7.4 数学建模活动：周期现象的描述-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第三册教师用书配套课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦三角函数模型在周期现象中的应用，通过江心寺对联与瓯江潮水数据情境导入，衔接三角函数图像性质，构建“概念理解-情境分析-建模应用”的学习支架，帮助学生掌握周期现象的数学描述方法。 其亮点在于以问题驱动建模过程，结合潮汐、单摆、交变电流等实例，培养学生用数学眼光观察现实世界、用数学思维推理模型参数、用数学语言表达规律的核心素养，如海浪高度建模实例引导数据拟合与应用，提升学生数学应用能力，为教师提供完整的情境素材与活动设计，助力高效教学。

第七章 三角函数 7.4　数学建模活动：周期现象的描述 学习 任务 1．会用三角函数解决简单的实际问题．(数学运算、数学建模) 2．利用三角函数构建事物周期变化的数学模型．(数学建模) 7.4　数学建模活动：周期现象的描述 温州市区著名景点——江心屿，江心屿上面有座寺庙——江心寺，江心寺中题有一副非常知名的对联： 上联是：云朝朝　朝朝朝　朝朝朝散； 下联是：潮长长　长长长　长长长消． 该对联巧妙地运用了叠字诗展现了瓯江潮水涨落的壮阔画面．下面是瓯江江心屿码头在某年某个季节每天的时间与水深的关系表： 必备知识·情境导学探新知 7.4　数学建模活动：周期现象的描述 时间 0 1 3 6 8 9 12 15 18 21 24 水深 6 6.25 7.5 5 2.84 2.5 5 7.5 5 2.5 5 问题　(1)仔细观察表格中的数据，你能从中得到一些什么信息？ (2)以时间为横坐标，水深为纵坐标建立平面直角坐标系，将上面表格中的数据对应点描在直角坐标系中，你能得到什么结论？ [提示]　(1)水深随时间的变化大致呈周期变化． (2)若用平滑的曲线连接各点，则大致呈正弦曲线． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 7.4　数学建模活动：周期现象的描述 知识点　四类周期现象模型 (1)潮汐现象模型 潮汐现象可以用函数y＝A sin (ωx＋φ)(x∈[0，＋∞)，A＞0，ω＞0)来表示． (2)单摆、弹簧等的简谐运动模型 单摆、弹簧等的简谐运动可以用三角函数表达为y＝A sin (ωx＋φ)，其中___表示时间，___表示位移， ___表示振幅，表示频率，___表示初相位． x y A φ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 7.4　数学建模活动：周期现象的描述 (3)音叉发出的纯音振动模型 音叉发出的纯音振动可以用三角函数表达为y＝A sin ωx，其中x表示时间，y表示纯音振动时音叉的______，_____表示纯音振动的______(对应音调)，A表示纯音振动的振幅(对应音强)． (4)交变电流模型 交变电流可以用三角函数表达为y＝A sin (ωx＋φ)，其中x表示时间，y表示电流，A表示_______________，表示频率，φ表示初相位． 位移 频率 电流的最大值 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 7.4　数学建模活动：周期现象的描述 1．(多选)已知f (x)＝2sin ，则(　　) A．振幅是2 B．初相是 C．图象有无数个对称中心点 D．是奇函数 √ √ √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 7.4　数学建模活动：周期现象的描述 2．电流I(A)随时间t(s)变化的关系式是I＝，则当t＝，电流为________A． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 7.4　数学建模活动：周期现象的描述 3．如图为某简谐运动的图象，则这个简谐运动需要________ s往返一次． 0.8　[观察题图可知，此简谐运动的周期T＝0.8，所以这个简谐运动需要0.8 s往返一次．] 0.8 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 7.4　数学建模活动：周期现象的描述 类型1　由模型图象解决问题 【例1】　(源自人教A版教材)如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝A sin (ωx＋φ)＋b． (1)求这一天6～14时的最大温差； (2)写出这段曲线的函数解析式． 关键能力·合作探究释疑难 7.4　数学建模活动：周期现象的描述 [解]　(1)由题图可知，这段时间的最大温差是20 ℃． (2)由题图可以看出，从6～14时的图象是函数 y＝A sin (ωx＋φ)＋b　①的半个周期的图象，所以 A＝(30－10)＝10，b＝(30＋10)＝20． 因为＝14－6，所以ω＝． 将A＝10，b＝20，ω＝，x＝6，y＝10代入①式，可得φ＝． 综上，所求解析式为 y＝10sin ＋20，x∈[6，14]． 反思领悟　已知三角函数图象解决应用问题，首先由图象确定三角函数的解析式，其关键是确定参数A，ω，φ，同时在解题中注意各个参数的取值范围． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 7.4　数学建模活动：周期现象的描述 [跟进训练] 1．已知电流I与时间t的关系为I＝A sin (ωt＋φ)． (1)如图所示的是I＝A sin (ωt＋φ)在一个周期内的图象，根据图中数据求I＝A sin (ωt＋φ)的解析式； (2)如果t在任意一段秒的时间内，电流I＝ A sin (ωt＋φ)都能取得最大值和最小值，那么 ω的最小正整数值是多少？ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 7.4　数学建模活动：周期现象的描述 [解]　(1)由题图知A＝300，设t1＝－， 则周期T＝2(t2－t1)＝2． 所以ω＝＝150． 因为当t＝时，I＝0， 即sin ＝0，而，所以φ＝． 故所求的解析式为I＝300sin ． (2)依题意，周期T≤， 即(ω＞0)， 所以ω≥300＞942，又ω∈N*， 故所求最小正整数ω＝943． 类型2　由模型解析式解决问题 【例2】　如图，某个弹簧振子(简称振子)在完成一次全振动的过程中，时间t(单位：s)与位移y(单位：mm)之间的对应数据如表所示，其变化规律可以用y＝A sin 来刻画． t 0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 y －20.0 －10.1 10.3 20.0 10.3 －10.1 －20.0 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 7.4　数学建模活动：周期现象的描述 (1)试确定位移y关于时间t的函数关系式； (2)在理想状态下，经过10秒，该弹簧振子的位移和路程分别是多少？(精确到0.1) 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 7.4　数学建模活动：周期现象的描述 [解]　(1)由数据表可知，A＝20． 振子的周期为0.60 s，所以T＝＝0.6，解得ω＝． 所以y＝20sin ， 因为t＝0时，y＝－20.0， 所以sin φ＝－1，φ＝－＋2k，k∈Z， 因为φ∈，所以φ＝－． 所以位移y关于时间t的函数解析式为y＝20sin ． (2)当t＝10时， y＝20sin ＝－20cos ＝－20cos ＝20cos ＝10， 所以该弹簧振子的位移是10 mm． 因为10秒内，该弹簧振子经过了个周期， 所以该弹簧振子经过的路程为20×4×≈1 333.3 mm． 反思领悟　在物理学中，当物体做简谐运动时，可以用正弦型函数y＝A sin (ωx＋φ)来表示运动的位移y随时间x的变化规律，其中： (1)A称为简谐运动的振幅，它表示物体运动时离开平衡位置的最大位移． (2)T＝称为简谐运动的周期，它表示物体往复运动一次所需的时间． (3)f ＝称为简谐运动的频率，它表示单位时间内物体往复运动的次数． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 7.4　数学建模活动：周期现象的描述 [跟进训练] 2．(源自湘教版教材)如图为小球在做单摆运动(可近似看作简谐运动)时，离开平衡位置时的位移y(单位：cm)随时间x(单位：s)变化的函数图象，已知该图象满足y＝A sin (ωx＋φ)的形式．试根据函数图象求出这个单摆 运动的函数解析式． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 7.4　数学建模活动：周期现象的描述 [解]　由题图知，周期T＝2＝，所以ω＝＝2． 因为点在函数图象上，且函数图象满足y＝A sin (ωx＋φ)的形式，所以A sin ＝0，即sin ＝0． 又已知0<φ<，则<＋φ<，从而＋φ＝，即φ＝． 又点(0，1)在函数图象上，所以A sin ＝1，得A＝2． 故所求函数的解析式为y＝2sin ． 类型3　确定模型解决问题 【例3】　某帆板集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度y(单位：米)随着时间t(0≤t≤24，单位：时)呈周期性变化．每天各时刻t的浪高数据的平均值如下表． t/时 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y/米 1.0 1.4 1.0 0.6 1.0 1.4 0.9 0.6 1.0 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 7.4　数学建模活动：周期现象的描述 (1)试在图中描出所给点；   (2)观察图，从y＝at＋b，y＝A sin (ωt＋φ)＋b，y＝A cos (ωt＋φ)中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的解析式； (3)如果确定在一天内的7时至19时之间，当浪高不低于0.8米时才能进行训练，试安排恰当的训练时间． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 7.4　数学建模活动：周期现象的描述 [思路导引]　(1)将表格中数据描在坐标系中即可． (2)由散点图可得，选择正弦型函数模型合适．根据题意可得出最大值与最小值，即可得出A，b的值，由周期可得出ω，代入最大值点可得出φ的值． (3)由已知可得，sin ．根据正弦函数图象及其性质可得 －1＋12k≤t≤7＋12k，k∈Z．分别令k＝0，k＝1，k＝2解出t的范围，结合已知，即可得出结果． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 7.4　数学建模活动：周期现象的描述 [解]　(1)描点如下，   (2)由所描点可知，应选择y＝A sin ＋b． 令A>0，ω>0，<． 由题意知，最大值为1.4，最小值为0.6，周期为T＝12，则A＝， 所以y＝sin ＋1，代入点可得，sin ＋1＝0.4cos φ＋1＝1.4， 所以cos φ＝1，则φ＝2k，k∈Z．又<，可得φ＝0． 所以该模型的解析式为y＝． (3)令y＝＋1≥0.8，则sin ， 由正弦函数图象及其性质可得－＋2k≤＋2k，k∈Z， 所以－1＋12k≤t≤7＋12k，k∈Z． 当k＝0时，－1≤t≤7，又0≤t≤24，所以0≤t≤7； 当k＝1时，11≤t≤19，又0≤t≤24，所以11≤t≤19； 当k＝2时，23≤t≤31，又0≤t≤24，所以23≤t≤24． 综上所述，0≤t≤7或11≤t≤19或23≤t≤24． 由题意可知，应在11时到19时之间训练． 反思领悟　根据收集的数据，先画出相应的散点图，观察散点图，然后进行函数拟合获得具体的函数模型，最后利用这个模型解决实际问题． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 7.4　数学建模活动：周期现象的描述 [跟进训练] 3．一物体相对于某一固定位置的位移y(单位：cm)和时间t(单位：s)之间的一组对应值如下表所示，则可近似地描述该物体的位置y和时间t之间的关系的一个三角函数式为_____________________． t 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 y －4.0 －2.8 0 2.8 4.0 2.8 0 －2.8 －4.0 y＝－4cos t，t≥0 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 7.4　数学建模活动：周期现象的描述 y＝－4cos t，t≥0　[设y＝A sin (ωt＋φ)(A＞0，ω＞0)，则从表中数据可以得到A＝4，ω＝，又由4sin φ＝－4.0，得sin φ＝－1，取φ＝则y＝4sin ，即y＝－4cos t，t≥0．] 1．已知简谐运动f (x)＝A sin (ωx＋φ)的振幅是，图象上相邻最高点和最低点的距离是5，且图象过点，则该简谐运动的频率和初相是(　　) A．　　　　　　　　　 B． C． D． 学习效果·课堂评估夯基础 √ 7.4　数学建模活动：周期现象的描述 B　[由题意可知A＝＝52， 则T＝8，ω＝，所以f (x)＝sin ． 由图象过点得sin φ＝，所以sin φ＝， 因为，所以φ＝， 因此频率是，初相为．故选B．] 2．单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s(单位：cm)和时间t(单位：s)的函数关系为s＝，那么单摆摆动的振幅(单位：cm)和来回摆动一次所需的时间(单位：s)为(　　) A．3，4 B．－3，4 C．3，2 D．－3，2 √ A　[因为距离s(cm)和时间t(s)的函数关系为＝3sin ，所以单摆摆动的振幅为3，来回摆动一次所需的时间为T＝＝4．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 7.4　数学建模活动：周期现象的描述 3．如图为一半径为3 m的水轮，水轮圆心O距水面2 m，已知水轮每分钟转4圈，水轮上的点P到水面距离y与时间x(单位：s)满足关系式y＝A sin (ωx＋φ)＋2，则有(　　) A．ω＝，A＝3 B．ω＝，A＝3 C．ω＝，A＝5 D．ω＝，A＝5 √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 7.4　数学建模活动：周期现象的描述 B　[由题意可知ymax＝A＋2＝5，可得A＝3，该函数的周期为T＝，∴ω＝．] 4．电流I随时间t变化的函数I＝A sin (ωt＋φ)(A>0，ω>0)的图象如图所示，则t＝ s时的电流为________A． 0 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 7.4　数学建模活动：周期现象的描述 0　[由题图可得A＝100， 且，故ω＝100，又图象过点，故＋2k，k∈Z， 解得φ＝＋2k，k∈Z，故I＝100sin ，故当t＝ s时，I＝100sin ＝0(A)．] 回顾本节知识，自主完成以下问题： 解三角函数应用题的基本步骤是什么？ [提示]　解三角函数应用题的基本步骤： (1)审清题意 读懂题目中的“文字”“图象”“符号”等语言，理解所反映的实际问题的背景，提炼出相应的数学问题． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 7.4　数学建模活动：周期现象的描述 (2)建立函数模型 整理数据，引入变量，找出变化规律，运用已掌握的三角函数知识、物理知识及其他相关知识建立关系式，即建立三角函数模型． (3)解答函数模型 利用所学的三角函数知识解答得到的三角函数模型，求得结果． (4)得出结论 将所得结果翻译成实际问题的答案． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 7.4　数学建模活动：周期现象的描述 声音函数 人体就是一个包含各种周期运动的生物体，医学上把周期为24小时的生理运动称为中周期运动，如血压、血糖浓度的变化；小于24小时的叫短周期运动，如心跳、脉搏每分50～70次、呼吸每分16～24次；大于24小时的叫长周期运动，如人的情绪、体力、智力等． 阅读材料·拓展数学大视野 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 7.4　数学建模活动：周期现象的描述 声音中也包含着正弦函数，声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波．每一个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数y＝A sin ωt．音有四要素：音调、响度、音长和音色．这都与正弦函数的参数有关．响度与振幅有关，即与声波的能量有关，振幅越大，响度越大．音长也与振幅有关，声音消失过程是由于声波在传播过程中受阻尼振动，系统的机械能随时间逐渐减小，振动的振幅也逐渐减小．音调与声波的振动频率是有关的，频率低的声音低沉，频率高的声音尖利．像我们平时听到的乐音不只是一个音在 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 7.4　数学建模活动：周期现象的描述 响，而是许多个音的结合，称为复合音．复合音的产生是因为发声体在全段振动，产生频率为f 的基音的同时，其各部分，如二分之一、三分之一、四分之一部分也在振动，产生的频率恰好是全段振动频率的倍数，如2f ，3f ，4f 等．这些音叫谐音，因为其振幅较小，我们一般不易单独听出来，所以我们听到的声音的函数是y＝sin x＋sin 2x＋sin 3x＋sin 4x＋…． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 7.4　数学建模活动：周期现象的描述 音色一般是由基音和谐音的综合作用所决定的，不同乐器、不同人发出的音调可以相同，但音色不同，人们由此分辨出不同的声音． 周期函数产生了美妙的音乐！ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 7.4　数学建模活动：周期现象的描述 D　[由题图可得，ω>0，T＝4×，即，则ω＝400．] [迁移应用] 1．音叉是呈“Y”形的钢质或铝合金发声器(如图1)，各种音叉可因其质量和叉臂长短、粗细不同而在振动时发出不同频率的纯音．敲击某个音叉时，在一定时间内，音叉上点P离开平衡位置的位移y与时间t的函数关系为y＝sin ωt．图2是该函数在一个周期内的图象，根据图中数据可确定ω的值为(　　) A．200　　 B．400　　 C．200　　 D．400 √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 7.4　数学建模活动：周期现象的描述 2．智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪音，然后通过听感主动降噪芯片生成相等的反向波抵消噪音(如图)．已知噪音的声波曲线y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，0≤φ<2)的振幅为1，周期为2，初相为，则通过听感主动降噪芯片生成相等的反向波曲线为(　　) A．y＝sin x B．y＝cos x C．y＝－sin x D．y＝－cos x √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 7.4　数学建模活动：周期现象的描述 D　[已知噪音的声波曲线y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，0≤φ<2)的振幅为1，周期为2，初相为，可得ω＝＝1， 所以噪音的声波曲线为y＝sin ＝cos x， 所以通过听感主动降噪芯片生成相等的反向波曲线为y＝－cos x．] 章末综合测评(一)　动量守恒定律 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 一、选择题 1．已知f (x)＝2sin 的图象经过点(0，1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为(　　) A．T＝6，φ＝　　　　 B．T＝6，φ＝ C．T＝6，φ＝ D．T＝6，φ＝ 课时分层作业(十三)　数学建模活动：周期现象的描述 √ 48 A　[由题意得1＝2sin φ，解得sin φ＝， ∵，∴φ＝＝6． 故选A．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 2．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数关系式y＝3sin (ωx＋φ)＋k，据此可知，这段时间水深(单位：米)的最大值为(　　) A．5　 　　 B．6　　　　 C．8　 　　 D．10 √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 7.4　数学建模活动：周期现象的描述 50 C　[由题意可得当sin (ωx＋φ)取得最小值－1时，函数取最小值ymin＝－3＋k＝2，∴k＝5， ∴y＝3sin (ωx＋φ)＋5， 因此当sin (ωx＋φ)取得最大值1时，函数取最大值ymax＝3＋5＝8．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 51 3．商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一某商场的人流量满足函数F(t)＝50＋4sin (t≥0)，则下列时间段内人流量是增加的是(　　) A．[0，5] B．[5，10] C．[10，15] D．[15，20] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 7.4　数学建模活动：周期现象的描述 52 C　[由2k－≤2k＋，k∈Z，知函数F(t)的递增区间为[4k－，4k＋]，k∈Z． 当k＝1时，t∈[3，5]，而[10，15]⊆[3，5]，故选C．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 53 4．如图所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的弧长与时间t(单位：s)的函数关系式为s＝6sin ，那么单摆来回摆动一次所需的时间为(　　) A．2 s B． s C．0.5 s D．1 s 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 7.4　数学建模活动：周期现象的描述 54 D　[单摆来回摆动一次，即完成一个周期，因为s＝6sin 的最小正周期T＝＝1，所以单摆来回摆动一次所需的时间为1 s，故选D．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 55 5．(多选)血压是指血液在血管内流动时作用于单位面积血管壁的侧压力，它是推动血液在血管内流动的动力．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压．在未使用抗高血压药的前提下，18岁以上成人收缩压≥140 mmHg或舒张压≥90 mmHg，则说明这位成人有高血压．设从未使用过抗高血压药的小王从某天早晨6点开始计算(即早晨6点起，t＝0)，他的血压p(t)(单位：mmHg)与经过的时间t(单位：h)满足关系式p(t)＝116＋22sin ，则(　　) A．血压p(t)的最小正周期为6 B．当天下午3点小王的血压为105 mmHg C．当天小王有高血压 D．当天小王的收缩压与舒张压之差为44 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ √ √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 7.4　数学建模活动：周期现象的描述 56 BCD　[对于A选项，血压p(t)的最小正周期为＝12，故A错误；对于B选项，下午3点时，即t＝9，可得p(9)＝116＋22sin ＝116－22cos ＝105，故B正确；对于C选项，因为p(t)max＝116＋22＝138<140，p(t)min＝116－22＝94≥90，所以，当天小王有高血压，故C正确；对于D选项，当天小王的收缩压与舒张压之差为p(t)max－p(t)min＝138－94＝44，故D正确．故选BCD．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 57 二、填空题 6．某城市一年中12个月的平均气温y与月份x的关系可近似地用函数y＝a＋A cos (x＝1，2，3，…，12)来表示，已知6月的月平均气温最高，为28 ℃，12月的月平均气温最低，为18 ℃，则10月的平均气温为________℃． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 20.5 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 7.4　数学建模活动：周期现象的描述 58 20.5　[根据题意得 18＝a＋A cos ＝a－A，28＝a＋A， 解得a＝23，A＝5， 所以y＝23＋5cos ， 令x＝10， 得y＝23＋5cos ＝23＋5cos ＝20.5．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 59 7．如图所示的图象显示的是相对于平均海平面的某海湾的水面高度y(单位：m)在某天24 h内的变化情况，则水面高度y关于从夜间0时开始的时间x的函数关系式为______________________________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 y＝－6sin x，x∈[0，24] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 7.4　数学建模活动：周期现象的描述 60 y＝－6sin x，x∈[0，24]　[设y与x的函数关系式为y＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，则A＝6，T＝12，ω＝＝． 又当x＝9时，ymax＝6， 故×9＋φ＝＋2k，k∈Z． 取k＝1得φ＝，即y＝－6sin x，x∈[0，24]．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 61 8．如图所示，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y＝A sin (ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0，0＜φ＜)，则8时的温度大约为________℃．(精确到1 ℃) 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 13 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 7.4　数学建模活动：周期现象的描述 62 13　[由题图可得B＝20，A＝10，T＝14－6＝8，∴T＝16＝，∴ω＝，∴y＝10sin ＋20，∵图象的最低点为(6，10)，∴10sin ＋20＝10，∴sin ＝－1，∴＋φ＝＋2k，k∈Z，∵0＜φ＜，∴φ＝， ∴y＝10sin ＋20， 当x＝8时，y＝10sin ＋20＝20－5≈13．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 63 三、解答题 9．通常情况下，同一地区一天的温度随时间变化的曲线接近函数y＝A sin (ωx＋φ)＋b的图象．某年2月下旬某地区连续几天最高温度都出现在14时，最高温度为14 ℃，最低温度出现在凌晨2时，最低温度为零下2 ℃． (1)求该地区该时期的温度函数y＝A sin (ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0，|φ|<，x∈[0，24])的表达式． (2)27日上午9时某高中将举行模拟考试，如果温度低于10 ℃，教室就要开空调．请问：届时学校后勤应该开空调吗？ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 7.4　数学建模活动：周期现象的描述 64 [解]　(1)由题意知解得 T＝2×(14－2)＝24，所以ω＝， 所以8sin ＋6＝－2， 即sin ＝－1， 故×2＋φ＝－＋2k，k∈Z， 又|φ|<，得φ＝－，所以y＝8sin ＋6(x∈[0，24])． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 65 (2)当x＝9时，y＝8sin ＋6 ＝8sin ＋6<8sin ＋6＝10． 所以届时学校后勤应该开空调． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 66 10．在一个港口，相邻两次高潮发生的时间间距为12 h，低潮时水深为9 m，高潮时水深为15 m．每天涨潮落潮时，该港口水的深度y(单位：m)关于时间t(单位：h)的函数图象可以近似地看成函数y＝A sin (ωt＋φ)＋k的图象，其中ω＞0，0≤t≤24，且t＝3时涨潮到一次高潮，则该函数的解析式可以是(　　) A．y＝3sin t＋12　　　　 B．y＝－3sin t＋12 C．y＝3sin t＋12 D．y＝3cos t＋12 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 7.4　数学建模活动：周期现象的描述 67 A　[由相邻两次高潮发生的时间间距为12 h，知T＝12＝，得ω＝， 又由高潮时水深15 m，低潮时水深9 m， 得A＝3，k＝12，∴y＝3sin ＋12，把点(3，15)代入， 得sin ＝1，即×3＋φ＝＋2k，k∈Z， 解得φ＝2k，k∈Z，所以该函数的解析式为 y＝3sin ＋12(k∈Z)，当k＝0时，y＝3sin t＋12，t∈[0，24]．故选A．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 68 11．记某时钟的中心点为O，分针针尖对应的端点为A．已知分针长OA＝5 cm，且分针从12点位置开始绕中心点O顺时针匀速转动．若以中心点O为原点，3点和12点方向分别为x轴和y轴正方向建立平面直角坐标系，则点A到x轴的距离y(单位：cm)与时间t(单位：min)的函数解析式为(　　) A．y＝5|sin t| B．y＝5|cos t| C．y＝5 D．y＝5 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 7.4　数学建模活动：周期现象的描述 69 D　[由题意得分针每分钟转＝rad， 则t分钟后转了t rad， 则点A到x轴的距离y与时间t的关系可设为y＝5， 当t＝0时，点A在钟表的12点处，此时y＝5， 所以5＝5⇒＝1， 所以可以取φ＝，此时y＝5．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 70 12．如图某地夏天从8～14时用电量变化曲线近似满足函数 y＝A sin (ωx＋φ)＋b． (1)这一天的最大用电量为________万度， 最小用电量为________万度； (2)这段曲线的函数解析式为 ___________________________________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 50 30 y＝10sin ＋40，x∈ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 7.4　数学建模活动：周期现象的描述 71 (1)50　30　(2)y＝10sin ＋40，x∈　[由题图知，最大用电量为50万度，最小用电量为30万度， 故所以 又由题图可得周期为12，ω＝＝，故y＝10sin ＋40， 又x＝8时，y＝30，30＝10sin ＋40， ∴sin ＝－1，∴φ＝＋2k，k∈Z，又0＜φ＜，∴φ＝． 故y＝10sin ＋40，x∈．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 72 13．如图，一台发电机产生的电流是正弦式电流，即电压U(单位：V)和时间t(单位：s)满足U＝311sin (ωt＋φ)．在一个周期内，电压的绝对值超过的时间为________s．(答案用分数表示) 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 7.4　数学建模活动：周期现象的描述 73 　[由已知T＝0.02，ω＝＝100，φ＝0， U＝311sin (100t)． 在区间内，令311sin (100t)＝，100t＝或100t＝，可得t1＝，t2＝＝； 同理令311sin (100t)＝－，可得t3＝，t4＝． 综上，电压的绝对值超过的时间为2×＝ s．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 74 14．(源自湘教版教材)已知摩天轮的半径为60 m，其中心距离地面70 m，摩天轮做匀速转动，每30 min转一圈，摩天轮上点P的起始位置在最低点处． (1)试确定在时刻t(单位：min)时，点P离地面的高度h； (2)在摩天轮转动的一圈内，点P离地面的高度超过100 m的时间有多长？ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 7.4　数学建模活动：周期现象的描述 75 [解]　(1)如图，以摩天轮所在面为坐标平面，以摩天轮的中心点为原点O，x轴和y轴分别平行和垂直于地平面，建立直角坐标系． 点P的初始位置在最低点，设点P从最低点沿逆时针方向匀速转动，OP在时间t(min)内所转过的角度为·t＝t，因此OP与Ox的夹角为－t，于是，点P的纵坐标y＝60sin ＝－60cos t． 因此，点P离地面的高度 h＝70＋y＝(m)． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 76 (2)根据题意，由于0≤t≤30，则t∈[0，2]． 由70－60cos t>100，解得<t<，从而10<t<20． 因此，在摩天轮转动的一圈内，点P离地面的高度超过100 m的时间有10 min． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 77 15．某研究小组调查了某港口水深情况，发现在一天(24小时)之内呈周期性变化，且符合函数f (t)＝A sin (ωt＋φ)＋k，其中f (t)为水深(单位：米)， t为时间(单位：时)，t∈[0，24]．研究小组 绘制了水深图，部分信息如图所示． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 7.4　数学建模活动：周期现象的描述 78 (1)求f (t)的解析式． (2)某艘货船满载时吃水深度为4.5米，空载时2.5米，按安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙(船底与海底距离)，问： (ⅰ)该船满载时一天之内何时能进出港口？ (ⅱ)该船凌晨3点已经在港口卸货完毕准备空载离港，为确保安全，需在安全水深到达前半小时提前离港，最迟在几点之前离港才能确保安全？ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 7.4　数学建模活动：周期现象的描述 79 [解]　(1)由题意得，A＝＝2，k＝＝5，T＝2×(8－2)＝12＝，∴ω＝． 由题图知2×＋φ＝2k＋，k∈Z， ∵φ∈， ∴φ＝， ∴f (t)＝2sin ＋5，t∈[0，24]． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 80 (2)(ⅰ)由题意得，2sin ＋5≥6， 即sin ， ∴2k＋t＋≤2k＋，k∈Z， 解得12k≤t≤12k＋4，k∈Z． ∵t∈[0，24]，∴k＝0或k＝1． ∴0≤t≤4或12≤t≤16， ∴该船满载时一天之内0点到4点或12点到16点能安全进出港口． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 81 (ⅱ)由题意得，空载时水深至少4米， 由2sin ＋5≥4得sin ≥－， ∴2k－t＋≤2k＋，k∈Z， ∴12k－2≤t≤12k＋6，k∈Z． 又t∈[0，24]，∴k＝0或k＝1或k＝2，∴0≤t≤6或10≤t≤18或22≤t≤24．∵6－0.5＝5.5， ∴最多滞留到五点半可确保安全离港． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 82 $