1.1集合的概念 讲义-2025-2026学年高一上学期人教A版数学必修第一册

该高中数学单元复习讲义以集合概念为核心，通过分点梳理与表格工具系统构建知识体系。将集合的概念、元素性质、表示方法等要点分层呈现，用常用数集符号表格明晰核心符号，形成“概念-性质-表示-应用”的递进脉络，突出确定性、互异性等重难点的内在联系。 讲义亮点在于“考点分层+典例精析”的练习设计，如多选判断集合构成（例1）、元素与集合关系应用（例2）等题型，培养学生用数学的思维辨析元素确定性，用数学语言规范表示集合。通过分类讨论（例5集合相等）、参数求解（例9由元素关系求参数）等方法指导，帮助基础学生掌握概念应用，优秀学生深化逻辑推理能力，为教师精准教学和学生自主复习提供清晰路径。

人教版高中数学必修一讲义系列 第一章 集合与常用逻辑用语 1.1集合的概念 【知识点】 1. 集合的概念：我们把研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫做集合，简称集。 通常集合用大写字母A、B、C等表示，元素用小写字母表示。 注意：组成集合的元素可以是数、点、图形、多项式、方程，也可以是人或物等。 2. 集合中元素的性质 （1）确定性：对于任意一个元素，要么它属于某个指定集合，要么不属于某一指定集合。 例：“1~10之间所有的偶数”可以构成一个集合，2、4、6、8、10是该集合中的元素，1、3、5、7、9不是该集合中的元素。而“较大的整数”不能构成一个集合。 （2）互异性：同一集合中的元素互不相同。 （3）无序性：集合中的元素无先后顺序。 例：集合{1,2}和{2,1}表示同一集合。 3. 元素与集合的关系 属于：若元素a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作：. 不属于：若元素a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作：. 注意：任一元素a对于集合A，在和这两种情况中必有且只有一种情况成立。 4. 集合的表示方法 （1）列举法：把集合元素一一列举出来，并用“{ }”括起来，且元素之间用“，”隔开。 例. 用列举法表示下列集合 ①小于10的所有自然数组成的集合 解：设小于10的所有自然数组成的集合为A，则A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} ②方程的所有实数跟组成的集合 解：设方程的所有实数跟组成的集合为B，则B={0,1} （2）描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，记作：. 例：不等式的解组成的集合 解：不等式的解集表示为 注意：有时也可以用“：”或“；”代替“|”，记作：，。 5. 集合的分类 （1）根据元素属性分类：可分为数集、点集等； （2）根据元素多少分类：可分为有限集和无限集。 6. 常用数集符号 实数集 整数集 自然数集 正整数集 有理数集 R Z N N*或N+ Q 【典例剖析】 考点一：集合的概念与表示 例1. （多选）下列每组对象，能构成集合的是（ ） A. 北京最美的景点 B. 很高的楼房 C. 大于1的实数 D. 方程的实数根 【答案】CD 【解析】集合的元素需满足‌确定性‌，即能明确判断任一对象是否属于该集合。 A. “最美”缺乏明确标准，无法客观判断，元素不确定，不能构成集合，故A项错误；‌ B. “很高”没有统一定义，元素不确定，不能构成集合，故B项错误；‌ C. 大于1的实数‌，具有明确的数学界限，元素确定，能构成集合。，故C项正确； D. 将方程分解因式可得，即该方程的实数根为-1或3能构成集合，故D项正确； 因此，能构成集合的选择C、D. 例2. 用“∈”和“∉”填空： （1）设集合A是有理数构成的集合，则0.5______ A， ______ A. （2）设集合B=，则-2______ B，4 ______ B. （3）设集合C是能使方程有实数解的实数构成的集合，则2______ C， -3 ______ C. 【答案】（1）∈；∉ （2）∉；∉ （3）∉；∈ 【解析】（1）有理数是可以表示为两个整数之比（分数形式）的数，包括整数、有限小数和循环小数。0.5可以表示为分数1/2，因此它是一个有理数，属于集合A。所以应填“∈”。‌‌是一个无理数，无法表示为分数形式，因此不属于集合A。所以应填“∉”。‌ （2）将方程分解因式可得，因此集合B=，因此 -2∉B，4∉B。 （3）若方程有实数解，则其判别式Δ=，即，解不等式得，即集合C=，则2∉C，-3∈C. 例3. 请判断下列说法是否正确： （1）. （ ） （2）与是同一个集合. （ ） （3）表示二次函数的的取值范围. （ ） 【答案】（1）√；（2）√；（3）× 【解析】（1）解方程得，故集合，正确； （2）根据集合的定义，表示函数的值域。由于对于所有实数成立，因此，所以该集合等价于 {y|y≥1}。‌另一方面，{x|x≥1} 表示所有大于或等于 1 的实数集合，即 x 值的集合。‌虽然两个集合中元素表示不同，但所包含的元素相同，即二者都表示大于或等于1的实数，因此与是同一集合，故（2）正确； （3）集合表示的是函数图象上所有点的集合，是一个点集；而二次函数的y 的取值范围是指，是一个数集，二者不能代表同一集合，故（3）错误。 例4. 用列举法表示下列集合 （1）； （2）B=； （3）由所有可能的取值构成集合C，其中为非零实数. 【答案】（1）A=；（2）B=；C=. 【解析】（1）集合A定义为所有满足条件 是自然数的自然数x的集合。要使 为自然数，分母( 9 - x )必须是 9 的正约数。9 的正约数有 1、3 和 9。当 9 - x = 1时，解得 x = 8； 当9 - x = 3时，解得x = 6；当9 - x = 9时，解得x = 0。因此，集合A用列举法可表示为：A=. （2）根据（1）可知，当x=0时，=1；当x=6时，=3，当x=8时，=9；故集合B用列举法可表示为：B=. （3）分析表达式： ​的值取决于a 的符号：当a>0时，，；当a<0时，，。 ​的值取决于b的符号：当b>0 时，，​；当b<0时，，。 由于a和b的符号组合有四种情况，我们枚举所有可能： ①当a>0 且b>0‌时，​，则； ②‌a>0 且 b<0‌，或a<0且b>0时， ③a<0且b<0时，​，则； 因此，集合C用列举法表示为：C=. 考点二 ：集合相等 例5. 含有三个实数的集合也可以表示为，则______. 【答案】‌1 或 【解析】由于集合 {2, x, y} 和 {2, 2x, y^2} 相等，它们包含的元素完全相同。根据集合中元素的互异性，我们可以推导出 x 和 y 的可能值。 ①x = 2x，y = ：解得 x = 0；y = 0 或 y = 1；当x=y=0时，集合为只有两个元素，不满足题意；当x = 0，y=1时，两集合均为满足题意。 ②y = 2x，x = ：解得x = y=0 或 x = 1/4，y=1/2；由①可知x=y=0不满足条件；当x = 1/4，y=1/2时，两集合均为满足题意。 综上，满足条件的解有两组：x = 0, y = 1，则 x + y = 1。x = 1/4, y = 1/2，则 x + y = 3/4。 故，x+y的值为1或。 例6. 设，若集合，则=______. 【答案】2 【解析】因为集合，两集合中元素分别对应相应，由于为分母，则 ，则，即，则，则b=1，，两集合为，则，故=2. 考点三：集合中元素的互异性 例7. 设集合A=，若3∈A，则实数m=______. 【答案】4或-2或2 【解析】根据题意可知存在以下三种情况： ①若，则，此时集合A=满足条件； ②若, 则，此时集合A=，不满足元素的互异性； ③若，则，当m=2时，集合A=满足条件；当m=-2时，集合A=满足条件； 综上，m=4或2或-2. 例8. 若集合A=，且3∈A，则实数x=______. 【答案】-1 【解析】已知集合 A = {1, x, x² - 2x}，且 3 ∈ A，这意味着 3 必须是集合 A 中的一个元素。因此，存在下列两种情况： ①x = 3‌，代入集合 A，得到 A = {1, 3, 3}，不满足集合的互异性。故 x = 3 舍去。‌ ②x² - 2x = 3‌，解方程x² - 2x - 3 = 0，因式分解得：(x - 3)(x + 1) = 0，所以 x = 3 或 x = -1。 x = 3 已在①中舍去。 当x = -1 时，代入集合 A，得到A = {1, -1, 3}。所有元素互异，且包含 3，满足条件。‌ 综上，唯一满足条件的解是 x = -1。 考点四：由元素与集合的关系求参数的值或范围 例9. 已知集合A=，其中∈R，若1∈A，则A=______. 【答案】 【解析】已知集合A={x∈R|，且1是集合A的一个元素，这意味着当x=1时，方程成立。‌ 将x=1代入方程，得到：a = -3 将a=-3代入原方程，得到： 将方程因式分解可得：，解得： 因此，集合A=. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $