1.1集合的概念讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第1节 集合概念 【考点归纳】 【考点1】集合的三特征 【例题】 1、【多选题】（25-26高一上·山东德州·开学考试）下列说法正确的是（   ） A．联合国安理会常任理事国能组成一个集合 B．我校很喜欢足球的同学能组成一个集合 C．由不大于的自然数组成的集合的所有元素为 D．数，，，，组成的集合中有5个元素 2、（24-25高一上·河南洛阳·阶段练习）以下四组对象，能构成集合的是（    ）. A．最大的正实数 B．最小的整数 C．平方等于1的实数 D．最接近1的实数 【举一反三】 1、（2025高一·全国·专题练习）下列各对象可以组成集合的是（　　） A．与1非常接近的全体实数 B．新学期2025～2026学年度第一学期全体高一学生 C．高一年级视力比较好的同学 D．高中学生中的游泳高手 【专题作业】 1、（2025高一·全国·课前预习）下列对象不能构成集合的是（    ） ①我国古代著名的数学家； ②所有的APEC成员国； ③空气中密度小的气体． A．①② B．②③ C．①②③ D．①③ 2、（23-24高一上·重庆·期中）下列叙述能组成集合的是（　　） A．接近0的数 B．数学成绩好的同学 C．中国古代四大发明 D．跑得快的运动员 【考点2】集合的表示 【例题】 1、（25-26高一·全国·课前预习）用列举法表示集合 ． 2、（23-24高一上·全国·课后作业）用描述法表示下列集合． (1)所有不在第一、三象限的点组成的集合； (2)所有被3除余1的整数组成的集合； (3)使有意义的实数x组成的集合． (4)方程的解集． 【专题作业】 1、（25-26高一·全国·随堂练习）用列举法表示下列集合： (1)方程的实数根组成的集合； (2)大于10而小于20的合数组成的集合； (3)方程组的解集组成的集合． 2、（23-24高一·全国·课堂例题）用描述法表示下列集合： (1)； (2)偶数集； (3)被3除余2的正整数组成的集合； (4)． 【考点3】判断元素与集合的关系 【例题】 1、（23-24高一上·四川凉山·期中）下列关系中，正确的有（    ）． ①； ②； ③； ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2、（2025高一·全国·专题练习）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1、（23-24高一上·湖南株洲·阶段练习）下列元素与集合的关系中，正确的是（    ） A． B． C． D． 2、（25-26高一·全国·课前预习）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【专题作业】 1、（25-26高一·全国·随堂练习）用符号“”或“”填空： （1）0 ， ，3.14 ， ， ， ； （2）0 ，1 ． 2、（25-26高一上·宁夏·练习）下列关系：①，②，③，④中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【考点4】已知元素与集合的关系，求参数 【例题】 1、（2025高一·全国·专题练习）已知集合，且，则实数的值为（　　） A． B．0 C．3 D．或3 2、（24-25高一上·四川成都·期中）已知集合，，则 ． 【举一反三】 1、（24-25高一上·上海·随堂练习）已知集合，，且，求集合． 2、（23-24高一上·河南郑州·期中）设集合，若且，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【专题作业】 1、（24-25高一上·江苏·练习）已知集合，，且，则集合 ． 2、（23-24高一上·山东·期中）已知集合有三个元素.若，则实数的值为（    ） A． B．1 C．或1 D．0或1 【考点5】求新定义集合的元素 【例题】 1、（2025高一·福建·期中）已知集合，，则中的元素个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2、（2025高一·重庆南岸·阶段练习）定义集合的一种运算：，若，则中的元素个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【举一反三】 1、（2024·云南保山·二模）定义集合运算：，设，，则集合的所有元素之和为（    ） A．14 B．15 C．16 D．18 2、（23-24高一上·重庆北碚·期末）定义若则中元素个数为（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【专题作业】 1、（23-24高一上·天津南开·阶段练习）定义集合运算：.设，，则集合中的所有元素之和为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2、（2025·安徽蚌埠·模拟预测）对于数集，，定义， ，若集合，则集合中所有元素之和为（    ） A．5 B． C． D． 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1节 集合概念 【考点归纳】 【考点1】集合的三特征 【例题】 1、【多选题】（25-26高一上·山东德州·开学考试）下列说法正确的是（   ） A．联合国安理会常任理事国能组成一个集合 B．我校很喜欢足球的同学能组成一个集合 C．由不大于的自然数组成的集合的所有元素为 D．数，，，，组成的集合中有5个元素 【答案】AD 【详解】对于A，因为联合国安理会常任理事国是确定的，所以A正确； 对于B，因为喜欢足球的同学不确定，所以我校很喜欢足球的同学不能组成一个集合，故B错误； 对于C，不大于的自然数有，则由不大于的自然数组成的集合的所有元素为，故C错误； 对于D，因为，，所以数，，，，组成的集合中有5个元素，则D正确. 2、（24-25高一上·河南洛阳·阶段练习）以下四组对象，能构成集合的是（    ）. A．最大的正实数 B．最小的整数 C．平方等于1的实数 D．最接近1的实数 【答案】C 【详解】对于A，无法确定最大的正实数是哪一个数，故A错误； 对于B，无法确定最小的整数是哪一个数，故B错误； 对于C，平方等于1的实数为，可以构成集合，故C正确； 对于D，无法确定最接近1的实数是哪一个数，故D错误； 【举一反三】 1、（2025高一·全国·专题练习）下列各对象可以组成集合的是（　　） A．与1非常接近的全体实数 B．新学期2025～2026学年度第一学期全体高一学生 C．高一年级视力比较好的同学 D．高中学生中的游泳高手 【答案】B 【解析】对于A：“非常接近”不具有确定性，故选项A错误； 对于B：对于任何一个学生可以判断其在高一学生这个集合中，故选项B正确； 对于C：“比较好”不具有确定性，故选项C错误； 对于D：“高手”不具有确定性，故选项D错误. 【专题作业】 1、（2025高一·全国·课前预习）下列对象不能构成集合的是（    ） ①我国古代著名的数学家； ②所有的APEC成员国； ③空气中密度小的气体． A．①② B．②③ C．①②③ D．①③ 【答案】D 【解析】研究一组对象能否构成集合的问题，首先要考查集合中元素的确定性． ①中的“著名”没有明确的界限；②中的研究对象显然符合确定性；③中“密度小”没有明确的界限． 2、（23-24高一上·重庆·期中）下列叙述能组成集合的是（　　） A．接近0的数 B．数学成绩好的同学 C．中国古代四大发明 D．跑得快的运动员 【答案】C 【解析】对于选项ABD：缺乏统一的判断标准，均不满足确定性，故ABD错误； 对于选项C：中国古代四大发明是确定的，符合确定性，所以能构成集合，故C正确. 【考点2】集合的表示 【例题】 1、（25-26高一·全国·课前预习）用列举法表示集合 ． 【答案】 【解析】因为，且，所以，则，故或7，所以． 2、（23-24高一上·全国·课后作业）用描述法表示下列集合． (1)所有不在第一、三象限的点组成的集合； (2)所有被3除余1的整数组成的集合； (3)使有意义的实数x组成的集合． (4)方程的解集． 【解答过程】（1）∵不在第一、三象限的点分布在第二、四象限或坐标轴上， ∴所有不在第一、三象限的点组成的集合为． （2）∵被3除余1的整数可表示为，∴所有被3除余1的整数组成的集合为 ． （3）要使有意义．则．解得且． ∴使有意义的实数x组成的集合为且． （4）由，解得．∴方程的解集为． 【专题作业】 1、（25-26高一·全国·随堂练习）用列举法表示下列集合： (1)方程的实数根组成的集合； (2)大于10而小于20的合数组成的集合； (3)方程组的解集组成的集合． 【解析】（1）因为方程的实数根为，集合表示为. （2）大于10而小于20的合数有12，14，15，16，18，集合表示为； （3）由，得，方程组的解集可表示为. 2、（23-24高一·全国·课堂例题）用描述法表示下列集合： (1)； (2)偶数集； (3)被3除余2的正整数组成的集合； (4)． 【解析】（1）原集合为，则描述法表示为：且. （2）偶数集，用描述法表示为：. （3）被3除余2的正整数组成的集合，用描述法表示为：. （4）原集合为，用描述法表示为. 【考点3】判断元素与集合的关系 【例题】 1、（23-24高一上·四川凉山·期中）下列关系中，正确的有（    ）． ①； ②； ③； ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解析】对于①：因为为实数集，所以，正确； 对于②④：因为为有理数集，所以，，②正确，④错误； 对于③：因为为自然数集，，正确； 所以正确的有3个，选：C. 2、（2025高一·全国·专题练习）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以或.又，所以，，故. 【举一反三】 1、（23-24高一上·湖南株洲·阶段练习）下列元素与集合的关系中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于选项A，因不是正整数，故A项错误； 对于选项B，是无理数，故必是实数，故B项正确； 对于选项C，是分数，故不是整数，故C项错误； 对于选项D，是自然数，故D项错误. 2、（25-26高一·全国·课前预习）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得，，，， 所以.所以只有选项B正确. 【专题作业】 1、（25-26高一·全国·随堂练习）用符号“”或“”填空： （1）0 ， ，3.14 ， ， ， ； （2）0 ，1 ． 【答案】（1） （2） 【解析】（1）是正整数集，0不是正整数，； 是整数集，是整数，； 是有理数集，3.14是有理数，； 是有理数集，是无理数，； 是整数集，不是整数，； 是实数集，是实数，； （2）集合中含有元素，； 解方程得，，则，. 2、（25-26高一上·宁夏·练习）下列关系：①，②，③，④中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】对于①：为有理数，则成立，①正确； 对于②：为实数，则不成立，②错误； 对于③：不是正整数，则不成立，③错误； 对于④：是无理数，不是整数，则不成立，④错误； 【考点4】已知元素与集合的关系，求参数 【例题】 1、（2025高一·全国·专题练习）已知集合，且，则实数的值为（　　） A． B．0 C．3 D．或3 【答案】C 【解析】因为，所以分为以下两种情况讨论． ①或，当时，集合，满足题意；当时，集合，不满足集合的互异性，故舍去． ②，此时集合，不满足集合的互异性，故舍去．综上所述，． 2、（24-25高一上·四川成都·期中）已知集合，，则 ． 【答案】1 【详解】由集合，，得或， 当时，，此时，不符合题意，； 当时，显然，解得，集合，符合题意，所以. 【举一反三】 1、（24-25高一上·上海·随堂练习）已知集合，，且，求集合． 【答案】 【详解】由题意，，即，解得或． 当时，集合中元素7和相等，不满足元素互异性，舍去； 当时，，，故． 2、（23-24高一上·河南郑州·期中）设集合，若且，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解析】由题意.故选：D. 【专题作业】 1、（24-25高一上·江苏·练习）已知集合，，且，则集合 ． 【答案】 【详解】因为，所以或，由，得到或， 当时，集合不满足集合的互异性，舍去， 当时，，满足题意，此时， 当时，集合不满足集合的互异性，舍去， 2、（23-24高一上·山东·期中）已知集合有三个元素.若，则实数的值为（    ） A． B．1 C．或1 D．0或1 【解析】因为，所以或. 当即时，，满足题意； 当即时， 若，则，满足题意；若，则，不满足题意； 综上，实数的值为或1. 【考点5】求新定义集合的元素 【例题】 1、（2025高一·福建·期中）已知集合，，则中的元素个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】由题意，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 由集合中元素满足互异性，所以. 2、（2025高一·重庆南岸·阶段练习）定义集合的一种运算：，若，则中的元素个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】因为， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 所以，故中的元素个数为3. 【举一反三】 1、（2024·云南保山·二模）定义集合运算：，设，，则集合的所有元素之和为（    ） A．14 B．15 C．16 D．18 【解析】由题设知，所有元素之和为。 2、（23-24高一上·重庆北碚·期末）定义若则中元素个数为（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【解析】因为且， 当时，可能为，此时的取值为：； 当时，可能为，此时的取值为：； 当时，可能为，此时的取值为：； 综上可知：，所以集合中元素个数为5。 【专题作业】 1、（23-24高一上·天津南开·阶段练习）定义集合运算：.设，，则集合中的所有元素之和为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【解析】当时，；当时，； 当时，；当时，； 所以，所以中所有元素之和为. 2、（2025·安徽蚌埠·模拟预测）对于数集，，定义， ，若集合，则集合中所有元素之和为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【解析】集合，则，则 ，则可知所有元素之和为． 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $