精品解析：北京市陈经纶中学2025-2026学年八年级上学期数学期中试卷（含答案）

陈经纶中学2025-2026学年度第一学期初二数学期中检测 时间：90分钟 满分：100分 一、选择题（每题2分，共16分．下面1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．） 1. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. 2，2，5 B. 3，4，7 C. 3，6，8 D. 3，5，9 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查构成三角形的条件，即任意两边之和大于第三边．通过计算每个选项中两条较短线段之和与最长线段的大小关系进行判断． 【详解】解： A、∵ ， ∴ 不能组成三角形； B、， ∴ 不能组成三角形； C、 ∴ 能组成三角形； D、， ∴ 不能组成三角形． 故选：C． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】本题考查幂的运算法则，包括同底数幂的乘除、幂的乘方和积的乘方，同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂相除，底数不变，指数相减；幂的乘方，底数不变，指数相乘；积的乘方，等于每个因数乘方的积．需根据法则逐一判断各选项． 【分析】解： 选项A：，故错误； 选项B：，故正确； 选项C：，故错误； 选项D：，故错误； 故选：B． 3. 与如图所示的正方形图案全等的图案是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等形的判定，解题的关键是掌握全等形的定义． 根据全等形的定义进行判定即可，即能够完全重合的两个图形叫做全等图形． 【详解】解：与全等的图案是， 故选：C． 4. 如图，已知，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角的和解答即可． 【详解】∵，， ∴=130°-20°=110°． 故选A． 【点睛】本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解答本题的关键．三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角的和． 5. 下列多项式相乘，能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平方差公式，解题的关键是熟练掌握平方差公式的形式． 平方差公式为，其结构特征为两个括号中一项相同，另一项互为相反数，需逐一分析各选项是否满足此条件． 【详解】解：选项A：，不符合平方差公式形式，不能用平方差公式计算； 选项B：，不符合平方差公式形式，不能用平方差公式计算； 选项C：，符合平方差公式形式，可用平方差公式计算； 选项D：，不符合平方差公式形式，不能用平方差公式计算． 故选：C． 6. 下列各式添括号，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查添括号的规则：括号前是正号时，括号内各项符号不变；括号前是负号时，括号内各项符号改变．需逐一验证各选项添括号后是否与原式相等． 【详解】解：选项A： ∵右边 ， ∴ A错误． 选项B： ∵右边 ， ∴ B错误． 选项C： ∵右边 ， ∴ C错误． 选项D： ∵右边 ， ∴ D正确． 故选：D． 7. 如图，在平面直角坐标系中，点，分别在轴，轴上，，，若，，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】该题考查了坐标与图形，全等三角形的性质和判定，如图，过点C作轴，则，证明，得出，，即可解答． 【详解】解：如图，过点C作轴， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 8. 如图，正方形是由四个全等的直角三角形和小正方形拼成，连接，，若想求出图中阴影部分的面积，只需知道（ ） A. 的长 B. 的长 C. 的长 D. 的长 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、正方形的性质以及三角形面积公式，利用全等三角形的性质、正方形的性质以及三角形面积公式，将阴影部分面积转化为只含一个未知数的表达式，从而确定所需条件． 【详解】解：根据题意得，，，， ∴图中阴影部分的面积 ∴若想求出图中阴影部分的面积，只需知道的长， 故选B． 二、填空题（每题3分，共24分） 9. 在中，，，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，熟练掌握三角形的内角和为是解题的关键．根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：，， ． 故答案为：． 10. 等腰三角形有两条边长分别为4和9，则它的周长为______． 【答案】22 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的周长，三角形三边关系，解此题的关键在于分情况讨论，需注意三边是否满足三角形的三边关系． 分腰长为4和9两种情况进行讨论，分别判断能否围成三角形，然后求出其周长即可． 【详解】解：当等腰三角形的腰长为4时，，不能构成三角形，不符合题意； 当等腰三角形的腰长为9时，，能构成三角形，符合题意， ∴其周长为． 故答案为：22． 11. 计算：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了单项式的除法，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据单项式除法的法则，系数相除，同底数幂相除即可得出答案． 【详解】解：原式 故答案为：． 12. 如图，，，，则______． 【答案】45°##45度 【解析】 【分析】先根据三角形内角和定理求出，再根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质，熟知全等三角形的性质是解题的关键． 13. 已知，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法的逆运算，根据，求出 的值，再代入所求代数式计算出答案即可． 【详解】解：∵ ，且 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故答案为：． 14. 如图，为某年某月的日历（数字隐去）其中，，，代表当日的数字，设代表的数字为，则____．（用含的代数式表示） 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查了多项式乘以多项式，单项式乘以单项式运算，解题的关键是掌握以上运算法则． 设代表的数字为，然后表示出C代表的数字为，B代表的数字为，D代表的数字为，然后代入利用整式乘法的运算法则求解即可． 【详解】解：∵设代表的数字为， ∴C代表的数字为，B代表的数字为，D代表的数字为， ∴ ． 故答案为：． 15. 如图，已知是中边上的中线，点、分别在、的延长线上，，如果的面积是8，那么的面积等于___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根据三角形的中线求面积，连接，根据三角形中线的性质易求，进而求出，同理得到，即可求解． 【详解】解：连接， ∵是中边上的中线，的面积是8， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 我国南宋数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律． （1）的展开式中的一次项系数是_____； （2）的展开的多项式中各项系数之和为_____． 【答案】 ①. 80 ②. 【解析】 【分析】本题考查了数字的变化规律，解答的关键是明确从特殊到一般规律的推出是数学探究的常用方法． （1）根据图示可得出一般规律，利用规律计算即可．（2）根据图示可得出一般规律，利用规律计算即可． 【详解】解：（1）根据题中规律可得， 令， 则， ∴的展开式中的一次项系数是， 故答案为：80． （2）∵，系数之和是； ，系数之和是； ，系数之和是； ……， ，展开各项系数之和是． ∴展开各项的系数之和为． 故答案为：． 三、解答题（共60分） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】分别根据同底数幂的乘法法则以及积的乘方运算法则父母简，再合并同类项即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算，根据整式的混合运算法则进行化简，然后将x的值代入原式即可求出答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 19. 如图，在和中，点，，，在同一直线上，，，．求证：． 【答案】 证明：， ， ， 在和中 ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的判定，三角形全等的判定和性质，熟练掌握平行线的判定、三角形全等的判定和性质是解题的关键．证明，得出，即可证明． 【详解】略 20. 已知：如图中，． 求作：点P，使得点P在上，且点P到的距离等于． 作法：以点B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交射线、于点D、E； 分别以点D、E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部交于点F； 作射线交于点P． 则点P即为所求． （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面证明． 证明：连接、 在和中 （_______________）（填推理的依据） ，点P在上 作于点Q 点P在上 （_______________）（_______________）（填推理的依据）． 【答案】（1） 如图所示： （2）（或三边对应相等的两个三角形全等），，角平分线上的点到角两边的距离相等 【解析】 【分析】本题考查作图-复杂作图、角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本作图，灵活运用所学知识解决问题． （1）按照题目中的已知作法作图即可； （2）先根据得出，根据全等三角形的对应边相等得出，再根据角平分线的性质即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 如图，中，是上的高，平分，，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义，在中，利用三角形内角和定理可求出的度数，结合平分可求出的度数，在中，利用三角形内角和定理可求出的度数，再结合即可求出结论． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∵平分， ∴， 在中，，， ∴，， ∴． 22. 如图，在和中，，延长交于点，已知，，若，，求的长度． 【答案】 【解析】 【分析】该题考查了全等三角形的性质和判定，先证明，再证明，即可解答． 【详解】解：，， ， ，， ， 在和中 ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ． 23. 观察下列一组等式： ； ； ； ． （1）利用你的发现填空． ①_____； ②（_____）； ③（_____）； （2）利用你发现的规律计算： （3）利用你发现的规律解决问题．若，，则的值为__________． 【答案】（1）①； ②；③ （2） （3）117 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，找出其中的规律是解本题的关键． （1）根据上述等式归纳总结得到规律，即可得到结果； （2）把一四、二三因式分别结合，利用得出的规律，即可得到结果． （3）根据规律得出，再根据完全平方公式变形后代入求值即可解答． 【小问1详解】 解：①； ②； ③． 故答案为：①；②；③； 【小问2详解】 解： ． 【小问3详解】 解：∵，， 则 ． 24. 如图，在中，，，点在的延长线上，是的中点，是线段上一动点，且，连接，作交延长线于点．猜想线段与的数量关系，并证明你的结论． 【答案】 ，证明：连接， ，点在上， ， 在和中 ， ， ，， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， 点为的中点， ， 在和中 ， ， ， ． 【解析】 【分析】该题考查了全等三角形的性质和判定，连接，证明，再证明，即可证出，从而证明． 【详解】略 25. 数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法，借助图形的直观性，可以帮助理解数学问题． （1）请写出图1，图3阴影部分的面积分别能解释的数学公式． 图1：__________；图2：；图3：__________． 这几个数学公式都可以从“数”和“形”两个角度进行探究，并通过公式的变形或图形的转化解决很多数学问题．例如：如图4，已知，，求的值． 方法一：从“数”的角度解： ， ，即：， 又， ． 方法二：从“形”的角度解： ， ， 又， ， ．即． 类比迁移： （2）若，，则__________． （3）若，为非负数，，，则__________． （4）若，则__________． （5）如图5，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两个正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 【答案】（1），；（2）13；（3）；（4）10；（5） 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式、平方差公式的几何背景，掌握完全平方公式、平方差公式的结构特征是正确解答的关键． （1）用两种方法计算各个图形中阴影部分的面积即可； （2）根据完全平方公式变形求解即可； （3）根据完全平方公式变形求解即可； （4）根据完全平方公式变形求解即可； （5）设，由题意可得，根据求出的值，再求出的值即可． 【详解】解：（1）图1是边长为的正方形，因此面积为， 组成图 1 四个部分的面积和为， 因此， 图2阴影部分是边长为的正方形，因此面积为， 图2阴影部分也可以看作大正方形减去空白部分的面积，即， 因此有， 图3左图阴影部分是长为，宽为的长方形，因此面积为， 图3右图中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即， 因此有， 故答案为：； （2）， ， ， ， 故答案为：13； （3）∵，， 则， ∴． （4）∵，， 则 ． （5）设， 则， ， ， 解得：， ∴阴影部分的面积为． 26. “截长补短”添加辅助线构造全等三角形是常见的辅助线添加方法，可以根据题目要求和图形特征，灵活运用此方法添加辅助线，构造全等三角形解决线段（角）的数量关系问题． 某数学小组借助以下数学问题对“截长补短”添加辅助线构造全等三角形的方法进行了深入学习： 已知在四边形中，，，分别是直线，上的点． （1）如图，若，，，分别在线段，上，且满足，试探究线段，，之间的数量关系． 数学小组探究此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证与的全等，再证与的全等，可得到，，之间的数量关系．经过以上分析，直接写出线段，，之间的数量关系为__________． （2）如图，若，点，点分别在线段，的延长线上，且满足，试探究线段，，之间的数量关系． 数学小组的同学们先猜想线段，，之间的数量关系，然后借助第（1）问中研究问题的思路和方法进行探讨，发现有以下两种证明方法： 方法1：延长至点，使得，先证与的全等，再证与的全等，可得到线段，，的之间的数量关系． 方法2：在上截取，先证与的全等，再证与的全等，可得到，，之间的数量关系． 请你写出猜想结果，并选择一个方法添加辅助线完成证明． （3）如图，若不变，点在的延长线上，点在的延长线上，若，请直接写出与的数量关系． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等和对应边相等进行推导变形． （1）延长到点，使，连接，可判定，进而得出，再判定，可得结论； （2）如图2：在上截取，连接，先判定，进而得出，再判定，可得结论； （3）在延长线上取一点，使得，连接，先判定，再判定，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论． 【详解】解：（1）结论：． 理由：如图 1，延长到点，使，连接， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． （2）如图2，， 理由如下： 在上截取，连接， ， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． （3）结论：． 理由：如图3，在延长线上取一点，使得，连接， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， 即， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 陈经纶中学2025-2026学年度第一学期初二数学期中检测 时间：90分钟 满分：100分 一、选择题（每题2分，共16分．下面1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．） 1. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. 2，2，5 B. 3，4，7 C. 3，6，8 D. 3，5，9 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 与如图所示的正方形图案全等的图案是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 下列多项式相乘，能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列各式添括号，正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，点，分别在轴，轴上，，，若，，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，正方形是由四个全等的直角三角形和小正方形拼成，连接，，若想求出图中阴影部分的面积，只需知道（ ） A. 的长 B. 的长 C. 的长 D. 的长 二、填空题（每题3分，共24分） 9. 在中，，，则___________． 10. 等腰三角形有两条边长分别为4和9，则它的周长为______． 11. 计算：_____． 12. 如图，，，，则______． 13. 已知，则_____． 14. 如图，为某年某月的日历（数字隐去）其中，，，代表当日的数字，设代表的数字为，则____．（用含的代数式表示） 15. 如图，已知是中边上的中线，点、分别在、的延长线上，，如果的面积是8，那么的面积等于___________． 16. 我国南宋数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律． （1）的展开式中的一次项系数是_____； （2）的展开的多项式中各项系数之和为_____． 三、解答题（共60分） 17. 计算： 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，在和中，点，，，在同一直线上，，，．求证：． 20. 已知：如图中，． 求作：点P，使得点P在上，且点P到的距离等于． 作法：以点B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交射线、于点D、E； 分别以点D、E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部交于点F； 作射线交于点P． 则点P即为所求． （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面证明． 证明：连接、 在和中 （_______________）（填推理的依据） ，点P在上 作于点Q 点P在上 （_______________）（_______________）（填推理的依据）． 21. 如图，中，是上的高，平分，，，求的度数． 22. 如图，在和中，，延长交于点，已知，，若，，求的长度． 23. 观察下列一组等式： ； ； ； ． （1）利用你的发现填空． ①_____； ②（_____）； ③（_____）； （2）利用你发现的规律计算： （3）利用你发现的规律解决问题．若，，则的值为__________． 24. 如图，在中，，，点在的延长线上，是的中点，是线段上一动点，且，连接，作交延长线于点．猜想线段与的数量关系，并证明你的结论． 25. 数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法，借助图形的直观性，可以帮助理解数学问题． （1）请写出图1，图3阴影部分的面积分别能解释的数学公式． 图1：__________；图2：；图3：__________． 这几个数学公式都可以从“数”和“形”两个角度进行探究，并通过公式的变形或图形的转化解决很多数学问题．例如：如图4，已知，，求的值． 方法一：从“数”的角度解： ， ，即：， 又， ． 方法二：从“形”的角度解： ， ， 又， ， ．即． 类比迁移： （2）若，，则__________． （3）若，为非负数，，，则__________． （4）若，则__________． （5）如图5，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两个正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 26. “截长补短”添加辅助线构造全等三角形是常见的辅助线添加方法，可以根据题目要求和图形特征，灵活运用此方法添加辅助线，构造全等三角形解决线段（角）的数量关系问题． 某数学小组借助以下数学问题对“截长补短”添加辅助线构造全等三角形的方法进行了深入学习： 已知在四边形中，，，分别是直线，上的点． （1）如图，若，，，分别在线段，上，且满足，试探究线段，，之间的数量关系． 数学小组探究此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证与的全等，再证与的全等，可得到，，之间的数量关系．经过以上分析，直接写出线段，，之间的数量关系为__________． （2）如图，若，点，点分别在线段，的延长线上，且满足，试探究线段，，之间的数量关系． 数学小组的同学们先猜想线段，，之间的数量关系，然后借助第（1）问中研究问题的思路和方法进行探讨，发现有以下两种证明方法： 方法1：延长至点，使得，先证与的全等，再证与的全等，可得到线段，，的之间的数量关系． 方法2：在上截取，先证与的全等，再证与的全等，可得到，，之间的数量关系． 请你写出猜想结果，并选择一个方法添加辅助线完成证明． （3）如图，若不变，点在的延长线上，点在的延长线上，若，请直接写出与的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $