精品解析：浙江省杭州钱江外国语教育集团2025-2026学年上学期期中考试八年级数学试题卷

浙江省杭州钱江外国语教育集团2025-2026学年上学期期中考试八年级数学试题卷 【考生须知】 1．本卷为试题卷，请将答案做在答题卷上： 2．本次检测不使用计算器． 一、选择题（每小题有4个选项，其中有且只有一个正确．每小题3分，共30分） 1. 在以下绿色食品、节能、节水、可回收四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A B. C. D. 2. 下列长度（单位：）的三条线段能组成三角形的是（　　） A 5，5，13 B. 1，2，3 C. 5，7，12 D. 11，12，13 3. 用不等式表示：“与的的和为正数”，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题是真命题的是（ ） A. 两个等边三角形一定全等 B. 全等三角形的面积一定相等 C. 形状相同的两个三角形全等 D. 面积相等的两个三角形全等 5. 已知3a＞﹣6b，则下列不等式一定成立的是（　　） A. a+1＞﹣2b﹣1 B. ﹣a＜b C. 3a+6b＜0 D. ＞﹣2 6. 如图三角形纸片被遮住了一部分，小明根据所学知识画出了一个与原三角形完全重合的三角形，他画图的依据是（ ） A. SSS B. AAS C. ASA D. SAS 7. 如图，在△ABC 中，AB=AC，∠B=50°，P 是边 AB 上的一个动点(不与顶点 A 重合)，则∠BPC 的度数可能是 A. 50° B. 80° C. 100° D. 130° 8. 已知，用尺规作图的方法在上确定一点P，使，则符合要求的作图痕迹（ ） A. B. C. D. 9. 在中，，点在边上，，以下说法正确的是（ ） A 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 如图，点在边上，点在内部，，，，给出下列结论，①；②；③；④其中一定正确的所有序号是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①③ 二、填空题（每题3分，共6小题，共18分） 11. 等腰三角形两底角相等的逆命题是______． 12. 关于的不等式的最大正整数解是_______． 13. 如图，已知，还需要一个条件________，根据“”可直接证明． 14. 如图，是的角平分线，，点P在上，连接，则的最小值为_______． 15. 已知中，．如图，将进行折叠，使点A落在线段上（包括点和点C）设点的落点为，折痕为，当是等腰三角形时，________． 16. 如图，在四边形ABCD中，，在、上分别取一点M、N，使的周长最小，则_______． 三、解答题（共8题，共72分） 17. 解不等式 （1）； （2）． 18. 已知，如图，四边形 （1）用直尺和圆规，在线段上找一点，使得，连接，（不写作法，保留作图痕迹）： （2）在（1）图形中，若，且，求的长． 19. 如图，△ABC中，，BG，CF分别是AC，AB边上的高线，求证：． 20. 如图，是底边上的高线，交AC于点．求证：是等腰三角形． 21. 已知不等式． （1）若它的解集是，求的取值范围； （2）若它的解集与不等式的解集相同，求的值． 22. 如图，点E在边BC上，∠1＝∠2，∠C＝∠AED，BC＝DE． （1）求证：AB＝AD； （2）若∠C＝70°，求∠BED的度数． 23. 如图，在中，为直线上一动点（不与点B，C重合），在的右侧作，使得，连接． （1）当在线段上时， ①求证：． ②当时，求的度数． （2）当时，若中最小角为，求的度数． 24. （1）如图1，点是的内部任意一点，．垂足分别是是的中点． ①若，则__________． ②求证：． （2）如图2，若是外部任意一点，，垂足分别是、是的中点．问与有何数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 浙江省杭州钱江外国语教育集团2025-2026学年上学期期中考试八年级数学试题卷 【考生须知】 1．本卷为试题卷，请将答案做在答题卷上： 2．本次检测不使用计算器． 一、选择题（每小题有4个选项，其中有且只有一个正确．每小题3分，共30分） 1. 在以下绿色食品、节能、节水、可回收四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：选项A、B、C不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形， 选项D能找到这样一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形， 故选：D． 2. 下列长度（单位：）的三条线段能组成三角形的是（　　） A. 5，5，13 B. 1，2，3 C. 5，7，12 D. 11，12，13 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了构成三角形的条件，熟知三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键． 【详解】解：A、∵， ∴不能构成三角形，不符合题意； B、∵， ∴不能构成三角形，不符合题意； C、∵， ∴不能构成三角形，不符合题意； D、∵， ∴能构成三角形，符合题意； 故选D． 3. 用不等式表示：“与的的和为正数”，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】题目主要考查列不等式，理解题意，列出不等式求解即可 【详解】解：∵与的的和为正数， ∴， 故选：A 4. 下列命题是真命题的是（ ） A. 两个等边三角形一定全等 B. 全等三角形的面积一定相等 C. 形状相同的两个三角形全等 D. 面积相等的两个三角形全等 【答案】B 【解析】 【分析】题目主要考查全等三角形的性质，熟练掌握是解题关键． 根据全等三角形的定义和性质，判断各选项的正确性． 【详解】解：∵ 全等三角形大小形状完全相同， ∴ 全等三角形的面积一定相等，故B是真命题； A：两个等边三角形不一定全等，如边长分别为2和3的等边三角形，故为假命题； C：形状相同的三角形相似但不一定全等，故为假命题； D：面积相等的三角形不一定全等，如底和高不同的三角形，故为假命题； 故选：B． 5. 已知3a＞﹣6b，则下列不等式一定成立的是（　　） A. a+1＞﹣2b﹣1 B. ﹣a＜b C. 3a+6b＜0 D. ＞﹣2 【答案】A 【解析】 【分析】先将不等式两边都除以3得a>-2b，再两边都加上1知a+1 >-2b+1，结合-2b+1>-2b-1利用不等式的同向传递性可得答案. 【详解】解：∵3a＞﹣6b， ∴a＞﹣2b， ∴a+1＞﹣2b+1， 又﹣2b+1＞﹣2b﹣1， ∴a+1＞﹣2b﹣1， 故选A． 【点睛】本题主要考查不等式的性质，解题的关键是掌握不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项"，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变. 6. 如图三角形纸片被遮住了一部分，小明根据所学知识画出了一个与原三角形完全重合的三角形，他画图的依据是（ ） A. SSS B. AAS C. ASA D. SAS 【答案】C 【解析】 【分析】图中三角形没被遮住的部分有两角及夹边，根据全等三角形的判定方法解答即可． 【详解】解：由图可知，三角形两角及夹边还存在， ∴根据可以根据三角形两角及夹边作出图形， 所以，依据是ASA． 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． 7. 如图，在△ABC 中，AB=AC，∠B=50°，P 是边 AB 上的一个动点(不与顶点 A 重合)，则∠BPC 的度数可能是 A. 50° B. 80° C. 100° D. 130° 【答案】C 【解析】 【分析】根据等边对等角可得∠B＝∠ACB＝50°,再根据三角形内角和计算出∠A 的度数,然后根据三角形内角与外角的关系可得∠BPC＞∠A , 再因为∠B＝50°，所以∠BPC＜180°－50°＝130°进而可得答案. 【详解】∵AB＝AC，∠B＝50°， ∴∠B＝∠ACB＝50°， ∴∠A＝180°－50°×2＝80°， ∵∠BPC＝∠A＋∠ACP， ∴∠BPC＞∠A， ∴∠BPC＞80°. ∵∠B＝50°， ∴∠BPC＜180°－50°＝130°， 则∠BPC的值可能是100°. 故选C. 【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质,关键是掌握等腰三角形两底角相等. 8. 已知，用尺规作图的方法在上确定一点P，使，则符合要求的作图痕迹（ ） A. B. C D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图—线段的垂直平分线的基本作图，熟练掌握线段的垂直平分线的基本作图是解题的关键．根据，结合图形分析可得，只需作线段的垂直平分线，分析选项即可得出结论． 【详解】解：根据题意，， 由图可知，， ∴， 故符合要求的作图是作线段的垂直平分线， 由作图痕迹可知，只有B选项符合题意． 故选：B． 9. 在中，，点在边上，，以下说法正确的是（ ） A 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质和判定，含角的直角三角形．熟练掌握这些定理，能借助已知条件，选择合适的定理分析是解题关键．根据，证明是等边三角形，得出，从而可判断选项A、B；根据，得出，从而根据含角的直角三角形性质可判断选项C、 D． 【详解】解：A、∵，， ， 是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ，故该选项不符合题意； B、∵，， ， 是等边三角形， ∴， ∵， ∴，故该选项不符合题意； C、∵，， ， ， ， 是等边三角形， ， ，故该选项不符合题意； D、∵，， ， ，故该选项符合题意； 故选：D． 10. 如图，点在边上，点在内部，，，，给出下列结论，①；②；③；④其中一定正确的所有序号是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①③ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法和性质是解题的关键． 利用“”证明，然后根据性质即可判断①结论；利用全等三角形的性质和等腰直角三角形的性质，即可判断④结论；利用全等三角形的性质进行等角替换，即可判断③结论；无法判断②结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，故①正确； ∴， ∵，， ∴， ∴，故④正确； ∵， ∴， ∴，故③正确； 无法判断，故②错误； ∴正确的是①③④， 故选：C． 二、填空题（每题3分，共6小题，共18分） 11. 等腰三角形两底角相等的逆命题是______． 【答案】如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形 【解析】 【分析】本题主要考查了一个命题的逆命题，命题中有题设和结论，将题设和结论互换一下，就可以得到原命题的逆命题． 【详解】解：等腰三角形两底角相等的逆命题是，如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形， 故答案为：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形． 12. 关于的不等式的最大正整数解是_______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，解答此题要先求出不等式的解集，再确定正整数解． 先求出不等式的解集，在取值范围内可以找到最大正整数解． 【详解】解：解不等式 ， 移项，得：， 两边同时除以 ，不等号方向改变，得：， 因此，不等式的解集为 ， 最大正整数解为：2， 故答案为：2． 13. 如图，已知，还需要一个条件________，根据“”可直接证明． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键．根据已知条件为两边，可选择一边或已知两边的夹角相等，据此作答即可． 【详解】解：在和中，， 当添加条件为时，可根据证明； 故答案为：． 14. 如图，是的角平分线，，点P在上，连接，则的最小值为_______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查的是角平分线的性质、垂线段最短，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 作于，根据角平分线的性质求出，根据垂线段最短得到答案． 【详解】解：作于， ∵是的角平分线，， ∴， 则的最小值为， 故答案为：5． 15. 已知中，．如图，将进行折叠，使点A落在线段上（包括点和点C）设点的落点为，折痕为，当是等腰三角形时，________． 【答案】或90或45 【解析】 【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定与翻折变换，找出特殊点与，分别重合时的两点是解决问题的关键． 根据等腰三角形的判定可以得出，存在不同的边之间相等，有，，，然后利用三角形内角和定理即可得出答案． 【详解】解：将进行折叠，使点落在线段上（包括点和点，设点的落点为，折痕为，当是等腰三角形时， 点可能的位置共有：①当点与点点）重合时， ∵， ∴， 由折叠的性质可知：，，， ∴， ，此时是等腰三角形，且； ②当点与点点）重合时，点与点重合， ，，， ，，是等腰三角形， ∴； ③如图当时，是等腰三角形． ∵． ∴， ∴； 故答案为：或90或45． 16. 如图，在四边形ABCD中，，在、上分别取一点M、N，使的周长最小，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是轴对称-最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出的位置是解题关键． 要使的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出A关于 和的对称点，即可得出，进而得出，即可得出答案． 【详解】解：作出A关于 和的对称点，连接，交于M，交于N，则即为的周长最小值． ∵， ∴， ∵由轴对称的性质可得： 且 ∴ ， 故答案为：． 三、解答题（共8题，共72分） 17. 解不等式 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式，熟知不等式的基本性质是解答此题的关键． （1）移项，合并同类项，系数化为1即可求解， （2）去分母，再去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 已知，如图，四边形 （1）用直尺和圆规，在线段上找一点，使得，连接，（不写作法，保留作图痕迹）： （2）在（1）的图形中，若，且，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图—作线段的垂直平分线，全等三角形的判定与性质； （1）在线段上的一点到的距离相等，即，由垂直平分线的性质可知，点在线段的垂直平分线上； （2）由三角形全等可得，，根据，即可求解． 【小问1详解】 解：作的中垂线交于点， 【小问2详解】 解：由知（1）， 又， ， ， ∴ 19. 如图，△ABC中，，BG，CF分别是AC，AB边上的高线，求证：． 【答案】证明见解析． 【解析】 【分析】根据条件只要证明△BCF≌△CBG，写出理由即可解决问题． 【详解】∵BG，CF分别是AC，AB边上高线， ， ∴∠BFC=∠CGB=． ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB． 又∵BC=CB， ∴△BCF≌△CBG， ∴BG=CF． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、高的定义等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，属于基础题，中考常考题型． 20. 如图，是底边上的高线，交AC于点．求证：是等腰三角形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是关键； 根据可得，根据等腰三角形三线合一的性质可得，根据平行线的性质可得，进而可得，推出，即得结论． 【详解】证明：∵， ∴， ∵是底边上的高线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即是等腰三角形． 21. 已知不等式． （1）若它的解集是，求的取值范围； （2）若它的解集与不等式的解集相同，求的值． 【答案】（1） （2）17 【解析】 分析】（1）首先移项可得，合并同类项可得，再两边同时除以，当时，可得； （2）首先解不等式，可得解集，再解，再两边同时除以，当时，可得，进而得到方程，再解方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ， 它的解集是， ， 解得； 【小问2详解】 ， 解得：， 它的解集是， ，且， 解得． 【点睛】此题主要考查了不等式的解集，关键是要注意分类讨论：或． 22. 如图，点E在边BC上，∠1＝∠2，∠C＝∠AED，BC＝DE． （1）求证：AB＝AD； （2）若∠C＝70°，求∠BED的度数． 【答案】（1）证明见解析；（2）40°． 【解析】 【分析】（1）由∠1＝∠2，得∠1＋∠BAE＝∠2＋∠BAE，即∠BAC＝∠DAE，利用“AAS”证明△ABC≌△ADE，进而证明AB＝AD． （2）由△ABC≌△ADE可知，∠C＝∠AED，AE＝AC，得∠C＝∠AEC，利用∠BED＝180°−∠AED−∠AEC求解． 【详解】（1）证明：∵∠1＝∠2， ∴∠1＋∠BAE＝∠2＋∠BAE，即∠BAC＝∠DAE， 又∵∠C＝∠AED，BC＝DE， ∴△ABC≌△ADE（AAS） ∴AB=AD． （2）解：∵△ABC≌△ADE， ∴∠C＝∠AED＝70°，AE＝AC， ∴∠C＝∠AEC＝70°， ∴∠BED＝180°−∠AED−∠AEC＝180°−70°−70°＝40°． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定和性质，根据AAS证明三角形全等，运用全等三角形性质及等边对等角进行角度计算是解题关键． 23. 如图，在中，为直线上一动点（不与点B，C重合），在的右侧作，使得，连接． （1）当在线段上时， ①求证：． ②当时，求的度数． （2）当时，若中最小角为，求的度数． 【答案】（1）①证明见解析；② （2）或或 【解析】 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题． （1）①根据即可证明； ②利用等腰三角形的性质得到，再根据全等三角形的性质得到，进而证明，再根据三角形内角和求出结论； （2）分点D在线段上、当点D在的延长线上、点D在的延长线上的情形，并根据等边三角形的性质、三角形内角和定理计算即可． 【小问1详解】 解：①∵， ∴ ∴， 在和中， ， ∴； ②， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：由（1）知，当时，则有， ∴为等边三角形， ①如图1，当点D在线段上时， 此时， ∴． ②如图2，当点D在的延长线上时， 此时， ③如图3，当点D在的延长线上，且时， 此时． ④如图4，当点D在的延长线上，且时， 此时． 综上所述，满足条件的的度数为或或． 24. （1）如图1，点是的内部任意一点，．垂足分别是是的中点． ①若，则__________． ②求证：． （2）如图2，若是的外部任意一点，，垂足分别是、是的中点．问与有何数量关系，并说明理由． 【答案】（1）①；②证明见解析；（2），理由见解析 【解析】 【分析】本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． （1）①根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得到； ②根据等腰三角形的性质得到，同理得到，结合图形计算，证明结论； （2）仿照（1）的证明方法解答即可． 【详解】解：（1）①是的中点，，， ， 故答案为：． ②， ， 在中，是的中点， ， ， ， 同理可知，， ； （2）解：． 理由如下：如图，， ， 在中，是的中点， ， ， ， 同理可知，， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $