精品解析：甘肃省庆阳市环县第一中学2025-2026学年高一上学期期中数学试卷

2025-2026学年高一年级第一学期期中考试 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则真子集个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，均为实数，则 3. 下列说法正确的是（ ） A. ，对任意的，，这个对应是到的函数 B. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 C. 和表示同一函数 D. 函数的值域是 4. 若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知偶函数在上单调递增，且，则不等式解集为（ ） A. B. C. D. 6. 某班50名学生参加三个科创社团：机器人社、编程社、航模社，其中参加机器人社的有30人，参加编程社的有20人，参加航模社的有30人，同时参加机器人社和编程社的有10人，同时参加机器人社和航模社的有15人，同时参加编程社和航模社的有13人，则三个科创社团都参加的学生人数为（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 7. 已知函数若，，则实数取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知方程的两根分别为，，，若对于，都有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如果一个函数的图象通过平移后可以得到函数的图象，那么这个函数可以是（ ） A. B. C. D. 10. 已知命题，，命题，，则（ ） A. 是真命题 B. 是假命题 C. 和都是真命题 D. 和都是假命题 11. 已知函数与的图象如图所示，则（ ） A. 为奇函数 B. 在上单调递减 C. 为奇函数 D. 的值域为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，，若，则实数的值为______. 13. 已知二次函数在区间上有且只有一个零点，则实数的取值范围为______. 14. 已知函数是定义在上的增函数，则的单调递减区间是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，.，，实数的取值集合为. （1）求集合； （2）若，求实数的取值范围. 16 已知函数. （1）求的值； （2）若，求的值； （3）解不等式. 17. 研究表明，过量的碳排放会导致全球气候变暖等问题，因而减少碳排放具有深远的意义.为了响应国家节能减排的号召，2025年某企业计划引进新能源汽车生产设备.通过市场分析，全年投入固定成本2000万元，每生产（单位：百辆）新能源汽车需另投入成本（单位：万元），且如果每辆车的售价为8万元，且假设全年内生产的车辆当年能全部销售完.（注：利润=销售额-成本） （1）求2025年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式. （2）当2025年的年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润. 18. 函数是定义在上的奇函数，且. （1）求解析式； （2）证明在上为增函数； （3）解不等式. 19. 已知函数对于任意的都有. （1）求的解析式； （2）若存在，使得成立，求实数的取值范围； （3）设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一年级第一学期期中考试 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则的真子集个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由题求出，利用集合的真子集个数公式求解. 【详解】由，得，所以，所以， 故的真子集个数为. 故选：C. 2. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，均为实数，则 【答案】B 【解析】 【分析】举特例判断AC；利用作差法判断BD. 【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B，若，，则， 所以，故B正确； 对于C，当，，，时，满足，， 而，故C错误； 对于D，由， 则，故D错误. 故选：B. 3. 下列说法正确的是（ ） A. ，对任意的，，这个对应是到的函数 B. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 C. 和表示同一函数 D. 函数的值域是 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的定义举特例判断A；根据抽象函数的定义域求解判断B；根据同一函数的定义判断C；根据对勾函数的性质求解判断D. 【详解】对于A选项，当时，，所以不符合函数定义，A错误； 对于B选项，因为函数的定义域为， 所以，解得，所以函数的定义域为，故B错误； 对于C选项，函数的定义域为，函数的定义域为， 两个函数的定义域不同，因此不是同一个函数，故C错误； 对于D选项，由对勾函数的性质得，函数在区间上单调递增， 且，所以函数的值域是，故D正确. 故选：D 4. 若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求解不等式，得或，依题意可得集合是集合或的真子集，即可求出参数的取值范围. 【详解】根据题意，解不等式，即， 解得或，即不等式的解集为或. 若“”是“”的必要不充分条件， 则集合是集合或的真子集，所以. 故选：C. 5. 已知偶函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据奇偶性及单调性，结合特殊值，分别讨论和两种情况，分析即可得答案. 【详解】若，则等价于. 因为是偶函数，所以. 所以在上单调递减，则由可得. 若，则等价于 由题意，在上单调递增，则由可得. 综上，的解集为. 故选：B 6. 某班50名学生参加三个科创社团：机器人社、编程社、航模社，其中参加机器人社的有30人，参加编程社的有20人，参加航模社的有30人，同时参加机器人社和编程社的有10人，同时参加机器人社和航模社的有15人，同时参加编程社和航模社的有13人，则三个科创社团都参加的学生人数为（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】A 【解析】 【详解】设三个科创社团都参加的学生有人.将参加三个科创社团的人数情况画出韦恩图，如图所示. 故参加科创社团的总人数， 解得. 故选：A 7. 已知函数若，，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依题意可得的最小值为，即可得到，再结合二次函数的性质分、两种情况讨论即可求解. 【详解】由题意知的最小值为，故，即. 而图象的对称轴为， 所以当时，在上的最小值为，不符合题意； 当时，在上的最小值为， 为使为定义域内的最小值，还需满足在上， 当时，在上，不符合题意； 当时，在时，，故需， 解得，与该情况的条件联立可得. 综上所述，实数的取值范围为. 故选：D. 8. 已知方程的两根分别为，，，若对于，都有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得，可得，令，可得，结合基本不等式可得，进而得到，进而求解即可. 详解】由题意可得，则， 令，，则， 故， 当且仅当，即时取等号，此时， 对于，都有成立，则， 故，则，解得， 则实数的取值范围是. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如果一个函数的图象通过平移后可以得到函数的图象，那么这个函数可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据函数图象平移的规则进行判断即可. 【详解】对于A，因为函数的图象无法通过平移后得到函数的图象，故A错误； 对于B，因为将函数的图象向右平移一个单位， 可得函数的图象，故B正确； 对于C，因为将函数的图象向上平移一个单位， 可得函数的图象，故C正确； 对于D，因为， 所以将函数的图象向左平移一个单位，可得函数的图象， 再将函数的图象向上平移一个单位，可得函数的图象，故D正确. 故选：BCD. 10. 已知命题，，命题，，则（ ） A. 是真命题 B. 是假命题 C. 和都是真命题 D. 和都是假命题 【答案】AD 【解析】 【分析】先判断原命题的真假，再得出命题的否定的真假即可判断. 【详解】命题，，当时，，故命题为假命题，则，，为真命题； 命题，，当时，，故命题为真命题，则，，为假命题， 故A，D正确，B，C错误. 故选:AD. 11. 已知函数与的图象如图所示，则（ ） A. 为奇函数 B. 在上单调递减 C. 为奇函数 D. 的值域为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据图象判断出函数与的定义域、单调性及奇偶性，根据函数奇偶性的判断方法判断A、C；根据与在上的单调性可判断B；先由与的图象特征判断在上的取值范围，再利用奇偶性可求得的值域为从而判断D. 【详解】由图象知，的定义域为，是偶函数，在上单调递增，在上单调递减； 的定义域为，是奇函数，在上单调递增，在上单调递增； 对于A，定义域为， 又因为，所以是奇函数，故A正确； 对于B，因为在上单调递减，在上单调递增， 所以在上单调递减，所以在上单调递减，故B正确； 对于C，的定义域为， 又因为，所以为偶函数，故C错误； 对于D，记的图象与轴交于点，与轴交于点， 由图可知，当从趋近于0时，的函数值从0趋近于，的函数值从一个定值趋近于， 所以值从0趋近于，即的值可以取到， 又为奇函数，所以的值域为，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，，若，则实数的值为______. 【答案】1 【解析】 【分析】由有，解出即可. 【详解】若，则，解得.故实数的值为1. 故答案为：1. 13. 已知二次函数在区间上有且只有一个零点，则实数的取值范围为______. 【答案】. 【解析】 【分析】首先判断二次函数的根是否为两个异根，再根据零点存在定理使，最后解不等式即可求解. 【详解】若，即， 则此时的解为； 若，即或， 因为函数在区间上有且只有一个零点， 所以，即，解得. 综上，实数的取值范围是. 14. 已知函数是定义在上的增函数，则的单调递减区间是______. 【答案】 【解析】 【分析】先求函数的定义域，令，再利用复合函数求单调性即可. 【详解】∵的定义域为，∴，即，解得或， 故函数的定义域为， 令，则， 当时，单调递增，则单调递增； 当时，单调递减，则单调递减， 故的单调递减区间为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，.，，实数的取值集合为. （1）求集合； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，得，解出即可求解； （2）由得到，再分和两种情况讨论，即可求解. 【小问1详解】 因为，，所以，解得， 所以实数的取值集合； 【小问2详解】 由可得， 若，则，即，此时，即成立； 若，则或， 则，解得， 综上，实数的取值范围为. 16. 已知函数. （1）求的值； （2）若，求的值； （3）解不等式. 【答案】（1）1 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据分段函数先求，再求即可； （2）由，根据的范围分类讨论即可求解； （3）根据分段函数，分类讨论，解不等式即可求解. 【小问1详解】 因为，所以， 因为，所以； 【小问2详解】 当时，，又，所以，解得，舍去； 当时，，又， 所以，故. 综上，的值为； 【小问3详解】 当时，，所以； 当时，，所以. 综上，原不等式的解集为. 17. 研究表明，过量的碳排放会导致全球气候变暖等问题，因而减少碳排放具有深远的意义.为了响应国家节能减排的号召，2025年某企业计划引进新能源汽车生产设备.通过市场分析，全年投入固定成本2000万元，每生产（单位：百辆）新能源汽车需另投入成本（单位：万元），且如果每辆车的售价为8万元，且假设全年内生产的车辆当年能全部销售完.（注：利润=销售额-成本） （1）求2025年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式. （2）当2025年的年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润. 【答案】（1） （2）当2025年的年产量为100百辆时，该企业所获利润最大，最大利润为2500万元 【解析】 【分析】（1）根据利润=销售额-成本结合题干分段函数即可求解；（2）由（1）得到的利润关于年产量的分段函数，在年产量和的情况下分别求出对应的最值，即可知答案. 【小问1详解】 解：（1）∵ ∴当时，， 当时，. 故 【小问2详解】 （2）由（1）得 当时，， ∴； 当时，， 当且仅当，即时等号成立，故. ∵，故当2025年的年产量为100百辆时，该企业所获利润最大，最大利润为2500万元. 18. 函数是定义在上的奇函数，且. （1）求的解析式； （2）证明在上为增函数； （3）解不等式. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的定义求得，由求得，即可求得解析式； （2）根据函数单调性定义证明； （3）利用奇函数的性质、函数单调性求解不等式. 【小问1详解】 因为函数是定义在上的奇函数， 所以，即，解得，此时. 又因为，所以，解得， 所以. 【小问2详解】 任取，且， 则. 因为， 则，且，， 所以，则，即， 所以在上为增函数. 【小问3详解】 因为函数是定义在上的奇函数， 所以由，得. 又因为在上为增函数，所以，解得. 所以原不等式的解集为. 19. 已知函数对于任意的都有. （1）求的解析式； （2）若存在，使得成立，求实数的取值范围； （3）设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）用替换得，的方程组，解得即可； （2）首先得到的单调性，依题意，即可求出的取值范围； （3）依题意可得在上的值域是在上的值域的子集，求出，的值域列式求解. 【小问1详解】 已知，用替换得， 联立两方程，得， 解得. 【小问2详解】 由（1）得，若存在，使得成立， 则，即. 解得，所以实数的取值范围为. 【小问3详解】 若对任意的，总存在，使得成立， 则在上的值域是在上的值域的子集. 由（1）可得，当时，； 为二次函数，图象开口向上，对称轴为， 则在上单调递增； 所以在上的最小值为，最大值为； 可得，即，解得，所以实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $