第七章 微专题1 三角函数的图象与性质-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第三册教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦高中数学三角函数的图象与性质，以单调性、对称性、图象变换、由图象求解析式为核心，构建“基础性质—图象变换—解析式求解”递进式学习支架，涵盖函数平移单调区间判断、对称中心与对称轴求解、平移单位确定及多方法求解析式等具体内容。 资料以“类型+例题+解析+强化练”为设计特色，通过例题引导学生用数学眼光观察图象特征，如例1从平移后图象抽象单调区间，用数学思维探究多解法，如例4通过逐一定参法等培养推理能力，用规范步骤强化数学语言表达。课中辅助教师系统教学，课后通过分层练习帮助学生查漏补缺，提升核心素养。

微专题1　三角函数的图象与性质 三角函数的图象与性质一直是高考考查的热点，重点考查三角函数的奇偶性、周期性、单调性、对称性、图象变换及由图象求解析式等． 类型1　单调性 【例1】　(1)将函数y＝3sin 的图象向右平移个单位，所得图象对应的函数(　　) A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增 C．在区间上单调递减 D．在区间上单调递增 (2)设ω>0，若函数f (x)＝2cos 在上单调递增，则ω的取值范围是(　　) A．　　　 B． C． D．(0，1] (1)B　(2)D　[(1)函数y＝3sin 的图象向右平移个单位得y＝3sin ＝3sin 的图象， 若≤x≤，则－≤2x－， 所以y＝3sin 在区间上单调递增． 若－≤x≤，则－π≤2x－≤0， 所以y＝3sin 在区间上不单调． 所以B选项正确，其他选项错误． (2)f (x)＝2cos ＝2sin ωx， 由x∈，ω>0，可得ωx∈， 根据正弦函数的单调性，可得 又ω>0，所以0<ω≤1，即ω∈(0，1].] 类型2　对称性 【例2】　(1)若存在实数φ∈，使得函数y＝sin (ω>0)的图象的一个对称中心为(φ，0)，则ω的取值可以为(　　) A． B． C． D．1 (2)函数y＝sin 的图象的对称轴方程是________，对称中心是________． (1)D　(2)x＝(k∈Z)　(k∈Z) [(1)由于函数y＝sin (ω>0)的图象的一个对称中心为，所以ωφ＋＝kπ，所以φ＝，由于φ∈， 则－<<0， 因为ω>0，所以可得⇒结合选项，可知选D. (2)令2x＋＝kπ＋(k∈Z)，解得x＝(k∈Z)，即对称轴方程为x＝(k∈Z)， 函数y＝sin 的图象与x轴的交点即为对称中心，所以令y＝0，即sin ＝0， 所以2x＋＝kπ(k∈Z)，即x＝(k∈Z)， 故函数y＝sin 的图象的对称中心为(k∈Z)．] 类型3　三角函数的图象变换 【例3】　(1)为了得到函数y＝3sin 的图象，只要把函数y＝3sin 2x图象上所有的点(　　) A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向右平移个单位 (2)为了得到函数y＝2cos 3x的图象，只要把函数y＝2sin 图象上所有的点(　　) A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 (1)C　(2)C　[(1)为得到函数y＝3sin ＝3sin 2的图象，只要把函数y＝3sin 2x图象上所有的点向右平移个单位． (2)因为y＝2cos 3x＝2sin ＝2sin ＝2sin ，所以把函数y＝2sin 图象上的所有点向左平移个单位即可得到函数y＝2cos 3x的图象．] 类型4　由图象求解析式 【例4】　(1)已知函数y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)在一个周期内的函数图象如图所示，求函数的一个解析式． (2)如图是函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象的一部分，求此函数的解析式． [解]　(1)法一(逐一定参法)：由题图可知函数的最大值为，最小值为－， ∵A>0，∴A＝. 由题图知＝＝， ∴T＝π＝，∴ω＝2. ∵＝， ∴所给图象上的最高点的坐标为， ∴＝sin ，即sin ＝1，可取φ＝－，故函数的一个解析式为y＝sin . 法二(五点对应法)：由图象可知A＝，又图象过点，根据五点法作图原理，以上两点可判断为五点法作图中的“第一点”与“第三点”，则有 解得 故函数的一个解析式为y＝sin . 法三(图象变换法)：由图象可知A＝＝＝，∴T＝π＝，∴ω＝2. 由图象可知，该函数的图象可由y＝sin 2x的图象向右平移个单位得到．故所求函数的一个解析式为y＝sin 2，即y＝sin . (2)法一(逐一定参法)： 由题图知A＝3，T＝＝π， ∴ω＝＝2， ∴y＝3sin (2x＋φ)． ∵点在函数图象上，根据图象趋势， ∴－×2＋φ＝0＋2kπ，k∈Z， 又|φ|<，∴φ＝，∴y＝3sin . 法二(五点对应法)： 由题图知A＝3. ∵图象过点和， ∴解得 ∴y＝3sin . 法三(图象变换法)： 由题图知A＝3，T＝π，点在图象上， 可知函数图象由y＝3sin 2x的图象向左平移个单位而得， ∴y＝3sin ，即y＝3sin . 微专题强化练(一)　三角函数的图象与性质 一、选择题 1．已知函数f (x) ＝sin 在区间[0，a](a>0)上单调递增，则实数a的取值范围是(　　) A．　　　　　 B． C． D． A　[由－＋2kπ≤2x＋＋2kπ，k∈Z， 得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z. 取k＝0，得－≤x≤， 则函数f (x) ＝sin 的一个单调递增区间为. ∵函数f (x)＝sin 在区间[0，a](a>0)上单调递增，∴0<a≤.故选A.] 2．函数y＝的一个单调递增区间是(　　) A．　　　　　　 B． C． D． D　[根据题意，作出函数y＝的图象如下， 由图象知，函数y＝在区间和上单调递增；在区间和上单调递减．所以选项ABC错误，选项D正确．] 3．设ω>0，函数y＝sin ＋2的图象向右平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值为(　　) A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．3 C　[函数y＝sin ＋2的图象向右平移个单位后， 得到函数y＝sin ＋2＝sin ＋2的图象．∵两图象重合， ∴ωx＋＝ωx－＋2kπ，k∈Z，解得ω＝k，k∈Z.又ω>0，∴当k＝1时，ω取最小值，最小值为.故选C.] 4．已知ω>0，函数f (x) ＝sin 在上单调递减，则ω的取值范围是(　　) A． B． C． D．(0，2] A　[令2kπ＋≤ωx＋≤2kπ＋，k∈Z，得≤x≤，k∈Z，则f (x)的单调递减区间为，k∈Z，又f (x)在上单调递减，所以k∈Z， 所以 k∈Z，又ω>0，∴当k＝0时，解得≤ω≤.综上，ω的取值范围是.] 5．已知函数f ＝3sin ，则以下说法正确的是(　　) A．f (x)的图象关于直线x＝－对称 B．f (x)的图象的一个对称中心为 C．f (x)在区间上单调递减 D．f (x)的图象可由y＝－3sin 2x的图象向左平移个单位得到 A　[对于A，令－2x＋＝＋kπ，k∈Z，解得x＝－，k∈Z，当k＝1时，x＝－，故A正确； 对于B，令－2x＋＝kπ，k∈Z，解得x＝，k∈Z，故B错误； 对于C，令－2x＋∈，k∈Z，解得x∈，k∈Z，故C错误； 对于D，y＝－3sin 2x的图象向左平移个单位得到y＝－3sin 2＝－3sin ＝3sin 的图象，故D错误．] 二、填空题 6．函数y＝A sin ＋b的部分图象如图所示，则这个函数的解析式为________． y＝3sin ＋1　[由图象可知A＝＝3，b＝＝1， 最小正周期为T＝2＝4π，∴ω＝＝， 由图象可知点在函数图象上， 代入函数解析式可得1＝3sin＋1，∴3sin ＝0， 故－＋φ＝kπ，k∈Z，∴φ＝＋kπ，k∈Z， 由于<，故φ＝， 所以函数的解析式为y＝3sin ＋1.] 7．已知函数f (x)＝3sin (ωx＋φ)(ω>0，－π<φ<π)，若函数f (x)在区间上有最小值而无最大值，且满足f ＝－f ，则实数φ的取值范围是________． 　[因为函数f (x)在区间上有最小值而无最大值， 且满足f ＝－f ， 故＝＝，T＝π，此时ω＝＝2， f (x)＝3sin (2x＋φ)， 因为x∈，所以2x＋φ∈， 函数f (x)在区间上有最小值而无最大值，且－π<φ<π，所以－＜－＋φ＜，－＜＋φ＜， 由三角函数图象可知x1＝－＋φ与x2＝＋φ应分别位于相邻的单调递减区间与单调递增区间， 故则－＜φ＜.] 8．已知函数f ＝A sin 的部分图象如图所示，下列说法正确的是________(填序号)． ①函数y＝f 的图象关于点对称； ②函数y＝f 在上单调递减； ③y＝f 是以2π为最小正周期的周期函数； ④y＝f 可改写为y＝2cos . ①④　[由函数图象可得A＝2，最小正周期T＝4＝π，所以ω＝＝＝2，故③错误； 当x＝时，函数取得最大值， 即f ＝2sin ＝2， 所以＋φ＝2kπ＋，则φ＝2kπ＋，又<，得φ＝，故函数f ＝2sin . 对于①，当x＝－时，f ＝2sin ＝2sin 0＝0， 即点是函数f 图象的一个对称中心，故①正确； 对于②，令＋2kπ≤2x＋＋2kπ，解得＋kπ≤x≤＋kπ， 则函数f 的单调递减区间为 (k∈Z)，故②错误； 对于④，f ＝2sin ＝2sin＝2cos ，故④正确．] 三、解答题 9．已知函数f (x)＝sin x，函数g(x)的图象可以由函数f (x)的图象先向右平移个单位，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的(ω>0)得到．若函数g(x)在(0，π)上恰有5个零点，求实数ω的取值范围． [解]　将函数f (x)＝sin x的图象向右平移个单位，得到y＝sin的图象，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的(ω>0)，得到g(x)＝sin 的图象． 若函数g(x)在(0，π)上恰有5个零点， 则ωx－∈， 所以4π<ωπ－≤5π，得<ω≤. 故实数ω的取值范围是. 10．已知函数f ＝A cos (ωx＋φ)的部分图象如图． (1)求f (x)的解析式． (2)将函数f (x)的图象向右平移个单位得到曲线C，把C上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍得到函数g(x)的图象．若关于x的方程g－m＝0在上有两个不同的实数根，求实数m的取值范围． [解]　(1)根据题图，可得A＝1，＝， ∴ω＝2， ∴f ＝cos ，将x＝代入f (x)，得2×＋φ＝2kπ，k∈Z，即φ＝2kπ－，k∈Z， 又，∴φ＝－， ∴f ＝cos . (2)将函数f (x)的图象向右平移个单位，得曲线C：y＝sin ， 由题意得g＝2sin ， ∵g－m＝0在上有两个不同的实数根， ∴m＝2sin 在上有两个不同的实数根． ∵0≤x≤，令t＝2x－， ∴－≤t≤， 则需直线y＝m与y＝2sin t的图象在有两个不同的公共点． 画出y＝2sin t在上的简图如图， ∴实数m的取值范围是[1，2)． 学科网（北京）股份有限公司 $