1.4充分条件与必要条件讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第4节 充分条件与必要条件 【考点归纳】 【考点1】判断命题与判断命题的真假 【例题】 1、（2025高一·上海月考）判断下列语句是否为命题： (1)有的正方形是三角形； (2)任意一个三角形的内角和都为； (3)1是自然数吗？ (4)； (5)，且. 2、（2025高一·全国·随堂练习）下列语句为命题的是（    ） A．对角线相等的四边形 B．同位角相等 C． D． 【举一反三】 （23-24高一上·广西河池·阶段练习）有下列语句，其中是命题的个数为（    ） （1）数学真有趣 （2）0是自然数 （3） （4） （5）素数都是奇数. A．2 B．3 C．4 D．5 【专题作业】 1、（25-26高一·全国月考）下列语句为命题的是（    ） A．对角线相等的四边形 B． C． D．有一个内角是90°的三角形是直角三角形 2、（2024高一上·全国·专题练习）下列语句中，命题的个数是　（　　） ①空集是任何集合的真子集；②请起立； ③的绝对值为1；④你是高一的学生吗? A．0 B．1 C．2 D．3 考点2 判断充分必要条件 【例题】 1、【多选】（2025高一·山西大同月考）指出下列哪些命题中是的充分条件（   ） A．在中，， B．已知，，， C．已知，， D．已知，， 2、（24-25高一下·福建泉州·开学考试）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【举一反三】 1、（22-23高一上·四川广安·期中）设，，则是的（　  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2、（2025高一·全国月考）下列所给的各组p，q中，q是否是p的必要条件？ (1)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等； (2)p：，q：； (3)p：，q：. 【专题作业】 1、【多选题】（25-26高一上·全国·课前预习）（多选）下列命题为真命题的是（   ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“”是“”的必要不充分条件 C．“”是“”的充要条件 D．“都是无理数”是“是无理数”的既不充分也不必要条件 2、【多选】（2025高一·河北衡水·期中）的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 3、（2025高一·福建泉州月考）使不等式成立的一个必要条件是（    ） A． B． C． D． 4、（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 考点3 已知充分或必要条件求参 【例题】 1、（2025高一·上海月考）设，若是的充分条件，则实数的取值范围是 . 2、【多选】（2025高一·安徽月考）已知命题，要使为的必要条件，则的取值可以为（    ） A． B．0 C．4 D．5 3、（2025高一·湖北武汉·期末）已知或，且是的充分不必要条件，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【举一反三】 1、（2025高一·四川绵阳月考）已知集合，集合，若“”是 “”的充分条件，则实数的取值范围是 2、（23-24高一上·北京·阶段练习）设，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是 3、（23-24高一上·贵州·期末）关于的方程有两个不相等的实数根的充要条件是（    ） A．或 B．或 C． D． 【专题作业】 1、（2025高一·全国月考）已知集合，．若P的充分条件为Q，则实数m的取值范围为 ． 2、（2025高一·山东泰安月考）已知集合，.若“”是“”的充分不必要条件，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3、（25-26高一上·全国·单元测试）已知集合，集合，若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围． 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4节 充分条件与必要条件 【考点归纳】 【考点1】判断命题与判断命题的真假 【例题】 1、（2025高一·上海月考）判断下列语句是否为命题： (1)有的正方形是三角形； (2)任意一个三角形的内角和都为； (3)1是自然数吗？ (4)； (5)，且. 【答案】(1)是 (2)是 (3)不是 (4)是 (5)是 2、（2025高一·全国·随堂练习）下列语句为命题的是（    ） A．对角线相等的四边形 B．同位角相等 C． D． 【答案】B 【解析】因为命题是能判断真假的陈述语句，选项A，C和D不能判断真假，选项B可以判断真假. 【举一反三】 （23-24高一上·广西河池·阶段练习）有下列语句，其中是命题的个数为（    ） （1）数学真有趣 （2）0是自然数 （3） （4） （5）素数都是奇数. A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】（1）这是一个感叹句，没有办法判断出真假，故不是命题； （2）0是自然数，显然这句话是对的，因此是命题，而且是真命题； （3）因为是正确的，所以是命题，而且是真命题； （4）不能判断是否正确，所以不是命题； （5）2是素数也是偶数，所以是命题，是假命题； 所以（1）､（4）不是命题，其余都是命题.其中，（2）是真命题；（3）是真命题；（5）是假命题. 【专题作业】 1、（25-26高一·全国月考）下列语句为命题的是（    ） A．对角线相等的四边形 B． C． D．有一个内角是90°的三角形是直角三角形 【答案】D 【解析】由命题的定义可知，能够判断真假的陈述句是命题，所以D为命题． A，B，C不能判断真假，所以不是命题． 2、（2024高一上·全国·专题练习）下列语句中，命题的个数是　（　　） ①空集是任何集合的真子集；②请起立； ③的绝对值为1；④你是高一的学生吗? A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】①③是命题；②是祈使句，不是命题；④是疑问句，不是命题. 考点2 判断充分必要条件 【例题】 1、【多选】（2025高一·山西大同月考）指出下列哪些命题中是的充分条件（   ） A．在中，， B．已知，，， C．已知，， D．已知，， 【答案】ABD 【解析】在中，由大角对大边知，，所以是的充分条件，故A正确； 由，故是的充分条件，故B正确； 由，所以不是的充分条件，故C错误. ，故是的充分条件，故D正确. 2、（24-25高一下·福建泉州·开学考试）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由，得或，由，则，即， 所以“”是“”的必要不充分条件. 【举一反三】 1、（22-23高一上·四川广安·期中）设，，则是的（　  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】，当时，可得，但当， 不一定能得到，则是的必要不充分条件. 2、（2025高一·全国月考）下列所给的各组p，q中，q是否是p的必要条件？ (1)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等； (2)p：，q：； (3)p：，q：. 【答案】（1）因为矩形的对角线相等，所以q是p的必要条件． （2）由，可得，所以，所以q是p的必要条件． （3）当时，推不出，故，所以q不是p的必要条件. 【专题作业】 1、【多选题】（25-26高一上·全国·课前预习）（多选）下列命题为真命题的是（   ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“”是“”的必要不充分条件 C．“”是“”的充要条件 D．“都是无理数”是“是无理数”的既不充分也不必要条件 【答案】ABD 2、【多选】（2025高一·河北衡水·期中）的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】对于A：当时，满足，此时，所以不是的充分条件； 对于B：，则，所以，所以是的充分条件； 对于C：当时，满足，此时，所以不是的充分条件； 对于D：，则，所以，即，所以是的充分条件。 3、（2025高一·福建泉州月考）使不等式成立的一个必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，因此只有B是其必要条件． 4、（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】因为，所以p是q的充分不必要条件. 考点3 已知充分或必要条件求参 【例题】 1、（2025高一·上海月考）设，若是的充分条件，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】设.因为是的充分条件，所以，所以. 2、【多选】（2025高一·安徽月考）已知命题，要使为的必要条件，则的取值可以为（    ） A． B．0 C．4 D．5 【答案】AB 【解析】由为的必要条件可得. 3、（2025高一·湖北武汉·期末）已知或，且是的充分不必要条件，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】或，是的充分不必要条件，所以且，则. 【举一反三】 1、（2025高一·四川绵阳月考）已知集合，集合，若“”是 “”的充分条件，则实数的取值范围是 【答案】 【解析】因为“”是 “”的充分条件，所以，所以. 2、（23-24高一上·北京·阶段练习）设，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是 【答案】 【解析】因为，，又是的必要不充分条件，所以，解得. 3、（23-24高一上·贵州·期末）关于的方程有两个不相等的实数根的充要条件是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】 【解析】由方程关于的方程有两个不相等的实数根，则满足， 解得或，即方程有两个不相等的实数根的充要条件是或. 【专题作业】 1、（2025高一·全国月考）已知集合，．若P的充分条件为Q，则实数m的取值范围为 ． 【答案】 【解析】由已知，P的充分条件为Q，则Q是P的子集， 当时，即时，，满足题意； 当，即时，由题意得，解得， 综上，m的取值范围是． 2、（2025高一·山东泰安月考）已知集合，.若“”是“”的充分不必要条件，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集， 当时，，解得； 当时，，前两个等号不能同时取得，解得， 综上m的取值范围是. 3、（25-26高一上·全国·单元测试）已知集合，集合，若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围． 【答案】因为“”是“”的必要不充分条件，所以真包含于， 当，即，此时，符合题意； 当，即，即， 此时要使真包含于，则，解得， 当时，符合题意； 当时，符合题意； 综上可得的取值范围为或 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $