7.3.1 正弦函数的性质与图象-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第三册教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦正弦函数的性质与图象核心知识点，从单摆实验情境导入，系统梳理定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性、零点等性质，通过五点法作图实现数形结合，构建“情境感知-性质探究-图象绘制-应用拓展”的学习支架。 资料亮点在于以单摆实验培养数学眼光，通过问题链引导逻辑推理与直观想象，如探究“关键点”提炼五点法。分层例题与作业设计兼顾课中教学与课后巩固，助力学生用数学思维分析问题、用数学语言表达结论，有效提升学习效果。

7.3　三角函数的性质与图象 7.3.1　正弦函数的性质与图象 学习任务 1．理解正弦函数的性质，会求正弦函数的定义域、值域、最小正周期、单调区间．(逻辑推理、数学运算) 2．理解正弦函数的奇偶性和零点．(数学抽象) 3．能正确使用“五点法”作出正弦函数的图象，并能应用函数图象解决一些简单问题．(直观想象) 在塑料瓶底部扎一个小孔做成一个漏斗，再挂在架子上，就做成了一个简易单摆(如图所示)．在漏斗下方放一块纸板，板的中间画一条直线作为坐标系的横轴．将漏斗装上细沙并拉离平衡位置，放手使它摆动，同时匀速拉动纸板．这样就可在纸板上得到一条曲线，它就是简谐运动的图象．物理中把简谐运动的图象叫做“正弦曲线”．它表示漏斗对平衡位置的位移s(纵坐标)随时间t(横坐标)变化的情况． 问题　(1)通过上述实验，你对正弦函数图象的直观印象是怎样的？ (2)你能比较精确地画出y＝sin x在[0，2π]上的图象吗？ (3)以上方法作图虽然精确，但太麻烦，有没有快捷画y＝sin x，x∈[0，2π]图象的方法？你认为图象上哪些点是关键点？ [提示]　(1)正弦函数的图象是“波浪起伏”的连续平滑曲线． (2)能，利用特殊角的三角函数的定义． (3)五点作图法，y＝sin x的五点：(0，0)，，(π，0)，，(2π，0)． 知识点1　正弦函数的性质 定义域与值域 定义域为R，值域为[－1，1] 当且仅当x＝，k∈Z时，ymax＝1； 当且仅当x＝，k∈Z时，ymin＝－1 奇偶性 奇函数 单调性 单调递 增区间 ，k∈Z 单调递 减区间 零点 kπ，k∈Z 1．正弦函数的零点是点吗？若不是，是什么？ [提示]　不是，是实数kπ，k∈Z． 知识点2　函数的周期性 (1)周期：一般地，对于函数f (x)，如果存在一个非零常数T，使得对定义域内的每一个x，都满足f (x＋T)＝f (x)，那么就称函数f (x)为周期函数，非零常数T称为这个函数的周期． (2)最小正周期：对于一个周期函数f (x)，如果在它的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就称为f (x)的最小正周期． (3)由上可知，正弦函数y＝sin x是一个周期函数，2kπ(k∈Z，k≠0)都是它的周期． 在2kπ(k∈Z，k≠0)中，最小的正数为2π，因此正弦函数y＝sin x的最小正周期为2π． 2．对非零常数T，若存在x0，使f (x0＋T)＝f (x0)，那么T是函数的周期吗？为什么？ [提示]　不是，必须对定义域内的每一个自变量成立． 知识点3　正弦函数的图象 (1)图象： (2)对称性：对称轴x＝，对称中心(kπ，0)，k∈Z． (3)五点：(0，0)，，(π，0)，，(2π，0)． (1)作正弦函数图象时，函数自变量要用弧度制，以保证自变量与函数值都为实数． (2)在精确度要求不高的情况下，“五点法”是一种实用、高效的作图方法，需要注意这五个点要用平滑的曲线连接，而不能用线段连接． (3)五个关键点是利用五点法作图的关键，要熟记并区分正弦函数图象中的五个关键点． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正弦函数在其定义域上是单调的． (　　) (2)函数f (x)＝sin 3x是奇函数． (　　) [答案]　(1)×　(2)√ 2．函数y＝2－sin x，x∈的简图是(　　) A　　　　　　　　　B C　　　　　　　　　D A　[列表： x 0 π 2π sin x 0 1 0 －1 0 y＝2－sin x 2 1 2 3 2 观察各图象发现A项符合．] 3．函数f ＝2cos 是(　　) A．最小正周期为2π的奇函数 B．最小正周期为2π的偶函数 C．最小正周期为2π的非奇非偶函数 D．最小正周期为π的偶函数 A　[f (x)＝2cos ＝2cos ＝－2sin x，故f (x)是最小正周期为2π的奇函数．] 4．点M在函数y＝sin x的图象上，则m＝________． －1　[由题意知－m＝sin ， ∴－m＝1，∴m＝－1．] 类型1　正弦函数的性质 　周期性与奇偶性 【例1】　(1)函数y＝sin x的最小正周期为________． (2)判断函数f (x)＝cos ＋x2sin x的奇偶性． (1)4π　[令u＝x，则y＝sin u是周期函数，且最小正周期为2π． 所以sin ＝sin x， 即sin ＝sin x． 所以y＝sin x的最小正周期是4π．] (2)[解]　f (x)＝sin 2x＋x2sin x， 因为x∈R，f (－x)＝sin (－2x)＋(－x)2sin (－x) ＝－sin 2x－x2sin x＝－f (x)， 所以f (x)是奇函数． 　1．定义法求函数的周期 紧扣周期函数的定义，寻求对定义域内的任意x都满足f (x＋T)＝f (x)的非零常数T，该方法主要适用于抽象函数． 2．判断函数奇偶性的两个关键点 关键点一：看函数的定义域是否关于原点对称； 关键点二：看f (x)与f (－x)的关系． 对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断． [跟进训练] 1．(1)函数y＝的最小正周期为(　　) A．π　　B．2π　　C．4π　　D．没有周期性 (2)若函数y＝2sin (x＋θ)为奇函数，则θ＝________． (1)A　(2)kπ，k∈Z　[(1)y＝的图象如下： y＝|sin x|的图象是由y＝sin x的图象位于x轴上方部分不变，下方部分沿着x轴翻折后得到，故y＝的最小正周期为π． (2)因为y＝2sin (x＋θ)为奇函数，则由f (－x)＋f (x)＝0，可得θ＝kπ，k∈Z．] 　利用单调性比较大小 【例2】　【链接教材P39例2】 (源自北师大版教材)比较下列各组三角函数值的大小： (1)sin 与sin ；(2)sin 与sin ． [解]　(1)如图， 因为－＜－＜－＜0，且正弦函数y＝sin x在区间上单调递增，所以sin ＞sin ． (2)sin ＝sin ＝sin ，sin ＝sin ＝sin ． 因为＜＜＜π，且正弦函数y＝sin x在区间上单调递减，所以sin ＜sin ，即sin ＜sin ． 【教材原题·P39例2】 例2　不求值，比较sin 和sin 的大小． 解：因为 sin ＝－sin ＝－sin ＝－sin ， sin ＝－sin ＝－sin ＝－sin ＝－sin ＝－sin ， 又因为y＝sin x在区间内递增，且－＜＜＜，所以sin ＜sin ， 因此sin ＞sin ． 　比较三角函数值的大小时，需要把角化为同一单调区间上的同名三角函数，然后用三角函数的单调性即可，如果角不在同一单调区间上，一般用诱导公式进行转化，然后再比较． [跟进训练] 2．sin 1，sin 2，sin 3按从小到大排列的顺序为(　　) A．sin 3＜sin 2＜sin 1 B．sin 3＜sin 1＜sin 2 C．sin 1＜sin 2＜sin 3 D．sin 2＜sin 1＜sin 3 B　[sin 2＝sin (π－2)，sin 3＝sin (π－3)， 因为0<π－3<1<π－2<，y＝sin x在上单调递增，所以sin (π－3)<sin 1<sin (π－2)， 所以sin 3<sin 1<sin 2．] 　正弦函数的值域与最值问题 【例3】　【链接教材P39例3】 (1)函数y＝cos2x＋3sinx－(x∈R)的最大值是(　　) A．　　　B．　　　C．－1　　　D．1 (2)求y＝＋2的值域． (1)A　[y＝cos2x＋3sinx－＝－sin2x＋3sinx－＝－＋． 令sin x＝t，则－1≤t≤1．而y＝－＋在上单调递增， 所以当t＝1时，ymax＝－＋＝．] (2)[解]　令t＝sin x，则y＝＋2，t∈[－1，1]，因此2≤＋2≤， 所以ymax＝，此时sin x＝－1；ymin＝2，此时sin x＝． 所以y＝＋2的值域为． 【教材原题·P39例3】 例3　求下列函数的最大值和最小值，并求出取得最大值和最小值时x的值． (1)y＝sin x－2；　　(2)y＝(sin x－1)2＋2；　　(3)y＝＋1． 解：(1)函数y＝sin x－2与y＝sin x同时取得最大值和最小值，所以， 当x＝＋2kπ(k∈Z)时，y＝sin x－2取得最大值－1； 当x＝－＋2kπ(k∈Z)时，y＝sin x－2取得最小值－3． (2)令t＝sin x，则 y＝(t－1)2＋2，t∈[－1，1]， 于是就转化为求闭区间上二次函数的最大值和最小值问题了． 因为－1≤t≤1时，－2≤t－1≤0，所以0≤(t－1)2≤4，因此2≤(t－1)2＋2≤6． 从而ymax＝6，此时t－1＝－2，t＝－1，即sin x＝－1，x＝－＋2kπ(k∈Z)；ymin＝2，此时sin x＝1，x＝＋2kπ(k∈Z)． (3)令t＝sin x，则 y＝＋1，t∈[－1，1]． 因为－1≤t≤1时，－≤t－，所以0≤，因此1≤＋1≤． 从而ymax＝，此时sin x＝－1，x＝－＋2kπ(k∈Z)；ymin＝1，此时t－＝0，t＝，即sin x＝，x＝＋2kπ(k∈Z)或x＝＋2kπ(k∈Z)． 　求三角函数值域的常用方法 (1)求解形如y＝a sin x＋b的函数的最值或值域问题时，利用正弦函数的有界性(－1≤sin x≤1)求解．求三角函数取最值时相应自变量x的集合时，要注意考虑三角函数的周期性． (2)求解形如y＝a sin2x＋b sinx＋c，x∈D的函数的值域或最值时，通过换元，令t＝sin x，将原函数转化为关于t的二次函数，利用配方法求值域或最值即可．求解过程中要注意t＝sin x的有界性． [跟进训练] 3．已知函数f (x)＝－10sin2x－10sinx－，x∈，则f (x)的值域为(　　) A． B． C． D． B　[令t＝sin x∈， 则函数为g(t)＝－10t2－10t－＝－10＋2， 所以g∈， 所以f (x)的值域为．] 类型2　正弦函数的图象 【例4】　【链接教材P42例4】 用“五点法”作出下列函数的简图： (1)y＝＋sin x，x∈[0，2π]； (2)y＝sin x－1． [解]　(1)按五个关键点列表如下： x 0 π 2π sin x 0 1 0 －1 0 y＝＋sin x － 描点，并将它们用光滑的曲线连接起来，可得其图象如图所示． (2)函数y＝sin x的最小正周期是2π，按五个关键点列表如下． x 0 π 2π y＝sin x 0 1 0 －1 0 y＝sin x－1 －1 0 －1 －2 －1 于是得到函数y＝sin x－1在[0，2π]上的五个关键点为(0，－1)，，(π，－1)，，(2π，－1)． 描点，并用光滑曲线将它们顺次连接起来，就画出函数y＝sin x－1在区间[0，2π]上的图象．将其按周期延拓到R上得到y＝sin x－1在实数集上的图象，如图． 【教材原题·P42例4】 例4　用五点法作函数y＝sin x＋1，x∈[0，2π]的图象． 解：找关键的五个点，列表如下． x 0 π 2π y＝sin x 0 1 0 －1 0 y＝sin x＋1 1 2 1 0 1 描点作图，如图7-3-5所示． 　“五点法”作函数y＝r sin x＋l的图象的步骤 (1)列表：以正弦函数的五点为基础，列出函数y＝r sin x＋l的五点． (2)描点：将函数y＝r sin x＋l的五点在坐标系中描出来． (3)连线：利用平滑的曲线将点连接起来，注意不能用折线连接． [跟进训练] 4．用“五点法”作出函数y＝1－sin x，x∈[0，2π]的大致图象，并写出使得1≤y≤2 的x的取值范围． [解]　列出函数图象上的五个关键点，如下表所示． x 0 π π 2π y＝1－sin x 1 0 1 2 1 画出函数图象，如图所示． 令y＝1，有1－sin x＝1，x∈[0，2π]， 解得x1＝0，x2＝π，x3＝2π， 令y＝2，有1－sin x＝2，x∈[0，2π]， 解得x＝， 由图可知，当x∈{0}∪[π，2π]时，有 1≤y≤2． 类型3　正弦函数性质与图象的应用 【例5】　(1)(多选)若f ＝sin x－在只有一个零点，则a的可能取值是(　　) A．－1 B．1 C． D．0 (2)求函数f (x)＝lg sin x＋的定义域． (1)ABC　[因为f ＝sin x－在只有一个零点， 则sin x－＝0在x∈上有一个解， 即y＝sin x，x∈的图象与y＝的图象有一个交点， 所以∈，即得a∈(0，1]∪{－1}．] (2)[解]　由题意得不等式组 即 作出y＝sin x的图象，如图所示．结合图象可得x∈[－4，－π)∪(0，π)． 所以此函数的定义域为[－4，－π)∪(0，π)． 　关于正弦函数性质、图象的应用 (1)周期性的应用：正弦函数是周期函数，可以先研究其在一个周期内的性质，再推广到定义域内． (2)奇偶性的应用：先确定函数的奇偶性，只研究函数在[0，＋∞)上的性质，再利用奇偶函数的性质推广到(－∞，0]上． (3)数形结合的应用：将问题转化为正弦函数与其他初等函数图象间的关系，利用图象解决问题． [跟进训练] 5．函数y＝sin ＋1在区间内的零点个数为________． 3　[函数y＝sin ＋1＝0，即sin ＝－1， 在同一坐标系中作出y＝sin ，y＝－1的图象，如图所示， 由图象知，在区间内的交点个数为3， 故函数y＝sin ＋1在区间内的零点个数为3．] 1．函数y＝－sin x，x∈的简图是(　　) A　　　　　　　　B C　　　　　　　　D D　[函数y＝－sin x与y＝sin x的图象关于x轴对称，故选D．] 2．(教材P43练习AT3改编)函数y＝4sin x＋3在上的单调递增区间为(　　) A．　　　　　　 B． C． D． B　[y＝sin x的单调递增区间就是y＝4sin x＋3的单调递增区间，由三角函数图象(图略)可得y＝sin x在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．] 3．函数y＝x sin x的奇偶性是________．(选填奇函数或偶函数) 偶函数　[函数y＝x sin x的定义域为(－∞，＋∞)， 因为(－x)·sin (－x)＝－x·(－sin x)＝x·sin x，所以函数y＝x sin x是偶函数．] 4．(教材P44练习BT4改编)函数f ＝1＋的定义域为________． 　[由题意知，2sin x－1>0⇒sin x>⇒x∈，k∈Z．] 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．利用正弦函数五点法作图时，是指哪五个点？ [提示]　五点：(0，0)，，(π，0)，，(2π，0)． 2．本节课介绍了哪些求函数最小正周期的方法？ [提示]　(1)定义法，即观察出周期，再用定义来验证；也可由函数所具有的某些性质推出使f (x＋T)＝f (x)成立的T． (2)图象法，即作出y＝f (x)的图象，观察图象可求出T，如y＝|sin x|． 3．你能由正弦函数图象说出正弦函数的性质吗？ [提示]　 函数 y＝sin x 定义域 R 值域 [－1，1] 最值 当x＝＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝1； 当x＝＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1 奇偶性 奇函数 最小正周期 2π 单调性 在(k∈Z)上递增； 在(k∈Z)上递减 零点 kπ(k∈Z) 课时分层作业(八)　正弦函数的性质与图象 一、选择题 1．函数f (x)＝2sin x是(　　) A．周期为4π的奇函数　 B．周期为的奇函数 C．周期为π的偶函数 D．周期为2π的奇函数 D　[f (x)＝2sin x是奇函数，它的周期为2π．故选D．] 2．(多选)已知f ＝sin x，x∈R，下列说法正确的有(　　) A．f 为奇函数 B．f 在上单调递增 C．f ∈ D．f 的图象关于x＝π对称 AC　[易知函数f ＝sin x为奇函数，函数的值域为，在(k∈Z)上单调递增，函数的对称轴为x＝＋kπ，k∈Z，所以选项A，C正确，B，D错误．] 3．已知a＝sin ，b＝sin ，c＝sin ，则(　　) A．a<b<c　　　　　　 B．b<c<a C．c<b<a D．c<a<b C　[b＝sin ＝sin ＝sin ， c＝sin ＝－sin ， 而0<<<，则－sin <0<sin <sin <1， 所以c<b<a．] 4．在[0，2π]内，不等式sin x<－的解集是(　　) A．(0，π) B． C． D． C　[画出y＝sin x，x∈[0，2π]的草图如下． 因为sin ＝， 所以sin ＝－，sin ＝－． 即在[0，2π]内，满足sin x＝－的x＝或． 可知不等式sin x<－的解集是．故选C．] 5．函数f (x)＝sin x－的零点个数是(　　) A．4　　　　B．5　　　　C．6　　　　D．7 D　[令f (x)＝sin x－＝0，即sin x＝， 令y1＝sin x，y2＝，在同一平面直角坐标系内分别作出y1，y2的图象如图所示． 可知图象有7个交点，即函数有7个零点．故选D．] 二、填空题 6．函数y＝sin x＋4，x∈[0，2π]的图象与直线y＝4的交点的坐标为________． (0，4)，(π，4)，(2π，4)　[由得sin x＝0， 当x∈[0，2π]时，x＝0或π或2π，所以交点的坐标为(0，4)，(π，4)，(2π，4)．] 7．函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象与直线y＝－的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝________． 3π　[在同一直角坐标系中，作出y＝sin x(0≤x≤2π)的图象与直线y＝－，如图所示， 则x1＋x2＝2×＝3π．] 8．函数y＝sin x－cos2x的值域为________． 　[依题意，函数定义域为R，y＝sinx－(1－sin2x)＝－，而－1≤sin x≤1， 则当sin x＝－时，ymin＝－，当sin x＝1时，ymax＝1， 所以所求值域是．] 三、解答题 9．用“五点法”作出函数y＝1－2sin x，x∈[－π，π]的简图，并回答下列问题： (1)观察函数图象，写出满足下列条件的x的区间． ①y＞1；②y＜1． (2)若直线y＝a与y＝1－2sin x，x∈[－π，π]的图象有两个交点，求a的取值范围． [解]　列表如下： x －π － 0 π sin x 0 －1 0 1 0 1－2sin x 1 3 1 －1 1 描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图． (1)由图象可知，图象在直线y＝1上方部分时y＞1，在直线y＝1下方部分时y＜1， 所以①当x∈(－π，0)时，y＞1；②当x∈(0，π)时，y＜1． (2)由图所示，当直线y＝a与y＝1－2sin x，x∈[－π，π]的图象有两个交点时，1＜a＜3或－1＜a＜1， 所以a的取值范围是(－1，1)∪(1，3)． 10．已知函数f (x)＝ax＋b sin x＋1，若f (2 025)＝7，则f (－2 025)＝(　　) A．－7 B．－5 C．6 D．－6 B　[令g(x)＝f (x)－1＝ax＋b sin x，则g(－x)＝－(ax＋b sin x)＝－g(x)，则g(x)为奇函数， 又∵f (2 025)＝7， ∴g(2 025)＝6，∴g(－2 025)＝－6， ∴f (－2 025)＝－5．故选B．] 11．设函数f (x)＝sin ωx(ω>0)．已知f (x1)＝－1，f (x2)＝1，且|x1－x2|的最小值为，则f (x)的最小正周期T＝(　　) A．2π B．π C．3π D．4π B　[因为f (x)＝sin ωx∈[－1，1]，且f (x1)＝－1，f (x2)＝1，|x1－x2|min＝，所以f (x)的最小正周期T＝2×＝π．] 12．若方程cos2x－sinx＋a＝0在内有解，则a的取值范围是________． 　[把方程变为a＝sin x－cos2x， 设f (x)＝sinx－cos2x，则 f (x)＝sinx－(1－sin2x)＝sin2x＋sinx－1 ＝－． 显然当且仅当a∈f (x)的值域时，a＝f (x)有解． 且由x∈知，sin x∈(－1，1]， ∴当sin x＝－时，f (x)有最小值－，当sin x＝1时，f (x)有最大值1，∴f (x)的值域为， ∴a的取值范围是．] 13．若函数y＝sin x－有两个零点，则实数m的取值范围为________，两个零点之和为________． [，2)　π　[由sin x－＝0得sin x＝，在同一平面直角坐标系中作出函数y＝sin x与直线y＝的图象，如图所示． 由图可知，当<1，即≤m<2时，直线y＝与函数y＝sin x的图象有两个交点，即原函数有两个零点，此时m∈[，2)． 设两个零点分别为x1，x2， 由于两交点关于直线x＝对称， 所以＝，所以x1＋x2＝π．] 14．已知函数f ＝2sin x． (1)请用“五点法”画出函数f 在上的图象(先列表，再画图)； (2)求g＝f ＋1在上的值域； (3)求使y＝f 取得最值时x的取值集合，并求出最值． [解]　(1)列表如下： x 0 π 2π sin x 0 1 0 －1 0 2sin x 0 2 0 －2 0 在平面直角坐标系中描点连线，如图所示． (2)g＝f ＋1＝2sin x＋1， 当x∈时，sin x∈，所以2sin x∈，所以g∈． 所以g＝f ＋1在上的值域为． (3)y＝f ＝2sin ， 当sin ＝1时，y＝f 取最大值2． 令2x＋＝＋2kπ，k∈Z，则x＝＋kπ，k∈Z． 当sin ＝－1时，y＝f 取最小值－2． 令2x＋＝－＋2kπ，k∈Z，则x＝－＋kπ，k∈Z． 所以使y＝f 取得最大值时x的取值集合为，且最大值为2；取得最小值时x的取值集合为，且最小值为－2． 15．已知函数f (x)＝sin x－2|sin x|，x∈[0，2π]． (1)作出函数f (x)的图象，并写出f (x)的单调区间； (2)讨论g(x)＝sin x－2|sin x|－k，x∈[0，2π]的零点个数，并求此时k的取值范围． [解]　(1)由题意知，f (x)＝ 作出函数f (x)的图象如图所示， 由图象可知f (x)的单调递增区间为， 单调递减区间为． (2)g(x)的零点个数即为直线y＝k与函数f (x)的图象交点个数， 由图象可知， 当k>0或k<－3时，直线y＝k与函数f (x)的图象无交点，g(x)无零点； 当k＝－3时，直线y＝k与函数f (x)的图象有1个交点，g(x)有1个零点； 当－3<k<－1时，直线y＝k与函数f (x)的图象有2个交点，g(x)有2个零点； 当k＝0或k＝－1时，直线y＝k与函数f (x)的图象有3个交点，g(x)有3个零点； 当－1<k<0时，直线y＝k与函数f (x)的图象有4个交点，g(x)有4个零点． 19/19 学科网（北京）股份有限公司 $