7.2.4 第2课时 诱导公式⑤⑥⑦⑧-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第三册教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦高中数学三角函数诱导公式⑤⑥⑦⑧，承接诱导公式①-④，将角统一为k·π/2±α（k∈Z）的形式，通过“奇变偶不变，符号看象限”口诀构建从角的终边关系、公式推导到求值化简证明的学习支架。 资料以问题链引导探究，如通过角的统一形式问题培养抽象能力，结合例题与证明题发展数学运算和逻辑推理素养。课中助力教师引导学生理解公式本质，课后分层作业帮助学生巩固应用，有效查漏补缺。

第2课时　诱导公式⑤⑥⑦⑧ 学习任务 1．掌握±α、±α的诱导公式的三角函数值．(数学运算) 2．能够利用诱导公式解决简单的求值、化简与证明问题．(数学运算、逻辑推理) 同学们听了老师对八组诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”后，一脸茫然，老师随后做了解释，同学们都拍手叫绝． 问题　(1)八组诱导公式左边的角能统一写成什么形式？ (2)你能举例说明“奇变偶不变，符号看象限”的含义吗？ [提示]　(1)八组诱导公式均可以写成±α(k∈Z)的形式． (2)cos (π＋α)＝cos ＝－cos α，k＝2时函数名称不变，把α看作锐角，π＋α为第三象限角，第三象限角的余弦为负，故得到cos (π＋α)＝－cos α． 知识点　诱导公式⑤⑥⑦⑧ 1．诱导公式⑤ sin ＝cos α， cos ＝sin α． (1)角－α与角α的终边有什么样的位置关系？ (2)点P1(a，b)关于直线y＝x对称的对称点坐标是什么？ [提示]　(1)角－α与角α的终边关于直线y＝x对称． (2)点P1(a，b)关于直线y＝x对称的对称点坐标是P2(b，a)． 2．诱导公式⑥ sin ＝cos α， cos ＝－sin α． 3．诱导公式⑦ cos ＝sin α， sin ＝－cos α． 4．诱导公式⑧ cos ＝－sin α， sin ＝－cos α． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)sin ＝－cos α． (　　) (2)在△ABC中，sin ＝cos ． (　　) (3)sin ＝±cos α(k∈Z)． (　　) [提示]　(1)由诱导公式⑥知sin ＝cos α． (2)因为＝，由诱导公式⑤可知 sin ＝cos ． (3)例如当k＝2时，sin ＝sin (π－α)＝sin α≠±cos α． [答案]　(1)×　(2)√　(3)× 2．已知sin 25.3°＝a，则cos 64.7°＝(　　) A．a　　　B．－a　　　C．a2　　　D． A　[cos 64.7°＝cos (90°－25.3°)＝sin 25.3°＝a，故选A．] 3．若sin ＜0，且cos ＞0，则角θ是第________象限角． 三　[∵sin ＝cos θ＜0，cos ＝－sin θ＞0，∴sin θ＜0，∴角θ是第三象限角．] 4．若cos (π－α)＝，则sin ＝________． 　[∵cos (π－α)＝－cos α＝，∴cos α＝－． ∴sin ＝sin ＝sin ＝－sin ＝－cos α＝．] 类型1　利用诱导公式求值 【例1】　(1)已知cos 31°＝m，则sin 239°tan 149°的值是(　　) A． B． C．－ D．－ (2)已知sin ＝，则cos ＝(　　) A．－　　　B．－　　　C．　　　D． (3)如果sin ＝，那么cos ＝________． (1)B　(2)D　(3)　[(1)sin 239°tan 149°＝sin (180°＋59°)·tan (180°－31°) ＝－sin 59°(－tan 31°) ＝－sin (90°－31°)·(－tan 31°) ＝－cos 31°·(－tan 31°)＝sin 31° ＝＝． (2)cos＝cos ＝sin ＝． (3)由sin ＝－sin A＝，∴sin A＝－， ∴cos ＝－sin A＝．] 　解决化简求值问题的策略 (1)首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系． (2)可以将已知式进行变形，向所求式转化，或将所求式进行变形，向已知式转化． 提醒：常见的互余关系有：－α与＋α，＋α与－α等；常见的互补关系有：＋θ与－θ，＋θ与－θ等． [跟进训练] 1．(1)已知sin ＝，则cos α＝(　　) A．－　　　B．－　　　C．　　　D． (2)已知sin ＋sin ＝，则的值为(　　) A．－　　　B．　　　C．－　　D． (1)B　(2)A　[(1)因为sin ＝sin ＝－sin ＝－cos α＝，所以cos α＝－． (2)由已知得sin α－cos α＝，两边平方得1－2sin αcos α＝， 解得sin αcos α＝， 则＝＝＝＝－．] 类型2　利用诱导公式化简与证明 【例2】　【链接教材P33例8】 (1)(源自人教A版教材)化简：． (2)求证：＝． (1)[解]　原式＝] ＝＝－tan α． (2)[证明]　右边＝＝ ＝＝ ＝＝＝左边， 所以原等式成立． 【教材原题·P33例8】 例8　化简． 解：原式＝＝1． 　1．利用诱导公式化简的原则 (1)负化正、大化小、小化锐、锐求值． (2)对于k·±α，k∈Z的形式的角，记准：奇变偶不变，符号看象限． 2．利用诱导公式证明的方法 (1)对于恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推导右边或从右边推导左边，也可以左右归一． (2)常用定义法、弦化切、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法等，要熟练掌握诱导公式，从中选择巧妙简洁的方法． [跟进训练] 2．求证：＋＝． [证明]　左边＝ ＝＝＝＝＝右边． 所以原等式成立． 类型3　诱导公式的综合应用 【例3】　已知f ＝． (1)化简f ； (2)若α为第四象限角且sin α＝－，求f 的值； (3)若α＝－，求f ． [解]　(1)f ＝ ＝＝－cos α． (2)因为α为第四象限角且sin α＝－，所以cos α＝＝， 所以f ＝－cosα＝－． (3)因为α＝－，f ＝－cos α， 所以f ＝f ＝－cos ＝－cos ＝－cos ＝－． 　诱导公式综合应用要“三看” 一看角：(1)化大为小；(2)看角与角间的联系，可通过相加、相减分析两角的关系． 二看函数名称：一般是弦切互化． 三看式子结构：通过分析式子，选择合适的方法，如分式可对分子分母同乘一个式子变形． [跟进训练] 3．已知f ＝． (1)若α∈，且f ＝－，求α的值； (2)若f －f ＝，且α∈，求tan α的值． [解]　(1)f ＝＝ ＝＝＝sin α． 所以f ＝sin α＝－，因为α∈，则α＝或α＝． (2)由(1)知，f ＝sin α， 所以f －f ＝sin α－sin ＝sin α＋cos α＝，即sin α＋cos α＝， 所以或 因为α∈，所以cos α＝－，sin α＝． 所以tan α＝＝＝－， 故tan α＝－． 1．若角α终边在第一象限，则下列三角函数值中不是sin α的是(　　) A．cos 　　　　 B．cos C．－cos D．cos D　[对于A，B，cos ＝cos ＝sin α，A，B错误； 对于C，－cos ＝－＝sin α，C错误； 对于D，cos ＝－sin α，D正确．] 2．已知cos ＝，则sin ＝(　　) A．± B． C．－ D． D　[∵cos ＝， ∴sin ＝cos ＝cos ＝．] 3．化简：sin －cos ＝________． 0　[因为cos ＝cos ＝cos ＝sin ， 所以sin －cos ＝sin －sin ＝0．] 4．已知cos α＝－，则的值为________． －　[由cos α＝－，得＝＝＝cos α＝－．] 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．八组诱导公式的记忆口诀是什么？如何理解？ [提示]　诱导公式①～⑧可归纳为k·±α(k∈Z)的形式，可概括为“奇变偶不变，符号看象限”： ①“变”与“不变”是针对互余关系的函数而言的． ②“奇”“偶”是对诱导公式k·±α中的整数k来讲的． ③“象限”指k·±α中，将α看成锐角时，k·±α所在的象限，根据“一全正，二正弦，三正切，四余弦”的符号规律确定原函数值的符号． 2．公式⑤～⑧的作用是什么？ [提示]　公式⑤～⑧的作用是把0～2π角的三角函数值转化为0～角的三角函数值． 3．你能写出几个角的常见变换技巧吗？ [提示]　＋α＝⇔＝＋α＝⇔＝＝等．(答案不唯一) 课时分层作业(七)　诱导公式⑤⑥⑦⑧ 一、选择题 1．已知sin (75°＋α)＝，则cos (15°－α)的值为(　　) A．－　 　B．　 　C．－　 　D． B　[因为(75°＋α)＋(15°－α)＝90°， 所以cos (15°－α)＝cos [90°－(75°＋α)]＝sin (75°＋α)＝．故选B．] 2．已知sin ＝，α∈，则tan α的值为(　　) A．－2 B．2 C．－ D． A　[由已知得，sin ＝cos α＝，又α∈， 所以sin α＝－＝－＝－． 因此，tanα＝＝－2．故选A．] 3．已知角 α 的终边经过点 P，则cos 的值为(　　) A． B． C．－ D．－ A　[由题意，角α的终边经过点P(－2，1)，可得r＝＝＝， 根据三角函数的定义，可得sin α＝＝， 所以cos ＝sin α＝．] 4．化简：＝(　　) A．－cos α B．cos α C．sin α D．－sin α A　[原式＝＝＝－cos α．] 5．在△ABC中，cos ＝，则cos 的值为(　　) A．± B．± C． D． C　[在△ABC中，A＋B＋C＝π， ∴＝， ∴cos ＝cos ＝sin ＝． 又∈， ∴cos ＝．] 二、填空题 6．若sin ＝，则cos2θ－sin2θ的值为________． －　[sin＝cos θ＝，从而sin2θ＝1－cos2θ＝，所以cos2θ－sin2θ＝－．] 7．在△ABC中，sin＝3sin (π－A)，且cos A＝－cos (π－B)，则C＝________． 　[由题意得，cos A＝3sin A，① cos A＝cos B，② 由①得tan A＝，因为0＜A＜π，所以A＝． 由②得cos B＝＝，因为0＜B＜π，所以B＝．所以C＝π－(A＋B)＝．] 8．已知sin ＝，且0<x<，则sin －cos 的值为________． 　[令t＝－x∈，则＋x＝－t，＋x＝π－t． ∵sin ＝sin t＝，则cos t＝． ∴sin －cos ＝sin －cos ＝2cos t＝．] 三、解答题 9．已知f (x)＝． (1)化简f (x) ； (2)若x是第三象限角，且cos ＝，求f (x)的值； (3)求f 的值． [解]　(1)原式＝ ＝＝ ＝tan x． (2)因为cos ＝－sin x＝， 所以sin x＝－， 因为x是第三象限角， 所以cos x＝－＝－， 所以f (x)＝tan x＝＝． (3)f ＝tan ＝－tan ＝－tan ＝－． 10．已知tan α＝，则cos ＝(　　) A． B．－ C．－ D． C　[tan α＝⇒＝⇒sin2α＋5sinα＝2cos2α， 由sin2α＋cos2α＝1，得3sin2α＋5sinα－2＝0⇒＝0， 由于sin α∈，所以sin α＋2≠0，故sin α＝，所以cos ＝－sin α＝－．] 11．(多选)在△ABC中，下列关系恒成立的是(　　) A．tan (A＋B)＝tan C B．cos (2A＋2B)＝cos 2C C．sin ＝sin D．sin ＝cos BD　[对于A，tan (A＋B)＝tan (π－C)＝－tan C，故A不正确； 对于B，cos (2A＋2B)＝cos [2(π－C)] ＝cos (－2C)＝cos 2C，故B正确； 对于C，D，sin ＝sin ＝cos ，故C不正确，D正确．故选BD．] 12．已知sin ＝，则sin ＝________， cos ＝________． －　[sin ＝sin ＝－sin ＝－； cos＝cos ＝sin ＝．] 13．化简＝________． 0　[＝ ＝－1＋1＝0．] 14．已知函数f (α)＝． (1)化简f (α)； (2)若f (α)·f ＝－，且≤α≤，求f (α)＋f 的值； (3)若f ＝2f (α)，求f (α)·f 的值． [解]　(1)f (α)＝ ＝＝－cos α． (2)∵f ＝－cos ＝sin α，且f (α)·f ＝－， ∴cos αsin α＝， 因此(sin α－cos α)2＝，又≤α≤， ∴sin α－cos α＜0， ∴f (α)＋f ＝sin α－cos α＝－． (3)由(2)及f ＝2f (α)得sin α＝－2cos α，因此tan α＝－2， ∴f (α)·f ＝－cos αsin α＝－ ＝－＝＝． 15．是否存在角α，β，α∈，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝cos， cos (－α)＝－cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由． [解]　假设存在角α，β满足条件， 则 由①2＋②2得sin2α＋3cos2α＝2．∴sin2α＝， ∴sinα＝±．∵α∈，∴α＝±． 当α＝时，cos β＝，∵0＜β＜π，∴β＝满足①式； 当α＝－时，cos β＝， ∵0＜β＜π，∴β＝，此时①式不成立，故舍去． ∴存在α＝，β＝满足条件． 12/12 学科网（北京）股份有限公司 $