7.3.4 正切函数的性质与图象-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第三册同步课堂高效讲义教师用书word（人教B版）

7.3.4　正切函数的性质与图象 知识 目标 1.能画出y＝tan x的图象．　2.理解正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性，及其在区间内的单调性．　3.能利用正切函数的图象与性质解决简单问题． 素养 目标 通过正切函数图象与性质的学习，培养学生直观想象核心素养；借助正切函数图象与性质的应用，提升学生直观想象和数学运算核心素养. 问题1.类比画正弦函数图象的方法，你能画出函数y＝tan x在的图象吗？你能画出函数y＝tan x的图象吗？ 提示：(1)选取长度为一个周期的连续区间. (2)列表： x － － － 0 y＝tan x － －1 － 0 1 (3)描点：用光滑曲线连接得到y＝tan x，x∈的图象． (4)将所得图象向左右平移，每次平移π个单位长度，即得y＝tan x的图象(如图所示)． 问题2.我们已经知道y＝tan x是周期为π的奇函数，观察正切曲线，回答下列问题． (1)正切函数是否存在单调递减区间？ (2)正切函数是否存在对称轴？ (3)正切函数是否存在对称中心，若存在，对称中心一定在正切曲线上吗？ 提示：(1)不存在单调递减区间．正切函数在每一个开区间(k∈Z)上都单调递增． (2)不存在对称轴．(3)存在对称中心，但对称中心不一定在正切曲线上． 知识点　函数y＝tan x的性质与图象 解析式 y＝tan__x 图象 定义域 值域 R 学生用书↓第41页 周期 π 奇偶性 奇函数 单调性 在开区间，k∈Z上都是增函数 零点 x＝kπ(k∈Z) 对称性 无对称轴； 对称中心：(k∈Z) [微提醒]　(1)正切函数在定义域上不具备单调性，但在每一个开区间(k∈Z)内是增函数．不能说函数在其定义域内是单调递增函数． (2)正切函数无单调递减区间，在每一个单调区间内都是递增的，并且每个单调区间均为开区间． (3)正切曲线在x轴上方的部分下凸，在x轴下方的部分上凸，画图时，要注意曲线的光滑性及凸凹性． (4)正切曲线是被相互平行的直线x＝＋kπ，k∈Z所隔开的无穷多支曲线组成的．这些平行直线也称为正切曲线的渐近线，即无限接近但不相交． 1．下列说法正确的是(　　) A．y＝tan x是增函数 B．y＝tan x在第一象限是增函数 C．y＝tan x在某一区间上是减函数 D．y＝tan x在区间(k∈Z)上是增函数 答案：D 解析：由正切函数的图象可知D正确． 2．函数f(x)＝tan的最小正周期是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：A 解析：因为f(x)＝tan，所以其最小正周期为T＝＝＝1.故选A． 3．已知函数y＝tan，则其定义域是(　　) A．(k∈Z) B．(k∈Z) C．(k∈Z) D．(k∈Z) 答案：C 解析：要使函数有意义，则x＋≠kπ＋，(k∈Z)，得x≠＋2kπ，(k∈Z)，即定义域为(k∈Z)．故选C． 4．函数y＝tan的图象的一个对称中心为(　　) A． B． C． D． 答案：C 解析：由2x＋＝kπ，k∈Z，可得x＝kπ－，k∈Z，当k＝2时，x＝，所以函数y＝tan的图象的一个对称中心为.故选C． 5．函数y＝tan，x∈的值域是________． 答案：(1，] 解析：因为x∈，所以＋∈，所以函数y＝tan∈(1，]．即函数的值域是(1，]. 题型一　求函数的定义域 例1　 求下列函数的定义域： (1)y＝；(2)y＝lg(－tan x)． 点拨：正切函数y＝tan x的定义域需要满足条件x≠kπ＋(k∈Z)．再结合分母不等于0，真数大于0等要求列出条件，再求解即可． 解：(1)要使函数y＝有意义， 需使 所以函数的定义域为 . (2)因为－tan x>0，所以tan x<. 为tan x＝时，x＝＋kπ(k∈Z)， 根据正切函数图象，得kπ－<x<kπ＋(k∈Z)． 所以函数的定义域为. 求正切函数定义域的方法 求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tan x有意义即x≠＋kπ，k∈Z.而对于构建的三角不等式，常利用三角函数的图象求解．　　 对点练1.(1)函数f(x)＝的定义域为(　　) A． B． 学生用书↓第42页 C． D． (2)求函数y＝＋lg(1－tan x)的定义域． 答案：(1)C 解析：(1)要使函数有意义，需要tan－1≥0，即tan≥1，解得kπ＋≤2x－<kπ＋，k∈Z，即＋≤x<＋，k∈Z，所以函数的定义域为.故选C． (2)由题意得解得－1≤tan x<1. 即－＋kπ≤x<＋kπ，k∈Z， 所以所求函数的定义域为(k∈Z)． 题型二　正切函数的单调性及其应用 角度1　求函数的单调区间 例2　 求函数y＝tan的单调区间． 点拨：先利用诱导公式将函数化简，再利用正切函数单调性求解． 解：y＝tan＝－tan. 由－＋kπ<3x－<＋kπ(k∈Z)， 得－＋<x<＋(k∈Z)． 所以函数y＝tan的单调递减区间为＋，＋(k∈Z)． 角度2　比较大小 例3　 比较大小：tan 1，tan 2，tan 3. 点拨：可根据正切函数的单调性进行比较． 解：由诱导公式可知tan 2＝tan(2－π)，tan 3＝tan(3－π)， 因为＜2＜π，＜3＜π， 所以－＜2－π＜0，－＜3－π＜0， 所以－＜2－π＜3－π＜1＜. 因为函数y＝tan x在上单调递增， 所以tan(2－π)＜tan(3－π)＜tan 1， 即tan 2＜tan 3＜tan 1. 1．运用正切函数单调性比较大小的方法 (1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内． (2)运用单调性比较大小关系． 2．求函数y＝Atan(ωx＋φ)(A，ω，φ都是常数)的单调区间的方法 (1)若ω>0，由于y＝tan x在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令kπ－<ωx＋φ<kπ＋，k∈Z，解得x的范围即可． (2)若ω<0，可利用诱导公式先把y＝Atan(ωx＋φ)转化为y＝Atan[－(－ωx－φ)]＝－Atan(－ωx－φ)，即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x的范围即可．　　 对点练2.设函数f(x)＝tan. (1)求函数f(x)的单调区间； (2)求不等式－1≤f(x)≤的解集． 解：(1)由－≠kπ＋(k∈Z)，得到函数的定义域. 由－＋kπ<－<＋kπ(k∈Z)可得－＋2kπ<x<＋2kπ(k∈Z)． 所以函数f(x)＝tan的递增区间为(k∈Z)，无递减区间． (2)由－1≤f(x)≤，可得kπ－≤－≤kπ＋，解得＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z)， 故不等式－1≤f(x)≤的解集为 . 题型三　正切函数图象与性质的综合应用 例4　 求函数y＝tan的定义域、周期及单调区间． 点拨：利用正切函数的性质求解． 解：要使函数有意义自变量x的取值应满足 x＋≠kπ＋，k∈Z， 即x≠2k＋，k∈Z. 所以函数的定义域为. 设z＝x＋，又tan(z＋π)＝tan z， 所以tan＝tan， 即tan＝tan. 因为∀x∈都有 tan＝tan， 所以函数的周期为2. 由－＋kπ<x＋<＋kπ，k∈Z， 解得－＋2k<x<＋2k，k∈Z. 因此，函数在区间，k∈Z上单调递增． 学生用书↓第43页 解答正切函数图象与性质问题应注意的两点 1．对称性：正切函数图象的对称中心是(k∈Z)，不存在对称轴．　　 2．单调性：正切函数在每个(k∈Z)区间内是单调递增的，但不能说其在定义域内是递增的． 对点练3.已知函数f(x)＝3tan. (1)求函数f(x)的定义域与单调区间； (2)比较f与f的大小． 解：(1)由已知，得 2x－≠kπ＋(k∈Z)，x≠kπ＋(k∈Z)， 所以函数f(x)的定义域为. 令－＋kπ<2x－<＋kπ，k∈Z， 得－＋kπ<x<＋kπ，k∈Z， 所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z，无单调递减区间． (2)由题意知，f＝3tan＝－3tan <0， f＝3tan＝3tan＝3tan >0， 所以f<f. 微专题(二)　思想方法 与三角函数相关的函数零点问题 当x∈时，确定方程tan x－sin x＝0的根的个数． 点拨：tan x－sin x＝0的根即为tan x＝sin x的根，也就是y＝tan x与y＝sin x交点的横坐标，所以可根据图形进行分析． 解：在同一平面直角坐标系内画出y＝tan x与y＝sin x在上的图象，如图，由图象可知它们有三个交点，所以方程有三个根． [名师点评]　数形结合思想，是高中数学的一类重要的数学思想方法，其核心是以形助数和以数析形．解决函数问题通常会用到数形结合的思想方法． 1．函数y＝tan x在一个周期内的大致图象是(　　) 答案：A 解析：由正切函数的图象与性质可知y＝tan x在上单调递增，图象为A．故选A． 2．函数f＝tan的定义域是(　　) A． B．R C． D． 答案：D 解析：由于正切函数y＝tan x的定义域为，故对于函数f＝tan，令3x－≠＋kπ，k∈Z，则x≠＋，k∈Z，故f＝tan的定义域是.故选D． 3．函数y＝－2＋tan的单调递增区间是(　　) A．，k∈Z B．，k∈Z C．，k∈Z D．，k∈Z 答案：A 解析：由－＋kπ<x＋<＋kπ，k∈Z，解得－＋2kπ<x<＋2kπ，k∈Z.故选A． 4．比较大小：tan ________tan . 答案：< 解析：根据三角函数的诱导公式，可得tan＝tan＝tan，tan＝tan＝tan，因为0<<<，且函数y＝tan x在上为单调递增函数，所以tan<tan，所以tan<tan. 学科网（北京）股份有限公司 $