7.3.1 第2课时 正弦函数的性质与图像(二)-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第三册五维课堂教师用书word（人教B版）

第2课时　正弦函数的性质与图像(二) 课程标准 素养解读 1.掌握y＝sin x的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值 2．掌握y＝sin x的单调性，并能利用单调性比较大小 3．会求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间 三角函数的性质是高考必考内容，通过应用，提升学生逻辑推理和数学运算素养 对应学生用书P27 [情境引入] 生活中许多美好的事物都有对称性，如漂亮的蝴蝶，它停飞展翅就是一幅异常美丽的对称图案． 数学中的对称美也比比皆是，如圆、等腰三角形、正方形、球、圆柱、正方体等． 正弦函数、余弦函数的图像也很美，它们有怎样的对称性？除此之外还有哪些性质呢？ 提示：它们既是轴对称图形，又是中心对称图形． [知识梳理] [知识点]　正弦函数的性质　 不 同 处 图像 奇偶性 奇函数 单调性 在　＋(k∈Z)　上递增；在　，(k∈Z)　上递减 最值 x＝　2kπ＋(k∈Z)　时，ymax＝1；x＝　2kπ－(k∈Z)　时，ymin＝－1 1.用正弦的周期性考查它们的单调性和最值，你有何发现？ 提示：对于正弦函数，任意的两个递增区间相差周期2π的整数倍，任意的两个递减区间也相差周期2π的整数倍，取得最大值的任意两个x的值相差周期2π的整数倍，取得最小值的任意两个x的值相差周期2π的整数倍．对于余弦函数，也有同样规律． 2．从图像的变化趋势来看，正弦函数的最大值、最小值点分别处在什么位置？ 提示：正弦、余弦函数的最大值、最小值点均处于图形拐弯的地方． 3．正弦函数在[－，]上函数值的变化有什么特点？推广到整个定义域呢？ 提示：观察图像可知： 当x∈[－，]时，曲线逐渐上升，是增函数，sin x的值由－1增大到1； 当x∈[，]时，曲线逐渐下降，是减函数，sin x的值由1减小到－1. 推广到整个定义域可得 当x∈[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)时，正弦函数y＝sin x是增函数，函数值由－1增大到1； 当x∈[＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)时，正弦函数y＝sin x是减函数，函数值由1减小到－1. [预习自测] 1．函数y＝2sin(x＋2)的最大值是(　　) A．－2　　　　　　　　　 B．2 C．2sin 2 D．－2sin 2 答案：B 2．下列函数，在上是增函数的是(　　) A．y＝sin x B．y＝sin x C．y＝sin 2x D．y＝－sin x 答案：D 3．y＝asin x＋b(a>0)的最大值为3，最小值为－1，则ab＝　________　. 解析：∵sin x∈[－1,1]，且a>0， ∴解得∴ab＝2. 答案：2 对应学生用书P28 正弦函数的值域 [例1]　求下列函数的值域： (1)y＝2sin x－1；(2)y＝； (3)求函数y＝2sin2x＋2sin x－1的值域． [思路点拨]　依正弦函数的定义域、值域求解． [解]　(1)由－1≤sin x≤1知，y＝2sin x－1的值域为[－3,1]． (2)法一　y＝＝ ＝1－. ∵sin x＋1∈(0,2]， ∴∈. 当sin x＝1时，ymax＝－，故该函数的值域为. 法二　由y＝，得(sin x＋1)y＝sin x－2，即(1－y)sin x＝y＋2， 显然y≠1，∴sin x＝. ∵－1<sin x≤1， ∴－1<≤1， 解得y≤－，即函数的值域为. (3)将函数配方得y＝22－. ∵－1≤sin x≤1，当sin x＝－时，ymin＝－；当sin x＝1时，ymax＝3. ∴函数的值域为. 1．求解形如y＝asin x＋b的函数的最值或值域问题，利用正、余弦函数的有界性(－1≤sin x≤1)求解，此时有－|a|＋b≤y≤|a|＋b. 2．求形如y＝asin2x＋bsin x＋c，a≠0，x∈R的函数的值域或最值时，可以通过换元，令t＝sin x，将原函数转化为关于t的二次函数，利用配方法求值域或最值．求解过程中要注意正弦函数的有界性． 3．求形如y＝，ac≠0的函数的值域，可以用分离常量法求解，也可以反解出y，利用正弦函数的有界性建立关于y的不等式求解． [变式训练] 1．(1)函数y＝1＋2sin x，x∈的值域为(　　) A．[－1,1]　　　　　　 B．[0,1] C. D．[0,2] (2)设a>0，对于函数f(x)＝(0<x<π)，下列结论正确的是(　　) A．有最大值而无最小值 B．有最小值而无最大值 C．有最大值且有最小值 D．既无最大值又无最小值 解析：(1)∵－≤x≤， ∴－≤sin x≤，∴0≤1＋2sin x≤2，故函数的值域为[0,2]． (2)因为0<x<π，所以0<sin x≤1，≥1，又因为a>0，所以函数f(x)＝＝1＋有最小值而无最大值，故选B. 答案：(1)D　(2)B 　　　 比较三角函数值的大小 [例2]　下列不等式中成立的是(　　) A．sin>sin B．sin 3>sin 2 C．sin π>sin D．sin 2>cos 1 [思路点拨]　把角化到同一单调区间，利用正弦函数的单调性比较． [解析]　D　[∵sin 2＝sin (π－2)，cos 1＝sin ，且(π－2)－＝－1>0，∴>π－2>－1>0， ∴sin(π－2)>sin，即sin 2>cos 1.] 比较三角函数值大小的方法 (1)比较两个同名三角函数值的大小，先利用诱导公式把两个角化为同一单调区间内的角，再利用函数的单调性比较． (2)比较两个不同名的三角函数值的大小，先应利用诱导公式五、六将名称化为一致．然后再利用正、余弦函数的单调性进行比较，当角不在同一个单调区间时，再利用诱导公式一～四将角转化为同一单调区间内．对于正弦函数，一般将两个角转化到[－，]或[，]内，对于余弦函数，一般将两个角转化到[－π，0]或[0，π]内． [变式训练] 2．比较下列各组数的大小． sin(－320°)与sin 700°. 解：∵sin(－320°)＝sin(－360°＋40°)＝sin 40°， sin 700°＝sin(720°－20°)＝sin(－20°) 又函数y＝sin x在上是增函数， ∴sin40°>sin(－20°)， ∴sin(－320°)>sin 700°. 正弦函数的单调性及应用 [例3]　函数y＝asin x＋1的最大值为1－a，最小值为－3. (1)求实数a的值； (2)求该函数的单调递增区间； (3)若x∈[－π，π]，求该函数的递增区间． [思路点拨]　依题意区分a>0还是a<0，利用正弦函数的单调性求解． [解]　(1)∵ymax＝1－a， ∴a<0， 故ymin＝1＋a＝－3，∴a＝－4， ∴y＝－4sin x＋1. (2)当＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z时， 函数y＝－4sin x＋1递增， ∴y＝－4sin x＋1的递增区间为 (k∈Z)． (3)∵x∈[－π，π]，∴(k∈Z)∩[－π，π]＝∪. 即当x∈[－π，π]时，y＝－4sin x＋1的递增区间为， 1．求形如y＝asin x＋b的三角函数的单调区间． 当a>0时，其单调区间与y＝sin x的单调区间相同，当a<0时，其单调区间与y＝sin x的单调区间相反． 2．求复合函数单调区间的方法是“同增异减”原则，但要注意函数的定义域． [变式训练] 3．求y＝log2sin x的单调递增区间． 解：令t＝sin x，则原函数由y＝log2t，t＝sin x复合而成，由复合函数的单调性可知，y＝log2sin x的单调递增区间为(2kπ，2kπ＋](k∈Z)． 对应学生用书P29 1．已知sin2x＋2a－1＝0，则a的取值范围是(　　) A．[0,1]　　　　　　 B. C. D．(0,1) 解析：B　[1－2a＝sin2x， ∵sin x∈[－1,1]， ∴sin2x∈[0,1]， ∴0≤1－2a≤1， 即0≤a≤.] 2．y＝2sin x－3，x∈R的减区间为(　　) A. B. C.，k∈Z D.，k∈Z 答案：D 3．下列关系式中正确的是(　　) A．sin 11°<cos 10°<sin 168° B．sin 168°<sin 11°<cos 10° C．sin 11°<sin 168°<cos 10° D．sin 168°<cos 10°<sin 11° 解析：C　[∵sin 168°＝sin(180°－12°)＝sin 12°， cos 10°＝sin(90°－10°)＝sin 80°. ∴由正弦函数的单调性，得sin 11°<sin 12°<sin 80°， 即sin 11°<sin 168°<cos 10°.] 4．已知函数y＝－3sin x＋2，当x＝　________　时，y有最大值等于　________　. 解析：当x＝－＋2kπ，k∈Z时，(sin x)min＝－1，此时ymax＝5. 答案：－＋2kπ，k∈Z　5 5．求函数f(x)＝sin2x－4sin x＋5的值域． 解：设t＝sin x，则|t|≤1， f(x)＝g(t)＝t2－4t＋5(－1≤t≤1)， g(t)＝t2－4t＋5的对称轴为t＝2. 因为g(t)的图像开口向上， 对称轴t＝2在区间[－1,1]右侧． 所以g(t)在[－1,1]上是单调递减的， 所以g(t)max＝g(－1)＝(－1)2－4×(－1)＋5＝10， g(t)min＝g(1)＝12－4×1＋5＝2， 即g(t)∈[2,10]． 所以函数f(x)的值域为[2,10]． 对应学生课时P17 1．若sin x＝－1，且0≤x≤2π，则x＝(　　) A.　　　　　　　　 B. C．0 D．π 解析：B　[画图观察易知选B.] 2．函数y＝－2sin的周期、振幅、初相分别是(　　) A．4π，－2， B．8π，－2， C．4π，2，－ D．8π，2，－ 解析：D　[y＝－2sin＝2sin， 所以周期T＝＝8π， 振幅A＝2，初相φ＝－.] 3．将函数y＝sin 2x的图像向右平移个单位，所得图像对应的函数是(　　) A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 y＝sin＝sin(2x－π)＝－sin(π－2x) ＝－sin 2x. 由于－sin(－2x)＝sin 2x，所以是奇函数．] 4．函数y＝－sin x，x∈的简图是(　　) 解析：D　[由y＝sin x与y＝－sin x的图像关于x轴对称可知选D.] 5．方程x＋sin x＝0的根有(　　) A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 解析：B　[设f(x)＝－x，g(x)＝sin x，在同一直角坐标系中画出f(x)和g(x)的图像，如图所示．由图知f(x)和g(x)的图像仅有一个交点，则方程x＋sin x＝0仅有一个根． ] 6．(多选题)已知sin x＝且x∈[0,2π]，则x等于(　　) A. B. C. D. 解析：AB　[根据正弦函数的图像，在[0,2π]内，sin x＝的解为x＝或x＝.] 7．如果方程sin x＝a在x∈上有两个不同的解，则实数a的取值范围是　________　. 解析：画出y＝sin x，x∈的图像，如图所示． 当≤a＜1时，直线y＝a与y＝sin x，x∈交于两点，故≤a＜1. 答案： 8．方程sin x＝lg x的解的个数是　________　. 解析：用五点法画出函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图像，再依次向左、右连续平移2π个单位，得到y＝sin x的图像． 描出点，(1,0)，(10,1)并用光滑曲线连接得到y＝lg x的图像，如图所示． 由图像可知方程sin x＝lg x的解有3个． 答案：3 9．(多空题)函数y＝的定义域是　________　，值域是　________　. 解析：∵sin x－≥0，即sin x≥，结合正弦函数的图像， 得＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z. ∴y＝的定义域为 ∵≤sin x≤1，∴0≤sin x－≤， ∴0≤y≤，即值域为 答案：　 10．用“五点法”作出下列函数的简图： (1)y＝－sin x(0≤x≤2π)； (2)y＝|sin x|，x∈R； (3)y＝－1＋2sin x，x∈[0,2π]． 解：(1)找关键的五个点，列表如下： x 0 π 2π sin x 0 1 0 －1 0 －sin x 0 －1 0 1 0 描点作图，如图所示． (2)找关键的五个点，列表如下： x 0 π 2π sin x 0 1 0 －1 0 |sin x| 0 1 0 1 0 描点并用光滑的曲线将它们连接起来，通过平移得到y＝|sin x|，x∈R的图像，如图所示． (3)找关键的五个点，列表如下： x 0 π 2π sin x 0 1 0 －1 0 －1＋2sin x －1 1 －1 －3 －1 描点作图，如图所示． 11．函数f(x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0,2π]的图像与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，求实数k的取值范围． 解析：由题意知，f(x)＝sin x＋2|sin x|， ＝ 在坐标系中画出函数图像： 由其图像可知当直线y＝k，R∈(1,3)时， 与f(x)＝sin x＋2|sin x|， x∈[0,2π]的图像与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，故答案为：(1,3)． 答案：(1,3) 12．求函数y＝的定义域． 解：为使函数有意义，需满足 即 正弦函数图像如图所示， ∴定义域为 ∪. 13．用“五点法”作出函数y＝1－2sin x，x∈[－π，π]的简图，并回答下列问题： (1)观察函数图像，写出满足下列条件的x的区间． ①y＞1；②y＜1. (2)若直线y＝a与y＝1－2sin x，x∈[－π，π]的图像有两个交点，求a的取值范围． 解：列表如下： x －π － 0 π sin x 0 －1 0 1 0 1－2sin x 1 3 1 －1 1 描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如下图： (1)由图像可知，图像在直线y＝1上方部分时y＞1，在直线y＝1下方部分时y＜1， 所以①当x∈(－π，0)时，y＞1；②当x∈(0，π)时，y＜1. (2)如图所示，当直线y＝a与y＝1－2sin x， x∈[－π，π]的图像有两个交点时，1＜a＜3或－1＜a＜1， 所以a的取值范围是(－1,1)∪(1,3)． 学科网（北京）股份有限公司 $