精品解析：浙江省嘉兴市秀洲中学初中部2025-2026学年上学期期中考试九年级数学试题卷

嘉兴市秀州中学初中部2025第一学期期中监测试卷 九年级数学学科 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列事件中，属于随机事件的是（ ） A. 农历每月出现一次满月 B. 小明打开电视刚好播放动画片 C. 杭州是浙江省的省会 D. 一个人跑完1000米所用的时间恰好为1分钟 2. 二次函数的图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 某路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当小明到达该路口时，遇到绿灯的概率是（　　） A. B. C. D. 4. 将抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位，所得抛物线表达式为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，点在⊙O上，，弧的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是的直径，为弦，于，则下列结论中不成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点C的坐标为．以为边作矩形，若将矩形绕点O顺时针旋转，得到矩形，则点的坐标为（ ） A B. C. D. 8. 如图，是半圆的直径，半径的中垂线交于点，连结，则下列结论错误的是（　　） A. B. C. D. 9. 点在二次函数的图象上，小明在探究取不同值，点的存在性问题时，得到如下三个结论： ①当时，点个数为0； ②当时，点的个数为1； ③当时，点的个数为2． 下列判断正确的是（ ） A. ①错，②③对 B. ①对，②③都错 C. ①②对，③错 D. ①②③对 10. 已知二次函数的图象上有四个点：，，其中，则下列结论一定不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 一个布袋里装有3个红球、3个白球和6个黄球，它们除颜色外都相同．从中任意摸出1个球，摸到红球的概率是 __________________． 12. 如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10，OE＝6，则AB＝_______． 13. 已知，点A（﹣1，y1），B（﹣0.5，y2），C（4，y3）都在二次函数y＝ax2﹣2ax﹣1（a＞0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是_____． 14. 已知二次函数与一次函数的图象相交于点，．如图所示，则能使成立的x的取值范围是________． 15. 如图，为的直径，是上一点，以为圆心，适当长为半径作弧交直径所在的直线于点C，D；分别以C，D为圆心，大于长为半径作弧两弧交于点；连结并延长交于点，交于点；以为圆心，长为半径作弧交于点，连结．若，，则的半径长是__________． 16. 如图，已知四边形内接于，延长，交于点．若，，则圆的半径为_______． 三、解答题（本题有8小题，第17-22题每题6分，第23、24题每题8分，共52分） 17. 已知函数． （1）若点在此函数图象上，求该二次函数表达式及函数图象的开口方向； （2）在（1）的条件下，判断点是否在此函数图象上． 18. 有同型号的，两把锁和同型号的，，三把钥匙，其中钥匙只能打开锁，钥匙只能打开锁，钥匙不能打开这两把锁． （1）从三把钥匙中随机取出一把钥匙，取出钥匙的概率等于___________； （2）从两把锁中随机取出一把锁，从三把钥匙中随机取出一把钥匙，求取出钥匙恰好能打开取出的锁的概率． 19. 已知二次函数． （1）将化成的形式； （2）写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． （3）当时，直接写出函数y的取值范围； 20. 如图，在网格中按要求作图． （1）在图1中以点A为旋转中心，作绕点A顺时针旋转后得到的； （2）在图2中用无刻度的直尺作出的外心O．（保留作图痕迹） 21. 如图，A，B，C，D是半径为5的上的点，． （1）求证． （2）若E为的中点，求的长． 22. 某文具店出售一种新上市的文具，每套进价为20元，在销售过程中发现，当销售单价为25元时，日销售量为250套，销售单价每上涨1元，日销售量就减少10套． （1）设日销售量为y套，销售单价为x元，则_______（用含x的代数式表示） （2）设销售该文具的日利润为w元，求销售单价为多少元时，当日的利润最大，最大利润是多少？ 23. 如图1，点，，都在上，且平分，交于点． （1）求证：是等腰三角形． （2）如图2，是的直径，与相交于点． ①若，，求的半径． ②若于点，试探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 24. 已知二次函数（为常数）图象经过点． （1）求的值． （2）若二次函数图象经过点，求的最小值． （3）若二次函数在时，，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 嘉兴市秀州中学初中部2025第一学期期中监测试卷 九年级数学学科 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列事件中，属于随机事件的是（ ） A. 农历每月出现一次满月 B 小明打开电视刚好播放动画片 C. 杭州是浙江省省会 D. 一个人跑完1000米所用的时间恰好为1分钟 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是随机事件，熟知在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件是解题的关键． 根据随机事件的定义解答即可． 【详解】解：A、农历每月出现一次满月是必然事件，不符合题意； B、小明打开电视刚好播放动画片是随机事件，符合题意； C、杭州是浙江省的省会是必然事件，不符合题意； D、一个人跑完1000米所用的时间恰好为1分钟是不可能事件，不符合题意， 故选：B． 2. 二次函数的图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，根据顶点式可直接写出顶点坐标． 【详解】解：∵， ∴二次函数的图象的顶点坐标为， 故选：C． 3. 某路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当小明到达该路口时，遇到绿灯的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】随机事件A的概率事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数． 【详解】解：每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒， 当小明到达该路口时，遇到绿灯的概率， 故选D． 【点睛】本题考查了概率，熟练掌握概率公式是解题的关键． 4. 将抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位，所得抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移变化，熟练掌握平移的规则：左加右减，上加下减，是解题的关键． 【详解】解：将抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位，所得抛物线的表达式为：． 故选：B． 5. 如图，点在⊙O上，，弧的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆周角定理可求解∠AOB=2∠ACB，进而可求解弧AB的度数． 【详解】解：∵∠ACB=40°， ∴∠AOB=2∠ACB=80°， ∴弧AB的度数为80°， 故选：A． 【点睛】本题主要考查圆周角定理，圆心角，弦，弧的关系，求解∠AOB的度数是解题的关键． 6. 如图，是的直径，为弦，于，则下列结论中不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据垂径定理，直径所对的圆周角是直角，以及同弧所对的圆周角相等，即可判断． 【详解】解：A、根据同弧所对的圆周角相等，得到，故该选项成立； B、根据直径所对的圆周角是直角即可得到，故该选项成立； C、∵，而是直角三角形，则，则该项不成立； D、是的直径，为弦，于．．故D成立； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了垂径定理的基本内容，以及直径所对的圆周角是直角，难度不大. 7. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点C的坐标为．以为边作矩形，若将矩形绕点O顺时针旋转，得到矩形，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，矩形的性质等等，先根据题意得到，再由矩形的性质可得，由旋转的性质可得，，据此可得答案． 【详解】解：∵点A的坐标为，点C的坐标为， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵将矩形绕点O顺时针旋转，得到矩形， ∴，， ∴轴， ∴点的坐标为， 故选：C． 8. 如图，是半圆的直径，半径的中垂线交于点，连结，则下列结论错误的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，找中点F，连接和，则，结合等腰三角形的性质得，结合圆的内接四边形得，即可判断A正确；根据题意得，则可得，则，可判定B正确；由，得，则，可判断C正确；由得，利用三角形三边关系得，即可得，故D错误． 【详解】解：连接，找中点F，连接和，如图， 则， ∵， ∴， ∴， ∵四边形为圆的内接四边形， ∴， 则，故A正确； ∵的中垂线交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， 则，故B正确； ∵， ∴， 则，故C正确； ∵， ∴， 在中，， ∴， 则，故D错误； 故选:D． 【点睛】本题主要考查圆的基本性质，涉及内接四边形、同弧所对圆周角相等、等边三角形的判定和性质和三角形三边关系的应用，解题的关键是熟悉圆的性质和等边三角形的性质． 9. 点在二次函数的图象上，小明在探究取不同值，点的存在性问题时，得到如下三个结论： ①当时，点的个数为0； ②当时，点的个数为1； ③当时，点的个数为2． 下列判断正确的是（ ） A. ①错，②③对 B. ①对，②③都错 C. ①②对，③错 D. ①②③对 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象性质，判别式的应用，根据点在二次函数的图象上，得出，再求出判别式的值，即可作答． 【详解】解：∵点在二次函数的图象上， ∴， 即， ∴， 当时，则，此时无实数根， 即当时，点的个数为0； 故①是正确的； ②当时，则，此时有一个实数根， 即当时，点的个数为1； 故②是正确的； ③当时，则，此时有两个不相等的实数根， 即当时，点的个数为2． 故③是正确的； 故选：D． 10. 已知二次函数的图象上有四个点：，，其中，则下列结论一定不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，已知抛物线上对称的两点求对称轴，不等式的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先求出对称轴，再根据或来判断出对称轴在轴的负半轴，再结合抛物线上对称的两点表示出对称轴，结合开口方向进行分析，即可作答． 【详解】解：∵， ∴对称轴为直线， 当时，则， ∴， 此时对称轴在轴的负半轴，抛物线的开口方向向上， ∴越靠近对称轴的所对应的函数值越小， ∵，， ∴点与点关于对称轴对称，点C与点D关于对称轴对称， ∴， ∴， 即，故A选项不符合题意； ∵，越靠近对称轴的所对应的函数值越小， ∴或或或， 故B选项不符合题意； 当时，则， ∴， 此时对称轴在轴的负半轴，抛物线的开口方向向下， ∴越靠近对称轴的所对应的函数值越大， ∵，， ∴点与点关于对称轴对称，点C与点D关于对称轴对称， ∴， ∴， 即，故C选项不符合题意； ∵，越靠近对称轴的所对应的函数值越大， ∴或或或， 故D选项符合题意； 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 一个布袋里装有3个红球、3个白球和6个黄球，它们除颜色外都相同．从中任意摸出1个球，摸到红球的概率是 __________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根据概率公式计算概率，熟练掌握概率公式是解题的关键：随机事件A的概率事件A可能出现的结果数所有可能出现的结果数． 用红球的个数除以球的总数量即可得解． 【详解】解：∵一个布袋里装有3个红球、3个白球和6个黄球，共12个， ∴从中任意摸出1个球，摸到红球的概率是， 故答案为：． 12. 如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10，OE＝6，则AB＝_______． 【答案】16 【解析】 【分析】连接，由垂径定理可得，在中利用勾股定理即可求得的长，进而求得． 【详解】解：连接， ∵OE⊥AB于E， ∴， 在中，，OE＝6， ∴， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，构造直角三角形是解题的关键． 13. 已知，点A（﹣1，y1），B（﹣0.5，y2），C（4，y3）都在二次函数y＝ax2﹣2ax﹣1（a＞0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是_____． 【答案】＜＜ 【解析】 【分析】由抛物线为： 可得抛物线的对称轴为： 而＞抛物线的开口向上，可得当＜时，随的增大而减少，由点与点关于对称，而＜＜，从而可得答案． 【详解】解： 抛物线为： 抛物线的对称轴为： 而＞抛物线的开口向上， 当＜时，随的增大而减少， 点与点关于对称， 而＜＜， ＜＜， 故答案为：＜＜． 【点睛】本题考查的是二次函数的增减性，掌握二次函数的图像与增减性是解题的关键． 14. 已知二次函数与一次函数的图象相交于点，．如图所示，则能使成立的x的取值范围是________． 【答案】或 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数与不等式．根据函数图象找到二次函数图象在一次函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数与一次函数的交点横坐标分别为， ∴使成立的的取值范围为或， 故答案为：或． 15. 如图，为的直径，是上一点，以为圆心，适当长为半径作弧交直径所在的直线于点C，D；分别以C，D为圆心，大于长为半径作弧两弧交于点；连结并延长交于点，交于点；以为圆心，长为半径作弧交于点，连结．若，，则的半径长是__________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查垂直作图，垂径定理，勾股定理的运用，因式分解求一元二次方程，掌握垂径定理与勾股定的综合，解一元二次方程的方法是解题的关键，根据题意可得，如图所示，连接，设的半径为，，则，在中，运用勾股定理可得，则有，由为的直径，得，在中，再次利用勾股定理得到，代入整理得：，利用因式分解求一元二次方程即可求解． 【详解】解：根据作图可得， ∴， 如图所示，连接， 设的半径为， ∴，则， ∴， 在中，， ∴， ∵以为圆心，长为半径作弧交于点， ∴， ∵为的直径， ∴， 在中，， ∴， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去） ∴的半径为6． 故答案为：． 16. 如图，已知四边形内接于，延长，交于点．若，，则圆的半径为_______． 【答案】7 【解析】 【分析】过点A作，交于点E，连接，由题意易得，则有是等边三角形，，过点E作于点H，然后可得，，进而根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：过点A作，交于点E，连接，如图所示： ∴，， ∴， ∵， ∴是等边三角形，， ∴， 过点E作于点H， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即圆半径为7； 故答案为7． 【点睛】本题主要考查平行线的性质、圆周角的性质、等边三角形的性质与判定、勾股定理及含30度直角三角形的性质，熟练掌握平行线的性质、圆周角的性质、等边三角形的性质与判定、勾股定理及含30度直角三角形的性质是解题的关键． 三、解答题（本题有8小题，第17-22题每题6分，第23、24题每题8分，共52分） 17. 已知函数． （1）若点在此函数图象上，求该二次函数表达式及函数图象的开口方向； （2）在（1）的条件下，判断点是否在此函数图象上． 【答案】（1）；函数图象的开口向下 （2）不此函数图象上 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求解析式； （1）依据题意，由点在函数图象上，从而，求出可得解析，可以判断开口方向得解； （2）依据题意，由抛物线为，从而当时，，进而可以判断点不在此函数图象上，故可得解． 【小问1详解】 解：（1）由题意，点在函数图象上， ． ． 函数为． ∴函数图象的开口向下． 【小问2详解】 由题意，抛物线为， 当时，． 点不在此函数图象上． 18. 有同型号的，两把锁和同型号的，，三把钥匙，其中钥匙只能打开锁，钥匙只能打开锁，钥匙不能打开这两把锁． （1）从三把钥匙中随机取出一把钥匙，取出钥匙的概率等于___________； （2）从两把锁中随机取出一把锁，从三把钥匙中随机取出一把钥匙，求取出的钥匙恰好能打开取出的锁的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图求概率即可求解． 【小问1详解】 解：共有三把钥匙，取出钥匙的概率等于； 故答案为：． 【小问2详解】 解：据题意，可以画出如下的树状图： 由树状图知，所有可能出现的结果共有种，这些结果出现的可能性相等． 其中取出的钥匙恰好能打开取出的锁(记为事件)的结果有种． ∴． 【点睛】本题考查的是根据概率公式求概率，用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 19. 已知二次函数． （1）将化成的形式； （2）写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． （3）当时，直接写出函数y的取值范围； 【答案】（1） （2）开口向上，对称轴为直线，顶点 （3）y的取值范围． 【解析】 【分析】（1）用配方法将表达式化为顶点式即可 （2）利用（1）得到的顶点式即可求解 （3）利用开口方向和对称轴及自变量的取值即可求得y的取值范围 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 由（1）知，且， ∴开口向上，对称轴为直线，顶点 【小问3详解】 当时，，且顶点为：， ∴当时，函数y的取值范围为： 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解决问题的关键 20. 如图，在网格中按要求作图． （1）在图1中以点A为旋转中心，作绕点A顺时针旋转后得到的； （2）在图2中用无刻度的直尺作出的外心O．（保留作图痕迹） 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查作图旋转变换、三角形的外接圆与外心，熟练掌握旋转的性质、三角形的外心的定义是解答本题的关键． （1）根据旋转的性质作图即可． （2）结合三角形的外心的定义，分别作线段，的垂直平分线，相交于点，则点即为所求． 【小问1详解】 解：如图1，即为所求． 【小问2详解】 解：如图2，分别作线段，的垂直平分线，相交于点， 则点即为所求． 21. 如图，A，B，C，D是半径为5的上的点，． （1）求证． （2）若E为的中点，求的长． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴； （2）2 【解析】 【分析】（1）根据，得到，等角对等弧，即可得证； （2）等弧对等弦，得到，利用垂径定理和勾股定理进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵，为的中点， ∴， ∴， ∴． 22. 某文具店出售一种新上市的文具，每套进价为20元，在销售过程中发现，当销售单价为25元时，日销售量为250套，销售单价每上涨1元，日销售量就减少10套． （1）设日销售量为y套，销售单价为x元，则_______（用含x的代数式表示） （2）设销售该文具的日利润为w元，求销售单价为多少元时，当日的利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）销售单价为35元时，最大利润是2250元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用——销售利润问题，熟练掌握总利润与每件利润和件数的关系，建立函数模型，二次函数与方程，二次函数的图象和性质，是解题关键． （1）根据“销售单价每上涨1元，日销售量就减少10套”列出函数关系式即可； （2）根据，销量×每件利润=总利润，列式，配方，利用二次函数最值求法得出答案． 【小问1详解】 解：由题意，∵销售单价每上涨1元，日销售量就减少10套， ∴日销售量为，即， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意，∵日销售量为， ∴销售该文具的日利润为， ∵， ∴当时，w取最大值，最大值为2250． 答：销售单价为35元时，当日的利润最大，最大利润是2250元． 23. 如图1，点，，都在上，且平分，交于点． （1）求证：是等腰三角形． （2）如图2，是的直径，与相交于点． ①若，，求的半径． ②若于点，试探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）①8；②，见解析 【解析】 【分析】（1）由平分，得，则； （2）①连接，设，则，．可证明，则在中由勾股定理得，，解得，（不合题意，舍去），即的半径为； ②，理由如下：过点作于点，可证明，则．而，则四边形是矩形，则． 【小问1详解】 证明：∵平分， ∴， ∴， 即是等腰三角形； 【小问2详解】 解：①如图，连接， 设，则，． 由（1）知， 又， ∴， ∴在中，，即， 解得，（不合题意，舍去）， 即的半径为； ②． 理由如下： 如图，过点作于点， ∵是的直径， ∴． ∵平分，，， ∴，， 由（1）知， ∴， ∴． ∵， ∴四边形是矩形， ∴． 【点睛】本题考查了圆的综合问题，涉及全等三角形的判定与性质，圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，矩形的判定与性质等知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 24. 已知二次函数（为常数）图象经过点． （1）求的值． （2）若二次函数的图象经过点，求的最小值． （3）若二次函数在时，，求的取值范围． 【答案】（1） （2）的最小值为 （3）的取值范围是 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质. （1）将代入即可求出的值； （2）将代入中，再利用二次函数的性质即可求出的最小值. （3）先求出的对称轴，再根据时，即可求出的取值范围. 【小问1详解】 解：的图象经过， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）得 的图象经过， ， ， ∴的最小值为； 【小问3详解】 解：， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为. ∵时，， ∴， 当时， ， 解得， ∴， ∴的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $