精品解析：陕西省榆林市神木市2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试题

神木市2025~2026学年度第一学期质量检测调研 九年级数学 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0．5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 已知a、b、c、d四条线段成比例，，，，则（ ） A. 9 B. 12 C. 15 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查成比例线段，根据四条线段成比例的性质，可得比例式，代入已知数据求解即可． 【详解】解：∵ a、b、c、d 成比例， ∴， ∵，，， ∴ 解得， 故选：C． 2. 下列形状分别为正方形、圆、正三角形、矩形的边框，其中不一定是相似图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查相似图形的定义，掌握相似图形形状相同是解题的关键．根据相似图形的定义，形状相同，可得出答案． 【详解】解：A、两个正方形形状相同，是相似图形，不符合题意； B、两圆形形状相同，是相似图形，不符合题意； C、两个等边三角形形状相同，是相似图形，不符合题意； D、两个长方形形状不一定相同，不一定是相似图形，符合题意； 故选：D． 3. 方程的解是（ ） A. ， B. C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程．通过直接开平方的方法求解方程，将方程转化为两个一次方程分别求解． 【详解】解：∵， ∴或， 当时，， 当时，， ∴ 方程的解为， 故选：C． 4. 一个不透明的盒子里有“中秋”主题和“国庆”主题的贺卡共30张，这些贺卡的外观、大小、质地完全相同，每次抽卡前先将盒子里的贺卡洗匀，任意抽出一张贺卡记下主题后再放回盒子，通过大量重复试验后发现，抽到“国庆”主题贺卡的频率稳定在，则估计盒子中“中秋”主题贺卡有（ ） A. 18张 B. 12张 C. 10张 D. 8张 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查已知概率求数量．根据频率估计概率的原理，抽到“国庆”主题贺卡的频率稳定在，即其概率约为，由此可计算“国庆”贺卡的数量，进而求得“中秋”贺卡的数量． 【详解】解：∵抽到“国庆”主题贺卡的频率稳定在， ∴“国庆”主题贺卡的数量约为张， ∴“中秋”主题贺卡的数量约为张． 故选：A． 5. 如图，菱形的对角线、交于点，、分别为、的中点，连接，若，，则菱形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，三角形中位线性质，菱形的面积公式，关键是根据三角形中位线性质求得． 由是的中位线可得，再根据菱形的性质可得，最后由菱形的面积公式求得面积． 【详解】解： ∵、分别为、的中点， ， ， ， 四边形是菱形， ∴， 菱形的面积． 故选：B． 6. 用配方法解一元二次方程时，将它转化为的形式，则的值为（ ） A. 1 B. C. 2024 D. 2025 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程．用配方法把移项，配方，化为，即可． 【详解】解：∵， 移项得，， 配方得，， 即， ∴，， ∴． 故选：A． 7. 如图，在矩形中，，，若是边的中点，连接，过点作于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，证明是解题关键．首先根据题意可得，利用勾股定理解得的值，再证明，由相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形为矩形，，， ∴，，， ∵是边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得． 故选：B． 8. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为4的正方形，其中点B、C分别位于第一、二象限，且与x轴正半轴的夹角为，则点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点，作出辅助线是解题的关键．连接，作轴，由正方形的性质得到，和的长度，然后由角度的和差求得，进而由30度所对直角边等于斜边的一半和勾股定理求得和，即可求出点B的坐标． 【详解】解：如图，连接，作轴，与x轴正半轴的夹角为， 则，， ∵四边形是边长为4的正方形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点B的坐标为． 故选：A． 第二部分（非选择题共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 若关于的一元二次方程有一个根为3，则实数的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，解一元一次方程，掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解题的关键．将代入方程得关于k的方程，求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一个根为3， 故将代入，得， 解得：． 故答案为：． 10. 如图，四边形四边形，则的度数为__________°． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了相似多边形的性质，解题的关键是了解相似多边形的对应角相等．根据相似多边形的对应角相等结合四边形内角和等于即可求解． 【详解】解：∵四边形四边形， ∴， 又∵，，， 则． 故答案为：． 11. 国家消费补贴政策（国补）旨在刺激内需，促进绿色消费．某手机卖场七月份的总销售额为1000万元，九月份的总销售额达到了1690万元，设七月份到九月份该手机卖场的总销售额的月平均增长率为x，那么根据题意可列方程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用—增长率问题．设月平均增长率为x，根据题意列出方程即可． 【详解】解：设月平均增长率为x，则八月份销售额为万元，九月份销售额为万元． 根据题意得：． 故答案为：． 12. 如图，、是矩形的两条对角线，E是的延长线上一点，连接，若，，则的度数是__________°． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的顶角和底角的关系是解题的关键． 根据矩形的性质得，，由平行线性质得出，再结合已知条件得，进而得出，由此即可解题． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴． ∴． 故答案为：． 13. 中国画以墨代色，产生了墨分五色的说法，唐代张彦远《历代名画记》中曰：“运墨而五色具”，五色：即焦、浓、重、淡、清，这就是中国画用墨的奇妙处．美术老师想从这五色中随机选择两色让学生重点练习，则正好选中淡与清的概率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查概率的计算，采用列举法求解，总共有5种颜色，随机选择2种，共有10种等可能情况，正好选中淡与清是其中一种情况，因此概率为 ． 【详解】解：从焦、浓、重、淡、清五色中随机选择两色，那么有焦浓，焦重，焦淡，焦清，浓重，浓淡，浓清，重淡，重清，淡清等10种等可能情况，其中正好选中淡与清只有1种组合，因此概率为 ． 故答案为：． 14. 如图，在中，，，D是的中点，是边上的点，连接．若，，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线，构造相似三角形． 过D作，交于点H，则，那么，，然后证明，则，求出，然后求出，最后由勾股定理求解． 【详解】解：如图，过D作，交于点H， ∴，， ∴ ∵D是的中点， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得或（舍去）， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的一般方法，准确计算，理解因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：， 移项得：， 因式分解的：， ∴或， 解得：，． 16. 在一个不透明的箱子中装有除颜色不同外其余均一样的小球，其中红色小球有3个，蓝色小球有1个，往箱子中再放入个蓝色小球．摇晃均匀后任意摸出一个，记下颜色后放回，经过大量重复试验后发现摸到蓝色小球的频率稳定在，求的值． 【答案】 5 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，用频率估计概率，熟练掌握概率公式是解题的关键．根据概率公式列出关于n的方程，解之即可． 【详解】解：箱子中原有红球3个，蓝球1个，放入n个蓝球后，蓝球数量为个， 则球的总数量为（个）， ∵摸到蓝球的频率稳定在，即摸到蓝球的概率为， ∴ ， 解得， 经检验，是分式方程的解， ∴n的值为5． 17. 如图，在和中，点E、G、F分别在边AB、AC、AD上，连接EG、GF，，，已知，，，求的值． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，首先根据，，可得：，，再代入数据即可求出． 【详解】解：，，， ，， ，，， ， ， 18. 如图，为矩形的对角线，请利用尺规作图法在对角线上作一点，连接，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 如图所示，即为所求： 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定，矩形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定．如果题目有条件限制，可根据相似三角形的判定条件作为作图的依据． 根据矩形性质可以证明，利用尺规作，交于，得到，即可使得． 【详解】解：作，交于． 19. 如图，在正方形中，为边上一点，为的延长线上一点，连接、、，且．求证：． 【答案】 证明：正方形中，，， ∴， ∵， ∴ 在和中， ， ∴（）， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并准确识图确定出三角形全等的条件是解题的关键． 根据等边对等角，由可得，再根据正方形的性质得出 ，，进而可得，所以，然后利用 判断出 ，根据全等三角形的对应边相等得出． 【详解】略 20. 2025年10月24日，神舟二十一号载人飞船与长征二号F遥二十一运载火箭组合体已转运至发射区，计划近日择机实施发射．某航空航天博览会的展览馆展厅东、西、南、北面各有一个出入口，示意图如图所示．小华任选一个出入口进入展览大厅，参观结束后再任选一个出入口离开（选择出入口之间相互不受影响，且选择每个出入口的可能性均相同）． （1）小华从出入口B进入展厅的概率为__________； （2）请用画树状图或列表的方法，求小华进入展厅和离开展厅选择的出入口不同的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了简单概率的计算，用列表法或树状图法求概率，熟练掌握列表法或树状图法是解题的关键． （1）直接利用概率公式计算可得； （2）列出表格，得出总共的等可能的结果数，以及小华进入展厅和离开展厅选择的出入口不同的结果数，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意可得，展厅总共有4个出入口， 所以小华从出入口B进入展厅的概率为； 故答案为：； 【小问2详解】 解：列表如下： 进入展厅 离开展厅 A B C D A B C D 由表格可知，小华进入展厅和离开展厅的出入口选择共有16种， 其中进入展厅和离开展厅选择的出入口不同的结果有12种， 因此小华进入展厅和离开展厅选择的出入口不同的概率为． 21. 商丘古城位于河南省商丘市，它像一颗明珠，镶嵌在豫东大地上．某天小明站在地面上给站在古城城楼上的小亮照相时发现：小明的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上（如图）．已知小明的眼睛离地面的距离米，凉亭顶端离地面的距离米，小明到凉亭的距离米，凉亭离城楼底部的距离米，小亮身高1.7米，三点在同一水平线上．请根据以上数据求出城楼的高度． 【答案】9.5米 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键； 过点作于点，交于点，进而求得，根据，得出，根据相似三角形的性质，列出比例式求得，进而即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点． 依题意，得， ． ， ， ， 即， 解得． ， 城楼的高度为（米）． 22. 定义新运算：对于任意实数m、n都有．例如：．根据以上定义解决问题： （1）若，求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程． （1）直接根据新运算得到一元二次方程，解方程即可求解； （2）根据新运算可得，再解出方程，即可求解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， 整理得， 解得； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， 整理得， 开方得， 解得：． 23. 如图，在中，是斜边的中线，过点作的垂线与边和的延长线分别交于点和点． （1）与相似吗？请说明理由； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 相似，理由如下： 在中，是斜边的中线， ， ， ， ； （2）9 【解析】 【分析】本题考查了三角形相似的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等边对等角，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，结合等边对等角，可得，结合，即可得证； （2）由（1）可知，，那么，可得，接着证明，然后利用对应边成比例即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ． 24. 如图，在中，E、F分别是的中点，连接，且，交于点．在的延长线上取一点，连接． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形， ，， 点、分别是、的中点， ，， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是菱形； （2）4 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定等知识点，熟练掌握平行四边形的性质，菱形的判定与性质是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质可证，，根据点、分别是、的中点，可证，，所以可证四边形是平行四边形，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可证结论成立； （2）由四边形是菱形，得到，，，然后由勾股定理求解出，再推导，则． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由可知四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵， ， ， ， ∴． 25. 某校九年级开展社会实践活动，如表是某小组的记录表的部分信息，请根据相关信息解决表中的两个问题． 社会实践记录表 实践内容 调查神木小米行情，帮超市解决销售问题的同时为顾客谋实惠 调研信息 神木小米的进价为10元/千克； 神木小米的售价为16元/千克时，每天的销售量为200千克； 每千克售价每降低元，每天的销售量就相应增加40千克． 解决问题 问题（1） 若该超市计划进行降价销售，且要保证每天销售神木小米获利1400元，那么每千克神木小米的售价应降低多少元？ 问题（2） 若该超市销售神木小米想要每天获利2000元，请问可以达到吗？若能达到，则计算出每千克神木小米的售价应降低多少元；若不能达到，请说明理由． 【答案】（1）每千克神木小米的售价应降低1元或元 （2）解：不能达到，理由如下： 与（1）同理，设每千克神木小米的售价降低元， 得， ∴， ∴， 则， 此时方程无实数根． 即 该超市销售神木小米不可以达到每天获利2000元． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，判别式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设每千克神木小米的售价降低元，充分理解题意，再根据每天销售神木小米获利1400元进行列方程，即可作答． （2）理解题意进行列出方程，再结合进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，设每千克神木小米的售价降低元， ∵每千克售价每降低元，每天的销售量就相应增加40千克． ∴销量为（千克）， 此时每千克的利润是（元）， ∵每天销售神木小米获利1400元 ∴， ∴， 整理得， 解得，； 即每千克神木小米的售价应降低1元或元． （2）略 26. 【问题探究】 如图，在矩形中，，，为对角线，将以点为旋转中心，按照逆时针的方向旋转，得到（点、的对应点分别为点、）． （1）如图1，连接，，则的值为__________； （2）如图2，当点落在的延长线上时，延长交边于点，判断与的数量关系，并说明理由； 【问题解决】 （3）如图3，在一个智能机器人路径规划的模拟界面中，矩形代表一块长为个单位、宽为个单位的电子地图区域（即，），AC为地图中的一条主控对角线，系统将以点为旋转中心，按逆时针方向进行旋转，生成新的路径模块（点、的对应点分别为点、），点恰好落在的中线的延长线上，交边于点，延长FE交BC边于点，请根据上述信息，计算AN的长度． 【答案】（1）； （2），理由如下： 过点作于点，如图， 则， 四边形是矩形， ，， 四边形是矩形， ， 由旋转得：，，，， ，， 又， ， ，， ， ， 即； （3） 【解析】 【分析】本题考查了旋转变换的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）利用勾股定理求得，再证得∽，利用相似三角形性质即可求得答案； （2）过点作于点，由旋转得：，，，，可证得≌，利用全等三角形性质即可求得答案； （3）延长交于点，连接，，设交于点，由旋转得，，，可证得，，，，即可求得答案． 【详解】（1）解：四边形是矩形，，， ，， ， 由旋转得：，，， ， ， （2）略 （3）如图，连接，， 由旋转得，，， ， 是的中线，， ， ， ， ， ， ， 垂直平分， ， ， ， 又，， ， ， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 神木市2025~2026学年度第一学期质量检测调研 九年级数学 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0．5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 已知a、b、c、d四条线段成比例，，，，则（ ） A. 9 B. 12 C. 15 D. 18 2. 下列形状分别为正方形、圆、正三角形、矩形的边框，其中不一定是相似图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 方程的解是（ ） A. ， B. C. ， D. ， 4. 一个不透明的盒子里有“中秋”主题和“国庆”主题的贺卡共30张，这些贺卡的外观、大小、质地完全相同，每次抽卡前先将盒子里的贺卡洗匀，任意抽出一张贺卡记下主题后再放回盒子，通过大量重复试验后发现，抽到“国庆”主题贺卡的频率稳定在，则估计盒子中“中秋”主题贺卡有（ ） A. 18张 B. 12张 C. 10张 D. 8张 5. 如图，菱形的对角线、交于点，、分别为、的中点，连接，若，，则菱形的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 用配方法解一元二次方程时，将它转化为的形式，则的值为（ ） A. 1 B. C. 2024 D. 2025 7. 如图，在矩形中，，，若是边的中点，连接，过点作于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为4的正方形，其中点B、C分别位于第一、二象限，且与x轴正半轴的夹角为，则点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 若关于的一元二次方程有一个根为3，则实数的值为________． 10. 如图，四边形四边形，则的度数为__________°． 11. 国家消费补贴政策（国补）旨在刺激内需，促进绿色消费．某手机卖场七月份的总销售额为1000万元，九月份的总销售额达到了1690万元，设七月份到九月份该手机卖场的总销售额的月平均增长率为x，那么根据题意可列方程为__________． 12. 如图，、是矩形的两条对角线，E是的延长线上一点，连接，若，，则的度数是__________°． 13. 中国画以墨代色，产生了墨分五色的说法，唐代张彦远《历代名画记》中曰：“运墨而五色具”，五色：即焦、浓、重、淡、清，这就是中国画用墨的奇妙处．美术老师想从这五色中随机选择两色让学生重点练习，则正好选中淡与清的概率为__________． 14. 如图，在中，，，D是的中点，是边上的点，连接．若，，则的长为__________． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解方程：． 16. 在一个不透明的箱子中装有除颜色不同外其余均一样的小球，其中红色小球有3个，蓝色小球有1个，往箱子中再放入个蓝色小球．摇晃均匀后任意摸出一个，记下颜色后放回，经过大量重复试验后发现摸到蓝色小球的频率稳定在，求的值． 17. 如图，在和中，点E、G、F分别在边AB、AC、AD上，连接EG、GF，，，已知，，，求的值． 18. 如图，为矩形的对角线，请利用尺规作图法在对角线上作一点，连接，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 19. 如图，在正方形中，为边上一点，为的延长线上一点，连接、、，且．求证：． 20. 2025年10月24日，神舟二十一号载人飞船与长征二号F遥二十一运载火箭组合体已转运至发射区，计划近日择机实施发射．某航空航天博览会的展览馆展厅东、西、南、北面各有一个出入口，示意图如图所示．小华任选一个出入口进入展览大厅，参观结束后再任选一个出入口离开（选择出入口之间相互不受影响，且选择每个出入口的可能性均相同）． （1）小华从出入口B进入展厅的概率为__________； （2）请用画树状图或列表的方法，求小华进入展厅和离开展厅选择的出入口不同的概率． 21. 商丘古城位于河南省商丘市，它像一颗明珠，镶嵌在豫东大地上．某天小明站在地面上给站在古城城楼上的小亮照相时发现：小明的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上（如图）．已知小明的眼睛离地面的距离米，凉亭顶端离地面的距离米，小明到凉亭的距离米，凉亭离城楼底部的距离米，小亮身高1.7米，三点在同一水平线上．请根据以上数据求出城楼的高度． 22. 定义新运算：对于任意实数m、n都有．例如：．根据以上定义解决问题： （1）若，求的值； （2）若，求的值． 23. 如图，在中，是斜边的中线，过点作的垂线与边和的延长线分别交于点和点． （1）与相似吗？请说明理由； （2）若，，求的长． 24. 如图，在中，E、F分别是的中点，连接，且，交于点．在的延长线上取一点，连接． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，，求的长． 25. 某校九年级开展社会实践活动，如表是某小组的记录表的部分信息，请根据相关信息解决表中的两个问题． 社会实践记录表 实践内容 调查神木小米行情，帮超市解决销售问题的同时为顾客谋实惠 调研信息 神木小米的进价为10元/千克； 神木小米的售价为16元/千克时，每天的销售量为200千克； 每千克售价每降低元，每天的销售量就相应增加40千克． 解决问题 问题（1） 若该超市计划进行降价销售，且要保证每天销售神木小米获利1400元，那么每千克神木小米的售价应降低多少元？ 问题（2） 若该超市销售神木小米想要每天获利2000元，请问可以达到吗？若能达到，则计算出每千克神木小米的售价应降低多少元；若不能达到，请说明理由． 26. 【问题探究】 如图，在矩形中，，，为对角线，将以点为旋转中心，按照逆时针的方向旋转，得到（点、的对应点分别为点、）． （1）如图1，连接，，则的值为__________； （2）如图2，当点落在的延长线上时，延长交边于点，判断与的数量关系，并说明理由； 【问题解决】 （3）如图3，在一个智能机器人路径规划的模拟界面中，矩形代表一块长为个单位、宽为个单位的电子地图区域（即，），AC为地图中的一条主控对角线，系统将以点为旋转中心，按逆时针方向进行旋转，生成新的路径模块（点、的对应点分别为点、），点恰好落在的中线的延长线上，交边于点，延长FE交BC边于点，请根据上述信息，计算AN的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $