精品解析：云南省曲靖市第一中学2026届高三上学期阶段性测试（二）数学试题

2026届高三年级阶段性测试（二） 数学 ★联合命题人：李建宇、华飞龙、张栋、王春燕★ 考生注意： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．本卷命题范围：数列、解三角形、三角函数、其他知识点抽测综合． 4．考试结束后，将本试卷与答题卡一并收回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 符合递推关系式的数列是（ ）． A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 2. 已知向量与共线，则（ ） A. 3 B. 9 C. -3 D. -9 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知一圆锥的轴截面是正三角形，将其侧面展开，得到的扇形的圆心角为（ ） A. B. C. D. 5. 已知的内角，，所对的边分别是，，，若，，则的值为（ ）． A. B. C. D. 6. 已知函数在区间内有极大值，但无极小值，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如果数列对任意的，则称为“速增数列”，若数列为“速增数列”，且任意项，则正整数的最大值为（ ） A. 63 B. 64 C. 65 D. 66 8. 已知是公差为的等差数列，记集合．若，令，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题中不正确的是（ ） A. 回归分析中可用决定系数的值判断模型拟合效果，越趋近于0，模型的拟合效果越好 B. 在经验回归方程中，当解释变量每增加1个单位时，响应变量将平均减少0.3个单位 C. 已知随机变量，若，则 D. 在复平面内，虚轴上的点对应的复数都是纯虚数 10. 下面命题中是真命题的有（ ） A. 中，若，则 B. 若一个扇形所在圆的半径为2，其圆心角为2弧度，则扇形的周长为4 C. 函数的最小值为4 D. 函数在上单调递减，则实数的取值范围为. 11. 已知定义域为的函数f（x）＝的所有单调增区间，从左往右排列可以表示为，，令，且数列的前n项和为，则（ ） A. B. 是递增数列 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 抛物线的准线方程_________． 13. 如图，设M，N为某海边相邻的两座山峰，到海平面的距离分别为 100米，50米.现欲在M、N之间架设高压电网，须计算 M，N之间的距离.勘测人员在海平面上选取一点 ，利用测角仪从P点测得的M，N点的仰角分别为，，并从P点观测到M，N点的视角（即角 ）为，则 M，N之间的距离为________米. 14. 某密码锁的密码由0，1，2，…，9中的三个不重复的数字组成，根据下面三张图片提供的信息，判断这个密码锁的密码为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求函数的周期和其图像的对称轴方程； （2）当时，求的值域． 16. 设等差数列的前项和为，且，. （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 17. 如图，在三棱柱中，平面，，，，D为棱的中点． （1）求证：平面； （2）若E为棱BC的中点，求三棱锥的体积． 18. 在中，角的对边分别为，已知，. （1）求角的值； （2）求的最大值； （3）若边上的中线长为，求的面积. 19. 已知对任意正整数n，都存在n次多项式函数，使得对一切恒成立．例如“，” （1）求； （2）求证：当n为偶数时，不存在函数使得对一切恒成立； （3）求证：当n为奇数时，存在多项式函数使得对一切恒成立，并求其最高次项系数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三年级阶段性测试（二） 数学 ★联合命题人：李建宇、华飞龙、张栋、王春燕★ 考生注意： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．本卷命题范围：数列、解三角形、三角函数、其他知识点抽测综合． 4．考试结束后，将本试卷与答题卡一并收回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 符合递推关系式的数列是（ ）． A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 【答案】B 【解析】 【分析】将各个选项的数代入递推关系即可判断. 【详解】对于A，，不满足题意； 对于C，，不满足题意； 对于D，，不满足题意； 对于B，，，， 满足. 故选：B． 2. 已知向量与共线，则（ ） A. 3 B. 9 C. -3 D. -9 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量共线求得，进而得到. 【详解】因为共线，所以，所以，，所以． 故选：A 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二倍角余弦公式直接求解即可. 【详解】. 故选：A. 4. 已知一圆锥的轴截面是正三角形，将其侧面展开，得到的扇形的圆心角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得出底面圆半径与母线的关系，进而可求出扇形的圆心角. 【详解】设圆锥的底面圆的半径为，则其母线， 则其侧面展开扇形的圆心角. 故选：C. 5. 已知的内角，，所对的边分别是，，，若，，则的值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】借助正弦定理计算即可得. 【详解】由正弦定理可得， 则、， 则. 故选：C. 6. 已知函数在区间内有极大值，但无极小值，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由，可确定，结合正弦函数图象可确定，解不等式即可求得答案. 【详解】因为，所以当时，则有， 因为在区间内有极大值，但无极小值， 结合正弦函数的图象，得，解得， 故选：D 7. 如果数列对任意的，则称为“速增数列”，若数列为“速增数列”，且任意项，则正整数的最大值为（ ） A. 63 B. 64 C. 65 D. 66 【答案】A 【解析】 【分析】通过新定义得到，进而得到，相加，进而可求解； 【详解】因为数列为“速增数列”， ，，且， 所以对，，， 所以，且， 所以， 相加得， 所以，即，， 当时，， 当时，， 故正整数的最大值为. 故选：A 8. 已知是公差为的等差数列，记集合．若，令，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过设定首项并利用三角函数周期性与对称性，分析等差数列对应正弦值的取值个数，进而确定集合的元素，确定正确答案. 【详解】设数列首项为，等差数列公差为，则通项公式为， ，， ，，……， 以此类推，以3为周期循环， 依题意，集合A中仅有两个不同值，则必有其中两项相等， 根据正弦函数的性质可知，相等的两项，对应角的终边关于轴对称， 而等差数列的公差为，则有一项对应角的终边在轴上， 画出符合题意的圆及其内接等边三角形，如下图所示， ， 所以或， 因，故或， 第一种情况：，，，， 第二种情况：，，，， 观察选项，只有在两种情况下均成立，其他选项不恒成立. 故选：C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题中不正确的是（ ） A. 回归分析中可用决定系数的值判断模型拟合效果，越趋近于0，模型的拟合效果越好 B. 在经验回归方程中，当解释变量每增加1个单位时，响应变量将平均减少0.3个单位 C. 已知随机变量，若，则 D. 在复平面内，虚轴上的点对应的复数都是纯虚数 【答案】ACD 【解析】 【分析】由决定指数R的定义和意义即可判断A；由回归方程计算当解释变量每增加1个单位时的差值即可判断B；由二项分布的方差和方差性质即可计算求解判断C；由点即可判断D. 【详解】对于A：在回归分析中，可用决定系数R的值判断模型拟合效果，越趋近于1，模型的拟合效果越好，故A错误； 对于B：在经验回归方程中，因为， 所以当解释变量每增加1个单位时，响应变量将平均减少个单位，故B正确； 对于C：因为，所以， 所以，解得，故C错误； 对于D：点对应实数0，故D错误. 故选：ACD 10. 下面命题中是真命题的有（ ） A. 中，若，则 B. 若一个扇形所在圆的半径为2，其圆心角为2弧度，则扇形的周长为4 C. 函数的最小值为4 D. 函数在上单调递减，则实数的取值范围为. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用正弦定理角化边可判断A，利用扇形公式结合周长可判断B，利用正弦值可能为负数可判断C，利用分段函数单调性可判断D. 【详解】对于A选项，中，若，由正弦定理可得，所以，故A正确； 对于B选项，若一个扇形所在圆的半径为2，其圆心角为2弧度，则扇形的弧长为， 故扇形的周长为，故B错误； 对于C选项，若，则，故C错误； 对于D选项，因为函数在上单调递减，如图所示 所以，解得，故D正确. 故选：AD. 11. 已知定义域为的函数f（x）＝的所有单调增区间，从左往右排列可以表示为，，令，且数列的前n项和为，则（ ） A. B. 是递增数列 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用导数求出函数的单调增区间为，可得，，即，结合单调性可判断A，B选项，利用判断C，求得判断D选项. 【详解】，令＞0，得＞0， 所以，即， 所以当x＞时，f（x）的单调增区间为， 其中，故，， 所以，所以是递增数列，故A错误，B正确； 令，求导可得， 当时，，所以， 所以，所以， 所以，所以， 所以，故C，D均正确. 故选：BCD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 抛物线的准线方程_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用抛物线的标准方程即可求解. 【详解】由抛物线标准方程可得：准线方程为， 故答案为： 13. 如图，设M，N为某海边相邻的两座山峰，到海平面的距离分别为 100米，50米.现欲在M、N之间架设高压电网，须计算 M，N之间的距离.勘测人员在海平面上选取一点 ，利用测角仪从P点测得的M，N点的仰角分别为，，并从P点观测到M，N点的视角（即角 ）为，则 M，N之间的距离为________米. 【答案】 【解析】 【分析】先根据题目条件求出，，再在中，利用余弦定理求出. 【详解】由题意得，，， ， 在中，，在中，， 在中，由余弦定理得 ， 故. 故答案为： 14. 某密码锁的密码由0，1，2，…，9中的三个不重复的数字组成，根据下面三张图片提供的信息，判断这个密码锁的密码为______． 【答案】698 【解析】 【分析】根据题设信息，讨论第一张图片中3、1、8分别号码和位置正确，结合第二、三张图片分析推理密码. 【详解】假设第一张图片中的3号码正确，且位置正确， 则第二张图片中的3也满足号码正确，且位置正确，不符合； 假设第一张图片中的1号码正确，且位置正确， 则从第三张图片可知，剩余的2个号码为8和3，且位置要互换， 故密码锁的密码为318，但此时第一张图片将有3个号码正确，不符合； 假设第一张图片中的8号码正确，且位置正确， 则从第三张图片知，第2个正确号码为6，从第二张图片知，第3个正确号码为7或9， 若正确号码为7，则密码锁的密码为678，此时第二张图片中7号码位置正确，不符合； 若正确号码为9，则密码锁的密码为698，满足所有图片要求； 故这个密码锁的密码为698． 故答案为：698 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求函数的周期和其图像的对称轴方程； （2）当时，求的值域． 【答案】（1）最小正周期为，对称轴为 （2） 【解析】 【分析】(1)由辅助角公式可得，根据得周期，正弦函数的对称轴为，整体代入可求对称轴方程. (2)代入的取值得到，整体代入可得函数值域. 【小问1详解】 ， 所以； 令，解得． 【小问2详解】 因为，所以 从而可知， 因此，故所求值域为． 16. 设等差数列的前项和为，且，. （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由为等差数列，将，代入解出，，从而求出的通项公式； （2）由（1）问，写出的通项公式，然后利用分组求和求出. 【小问1详解】 设等差数列的公差为. 由题意可得 解得，， 则. 【小问2详解】 由（1）可知，则， 故 . 17. 如图，在三棱柱中，平面，，，，D为棱的中点． （1）求证：平面； （2）若E为棱BC的中点，求三棱锥的体积． 【答案】（1） 由题意可知在三棱柱中，，，所以为等边三角形，所以， 又，，故， 可得，因此， 又因为平面，平面，所以，即， 又，所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得为等边三角形，为等腰三角形，进而证得， 再利用线面垂直的性质可得，再利用线面垂直的判定定理即可判定即可证明平面； （2）由（1）可知为直角三角形，求出其面积，连接，以为原点， 所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，可求得向量和平面的法向量， 利用点到平面的距离公式可求得三棱锥对于底面的高，再根据锥体的体积公式即可求得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知,由平面，平面， 所以，则为直角三角形， 由平面，平面，所以，即， 所以在中，, 则在中，, 所以的面积为. 连接，因为，，所以， 因为平面，所以，即两两垂直， 所以以为原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设是平面的一个法向量， 则，解得，取, 所以点到平面的距离, 则三棱锥的体积. 18. 在中，角的对边分别为，已知，. （1）求角的值； （2）求的最大值； （3）若边上的中线长为，求的面积. 【答案】（1） （2）4 （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理得到，再由余弦定理，求得，即可求解； （2）根据正弦定理，得到，，化简得到，进而结合正弦函数的性质即可求解； （3）由（1）得到，再由为边上的中线，利用，得到，联立方程组，求得，结合三角形的面积公式，即可求解. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理可得， 整理可得， 由余弦定理得，所以，所以. 又因为，所以. 【小问2详解】 因为，由正弦定理得， 可得，， 因为，所以， 则， 又，则， 当，即时，取得最大值为. 【小问3详解】 由题意知：， 由（1）知，即， 因为为边上的中线，所以， 两边平方得， 所以， 联立方程组，解得，所以， 所以的面积. 19. 已知对任意正整数n，都存在n次多项式函数，使得对一切恒成立．例如“，” （1）求； （2）求证：当n为偶数时，不存在函数使得对一切恒成立； （3）求证：当n为奇数时，存在多项式函数使得对一切恒成立，并求其最高次项系数． 【答案】（1） （2） n为偶数，假设存在函数使得对一切恒成立， 将带入，有， 注意到，所以， 故对一切恒成立，显然矛盾． 故当n为偶数时，不存在定义在上的函数，使得对一切恒成立． （3） 将代入，有， 记，则， 当时，， 当时，， 即． 故函数，满足题意． 由，可知， 从而对一切恒成立， 设n次多项式最高次项系数为，则， 数列是以公比为2的等比数列， 结合，可知，则， 故n次多项式最高次项系数为． 从而当时，最高次项系数为， 从而当时，最高次项系数为． 【解析】 【分析】（1）根据题意结合余弦函数理解求值； （2）根据诱导公式结合反证法证明； （3）根据三角恒等变换结合等比数列分析证明. 【小问1详解】 ∵， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 故. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛： ①采用“切化弦”“弦化切”来减少函数的种类，做到三角函数名称的统一； ②通过三角恒等变换，化繁为简，便于化简求值； 基本思路：找差异，化同名(同角)，化简求值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $