(方法一)由余弦函数的性质可知，f (x)＝cos x在递增，在递减，又因为 f ＝cos ＝，f (0)＝cos 0＝1，f ＝cos ＝－， 所以函数的最大值为1，最小值为－． (方法二)如图7-3-14所示，作出示意图， 其中OP为角－的终边，OP′为角的终边． 区间内的角的终边只能落在直线PP′及其右上方，因此当角的余弦线为时，f (x)取得最大值 f (0)＝cos 0＝1； 当角的余弦线为时，f (x)取得最小值 f ＝cos ＝－． 　与二次函数结合求值域 【例4】　已知x∈，求函数y＝－3(1－cos2x)－4cosx＋4的值域． [解]　因为x∈，所以cos x∈， 又y＝－3(1－cos2x)－4cosx＋4＝3cos2x－4cosx＋1＝3－， 所以，当cos x＝时，ymin＝－，当cos x＝－时，ymax＝， 故函数y＝－3(1－cos2x)－4cosx＋4的值域为． 　与余弦函数有关的值域(最值)问题 (1)求定区间上的最值：可先计算t＝ωx＋φ的范围，根据y＝cos t在所求出的范围内的单调性求最值． (2)关于余弦的二次式求最值：可用换元法、配方法． [跟进训练] 4．(1)函数y＝2cos ，x∈的值域为________． (2)函数f ＝3sin2x－2cosx－1的最大值为________． (1)　(2)　[(1)∵x∈， ∴2x＋∈， ∴cos ∈， ∴函数的值域为． (2)f ＝3sin2x－2cosx－1 ＝3－2cosx－1 ＝－3cos2x－2cosx＋2， 令t＝cos x，－1≤t≤1，令y＝－3t2－2t＋2＝－3＋， 当t＝－时，有最大值为． 所以，函数f ＝3sin2x－2cosx－1的最大值为．] 类型4　余弦型函数的对称性 【例5】　【链接教材P53例3】 (多选)已知函数f ＝sin (ω>0)与函数g＝的图象的对称中心完全相同，则(　　) A．函数f 为偶函数 B．θ＝ C．直线x＝是g的图象的一条对称轴 D．是g的图象的一个对称中心 ABD　[对称中心完全相同，则周期相同，T＝＝，则ω＝4， 所以f ＝sin 是函数f 的图象的一个对称中心， 故g＝cos ＝0，＋θ＝kπ＋，k∈Z，即θ＝kπ＋，k∈Z，又<，故当k＝0，θ＝时满足条件，故g＝cos ． 对于选项A，f ＝sin ＝sin ＝cos 4x，函数定义域为R，为偶函数，正确； 对于选项B，θ＝，正确； 对于选项C，当x＝时，4x＋＝不是y＝cos x的图象的对称轴，错误； 对于选项D，当x＝时，4x＋＝，g＝0，故是g(x)的图象的对称中心，正确．] 【教材原题·P53例3】 例3　求函数y＝2cos 的周期和其图象的对称轴方程． 解：因为 y＝2cos ＝2sin ＝2sin ， 所以T＝＝6π． 令＝＋kπ(k∈Z)，解得x＝＋3kπ(k∈Z)． 所以函数y＝2cos 的周期为6π，其图象的对称轴方程为x＝＋3kπ(k∈Z)． 　余弦曲线的对称中心、对称轴 余弦曲线的对称中心坐标为(k∈Z)，对称轴方程为x＝kπ(k∈Z)．求y＝A cos (ωx＋φ)的图象的对称中心及对称轴方程，只需令ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)，即可求得其对称中心的横坐标；令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，即可求得其对称轴方程． [跟进训练] 5．设函数f ＝cos ，则下列结论正确的是(　　) A．f 的图象关于直线x＝－对称 B．f 的图象关于点对称 C．y＝f 是偶函数 D．f 在区间上单调递增 C　[由2x－＝kπ，k∈Z，解得x＝，k∈Z，所以函数f ＝cos 的图象的对称轴为x＝，k∈Z， 由＝－，解得k＝－∉Z，故A错误； 由2x－＝kπ＋，k∈Z，解得x＝，k∈Z，所以函数f ＝cos 的图象的对称中心为，k∈Z， 由＝，解得k＝－∉Z，故B错误； y＝f ＝cos ＝cos 2x，而cos ＝cos ＝cos 2x， 所以y＝f 是偶函数，C正确； 令u＝2x－，当x∈时， 2x－∈，即u∈， 此时y＝cos u在u∈上不单调递增，故D错误．] 1．函数y＝1＋cos x(x∈[0，2π])的简图是(　　) A 　　　　　　　　B C 　　　　　　　　D D　[把y＝cos x的图象向上平移1个单位即可．] 2．函数y＝sin 是(　　) A．增函数　　　　　 B．减函数 C．偶函数 D．奇函数 C　[y＝sin ＝cos x，x∈，为偶函数，不是奇函数，不是单调函数．] 3．在内满足cos x≥－的x的取值范围为(　　) A． B． C． D． A　[由余弦函数的图象与性质可知， cos x≥－，则x∈(k∈Z)， 又∵x∈，∴0≤x≤或≤x<2π． ∴x的取值范围为∪ ．] 4．已知函数f (x)＝cos ωx－1(ω＞0)在区间[0，2π]有且仅有3个零点，则ω的取值范围是________． [2，3)　[因为0≤x≤2π，所以0≤ωx≤2ωπ， 令f (x)＝cos ωx－1＝0，则cos ωx＝1有3个根， 令t＝ωx，则cos t＝1有3个根，其中t∈[0，2ωπ]， 结合余弦函数y＝cos t的图象的性质可得4π≤2ωπ＜6π，故2≤ω＜3． ] 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．用“五点法”作余弦函数图象，会用到哪五个关键点？ [提示]　五点为：(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1)． 2．若函数y＝A cos (ωx＋φ)(Aω≠0)具有奇偶性，则φ为何值？ [提示]　(1)要使y＝A cos (ωx＋φ)(Aω≠0)为奇函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)； (2)要使y＝A cos (ωx＋φ)(Aω≠0)为偶函数，则φ＝kπ(k∈Z)． 3．如何求函数y＝A cos (ωx＋φ)的单调区间？ [提示]　求形如y＝A cos (ωx＋φ)的函数的单调区间时，若ω为负数，则要先把ω化为正数． 当A＞0时，把ωx＋φ整体放入y＝cos x的单调递增区间内，求得的x的范围即函数的增区间；整体放入y＝cos x的单调递减区间内，可求得函数的减区间．当A＜0时，上述方法求出的区间是其单调性相反的区间． 利用单位圆的性质研究正弦函数、余弦函数的性质 根据三角函数的定义可知，“单位圆上点的坐标就是三角函数”．因此，单位圆的性质与三角函数的性质有天然的联系，单位圆是研究三角函数性质的好工具．例如，借助单位圆的对称性可以方便地得到诱导公式．借助单位圆研究三角函数的性质体现了数形结合的思想方法，有利于从整体上把握三角函数． 如图，在直角坐标系uOv中，角x的顶点与原点重合，始边与Ou轴重合，终边与单位圆交于点P(cos x，sin x)．容易发现，当角x的终边绕原点从Ou轴的正半轴开始，按照逆时针方向旋转时，点P的横坐标按照1→0→－1→0→1…的规律连续地、周而复始地变化；同时，纵坐标按照0→1→0→－1→0…的规律连续地、周而复始地变化． 由上述变化规律，你能利用单位圆研究余弦函数、正弦函数的周期性、奇偶性、单调性及最值吗？ [提示]　(1)周期性 自变量每增加2π(角x的终边旋转一周)，余弦函数值、正弦函数值重复出现，所以余弦函数、正弦函数的周期都是2π． (2)奇偶性 角x、角－x与单位圆的交点P(cos x，sin x)、P′(cos (－x)，sin (－x))关于Ou轴对称，所以cos (－x)＝cos x，sin (－x)＝－sin x，所以余弦函数为偶函数，正弦函数为奇函数． (3)单调性(以下k∈Z) 余弦函数的单调性： 角x 2kπ→ 2kπ＋ 2kπ＋→ 2kπ＋π 2kπ＋π→ 2kπ＋ 2kπ＋ →2kπ＋2π P点横 坐标的变化 1→0 0→－1 －1→0 0→1 y＝cos x 的单调性 单调 递减 单调 递减 单调 递增 单调 递增 正弦函数的单调性： 角x 2kπ→ 2kπ＋ 2kπ＋ →2kπ＋π 2kπ＋π→ 2kπ＋ 2kπ＋ →2kπ＋2π P点纵坐 标的变化 0→1 1→0 0→－1 －1→0 y＝sin x 的单调性 单调 递增 单调 递减 单调 递减 单调 递增 (4)最大值、最小值 余弦函数的最大值、最小值： 角x π＋2kπ 2kπ P点的横坐标 －1 1 y＝cos x 最小值 最大值 正弦函数的最大值、最小值： 角x －＋2kπ ＋2kπ P点的纵坐标 －1 1 y＝sin x 最小值 最大值 [迁移应用] 1．函数y＝2cos －1的最小值是________，此时x＝________． －3　＋kπ，k∈Z　[当2x＋＝π＋2kπ，k∈Z， 即x＝＋kπ，k∈Z时， ymin＝－2－1＝－3．] 2．求函数y＝3sin (x∈[0，π])的单调递增区间． [解]　函数y＝3sin ＝－3sin ， 令2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，求得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，又x∈[0，π]， 所以函数的单调递增区间为． 课时分层作业(十)　余弦函数的性质与图象 一、选择题 1．函数f (x)＝3－2cos 4x的最大值为(　　) A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．5 D　[∵－1≤cos 4x≤1，∴－2≤2cos 4x≤2，∴1≤3－2cos 4x≤5，∴f (x)＝3－2cos 4x的最大值为5．] 2．函数f (x)＝cos 2x＋6(x∈R)是(　　) A．最小正周期为π的偶函数 B．最小正周期为2π的偶函数 C．最小正周期为π的奇函数 D．最小正周期为2π的奇函数 A　[函数f (x) ＝cos 2x＋6，由于x∈R， f (－x)＝cos (－2x)＋6＝cos 2x＋6＝f (x)，故函数为偶函数，最小正周期为T＝＝π．故选A．] 3．函数f (x) ＝3cos 图象的一个对称中心是(　　) A． B． C． D． B　[令4x＋＝kπ＋，k∈Z，解得x＝，k∈Z，当k＝1时得函数f (x)的图象的一个对称中心是．故选B．] 4．在(0，2π)内使sin x>|cos x|的x的取值范围是(　　) A． B． C． D． A　[因为sin x>|cos x|，所以sin x>0，所以x∈(0，π)，在同一坐标系中画出y＝sin x，x∈(0，π)与y＝|cos x|，x∈(0，π)的图象，观察图象易得x∈． ] 5．三个数cos ，sin ，－cos 的大小关系是(　　) A．sin ＞cos ＞－cos B．cos ＞－cos ＞sin C．cos ＜sin ＜－cos D．－cos ＜sin ＜cos C　[sin ＝cos ，－cos ＝cos ． 因为π＞＞＞π－＞0，而y＝cos x在[0，π]上单调递减， 所以cos ＜cos ＜cos ， 即cos ＜sin ＜－cos ．] 二、填空题 6．函数f (x)＝cos (ω＞0)的周期为π，则函数f (x)的单调递减区间为________． (k∈Z)　[f (x)＝cos 的周期为π，则ω＝2，所以f (x)＝cos ，由2kπ≤2x－≤2kπ＋π(k∈Z)， 得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)． 所以函数f (x)的单调递减区间为(k∈Z)．] 7．函数f ＝sin2x＋cosx的最小值为________． －1　[函数f ＝sin2x＋cosx＝－cos2x＋cosx＋1＝－＋， 因为cos x∈[－1，1]，所以当cos x＝－1时，函数取最小值－1．] 8．函数f ＝cos (ω＞0)的部分图象如图所示，则f 的单调递减区间为________． 　[由题图知，＝＝1，解得T＝2， 由T＝，解得ω＝π，所以f ＝cos ， 令2kπ≤πx＋≤π＋2kπ，k∈Z， 解得2k－≤x≤＋2k，k∈Z． 所以f 的单调递减区间为(k∈Z)．] 三、解答题 9．设x∈R，函数f ＝的最小正周期为π，且f ＝． (1)求ω和φ的值； (2)列表，并在给定坐标系中作出函数f 在上的图象； (3)若f >，求x的取值范围． [解]　(1)∵函数f 的最小正周期为π，且ω>0， ∴T＝＝π，∴ω＝2， ∵f ＝，∴f ＝cos ＝－sin φ＝， ∵－<φ<0，∴φ＝－． (2)由(1)知f ＝cos ，列表如下： 2x－ － 0 π x 0 π f 1 0 －1 0 函数f 在上的图象如图． (3)∵f >，即cos >， ∴2kπ－<2x－<2kπ＋，k∈Z， 则2kπ＋<2x<2kπ＋，k∈Z， 即kπ＋<x<kπ＋，k∈Z， ∴x的取值范围为． 10．函数y＝2sin2x＋2cosx－3的最大值是(　　) A．－1 B．1 C．－ D．－5 C　[由题意得，y＝2sin2x＋2cosx－3＝2(1－cos2x)＋2cosx－3＝－2－． 因为－1≤cos x≤1， 所以当cos x＝时，函数有最大值－．故选C．] 11．(多选)设函数f ＝cos ，则(　　) A．f 的一个周期为－π B．y＝f 的图象关于直线x＝对称 C．f 的一个零点为x＝ D．f 在上单调递减 ABC　[T＝＝π，故f 的一个周期为－π，故A正确； 因为f ＝cos ＝cos 3π＝－1，故y＝f 的图象关于直线x＝对称，故B正确； f ＝cos ＝0，故f 的一个零点为x＝，故C正确； 当x∈时，2x＋∈，函数先增后减，故D错误．] 12．已知函数f (x) ＝2cos (ωx＋φ)－1(ω>0，|φ|<π)的一个零点是x＝，当x＝时，函数f (x)取最大值，则当ω取最小值时，函数f (x) 在上的最大值为________． 0　[由条件可得cos ＝，cos ＝1，所以＋φ＝2kπ±，k∈Z，＋φ＝2nπ，n∈Z，将两式相减可得ω＝24(n－k)±4(n，k∈Z)，所以ω的最小值为4，此时φ＝2nπ－π，n∈Z， 因为|φ|<π， 所以φ＝π，所以f (x)＝2cos －1， 因为x∈， 所以4x＋∈， 所以函数f (x) 在上的最大值为0．] 13．已知函数f ＝cos 的图象关于直线x＝对称，则函数f 在区间上零点的个数为________． 3　[∵函数f ＝cos 的图象关于直线x＝对称， ∴3×＋φ＝kπ，k∈Z， ∴φ＝－＋kπ，k∈Z， 由－<φ<知，k＝1时，φ＝， 故f ＝cos ， 令f ＝0，得3x＋＝＋kπ，k∈Z，∴x＝，k∈Z． ∵x∈，∴k＝0，1，2时，φ＝满足条件，故零点有三个．] 14．某同学用“五点法”画函数f ＝A cos (ωx＋φ)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： ωx＋φ 0 π 2π x A cos 2 0 0 2 (1)请根据上表数据，求函数f 的解析式； (2)关于x的方程f ＝t在区间上有解，求t的取值范围； (3)求满足不等式>0的最小正整数解． [解]　(1)由表格数据知，A＝2， 由 解得 所以f ＝2cos ． (2)当x∈时，2x－∈， 则cos ∈， 所以f ＝2cos 在上的值域为， 因为方程f ＝t在区间上有解，所以t的取值范围为． (3)因为f ＝2cos ＝2sin ＝1，f ＝2cos＝2cos ＝0， 所以不等式即·f >0，解得f <0或f >1， 由f <0得cos <0，所以＋2kπ<2x－<＋2kπ， 所以x∈，k∈Z； 由f >1得cos >，所以－＋2kπ<2x－<＋2kπ， 所以x∈，k∈Z． 令k＝0可得不等式解集的一部分为， 因此，解集中最小的正整数为2． 3/19 学科网（北京）股份有限公司 $