精品解析：甘肃省张掖市临泽县第一中学2025-2026学年高二上学期期中数学试卷

高台一中2025年秋学期期中考试 高二数学 考试时间：120分钟 总分：150分 第I卷（选择题） 一、单选题（本大题共 8 小题，每小题 5 分， 共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 直线的一个法向量可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先求解出直线的一个方向向量，设出法向量，利用数量积为零计算即可. 【详解】直线的一个方向向量为，设直线的法向量为，因为，所以，得，所以法向量. 故选：C. 2. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，求出直线斜率，进而求出其倾斜角. 【详解】直线的斜率，倾斜角范围为， 所以直线的倾斜角为. 故选：B 3. 点到直线的距离（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】利用点到直线的距离公式求解即可. 【详解】点到直线的距离 故选：A. 4. 设数列的前项和为．若，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据数列递推式，利用赋值法求值即可. 【详解】当时，， 当时，. 故选：D 5. 已知数列满足：，则（ ） A. 20 B. 18 C. 15 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意利用累加法分析求解即可. 【详解】因为，则， 相加可得，即， 且，所以. 故选：C. 6. 设数列，则数列的最小项是（ ） A. 第4项 B. 第5项 C. 第6项 D. 第7项 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，将数列的通项公式变形可得，结合二次函数的性质分析可得答案． 【详解】根据题意，， 又由，则时，取得最小值， 故选：． 7. 设等差数列的前n项和为，若，则＝（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】首先由求出，结合求出公差，最后根据等差数列通项公式求出. 【详解】因为，所以．又，所以公差，则． 故选：B 8. 已知，直线：，当变化时，点到直线的距离的最大值为，则（ ） A. 3或7 B. 3或8 C. 2或7 D. 2或8 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，直线恒过点，所以点到直线的距离的最大值可转化为点到定点的距离，根据两点间的距离公式，求解即可. 【详解】当变化时，直线恒过定点，所以点到直线的距离的最大值为， 即，解得或. 故选：D． 二、多选题 9. 已知，，则下面四个选项中正确的有（    ） A. 直线的倾斜角为 B. 直线与直线平行 C. 点在直线上 D. 直线必过定点 【答案】AD 【解析】 【分析】选项A，已知直线上的两点，利用公式求出，利用求出倾斜角；选项B，利用点斜式得到直线的方程，从而得解；选项C，将点代入直线验证即可得解；选项D，将直线整理得到，则有，这个方程组的解形成的点就是直线必过的定点. 【详解】因为，所以直线的倾斜角为，故A正确． 直线MN的斜率为1，则方程为， 即直线与直线重合，所以B错误， 由题意得，则点的坐标不满足，故C错误， 由，得到， 显然时，恒成立，即该直线恒过定点，故D正确. 故选：AD. 10. 设等差数列满足，，则下列说法正确的是（    ） A. B. 不是等差数列 C. D. 数列的前n项和是 【答案】ACD 【解析】 【分析】先求解等差数列基本量，写出通项公式，可判断A选项；再根据等差数列定义，判断数列是等差数列；选项C，由裂项可得；选项D，在C的基础上，可求得. 【详解】选项A：等差数列满足，，设公差为. 由,则，解得, 则.故选项A正确. 选项B：又， 则，且. 故数列是以为首项，为公差的等差数列，故选项B错误. 选项C：由，得，故选项C正确. 选项D：根据选项的结果，设数列的前项和为. 则，故选项D正确. 故选：ACD. 11. 已知等差数列的前n项和为，若，，则下列结论正确的是（ ） A. 数列是递增数列 B. C. 当取得最大值时， D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用等差数列的性质得出，，即可逐一判断. 【详解】因数列是等差数列， 则，， 则，，则， 则公差（数列是递减数列），，时取得最大值， 故A、D错误；B、C正确； 故选：BC 第II卷（非选择题） 三、填空题 12. 已知是等差数列且，则其公差______. 【答案】 【解析】 【分析】由题目给出的已知条件，直接代入等差数列的通项公式求公差即可. 【详解】在等差数列中，， 所以公差. 故答案为：. 13. 若直线与直线平行，则______. 【答案】1 【解析】 【分析】根据两条直线平行，它们的斜率相等，得出k的值. 【详解】因为直线与直线平行， 所以直线的斜率为， 即，解得 故答案为： 14. 若为等差数列的前项和，，，则与的等比中项为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据等差数列的相关计算，可求得，，进而可求得和，再结合等比中项的性质即可求解. 【详解】因为为等差数列的前项和，且，， 所以可得，解得， 所以，， 设与的等比中项为，则，则， 所以与的等比中项为. 故答案为： 四、解答题 15. 设等比数列的前项和为，已知，. （1）求公比的值； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由等比数列的性质即可得到； （2）根据题意，由等比数列的前项和公式，即可得到结果. 【小问1详解】 由题意可得，，所以公比. 【小问2详解】 由题意可得，，则. 16. 记Sn为等差数列的前n项和，已知a9=－4，a10+a12=0. （1）求的通项公式； （2）求Sn，并求Sn的最小值. 【答案】（1）；（2），最小值为． 【解析】 【分析】（1）由等差数列通项公式列出方程组，求出，．由此能求出的通项公式． （2）由，．求出．从而当或时，的最小值为． 【详解】（1）∵为等差数列的前n项和，，． ∴， 解得，． ∴的通项公式为． （2）∵，． ∴． 为开口向上的二次函数，对称轴为，又 ∴当或时，的最小值为． 17. 三角形的三个顶点是． （1）求边上的中线所在直线的方程； （2）求三角形的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先确定AC中点坐标，再由两点式即可求解. （2）先求出，则可得，分别求出，代入面积公式计算即可. 【小问1详解】 由得线段的中点， 则根据两点式可得直线方程为， 所求直线为. 【小问2详解】 因为， 所以, 因为， 所以, 又， 所以. 18. 已知直线. （1）求经过点且与直线垂直的直线方程； （2）求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程. （3）若直线交x轴的负半轴于点A，交y轴的正半轴于点B，O为坐标原点，设的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程. 【答案】（1） （2）或 （3）S的最小值为16，此时直线l的方程为． 【解析】 【分析】（1）根据直线的斜率可设所求直线方程为，代入点即可求解； （2）联立直线与的方程可得交点坐标，分截距为0和截距不为0两种情况分别求解； （3）先求出两点的坐标，进而得到的面积表达式，然后利用基本不等式求出面积的最小值，即可确定直线的方程． 【小问1详解】 由直线可得直线的斜率为， 依题意，所求直线斜率为，则其方程可设为， 该直线经过点，则，解得， 故所求直线方程为，即； 【小问2详解】 联立，解得，即直线与的交点为， 当直线经过原点时，满足题意，设直线方程为， 代入解得，此时； 当直线的截距都不为0时，设直线方程为， 依题意，解得，此时直线方程为， 综上，所求直线方程为或. 【小问3详解】 由题可知， 在中，令，解得，即得A， 再令，可得，即得， 故， 则 当且仅当，即时取等号， 故S的最小值为16，此时直线l的方程为． 19. 已知数列的前项和为，且满足. （1）求的通项公式； （2）若等差数列满足：，，求数列的通项公式及数列的前n项和. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据求出为首项为2，公比为2的等比数列，求出通项公式； （2）先求出的公差，求出通项公式，再利用错位相减法求和得到答案. 【小问1详解】 ①， 当时，，解得， 当时，②， 式子①-②得，即， 故为首项为2，公比为2的等比数列， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，，， 设的公差为，则，解得， 所以. 所以 故， 所以， 两式相减得， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高台一中2025年秋学期期中考试 高二数学 考试时间：120分钟 总分：150分 第I卷（选择题） 一、单选题（本大题共 8 小题，每小题 5 分， 共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 直线的一个法向量可以是（ ） A. B. C. D. 2. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 3. 点到直线的距离（ ） A. B. C. D. 2 4. 设数列的前项和为．若，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 5. 已知数列满足：，则（ ） A. 20 B. 18 C. 15 D. 10 6. 设数列，则数列的最小项是（ ） A. 第4项 B. 第5项 C. 第6项 D. 第7项 7. 设等差数列的前n项和为，若，则＝（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 8. 已知，直线：，当变化时，点到直线的距离的最大值为，则（ ） A. 3或7 B. 3或8 C. 2或7 D. 2或8 二、多选题 9. 已知，，则下面四个选项中正确的有（    ） A. 直线的倾斜角为 B. 直线与直线平行 C. 点在直线上 D. 直线必过定点 10. 设等差数列满足，，则下列说法正确的是（    ） A. B. 不是等差数列 C. D. 数列的前n项和是 11. 已知等差数列的前n项和为，若，，则下列结论正确的是（ ） A. 数列是递增数列 B. C. 当取得最大值时， D. 第II卷（非选择题） 三、填空题 12. 已知是等差数列且，则其公差______. 13. 若直线与直线平行，则______. 14. 若为等差数列的前项和，，，则与的等比中项为_____. 四、解答题 15. 设等比数列的前项和为，已知，. （1）求公比的值； （2）求的值. 16. 记Sn为等差数列的前n项和，已知a9=－4，a10+a12=0. （1）求的通项公式； （2）求Sn，并求Sn的最小值. 17. 三角形的三个顶点是． （1）求边上的中线所在直线的方程； （2）求三角形的面积. 18. 已知直线. （1）求经过点且与直线垂直的直线方程； （2）求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程. （3）若直线交x轴的负半轴于点A，交y轴的正半轴于点B，O为坐标原点，设的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程. 19. 已知数列的前项和为，且满足. （1）求的通项公式； （2）若等差数列满足：，，求数列的通项公式及数列的前n项和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $