4.1.2 指数函数的性质与图像学案-2025-2026学年高一上学期数学人教B版必修第二册

该高中数学导学案聚焦指数函数的性质与图像，涵盖定义、定义域、值域、单调性等核心知识点，通过自我检测巩固基础，以探究题串联解析式求解、定义域值域分析、图像应用等内容，构建从概念到应用的学习支架，衔接紧密。 资料设置“规律方法”提炼思维路径，题型包含判断、选择、解答题，覆盖不同能力层次，结合图像分析培养几何直观，探究题引导主动推理，巩固提升分基础、能力、拓展层，助力培养数学抽象、逻辑推理与应用意识，适合学生自主学习及教师教学评估。

指数函数的性质与图像 一、指数函数 （1）一般地，函数y=ax称为指数函数，其中a是常数，a>0且a≠1． （2）指数函数y=ax（a>0且a≠1）具有下列性质： ①定义域是R． ②值域是（0，+∞），即对任何实数x，都有ax>0，也就是说函数图像一定在x轴的上方． ③函数图像一定过点（0，1）． ④当a>1时，y=ax是增函数；当0<a<1时，y=ax是减函数． ⑤指数函数的图像． [名师点拨] 底数a与1的大小关系决定了指数函数图像的“升”与“降”．当a＞1时，指数函数的图像是“上升”的；当0＜a＜1时，指数函数的图像是“下降”的． 【自我检测】 1．判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）y=x2是指数函数．（　　） （2）指数函数y=ax中，a可以为负数．（　　） （3）指数函数的图像一定在x轴的上方．（　　） 2．函数y=（-1）x在R上是（　　） A．增函数 B．奇函数 C．偶函数 D．减函数 3．函数y=2-x的图像是（　　） 4．函数f（x）=2x+3的值域为________． 探究一、求指数函数的解析式 1．已知指数函数f（x）的图像过点（3，π），求函数f（x）的解析式． 2．已知指数函数y=（2b-3）ax经过点（1，2），求a，b的值． 探究二、指数型函数的定义域、值域问题 命题角度一：y=f（ax）型 3．求下列函数的定义域和值域． （1）y=；（2）y=4x-2x+1． [规律方法] 解此类题的要点是设ax=t，利用指数函数的性质求出t的范围．从而把问题转化为y=f（t）的问题． 4．求下列函数的定义域与值域． （1）y=； （2）y=（a>0，且a≠1）． 5．求函数y=的定义域与值域． [规律方法] y=af（x）的定义域即f（x）的定义域，求y=af（x）的值域可先求f（x）的值域，再利用y=at的单调性结合t=f（x）的范围求y=at的范围． 6．求下列函数的定义域与值域： （1）y=0．3；（2）y=3． 探究三、指数函数图像的应用 命题角度一：指数函数整体图像 7．在如图所示的图像中，二次函数y=ax2+bx+c与函数y=的图像可能是（　　） 【总结升华】 函数y=ax的图像主要取决于0<a<1还是a>1．但前提是a>0且a≠1．此题主要考虑二次函数的系数与指数函数底数大小关系． 1．已知函数f（x）=4+ax+1的图像经过定点P，则点P的坐标是（　　） A．（-1，5） B．（-1，4） C．（0，4） D．（4，0） 命题角度二：指数函数局部图像 2．若直线y=2a与函数y=|2x-1|的图像有两个公共点，求实数a的取值范围． [规律方法] 指数函数是一种基本初等函数，与其他函数一起可以衍生出很多函数，体现了指数函数图像的“原料”作用．此题目考查图像变换，同时要注意指数函数中的“渐近线”对交点个数的影响． 3．函数y=a|x|（a>1）的图像是（　　） 4．下列各函数中，是指数函数的是（　　） A．y=（-3）x B．y=-3x C．y=3x-1 D．y= 5．若函数y=（2a-1）x（x是自变量）是指数函数，则a的取值范围是（　　） A．a>0，且a≠1 B．a≥0，且a≠1 C．a>，且a≠1 D．a≥ 6．函数y=3-x2的值域是（　　） A．（0，+∞） B．（-∞，0] C．（0，1] D．[-1，0） 7．函数f（x）=ax-b的图像如图所示，其中a，b均为常数，则下列结论正确的是（　　） A．a>1，b<0 B．a>1，b>0 C．0<a<1，b>0 D．0<a<1，b<0 8．函数f（x）=+的定义域为（　　） A．（-3，0] B．（-3，1] C．（-∞，-3）∪（-3，0] D．（-∞，-3）∪（-3，1] 【巩固提升】 [A基础达标] 1．下列函数中，指数函数的个数为（　　） ①y=；②y=ax（a>0，且a≠1）；③y=1x； ④y=-1． A．0 B．1 C．3 D．4 2．函数y=的定义域是（　　） A．（-∞，0） B．（-∞，0] C．[0，+∞） D．（0，+∞） 3．当a＞0，且a≠1时，函数f（x）=ax+1-1的图像一定过点（　　） A．（0，1） B．（0，-1） C．（-1，0） D．（1，0） 4．函数f（x）=ax与g（x）=-x+a的图像大致是（　　） 5．指数函数y=ax与y=bx的图像如图，则（　　） A．a＜0，b＜0 B．a＜0，b＞0 C．0＜a＜1，b＞1 D．0＜a＜1，0＜b＜1 6．若函数f（x）=（a2-2a+2）（a+1）x是指数函数，则a=________． 7．已知函数f（x）=ax+b（a＞0，且a≠1）经过点（-1，5），（0，4），则f（-2）的值为________． 8．若函数f（x）=则函数f（x）的值域是________． 9．求下列函数的定义域和值域： （1）y=2-1；（2）y=． 10．已知函数f（x）=ax-1（x≥0）的图像经过点，其中a＞0且a≠1． （1）求a的值； （2）求函数y=f（x）（x≥0）的值域． [B能力提升] 11．函数y=的值域是（　　） A．[0，+∞） B．[0，4] C．[0，4） D．（0，4） 12．函数y=2-1的定义域、值域分别是（　　） A．R，（0，+∞） B．{x|x≠0}，{y|y＞-1} C．{x|x≠0}，{y|y＞-1，且y≠1} D．{x|x≠0}，{y|y＞-1，且y≠0} 13．已知函数f（x）=-1． （1）作出f（x）的简图； （2）若关于x的方程f（x）=3m有两个解，求m的取值范围． 13．解：（1）f（x）=如图所示． （2）作出直线y=3m，当-1＜3m＜0时，即-＜m＜0时，函数y=f（x）与y=3m有两个交点，即关于x的方程f（x）=3m有两个解． [C拓展探究] 14．已知-1≤x≤2，求函数f（x）=3+2×3x+1-9x的最大值和最小值． 一、自我检测 1．判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）函数是指数函数．（　　） （2）函数是指数函数．（　　） （3）函数是指数函数．（　　） 2．（2019·南昌检测）如果指数函数f（x）=（a-1）x是R上的减函数，那么实数a的取值范围是（　　） A．a<2 B．a>2 C．1<a<2 D．0<a<1 3．（2019·吉林省实验中学期中）已知集合A={x|x<3}，B={x|2x>4}，则A∩B=（　　） A．∅ B．{x|0<x<3} C．{x|1<x<3} D．{x|2<x<3} 4．已知a>0，且a≠1，若函数f（x）=2ax-4在区间[-1，2]上的最大值为10，则a=________． 探究一、解指数方程 1．解下列关于x的方程： （1）81×32x=； （2）22x+2+3×2x-1=0． [规律方法] （1）型方程通常化为同底来解． （2）解指数方程时常用换元法，用换元法时要特别注意“元”的范围．转化为二次方程求解时，要注意二次方程根的取舍． 2．解下列方程． （1）33x-2=81； （2）=； （3）52x-6×5x+5=0． 探究二、指数函数单调性的应用 命题角度一：比较大小 3．比较下列各题中两个值的大小： （1）1.7-2.5，1.7-3；（2）1.70.3，1.50.3；（3）1.70.3，0.83.1． [规律方法] 当两个指数底数相同时，利用指数函数的单调性直接比较大小；当两个数不能利用同一函数的单调性作比较时，可考虑引入中间量，常用的中间量有0和±1． 4．比较下列各题中两个值的大小． （1）0．8-0．1，1．250．2；（2），1． 命题角度二：解指数不等式 5．解关于x的不等式：a2x+1≤ax-5（a>0，且a≠1）． [规律方法] 解指数不等式的基本方法是先化为同底指数式，再利用指数函数单调性化为常规的不等式来解，注意底数对不等号方向的影响． 6．已知（a2+a+2）x>（a2+a+2）1-x，则x的取值范围是________． 命题角度三：与指数函数复合的单调性问题 7．（1）求函数y=的单调区间； （2）求函数y=-8·+17的单调区间． [规律方法] 复合函数单调性问题归根结底是由x1<x2到f（x1）与f（x2）的大小，再到g（f（x1））与g（f（x2））的大小关系问题，即当两个函数单调性相同时，复合后函数为增函数；当两个函数单调性相反时，复合后函数为减函数． 8．求下列函数的单调区间． （1）； （2）． 【达标测评】 1．若，，则a，b，c的大小关系是（　　） A．a＞b＞c B．a＜b＜c C．a＜c＜b D．b＜c＜a 2．方程42x-1=16的解是（　　） A．x=- B．x= C．x=1 D．x=2 3．函数f（x）=的单调递增区间为（　　） A．（-∞，0] B．[0，+∞） C．（-1，+∞） D．（-∞，-1） 4．设0＜a＜1，则关于x的不等式3的解集为________． 【参考答案】 【自我检测】 1．答案：（1）×（2）×（3）√ 2．答案：D 3．答案：B 4．答案：（3，+∞） 探究一、求指数函数的解析式 1．【解】设f（x）=ax，将点（3，π）代入，得到f（3）=π， 即a3=π，解得，所以 [规律方法] 根据指数函数的定义，a是一个常数，ax的系数为1，且a>0，a≠1．指数位置是x，其系数也为1，凡是不符合这些要求的都不是指数函数． 要求指数函数f（x）=ax（a>0且a≠1）的解析式，只需要求出a的值，要求a的值，只需一个已知条件即可． 2．解：由指数函数定义可知2b-3=1，即b=2． 将点（1，2）代入y=ax，得a=2． 3．【解】（1）函数y=的定义域为R（因为对一切x∈R，3x≠-1）． 因为y==1-， 又因为3x>0，1+3x>1， 所以0<<1，所以-1<-<0， 所以0<1-<1，所以y=的值域为（0，1）． （2）定义域为R，y=（2x）2-2x+1=+， 因为2x>0，所以当2x=时，即x=-1时，y取最小值， 所以y=4x-2x+1的值域为． 4．解：（1）因为1-≥0，所以≤1，解得x≥0， 所以y=的定义域为[0，+∞）． 令t=1-（x≥0），则0≤t<1，所以0≤<1， 所以y=的值域为[0，1）． （2）y=的定义域为R． 法一：设ax=t，则t∈（0，+∞）． y===1-． 因为t>0，所以t+1>1， 所以0<<1，所以-2<<0， 所以-1<1-<1． 即y=的值域为（-1，1）． 法二：由y=（a>0，且a≠1），得ax=-． 因为ax>0，所以->0，所以-1<y<1． 所以y=的值域是（-1，1）． 命题角度二：y=af（x）型 5．【解】要使函数有意义， 则x应满足32x-1-≥0，即32x-1≥3-2． 因为y=3x在R上是增函数，所以2x-1≥-2，解得x≥-． 故所求函数的定义域为． 当x∈时，32x-1∈． 所以32x-1-∈[0，+∞）．所以原函数的值域为[0，+∞）． 6．解：（1）由x-1≠0，得x≠1， 所以所求函数的定义域为{x|x≠1}． 由≠0，得y≠1， 所以所求函数的值域为{y|y>0且y≠1}． （2）由5x-1≥0，得x≥， 所以所求函数的定义域为． 由≥0，得y≥1，所以所求函数的值域为{y|y≥1}． 探究三、指数函数图像的应用 7．【解析】根据选项中二次函数图像可知c=0， 所以二次函数y=ax2+bx，因为>0， 所以二次函数的对称轴为x=-<0， 排除B、D． 对于A，C，都有0<<1，所以-<-<0，C不符合． 故选A． 【答案】A 【总结升华】 1．解析：选A．当x+1=0，即x=-1时，ax+1=a0=1，为常数，此时f（x）=4+1=5．即点P的坐标为（-1，5）． 2．【解】y=|2x-1|= 图像如图： 由图可知，要使直线y=2a与函数y=|2x-1|的图像有两个公共点， 需0<2a<1，即0<a<． 3．解析：选B．函数y=a|x|是偶函数，当x>0时，y=ax．由已知a>1，故选B． 4．答案：D 5．答案：C 6．答案：C 7．答案：D 8．解析：选A．由题意，自变量x应满足 解得-3<x≤0． 【巩固提升】 [A基础达标] 1．解析：选B．由指数函数的定义可判定，只有②正确． 2．解析：选C．由2x-1≥0，得2x≥20，所以x≥0． 3．解析：选C．当x=-1时，显然f（x）=0，因此图像必过点（-1，0）． 4．解析：选A．因为g（x）=-x+a的斜率为-1，所以g（x）=-x+a在定义域内单调递减，所以C、D选项错误．当a＞1时，函数f（x）=ax单调递增，当x=0时，g（0）=a＞1，此时两函数的图像大致为选项A． 5．解析：选C．由图像知，函数y=ax在R上单调递减，故0＜a＜1；函数y=bx在R上单调递增，故b＞1． 6．解析：由指数函数的定义得解得a=1． 答案：1 7．解析：由已知得解得 所以f（x）=+3，所以f（-2）=+3=4+3=7． 答案：7 8．解析：由x＜0，得0＜2x＜1；由x＞0，所以-x＜0，0＜2-x＜1，所以-1＜-2-x＜0．所以函数f（x）的值域为（-1，0）∪（0，1）． 答案：（-1，0）∪（0，1） 9．解：（1）要使y=2-1有意义，需x≠0，则2＞0且2≠1，故2-1＞-1且2-1≠0，故函数y=2-1的定义域为{x|x≠0}，函数y=2-1的值域为（-1，0）∪（0，+∞）． （2）函数y=的定义域为实数集R，由于2x2≥0，则2x2-2≥-2，故0＜≤9，所以函数y=的值域为（0，9]． 10．解：（1）函数图像经过点，所以a2-1=，则a=． （2）由（1）知f（x）=（x≥0），由x≥0，得x-1≥-1．于是0＜≤=2，所以函数的值域为（0，2]． [B能力提升] 11．解析：选C．要使函数式有意义，则16-4x≥0．又因为4x＞0，所以0≤16-4x＜16，即函数y=的值域为[0，4）． 12．解析：选C．要使y=2-1有意义，只需有意义，即x≠0．若令u==1-，则可知u≠1，所以y≠21-1=1．又因为y=2-1＞0-1=-1，所以函数y=2-1的定义域为{x|x≠0}，值域为{y|y＞-1，且y≠1}． 13．解：（1）f（x）=如图所示． （2）作出直线y=3m，当-1＜3m＜0时，即-＜m＜0时，函数y=f（x）与y=3m有两个交点，即关于x的方程f（x）=3m有两个解． [C拓展探究] 14．解：设t=3x，因为-1≤x≤2，所以≤t≤9，则f（x）=g（t）=-（t-3）2+12，故当t=3，即x=1时，f（x）取得最大值12；当t=9，即x=2时，f（x）取得最小值-24． 【第2课时】 一、自我检测 1．答案：（1）×（2）×（3）× 2．解析：选C．由题意知0<a-1<1，即1<a<2． 3．解析：选D．因为函数y=2x是增函数，所以B={x|2x>4}={x|x>2}，故A∩B={x|2<x<3}． 4．解析：若a>1，则函数y=ax在区间[-1，2]上是递增的，当x=2时，f（x）取得最大值f（2）=2a2-4=10，即a2=7，又a>1，所以a=． 若0<a<1，则函数y=ax在区间[-1，2]上是递减的，当x=-1时，f（x）取得最大值f（-1）=2a-1-4=10，所以a=．综上所述，a的值为或． 答案：或 探究一、解指数方程 1．【解】（1）因为81×32x=， 所以32x+4=3-2（x+2），所以2x+4=-2（x+2），所以x=-2． （2）因为22x+2+3×2x-1=0， 所以4×（2x）2+3×2x-1=0． 令t=2x（t＞0），则方程可化为4t2+3t-1=0， 解得t=或t=-1（舍去）． 所以2x=，解得x=-2． 2．解：（1）因为81=34，所以33x-2=34， 所以3x-2=4，解得x=2． （2）因为=，所以5=5， 所以=，解得x=． （3）令t=5x，则t>0， 原方程可化为t2-6t+5=0， 解得t=5或t=1，即5x=5或5x=1， 所以x=1或x=0． 探究二、指数函数单调性的应用 3．【解】（1）因为1．7＞1， 所以y=1．7x在（-∞，+∞）上是增函数． 因为-2．5＞-3，所以1．7-2．5＞1．7-3． （2）法一：因为1．7＞1．5，所以在（0，+∞）上，y=1．7x的图像位于y=1．5x的图像的上方． 而0．3＞0，所以1．70．3＞1．50．3． 法二：因为1．50．3＞0，且=， 又＞1，0．3＞0，所以＞1， 所以1．70．3＞1．50．3． （3）因为1．70．3＞1．70=1，0．83．1＜0．80=1， 所以1．70．3＞0．83．1． 4．解：（1）因为0＜0．8＜1，所以y=0．8x在R上是减函数． 因为-0．2＜-0．1，所以0．8-0．2=1．250．2＞0．8-0．1， 即0．8-0．1＜1．250．2． （2）因为0＜＜1，所以函数y=在R上是减函数． 又因为-π＜0，所以＞=1， 即＞1． 5．【解】（1）当0<a<1时，因为a2x+1≤ax-5， 所以2x+1≥x-5，解得x≥-6． （2）当a>1时，因为a2x+1≤ax-5， 所以2x+1≤x-5，解得x≤-6． 综上所述，当0<a<1时，不等式的解集为{x|x≥-6}；当a>1时，不等式的解集为{x|x≤-6}． 6．解析：因为a2+a+2=+>1， 所以（a2+a+2）x>（a2+a+2）1-x⇔x>1-x⇔x>． 所以x∈． 答案： 7．【解】（1）y=的定义域为R． 在（-∞，3]上，y=x2-6x+17是减函数， 所以y=在（-∞，3]上是增函数． 在上，是增函数， 所以在上是减函数． 所以的增区间是，减区间是． （2）设，又在上单调递减，在上单调递增． 令≤4，得x≥-2． 所以当时，， 即4≥t1>t2，所以t-8t1+17<t-8t2+17． 所以y=-8·+17的单调增区间是[-2，+∞）． 同理可得减区间是（-∞，-2）． 8．解：（1）设，，由，得u在（-∞，-1]上为减函数，在（-1，+∞）上为增函数． 当a>1时，y关于u为增函数； 当0<a<1时，y关于u为减函数， 所以当a>1时，原函数的增区间为（-1，+∞），减区间为（-∞，-1]； 当0<a<1时，原函数的增区间为（-∞，-1]，减区间为（-1，+∞）． （2）已知函数y=的定义域为{x|x≠0}． 设y=，u=0．2x，易知u=0．2x为减函数． 而根据y=的图像可知在区间（-∞，1）和（1，+∞）上，y是关于u的减函数，所以原函数的增区间为（-∞，0）和（0，+∞）． 【达标测评】 1．解析：选B．因为y=0．5x在R上是减函数，且＞＞， 所以． 2．解析：选B．42x-1=42，所以2x-1=2，x=． 3．解析：选A．因为f（x）=，0<<1，所以f（x）的单调递增区间为u（x）=x2-1的单调递减区间，即（-∞，0]． 4．解析：因为0＜a＜1，所以y=ax在R上是减函数， 又因为， 所以2x2-3x+2＜2x2+2x-3，解得x＞1． 答案：（1，+∞） 18 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $