精品解析：山东省泰安市宁阳县2025-2026学年七年级上学期期中考试数学试题

2025—2026学年度第一学期期中质量检测 七年级数学试题 （考试时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1．本试题分第I卷和第Ⅱ卷两部分，第I卷为选择题，40分；第Ⅱ卷为非选择题，110分；全卷共6页． 2．数学试题答题卡共2页．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号等填写在试题和答题卡上，考试结束后上交答题卡． 3．第I卷每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号【ABCD】涂黑．第Ⅱ卷按要求碳素笔答在答题卡的相应位置上． 第I卷（选择题共40分） 一、选择题（本题共10小题，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得4分，不选或选出的答案超过一个均记零分）． 1. 以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，故A不符合题意； B．不是轴对称图形，故B不符合题意； C．是轴对称图形，故C符合题意； D．不是轴对称图形，故D不符合题意． 故选：C． 2. 为估计池塘两岸A、B间的距离，杨阳在池塘一侧选取了一点P，测得PA=16m， PB=12m，那么AB间的距离不可能是（ ）． A. 5m B. 15m C. 20m D. 28m 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵PA、PB、AB能构成三角形，∴PA﹣PB＜AB＜PA+PB，即4m＜AB＜28m． 故选：D． 【点睛】本题考查了构成三角形的条件，解题的关键是掌握三角形的三边关系. 3. 无论在战争年代还是在和平时期，中国人民解放军都是一道坚不可摧的钢铁长城，保卫着祖国的安宁、人民的幸福．如图，某部队战士在射击训练时，手、肘、肩构成托枪三角形，可以在射击过程中保持枪的稳定，其中的数学道理是（ ） A. 两点确定一条直线 B. 三角形具有稳定性 C. 两点之间，线段最短 D. 垂线段最短 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的稳定性，根据三角形具有稳定性即可得到答案． 【详解】解：由题意得这个三角形可以使射击者在射击过程中保持稳定，其中，蕴含的数学道理是三角形的稳定性； 故选：B． 4. 下列各图是以直角三角形各边为边在三角形外部画正方形得到的．每个正方形中的数及字母S表示所在正方形的面积，其中S的值恰好等于5的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由正方形的性质和勾股定理分别对各个选项进行判断即可． 【详解】每个正方形中的数及字母S表示所在正方形的面积， 每个正方形中的数字以及字母S表示所在正方形的边长的平方， A、由勾股定理得：S=9+4=13，故选项A不符合题意； B、由勾股定理得：S=9－4=5，故选项B符合题意； C、由勾股定理得：S=4+3=7，故选项C不符合题意； D、由勾股定理得：S=4－3=1，故选项D不符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查勾股定理和正方形的性质，熟练掌握勾股定理和正方形的性质是解题的关键． 5. 如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，掌握全等三角形对应角相等是解题的关键．先根据三角形内角和定理求出，再根据全等三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：如图所示： ， 两个三角形全等，与是对应角， ， 故选：C． 6. 工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法是：如图在的边、上分别取，移动尺，使角尺的两边相同的刻度分别与M、N重合，得到的平分线，做法中用到三角形全等判定方法是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．已知两三角形三边分别相等，可考虑证明三角形全等，从而证明角相等． 【详解】解：∵，，， ∴ ∴，即为的平分线． 故选A． 7. 有下列条件：①；②；③；④．其中能确定是直角三角形的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，直角三角形的判定．根据三角形内角和定理进行判断求解． 【详解】解：①∵，， ∴，则是直角三角形； ②∵，， ∴，则是直角三角形； ③∵，即， ∴，则是直角三角形 ④ ∵， ∴设，则， ∴， ∴， ∴， ∴，故是直角三角形； 综上所述，能确定是直角三角形的是①②③④，共4个． 故选：D． 8. 如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点D，E，再分别以点，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的面积是（ ） A. 12 B. 18 C. 24 D. 36 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图作角平分线，角平分线的性质. 过点G作于点H，根据题意得，是的角平分线，得，根据三角形面积公式，即可求出的面积． 【详解】解：过点G作于点H， 根据题意得，是的角平分线， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 9. 如图，在中，，垂足为点，垂直平分，交于点，交于点，连接，若，的周长为，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的定义与性质．由，，得垂直平分，所以，又垂直平分则，，可得，，然后通过的周长为可得，从而得出即可． 【详解】解：∵，， ∴垂直平分， ∴， ∵垂直平分， ∴，， ∴，， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 10. 已知：如图，，是等腰直角三角形，C，D，E三点在同一条直线上，连接，以下四个结论：①；②；③；④平分．其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法（）及等腰直角三角形角的特征是解题的关键． 证明得出可判断①；求出可判断②；证明，可判断③和④． 【详解】解：①∵， ∴，即， ∵在和中， ， ∴， ∴，故①正确； ②∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故②不正确； ③∵为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故③正确； ④由③得 ∴平分，故④正确， 正确的个数是个， 故选：C． 第Ⅱ卷（非选择题共110分） 二、填空题（本大题共5小题，每题4分，共20分．只要求填写最后结果） 11. 一个车牌号码在水中的倒影如图所示，则该车牌号码为__________． 【答案】FM5379 【解析】 【分析】由题意得所求的牌照与看到的牌照关于水面成轴对称，作出相应图形即可求解． 【详解】解：根据生活经验可知，物体与其在水中的倒影关于水面成轴对称，且关于水面上下对称，因此在倒影的上面画一条水平直线，然后作出倒影关于这条直线成轴对称的图形，如图所示， 故该车牌号码为FM5379． 故答案为：FM5379． 【点睛】解题的关键是熟练掌握轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 12. 2022年冬季奥运会在我国北京举行，奥运健儿们敢于拼搏、善于拼搏，在奥运赛场上展现新时代中国运动员的精神风貌和竞技水平，请你添加一个条件，为奥运健儿设计一只与图1一样的鞋子，已知：，写出可添加的条件并标明依据___________．（三个字母简写理由，写出一种情况即可）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据题意增加条件进行判定即可． 【详解】解：由题意得可以增加的条件为：， 在和中， ， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 13. 如图，在中，点分别是、、的中点．若的面积为，则的面积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根据三角形的中线求面积，熟练掌握利用三角形的中线求面积的方法是解题的关键． 利用三角形的中线将三角形的面积平分，分别求出，，，，的面积，即可求得答案． 【详解】如图，连结， ∵，点是的中点， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵点是的中点， ∴，， ∴． 故答案为：． 14. 如图，一个圆柱形花瓶上下底面圆上有相对的A，B两点，现要用一根金色铁丝装饰花瓶，金色铁丝沿侧面缠绕花瓶一圈，并且经过A，B两点．若花瓶高，底面圆的周长为，则需要金色铁丝的长度最少为 _______． 【答案】40 【解析】 【分析】将圆柱体展开如图，点A为展开图长方形一边的中点，为底面圆周长的一半，再运用勾股定理求出即可得到解答． 本题考查了圆柱体的展开图和勾股定理的应用，准确的计算是解决本题的关键． 【详解】解：将圆柱体展开如图，点A为展开图长方形一边的中点，为底面圆周长的一半， ∴， 在中，， ∴， ∴需要金色铁丝的长度最少为． 故答案为：40． 15. 如图，在中，，平分，，若，，则的长为_________． 【答案】##16厘米 【解析】 【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质和等边三角形的判定与性质，先证明为等边三角形得到，，再根据等腰三角形的性质得到，，然后计算出，从而得到的长，解题时注意：在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半． 【详解】解： ， ， 为等边三角形， ，， ，平分， ，， ∴， ， ， 在中，， ， ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，90分，解答要写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．） 16. 如图，在边长为1的小正方形方格纸中，有一个以格点为顶点的， （1）利用无刻度直尺画，使它与关于直线对称． （2）利用无刻度直尺在直线上作点P，使的值最小． （3）利用无刻度直尺在直线上找一点Q，使点Q到A、B两点的距离相等． 【答案】（1） 如图所示：即为所求． （2） 如图所示：点P即为所求． （3） 如图所示：点Q即为所求． 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的画法、最短路径问题（利用轴对称性质）以及线段垂直平分线的性质．熟练掌握轴对称图形的画法是解题的关键． （1）分别找出点关于直线l的对称点，再依次连接这三个对称点，得到． （2）作点A（或B）关于直线l的对称点，连接该对称点与B（或A），与直线l的交点即为点P，依据是两点之间线段最短． （3）作线段的垂直平分线，与直线l的交点即为点Q，依据是线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 17. 如图，已知和线段a，用尺规作，使，，．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】 如图， 就是所求作的三角形． 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作图．先用尺规作图作出，再截取，然后过点C作的垂线，与相交于点，最后连接即可解答． 【详解】略 18. （教材母题变式）如图①，直角三角形的两条直角边长分别是，斜边长为． （1）用四个这样的直角三角形拼成一大一小两个正方形（如图②）． ①大正方形的边长为________，小正方形的边长为________； ②大正方形的面积可以表示为________，也可以表示为________； ③观察两种表示方法，可得出________，整理得________，从而验证勾股定理； （2）将两个这样的直角三角形按图③所示摆放，使和在一条直线上，连接．请你类比（1）中的方法用图③验证勾股定理． 【答案】（1）①，；②，；③； （2） 解：梯形的面积为，又梯形的面积为， ∴， ∴， 两边同乘得， 整理得，验证了勾股定理． 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的验证，熟练掌握通过图形面积关系验证勾股定理的方法是解题的关键． （1）①通过观察图②，确定大、小正方形的边长；②分别从整体和部分的角度表示大正方形的面积；③根据面积相等得出等式，进而验证勾股定理． （2）计算图③中图形的面积，从不同角度表示后，根据面积相等验证勾股定理． 【小问1详解】 解：①大正方形的边长为，小正方形的边长为． ②大正方形的面积可以表示为，也可以表示为． ③由面积相等可得， 展开得， 整理得． 【小问2详解】 略 19. 如图，在，，平分，平分，，求证：． 【答案】 证明：∵平分，平分， ∴，， ∵在， ∴ ∴， 又∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】此题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质与判定，角平分线的定义，解题的关键是熟知等边对等角及平行线的判定定理． 根据平分∠ABC，平分∠ACB，得出，，由等腰三角形的性质得，从而，再根据，得出，即可证明． 【详解】略 20. 如图，在和中，，，，且点，，在同一直线上，点，在同侧，连接，交于点． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵ ∴ 在和中 ， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法与性质． （1）由可得，再根据即可求证，即可证明结论； （2）由三角形外角的性质可得，，由（1）可得，可得，最后求出结果即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由三角形外角的性质可得：， 由（1）可得， ∴， ∵点，，在同一直线上， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 21. 如图，的边上的高为，中线为边上的高为，已知． （1）求的面积； （2）求的长． 【答案】（1）60 （2）24 【解析】 【分析】本题考查三角形的中线，与三角形的高有关的计算，熟练掌握三角形的中线平分面积，是解题的关键： （1）求出的面积，再根据三角形的中线平分面积求出的面积； （2）利用面积公式求出的长即可． 【小问1详解】 解：∵的边上的高为， ∴， ∵为的中线， ∴； 【小问2详解】 解：∵为的高， ∴， ∴． 22. 如图，在一条东西走向的省级干线公路l的一侧有一村庄P，由P原有两条笔直小路与l相连接，其中，由于某种原因，由P到A的路已经不通，现今该村的乡村产业振兴小组为方便村民运输农产品与出行，争取上级支持新建了一条公路（A，C，B在同一条直线上），测得千米，千米，千米． （1）问是否为从村庄P到公路l的最近路线？请通过计算加以说明： （2）求原来的路线的长． 【答案】（1） 是， 理由是：在中， ，， ， 是直角三角形， ， 是从村庄P到l的最近路； （2）原来的路线PA的长为8.45千米 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，掌握定理内容并正确运用是关键； （1）计算与的值，两者的值相等，则是直角三角形，则 PC是从村庄P到l的最近路； （2）设，则；在中，利用勾股定理建立方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设，则， 在中，， ， 解得：， 答：原来的路线PA的长为8.45千米． 23. 像图1、图2这种“在一条直线上有三个直角顶点”的几何图形，我们一般称其为“一线三垂直”图形，随着几何学习的深入，我们还将对这类图形有更深入的探索．请结合以上阅读，解决下列问题： （1）如图2，在中，，，过点A作直线，于点D，于点E，探索、、之间的数量关系，并证明你的结论． （2）如图3，和都是等腰直角三角形，，，，且点E在上，连接，求证：． （3）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图4，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面的B处接住她后用力一推，爸爸在距地面的C处接住她．若妈妈与爸爸水平距离为，，则秋千悬挂处O与地面的距离为_____．（不必书写解题过程）． 【答案】（1） 解：，理由如下： ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2） 证明：过D作交的延长线于点F，如图： ∵， ∴，， ∴，而， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）米 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质． （1）证明，得到，，即可得到、、之间的数量关系； （2）过D作交的延长线于点F，证明，得到，，进而得到，即可证明； （3）作交于，作交于，证明，得到，进而得到，则，根据得到，得到关于的一元一次方程，求出，进而可求出秋千悬挂处O与地面的距离． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，作交于，作交于，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 即，则， ∵， ∴，则， ∴， ∴， ∴， ∴（米）． 故答案为：米． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期期中质量检测 七年级数学试题 （考试时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1．本试题分第I卷和第Ⅱ卷两部分，第I卷为选择题，40分；第Ⅱ卷为非选择题，110分；全卷共6页． 2．数学试题答题卡共2页．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号等填写在试题和答题卡上，考试结束后上交答题卡． 3．第I卷每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号【ABCD】涂黑．第Ⅱ卷按要求碳素笔答在答题卡的相应位置上． 第I卷（选择题共40分） 一、选择题（本题共10小题，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得4分，不选或选出的答案超过一个均记零分）． 1. 以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 为估计池塘两岸A、B间的距离，杨阳在池塘一侧选取了一点P，测得PA=16m， PB=12m，那么AB间的距离不可能是（ ）． A. 5m B. 15m C. 20m D. 28m 3. 无论在战争年代还是在和平时期，中国人民解放军都是一道坚不可摧的钢铁长城，保卫着祖国的安宁、人民的幸福．如图，某部队战士在射击训练时，手、肘、肩构成托枪三角形，可以在射击过程中保持枪的稳定，其中的数学道理是（ ） A. 两点确定一条直线 B. 三角形具有稳定性 C. 两点之间，线段最短 D. 垂线段最短 4. 下列各图是以直角三角形各边为边在三角形外部画正方形得到的．每个正方形中的数及字母S表示所在正方形的面积，其中S的值恰好等于5的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法是：如图在的边、上分别取，移动尺，使角尺的两边相同的刻度分别与M、N重合，得到的平分线，做法中用到三角形全等判定方法是（ ） A. B. C. D. 7. 有下列条件：①；②；③；④．其中能确定是直角三角形的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点D，E，再分别以点，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的面积是（ ） A. 12 B. 18 C. 24 D. 36 9. 如图，在中，，垂足为点，垂直平分，交于点，交于点，连接，若，的周长为，，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 已知：如图，，是等腰直角三角形，C，D，E三点在同一条直线上，连接，以下四个结论：①；②；③；④平分．其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第Ⅱ卷（非选择题共110分） 二、填空题（本大题共5小题，每题4分，共20分．只要求填写最后结果） 11. 一个车牌号码在水中的倒影如图所示，则该车牌号码为__________． 12. 2022年冬季奥运会在我国北京举行，奥运健儿们敢于拼搏、善于拼搏，在奥运赛场上展现新时代中国运动员的精神风貌和竞技水平，请你添加一个条件，为奥运健儿设计一只与图1一样的鞋子，已知：，写出可添加的条件并标明依据___________．（三个字母简写理由，写出一种情况即可）． 13. 如图，在中，点分别是、、的中点．若的面积为，则的面积为_________． 14. 如图，一个圆柱形花瓶上下底面圆上有相对的A，B两点，现要用一根金色铁丝装饰花瓶，金色铁丝沿侧面缠绕花瓶一圈，并且经过A，B两点．若花瓶高，底面圆的周长为，则需要金色铁丝的长度最少为 _______． 15. 如图，在中，，平分，，若，，则的长为_________． 三、解答题（本大题共8小题，90分，解答要写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．） 16. 如图，在边长为1的小正方形方格纸中，有一个以格点为顶点的， （1）利用无刻度直尺画，使它与关于直线对称． （2）利用无刻度直尺在直线上作点P，使的值最小． （3）利用无刻度直尺在直线上找一点Q，使点Q到A、B两点的距离相等． 17. 如图，已知和线段a，用尺规作，使，，．（不写作法，保留作图痕迹） 18. （教材母题变式）如图①，直角三角形的两条直角边长分别是，斜边长为． （1）用四个这样的直角三角形拼成一大一小两个正方形（如图②）． ①大正方形的边长为________，小正方形的边长为________； ②大正方形的面积可以表示为________，也可以表示为________； ③观察两种表示方法，可得出________，整理得________，从而验证勾股定理； （2）将两个这样的直角三角形按图③所示摆放，使和在一条直线上，连接．请你类比（1）中的方法用图③验证勾股定理． 19. 如图，在，，平分，平分，，求证：． 20. 如图，在和中，，，，且点，，在同一直线上，点，在同侧，连接，交于点． （1）求证：； （2）若，求的度数． 21. 如图，的边上的高为，中线为边上的高为，已知． （1）求的面积； （2）求的长． 22. 如图，在一条东西走向的省级干线公路l的一侧有一村庄P，由P原有两条笔直小路与l相连接，其中，由于某种原因，由P到A的路已经不通，现今该村的乡村产业振兴小组为方便村民运输农产品与出行，争取上级支持新建了一条公路（A，C，B在同一条直线上），测得千米，千米，千米． （1）问是否为从村庄P到公路l的最近路线？请通过计算加以说明： （2）求原来的路线的长． 23. 像图1、图2这种“在一条直线上有三个直角顶点”的几何图形，我们一般称其为“一线三垂直”图形，随着几何学习的深入，我们还将对这类图形有更深入的探索．请结合以上阅读，解决下列问题： （1）如图2，在中，，，过点A作直线，于点D，于点E，探索、、之间的数量关系，并证明你的结论． （2）如图3，和都是等腰直角三角形，，，，且点E在上，连接，求证：． （3）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图4，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面的B处接住她后用力一推，爸爸在距地面的C处接住她．若妈妈与爸爸水平距离为，，则秋千悬挂处O与地面的距离为_____．（不必书写解题过程）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $