精品解析：海南嘉积中学2025-2026学年高一上学期第一次月考数学试题

嘉积中学2025—2026学年度第一学期高一年级第一次月考 数学科试题 （时间：120分钟 满分：150分） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. , D. , 【答案】B 【解析】 【分析】应用并集定义计算求解. 【详解】集合， ,,， ． 故选：B． 2. 若全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由图示分析阴影部分与集合A,B的关系，再根据集合的运算可得结果. 【详解】由图可知，阴影部分包含于集合，与集合的交集为空集， 所以阴影部分表示的集合是集合与集合的交集. 因为全集，集合，所以或. 因为集合，所以. 故选：D. 3. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题即可求解. 【详解】命题“，”的否定是，； 故选：D 4. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据根式函数和分式函数的定义域求法求解. 【详解】由解得且， 所以的定义域为. 故选：D 5. 不等式的解集是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】化分式不等式为整式不等式计算即可. 【详解】由可得， 所以且，解得或. 故选：D 6. 函数（）的最大值为（ ） A. B. 3 C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】将代数式化为，结合基本不等式可求得答案. 【详解】因为，则， 所以， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以当时，则的最大值为. 故选：D 7. 不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用三个二次关系分类讨论计算即可. 【详解】若，则，显然恒成立； 若，要满足题意需，解之得； 综上所述. 故选：B 8. 《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名．某社区调查了该社区的部分市民的观影情况，调查结果显示：观看了《南京照相馆》的有人，观看了《浪浪山小妖怪》的有人，观看了《长安的荔枝》的有人，三部电影都观看了的有人，观看了其中两部电影的有人，这三部电影都未观看的有人．则接受调查的市民共有（ ） A. 100人 B. 人 C. 人 D. 178人 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意用Venn图表示题设中的集合关系，根据三个集合的容斥关系公式计算得到答案. 【详解】如图所示，用Venn图表示题设中的集合关系， 不妨将观看了《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》的市民分别用集合表示， 则，，，． 不妨设总人数为，观看了《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》的人数为， 观看了《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》的人数为， 观看了《南京照相馆》、《长安的荔枝》的人数为， 则，，，． 由三个集合的容斥关系公式得 ， 解得，故接受调查的市民共有人． 故选：B． 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列不等关系正确的是（ ） A. 若，则 B. 若且，则 C. 若且，则； D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】利用特殊值判断A、D，利用作差法判断B、C. 【详解】对于A：当时，故A错误； 对于B：因为且，所以且，所以，故B正确； 对于C：，因为且，所以，， 又，，所以，所以，故C正确； 对于D：当时满足， 但是，故D错误． 故选：BC 10. 下列每组中的函数不是同一个函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据相同函数的定义进行逐一判断即可. 【详解】对于A，函数的定义域为R，函数的定义域为，所以这两个函数不是同一个函数； 对于B，因为，且，的定义域均为R，所以这两个函数是同一个函数； 对于C，，和的对应关系不同，所以这两个函数不是同一个函数； 对于D，函数的定义域为{，且}，函数的定义域为R，所以这两个函数不是同一个函数． 故选：ACD． 11. 下列有关最值的结论中，正确的是（ ） A. 已知，则函数的最大值为0 B. 已知，，则的最小值为8 C. 已知，，则的最大值为4 D. 已知，为实数，则的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用基本不等式验证各选项的最值即可. 【详解】对于A，，则， ，当且仅当，即时取等号，A错误； 对于B，由，，得，且，， ， 当且仅当，即时取等号，B正确； 对于C，，由，得， 解得，当且仅当时取等号，C正确； 对于D，显然要取到最大值，必有， 此时， 当且仅当，即时取等号，D正确. 故选：BCD 【点睛】方法点睛，本题各个选项均是求代数式的最值，所以考虑利用基本不等式求最值.基本不等式中最核心的点在于构造出定值，对代数式进行合理整理化简求得定值是本题的关键. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，14题第一空2分，第二空3分，共15分. 12. 设，则“”的一个充分不必要条件是______.（写出一个满足条件的答案即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】先解绝对值不等式，再由充分不必要条件即可直接得解. 【详解】解得， 则是的一个充分不必要条件. 故答案为：（答案不唯一） 13. 已知是一次函数且，则的解析式______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意设，利用待定系数法求解. 【详解】是一次函数，下设， 由，则， 化简可得：， 由对应系数相等可知，，解得， 则. 故答案为： 14. 在上定义运算.已知不等式 ①若时，上述不等式的解集为_____________； ②若上述不等式对任意实数恒成立，则的范围为___________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先根据新定义化简不等式，，再代入a值求不等式即得①；分离参数，求函数最值，解决恒成立问题，即得②. 【详解】依题意，，故不等式即， ①时，不等式即，即， 故不等式的解集为； ②依题意，对任意实数，恒成立， 化简整理即在时恒成立， 设，在上单调递增，则， 所以，解得. 故答案为：；. 【点睛】方法点睛： 解决恒成立问题的常用方法： ①数形结合法：画图像，对关键点限制条件； ②分离参数法：转化成参数与函数最值的关系； ③构造函数法：转化成函数最值（含参数）的范围. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）解一元二次不等式化简集合A，再把代入，利用补集、交集的定义求解作答. （2）由已知可得，再利用集合的包含关系分类求解作答. 【小问1详解】 解不等式，得，即， 当时，，， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，，由，得， 当，即时，，满足，因此； 当，即时，，即有， 则，解得，因此， 所以实数的取值范围. 16. 已知正数、满足． （1）求的最大值，并求出此时、的值； （2）求的最小值，并求出此时、的值． 【答案】（1）的最大值为1，此时； （2）的最小值为，此时，. 【解析】 【分析】（1）直接由基本不等式即可求解； （2）由乘“1”法结合基本不等式即可求解. 【小问1详解】 ∵，，∴， 又，∴，当且仅当时等号成立， ∴的最大值为1，此时； 【小问2详解】 ， 当且仅当，即，时，等号成立， ∴的最小值为，此时，. 17. （1）若，，求证：. （2）已知“，”. （i）求的取值范围； （ii）求的取值范围. 【答案】 （1）证明：因为，所以，利用同向可加性得， 所以，则， 又，所以； （2）； 【解析】 【分析】（1）利用不等式的性质证明即可； （2）（i）利用不等式的性质计算即可；（ii）利用待定系数法计算即可. 【详解】（1）略 （2）（i）因为，， 所以由同向可加性得，则； （ii）设，即， 所以，解得， 则，， 所以. 18. 2023年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本5000万元，每生产（百辆），需另投入成本（万元），且，已知每辆车售价15万元，全年内生产的所有车辆都能售完. （1）求2023年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式； （2）2023年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润. 【答案】（1） （2）， 万元 【解析】 【分析】（1）根据利润＝销售额－成本，结合分类讨论思想进行求解即可； （2）根据配方法、基本不等式进行求解即可. 【小问1详解】 当时，， 当时，， 综上，. 【小问2详解】 由（1）知，， 当时，， 因为，所以，当时，， 当时，， 当且仅当，即时取等号，此时，又， 所以，2023年产量为百辆时，企业所获利润最大，最大利润为万元. 19. 已知函数. （1）若不等式的解集为，求a，b的值； （2）若，求关于的不等式的解集； （3），使得不等式有解，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2） 时不等式解集为， 时，不等式解集为， 时，不等式解集为； （3） 【解析】 【分析】（1）利用三个二次关系结合韦达定理待定系数法计算即可； （2）直接含参讨论解一元二次不等式即可； （3）化简不等式并分离参数，由对勾函数的性质计算最值即可. 【小问1详解】 由题意可知，且是方程的两个不等实数根， 即，解之得； 【小问2详解】 不等式等价于， 若，此时不等式解为， 若，此时，不等式解为或， 若，此时，不等式解为或， 综上所述：时不等式解集为， 时，不等式解集为， 时，不等式解集为； 【小问3详解】 不等式等价于， 因为恒成立，则， 所以使得成立，即问题可化为， 不妨设， 易知， 由对勾函数的性质可知在时单调递减， 在时单调递增，所以， 故. 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 嘉积中学2025—2026学年度第一学期高一年级第一次月考 数学科试题 （时间：120分钟 满分：150分） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. , D. , 2. 若全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 3. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 5. 不等式的解集是（ ） A. B. C. 或 D. 或 6. 函数（）的最大值为（ ） A. B. 3 C. 1 D. 7. 不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名．某社区调查了该社区的部分市民的观影情况，调查结果显示：观看了《南京照相馆》的有人，观看了《浪浪山小妖怪》的有人，观看了《长安的荔枝》的有人，三部电影都观看了的有人，观看了其中两部电影的有人，这三部电影都未观看的有人．则接受调查的市民共有（ ） A. 100人 B. 人 C. 人 D. 178人 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列不等关系正确的是（ ） A. 若，则 B. 若且，则 C. 若且，则； D. 若，则 10. 下列每组中的函数不是同一个函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 11. 下列有关最值的结论中，正确的是（ ） A. 已知，则函数的最大值为0 B. 已知，，则的最小值为8 C. 已知，，则的最大值为4 D. 已知，为实数，则的最大值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，14题第一空2分，第二空3分，共15分. 12. 设，则“”的一个充分不必要条件是______.（写出一个满足条件的答案即可） 13. 已知是一次函数且，则的解析式______. 14. 在上定义运算.已知不等式 ①若时，上述不等式的解集为_____________； ②若上述不等式对任意实数恒成立，则的范围为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围. 16. 已知正数、满足． （1）求的最大值，并求出此时、的值； （2）求的最小值，并求出此时、的值． 17. （1）若，，求证：. （2）已知“，”. （i）求的取值范围； （ii）求的取值范围. 18. 2023年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本5000万元，每生产（百辆），需另投入成本（万元），且，已知每辆车售价15万元，全年内生产的所有车辆都能售完. （1）求2023年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式； （2）2023年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润. 19. 已知函数. （1）若不等式的解集为，求a，b的值； （2）若，求关于的不等式的解集； （3），使得不等式有解，求实数a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $