精品解析：山东省实验中学2025-2026学年高三上学期11月期中数学试题

山东省实验中学2026届高三第二次诊断性考试 数学试题 2025.11 注意事项： 1.答卷前，先将自己的考生号等信息填写在试卷和答题纸上，并在答题纸规定位置贴条形码. 2.本试卷满分150分，分为选择题和非选择题. 3.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 4.非选择题的作答：用0.5mm黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别求出集合，，利用交集的定义即可求解. 【详解】对于集合，由于，解得，则， 对于集合，由于，即，则，所以； 故选：A 2. 复数在复平面所对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】先通过复数除法法则化简复数，得其代数形式，再根据复数的几何意义确定对应点的坐标，最后判断该点所在象限. 【详解】根据题意，， 在复平面上的对应点为，位于第一象限. 故选：A 3. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】利用同角三角函数的商的关系计算即可. 【详解】由,所以. 故选：C 4. 如图，某电子元件由，，三种部件组成，现将该电子元件应用到某研发设备中，经过反复测试，，，三种部件能正常工作的概率分别为，，，各个部件是否正常工作相互独立，则该电子元件能正常工作的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设上半部分正常工作为事件，下半部分正常工作为事件，该电子元件能正常工作为事件，根据相互独立事件的概率公式求出与，再根据对立事件及独立事件的概率公式计算即可. 【详解】设上半部分正常工作为事件，下半部分正常工作为事件，该电子元件能正常工作为事件，则， 因为，则， 因为， 所以. 故选：D 5. 若函数（且）在上为单调函数，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】判断出函数的单调性，由此列出相应的不等关系，即可求得答案. 【详解】由题意可知当时，， 结合函数（且）在上为单调函数， 可知当时，为单调递增函数， 当时，也必为单调递增函数， 由于在上单调递减，故在上单调递减， 此时在上单调递增， 故，解得， 故实数的取值范围为， 故选：B 6. 已知直角梯形中，，，且，，点是梯形内（含边界）任意一点，设，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以为坐标原点，分别为轴建立平面直角坐标系，利用向量坐标运算，表示出，再求取值范围即可. 【详解】如图，以为坐标原点，分别为轴建立平面直角坐标系，设， 则，， 可得， 因为，所以， 所以，当时，取得最小值； 当时，取得最大值，即. 故选：A. 7. 已知，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】变形得到，结合的范围得到，构造，，根据函数单调性得到，又，，从而得到答案. 【详解】，故， 因，所以，，所以， 故，即， 令，，在上单调递增， ，所以，即， 故，A错误，C正确； BD选项，，故，又，故，BD错误； 故选：C 8. 已知函数，且，则的零点之和为（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数的导数判断函数的单调性，结合零点存在定理确定函数有3个零点，设这3个零点为，确定，进而推出，则可得，即可求得答案. 【详解】由，得， 令，， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 故，又，则， 即，且当时，，时，， 故在和各有一个零点，不妨记为， 当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减， 当时，，此时单调递增， 且，即，则，， 当时，，时，， 故在，，上各有一个零点，且，， 不妨设这3个零点为，， 则，两边同乘以， 得，即， 则， 结合，可得，则， 故的零点之和为。 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第70%分位数是23 B. 若随机变量，且，则 C. 在回归分析中，可用决定系数的值判断模型的拟合效果，越大，模型的拟合效果越好 D. 在回归模型中，残差点所在的带状区域宽度越窄，说明模型拟合精度越高 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据百分位数、正态分布、决定系数的意义以及残差的定义进行判断即可. 【详解】对于A： 先将数据从小到大排列为：12，13，14，15，17，19，23，24，27，30共10个数据， 因为，为整数，所以第70%分位数是第7项和第8项的平均值， 即，所以A错误； 对于B： 因为，正态分布关于对称， 所以，所以， 所以B正确； 对于C： 在回归分析中，决定系数越接近1，说明模型对数据的拟合效果越好，即越大，模型的拟合效果越好，所以C正确； 对于D： 残差点所在的带状区域宽度越窄，说明残差越小，模型对数据的拟合精度越高，所以D正确. 故选：BCD. 10 已知正数，满足，则（ ） A. 最小值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为2 D. 的最小值为8 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用基本不等式逐个判断各个选项即可得到结果. 【详解】A选项，∵，∴， ， 当且仅当时，即时取等号，A选项正确； B选项，∵，∴，即，， 当且仅当，即时取等号，B选项错误； C选项，∵，∴，， 即，∵，即，∴， ∴当且仅当，即时取等号，C选项正确； D选项，，当且仅当，即时取等号，D选项正确； 故选：ACD. 11. 在中，，为边上的两点，且，则（ ） A. 若，则 B. 若，则的面积最大值为 C. 若，则长的最大值为 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A：由题意知，由及余弦定理分析判断；对于B：在中由余弦定理及基本不等式得的面积最大值；对于C：可知点在外接圆的优弧上运动，当经过圆心时最长，根据余弦定理可求得最长值；对于D：取的中点，设，可知，根据角度关系结合三角恒等变换求的值，进而求和. 【详解】在中，设角所对的边分别为， 对于选项A：因为， 则， 可得， 且 ，可得，即， 由余弦定理， 消去可得， 所以，故A正确； 对于选项B：在中，由余弦定理得， 所以， 当且仅当时，等号成立，即， 所以，故B错误； 对于选项C：在中，设外接圆半径为，圆心为， 则点在外接圆的优弧上运动（不包括端点）， 则，即， 且，，则， 在中，由余弦定理得， 即， 所以当经过圆心时最长，最长为，故C正确； 对于选项D：取的中点，连接， 因为，， 可知，且点为的中点， 设， 在中，则， 在中，可得， 因为， 则， 即，解得， 可得 ， 且为锐角，所以，故D正确； 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式的常数项为___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用二项式定理求解展开式中项的表达式，令表达式中x的幂次为零即可求解常数项． 【详解】在中，， 令，解得，所以， 综上，展开式的常数项为． 故答案为：． 13. 已知幂函数是奇函数，则不等式的解集为____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据幂函数的定义及奇偶性求得，根据函数的性质解不等式即可． 【详解】由题意知，得，解得或， 当时，为偶函数，不符合题意； 当时，为奇函数，符合题意． 作出其图像，如下， 由图像知，当，且递减； 当，且递减． 当，即时， 由，得， 解得，所以； 当，此时； 当，即时，根据， 所以不成立，故； 当时，即时，， 此时恒成立，所以； 综上所述：不等式的解集为. 故答案为：. 14. 已知平面向量，满足，且对任意实数都成立，则的值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】设，，，通过已知条件得到，从而得到点在的垂直平分线上，则，设，得到，从而得到，又，代入数值计算得解. 【详解】设，， ， ，，，，， 点在的垂直平分线上，， ，设， ，， ，，， ，，. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 石墨烯发热膜在生产生活中应用广泛.从石墨中分离石墨烯的一种方法是化学气相沉积法，使石墨升华后附着在材料上再结晶.现在有A材料、B材料可供选择，研究人员对附着在A材料、B材料上的石墨各做了100次再结晶试验，得到如下等高堆积条形图. （1）根据等高堆积条形图，填写如下列联表，并依据的独立性检验，分析试验结果与材料是否有关； （单位：次） A材料 B材料 合计 试验成功 试验失败 合计 （2）制作1吨石墨烯发热膜有甲、乙两个环节，其中甲环节生产合格的概率为，乙环节生产合格的概率为，且各生产环节相互独立.若生产不合格还需进行修复，甲环节的修复费用为3万元，乙环节修复费用均为2万元.设随机变量为制作石墨烯发热膜所产生的修复费用，求的分布列及数学期望. 附：，其中. 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 【答案】（1）列联表见解析，试验结果与材料有关 （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）利用等高堆积条形图作出列联表，根据卡方公式及独立性检验思想计算即可； （2）利用条件列出分布列计算期望即可. 【小问1详解】 根据题中所给等高堆积条形图，得列联表如下： 单位：次 A材料 B材料 合计 试验成功 90 60 150 试验失败 10 40 50 合计 100 100 200 零假设为：试验结果与材料无关. 计算可得， 依据的独立性检验，推断不成立，即认为试验结果与材料有关. 【小问2详解】 的可能取值为0，2，3，5. ，，，， 则的分布列为 0 3 5 数学期望. 16. 若函数的相邻两个对称轴间的距离为. （1）求的值及的对称轴方程； （2）将的图象向左平移个单位长度，再把每个点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数，若且，求的值. 【答案】（1）；对称轴方程为 （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换可得，结合周期性求的值，再以为整体，结合正弦函数对称轴运算求解； （2）根据图象变换可得，结合三角恒等变换运算求解，注意以整体和三角函数值的符号性. 【小问1详解】 因为 ， 由题意可知：函数的最小正周期为，且， 可得，解得，所以， 令，解得， 所以的对称轴方程为. 【小问2详解】 将的图象向左平移个单位长度，可得， 再把每个点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数， 因为，即， 且，则， 可得，， 则 ， 所以. 17. 已知函数满足，且为的一个极值点. （1）求，； （2）已知图象与的图象关于点对称，若存在使成立，求的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用极值的定义结合导数，即可列方程组求值； （2）利用对称思想求出，再结合不等式存在性问题，通过分离参变量可求得参数范围. 【小问1详解】 ， 由题，所以， 经检验合题意， 又因为，所以； 【小问2详解】 设上任意一点，关于的对称点在上， 所以，所以，即， 因为存在使得成立， 所以成立，即成立， 令，，则， 令，得， 所以当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以，所以， 所以的取值范围是. 18. 已知锐角三角形的外心为，内角，，满足. （1）求； （2）若，求边的取值范围； （3）若，点满足，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由三角形三个角的关系、诱导公式以及二倍角公式化简等式即可求得角，由圆周角与圆心角的关系即可得到的值； （2）由正弦定理得到边关于的关系式，然后由锐角三角形的角的关系求出的取值范围，即可求得边的取值范围； （3）建立平面直角坐标系，得到点坐标，设坐标，得到坐标，从而求出其模长，由锐角三角形得到变量的取值范围，即可求出的取值范围. 【小问1详解】 因为， 所以，即，所以， 因为，所以，所以，所以； 【小问2详解】 因为， 所以， 因为是锐角三角形，所以，所以， 所以，所以， 所以的取值范围是； 【小问3详解】 以为原点，的中垂线为轴建立平面直角坐标系， 则，，， 因为，所以，所以， 设，则， 所以， 因为是锐角三角形，所以，所以， 所以，所以，所以. 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若在上的最大值为0，求的值； （3）若不等式对任意的恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）对函数求导，求出切点处的导数值和函数值，进而可求出切线方程. （2）对函数求导，分，，三种情况讨论函数的最大值，从而确定的值. （3）先化简不等式，然后构造函数，两次求导，判断单调性求出最小值，进而求出的范围. 【小问1详解】 当时，，求导得， 可得，， 所以曲线在处的切线方程为，即. 【小问2详解】 ，，令，得， ①当，即时，在恒成立，所以在上单调递减， 所以，，不合条件，舍； ②当，即时，当，，当，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，解得，符合条件； ③当，即时，在恒成立，所以在上单调递增， 所以，，不合条件，舍. 综上，. 【小问3详解】 由，可得，即， 设，其中，则， 设，则， 当时，，，且等号不同时成立，则恒成立， 当时，，，则恒成立，则上单调递增， 又因为，， 所以，存在使得， 当时，；当时，. 所以，函数在上单调递减，在上单调递增，且， 作出函数的图象如下图所示： 当时，由（2）得，且当时，， 此时函数的值域为，即. （ⅰ）当时，即当时，恒成立，合乎题意； （ⅱ）当时，即当时，取， 结合图象可知，不合乎题意. 综上所述，实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省实验中学2026届高三第二次诊断性考试 数学试题 2025.11 注意事项： 1.答卷前，先将自己的考生号等信息填写在试卷和答题纸上，并在答题纸规定位置贴条形码. 2.本试卷满分150分，分为选择题和非选择题. 3.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 4.非选择题的作答：用0.5mm黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数在复平面所对应点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 5 4. 如图，某电子元件由，，三种部件组成，现将该电子元件应用到某研发设备中，经过反复测试，，，三种部件能正常工作的概率分别为，，，各个部件是否正常工作相互独立，则该电子元件能正常工作的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 若函数（且）在上为单调函数，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知直角梯形中，，，且，，点是梯形内（含边界）任意一点，设，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，且，则（ ） A. B. C D. 8. 已知函数，且，则的零点之和为（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第70%分位数是23 B. 若随机变量，且，则 C. 在回归分析中，可用决定系数值判断模型的拟合效果，越大，模型的拟合效果越好 D. 在回归模型中，残差点所在的带状区域宽度越窄，说明模型拟合精度越高 10. 已知正数，满足，则（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为2 D. 的最小值为8 11. 在中，，为边上的两点，且，则（ ） A. 若，则 B. 若，则的面积最大值为 C. 若，则长的最大值为 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式的常数项为___________． 13. 已知幂函数是奇函数，则不等式的解集为____________. 14. 已知平面向量，满足，且对任意实数都成立，则的值为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 石墨烯发热膜在生产生活中应用广泛.从石墨中分离石墨烯的一种方法是化学气相沉积法，使石墨升华后附着在材料上再结晶.现在有A材料、B材料可供选择，研究人员对附着在A材料、B材料上的石墨各做了100次再结晶试验，得到如下等高堆积条形图. （1）根据等高堆积条形图，填写如下列联表，并依据的独立性检验，分析试验结果与材料是否有关； （单位：次） A材料 B材料 合计 试验成功 试验失败 合计 （2）制作1吨石墨烯发热膜有甲、乙两个环节，其中甲环节生产合格概率为，乙环节生产合格的概率为，且各生产环节相互独立.若生产不合格还需进行修复，甲环节的修复费用为3万元，乙环节修复费用均为2万元.设随机变量为制作石墨烯发热膜所产生的修复费用，求的分布列及数学期望. 附：，其中 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 16. 若函数的相邻两个对称轴间的距离为. （1）求的值及的对称轴方程； （2）将的图象向左平移个单位长度，再把每个点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数，若且，求的值. 17. 已知函数满足，且为的一个极值点. （1）求，； （2）已知图象与的图象关于点对称，若存在使成立，求的取值范围. 18. 已知锐角三角形的外心为，内角，，满足. （1）求； （2）若，求边的取值范围； （3）若，点满足，求的取值范围. 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若在上的最大值为0，求的值； （3）若不等式对任意的恒成立，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $