精品解析：四川省绵阳市北川羌族自治县2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025-2026学年九年级上学期期中试题 （九年级数学上） 一．选择题（共12小题，每小题3分，共36分） 1. 把方程化为一般形式后是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，利用平方差公式和完全平方公式将化简整理成一般式即可． 【详解】解：， ， 整理，得， 故选：C． 2. 如果2是方程的一个根，那么c的值是（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根的定义．解题运用“代入求值”思想，将方程的根代入方程转化为关于c的一元一次方程求解．解题关键是准确代入根并正确运算，易错点为代入或后续计算时出错． 根据方程根的定义，把代入方程，得到，然后通过移项、计算，求出c的值． 【详解】解：由题意，将代入方程，得： 解得． 故选：A． 3. 若是关于x的一元二次方程的解，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把x=1代入方程，得到a与b的式子，整体代入即可． 【详解】解：将代入原方程可得： 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解和求代数式的值，解题关键是明确方程解的意义，树立整体代入思想． 4. 关于的一元二次方程存在两实数根，下列说法错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 和一定异号 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程跟的判别式，一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．根据题意得出，进而根据根的判别式的意义判断A，B选项，根据根与系数的关系式得出，进而判断C选项，根据，，得出，，进而求得的值，即可判断D选项，即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程存在两实数根， ∴ A． 若，则，∴，故该选项正确，不符合题意； B． 若，则，∴，故该选项正确，不符合题意； C． ∵，当，和异号，当时，和同号，故该选项不正确，符合题意； D． ∵，若，则 ∴，则 ∵ ∴，故该选项正确，不符合题意； 故选：C． 5. 方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程； 根据两因式相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴或， ∴， 故选：B． 6. 若关于x的方程x2+(m+1)x+m2＝0的两个实数根互为倒数，则m的值是（　　） A. ﹣1 B. 1或﹣1 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据根的判别式以及根与系数的关系即可求出答案． 【详解】由题意可知：△＝（m+1）2﹣4m2＝﹣3m2+2m+1， 由题意可知：m2＝1， ∴m＝±1， 当m＝1时，△＝﹣3+2+1＝0， 当m＝﹣1时，△＝﹣3﹣2+1＝﹣4＜0，不满足题意， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的问题，掌握根的判别式以及根与系数的关系是解题的关键． 7. 俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，设每天“遗忘”的百分比为x，则x满足方程（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，根据题中的数量关系正确列出方程是解题的关键． 设每天遗忘的百分比为x，根据“两天不练丢一半”列出方程解答即可． 【详解】解：设每天遗忘的百分比为x， 则根据题意可得：， 故选：D． 8. 二次函数的最小值是（ ） A. 3 B. 4 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数(a，h，k为常数，)的性质．是抛物线的顶点式，a决定抛物线的形状和开口方向，其顶点是，对称轴是直线，最值为． 根据二次函数的最值为作答即可． 【详解】解：二次函数的最小值是， 故选：A． 9. 二次函数的图象如图所示，给出四个结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，不等式的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据其开口方向，对称轴，图象交轴的负半轴，可知，，，，从而可以判断①，②；根据图象过，，可得，，推出，可判断③；由，，可判断④． 【详解】解：根据图像可知，开口向上，对称轴，，图象过，， 图象开口向上， ， ， ， 图象交轴的负半轴， ， ；故①错误； ，， ， ，故②正确； 图象过，， ，， ，， ，故③正确； ， ， ， ，故④正确； 故选：D． 10. 已知关于的二次函数的图象的顶点在轴的正半轴上，则一次函数和的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质，根据题意可得，即可求得之间的关系，再判断一次函数的图象即可解答，熟知二次函数相关的性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得， 当时，， ， ， ， 则中，随的增大而增大，且直线经过原点， 中，随的增大而减小，且与轴交于正半轴，没有选项与之相符； 当时，，， 则中，随的增大而减小，且直线经过原点， 中，随的增大而增大，且与轴交于负半轴，只有D选项与之相符， 故选：D． 11. 对于二次函数，下列说法正确的是( ) A. 当，随的增大而减小 B. 当时， 有最大值 C. 图像的顶点 D. 图像与x轴有两个交点 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，掌握二次函数的图像与性质是解题的关键；把二次函数化为顶点式，根据顶点式即可对各选项进行判断． 【详解】解：， ∴顶点坐标为，开口向下，对称轴为，当时随的增大而减小，故A选项错误 当时， 有最大值，与轴没有交点，故C、D选项错误，B选项正确， 故选：B． 12. “科教兴国，强国有我”．某中学在科技实验活动中，设计制作了“水火箭”升空实验，“水火箭”的升空高度h（单位：）与飞行时间t（单位：）满足的关系为．若“水火箭”的升空高度为，则此时的飞行时间为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是求二次函数的自变量，一元二次方程．把代入，化为一元二次方程，求解即可． 【详解】解：将代入，得 ， 即 ， 解得（不符合题意，舍去），或． 故选C． 二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 13. 若关于的方程是一元二次方程，则__________． 【答案】0 【解析】 【分析】根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程进行计算解答即可． 【详解】解：根据题意可得，， 解得， 故答案为：0． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 14. 若，是方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值，一元二次方程根与系数的关系，准确的计算是解决本题的关键． 利用一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再代入表达式计算即可． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴ ． 故答案为：7． 15. 2022版《义务教育数学课程标准》将劳动从综合实践活动课中独立出来，劳动教育已纳入义务教育全过程．某校积极实施，建设校园劳动基地．如图，是该校一块矩形劳动场地，长，宽，要求在场地内修同样宽的道路(图中阴影部分)，余下部分作为种植区．如果种植区的总面积为，则所修道路的宽为__________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握等量关系是解题的关键．根据矩形的性质，先将道路进行平移，然后根据矩形的面积公式列方程即可． 【详解】解：设所修道路的宽为，根据题意得： ， 整理得：， 解得：（舍去）， 答：所修道路的宽为． 故答案为：1 16. 如图，，是抛物线上两点，点为的中点，过点作轴的垂线，交抛物线于点，．设，两点的横坐标分别为，．则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质以及完全平方公式的应用，熟练掌握中点坐标公式和完全平方公式是解题的关键．先根据中点坐标公式求出点的横坐标，进而得到点和的纵坐标，再根据列出方程，最后利用完全平方公式求出的值． 【详解】解：∵，，点是的中点， ∴点的横坐标为，纵坐标为． ∵过作轴的垂线交抛物线于， ∴的横坐标为，纵坐标为． ∵， ∴． ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 17. 已知方程的两个根为1和，则抛物线的对称轴为直线___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数与一元二次方程的关系可知抛物线与x轴的交点横坐标分别为1和，再利用二次函数的对称性即可求出答案． 【详解】解：方程的两个根为1和， 抛物线与x轴的交点横坐标分别为1和， 抛物线的对称轴为直线． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，以及二次函数与x轴的交点横坐标与对称轴的关系，解题的关键是知道二次函数与x轴的交点横坐标就是一元二次方程的根． 18. 一个涵洞的截面边缘是抛物线，如图所示现测得当水面宽时，涵洞顶点与水面的距离为．这时，离开水面处，涵洞的宽度是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，根据图象，先设出抛物线的解析式，然后根据题意可以得到点的坐标，代入抛物线解析式，即可求出抛物线的解析式，然后再将点的纵坐标代入，即可得到点和点的横坐标，从而可以求得的长．解题的关键是明确题意，求出相应的抛物线解析式． 【详解】解：设该涵洞的截面边缘对应的抛物线解析式为， ∵当水面宽时，涵洞顶点与水面的距离是， ∴， ∴， 解得：， ∴物线解析式为， 由题意可知点的纵坐标为：， 当时，得：， 解得：或， ∴，， ∴， ∴涵洞的宽度是． 故答案为：． 三．解答题（共6小题，共46分） 19. （1）解方程： ①； ②； （2）先化简，再求值：，其中x满足方程． 【答案】（1）①②（2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，分式的化简求值等知识． （1）①利用配方法解方程即可； ②利用因式分解法解方程即可； （2）根据分式的混合运算法则化简得，解方程得，舍去，把代入即可求解． 【详解】解：（1）① 移项得， 配方得， 即， ∴， ∴； ② 移项得， 即， 分解因式得， ∴或， ∴； （2） ， 解方程得， 由题意得不合题意，舍去， ∴当时， 原式． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为，且，求的值． 【答案】（1） 证明：， ∵无论取何值，，恒成立， ∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． （2）或． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． （1）根据根的判别式证明恒成立即可； （2）由题意可得，，，进行变形后代入即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∴， 解得：或． 21. 如图，是一个抛物线形拱桥，以拱顶O为坐标原点建立平面直角坐标系，当拱顶O离水面的高时，水面宽． （1）求该抛物线表示的二次函数解析式； （2）当水面下降到达时，求水面宽度增加多少？ 【答案】（1） （2）水面宽度增加 【解析】 【分析】（1）先求出，然后利用待定系数法求解即可； （2）先求出，进而求出，．得到，由此即可得到答案． 【小问1详解】 解：设该抛物线表示的二次函数解析式为， ∵， ∴抛物线经过点． ∴． ∴． ∴该抛物线表示的二次函数解析式为． 【小问2详解】 解：∵当水面下降到达时， ∴．即． ∴． ∴，． ∴． ∴水面宽度增加． 【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确求出二次函数解析式是解题的关键． 22. 在历史的长河中，很多文物难免损耗或破碎断裂，而文物修复师能运用自身拥有的多门学科的专业知识去修复破损的文物，使其重获新生．如图1，某文物修复师在修复一件破碎的古代瓷器束口盏（盏口原貌为圆形）的时候，仅凭一块碎片就初步推算出了该文物原貌口径的尺寸．如图2是文物修复师根据碎片的切面画出的几何图形．碎片的边缘是圆弧，表示为，测得弧所对的弦长为12.8，弧中点到弦的距离为2．设所在圆的圆心为O，半径于D，连接．求这个盏口半径的长（精确到0.1）． 【答案】11.2 【解析】 【分析】根据垂径定理求出，再根据勾股定理列出关于的方程求出答案即可． 【详解】∵，且， ∴． 根据题意可知， ∴（）． 根据勾股定理，得， 解得． 所以这个盏口半径的长为11.2． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理等，勾股定理是求线段长的常用方法． 23. 综合实践：怎样才能命中篮筐 活动背景：学校组织班级间篮球比赛，九年级2班仔浩发现自己投篮命中率较低，特请本班数学兴趣小组同学拍摄自己投篮图片(如图)，并测量相应的数据进行研究． 模型建立：如图所示，以仔浩的起跳点O为坐标原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立平面直角坐标系：篮球运动轨迹可以看作是抛物线的一部分． 信息整理： 素材1：篮球(P)出手时离地面的高度为c米，篮筐中心离地面的高度米，篮球出手位置与篮筐中心的水平距离米，篮球距地面的最大高度米，此时离篮球出手位置的水平距离米． 素材2：当篮球(P)恰好经过篮筐中心点A时，我们称此次进球为“空心球”；由于篮球的直径大约是篮筐直径的一半，因此当篮球到达篮筐中心的水平位置时，篮球的高度(n米)满足时，篮球即可命中篮筐；篮球运动轨迹抛物线的开口大小由投篮方向和出手速度决定，仔浩在投篮过程中始终保持投篮方向和出手速度不变． 解决问题：在初次投篮时，数学兴趣小组同学测得相关数据为：米，米，米，米． （1）写出仔浩初次投篮时篮球的运动轨迹抛物线，并通过计算判断是否能命中篮筐？ （2）该班数学兴趣小组同学对仔浩的初次投篮数据进行研究后，让仔浩同学在原来位置向前走了t米后再次投篮，发现此次正好投进一个“空心球”，求t值(保留根号) （3）在比赛过程中，仔浩在离篮筐中心的水平距离5米处开始起跳投篮，若保持初次投篮时的出手高度，仔浩此次能否命中篮筐？如果不能，那么要想命中篮筐，则c的取值范围是多少？ 【答案】（1）不能 （2）t的值为 （3）不能，c的取值范围是 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用．应用平移规律得到平移后的抛物线的解析式是解决本题的易错点． （1）易得仔浩初次投篮时抛物线的顶点坐标，用顶点式表示出抛物线的解析式，进而把点 P的坐标代入可得a的值，取，看对应的y的值是多少，即可判断能否命中篮筐； （2）设出向右平移后的抛物线解析式，把代入可得的值； （3）判断出运动后的抛物线解析式，取，得到y的值即可判断是否命中篮筐；判断出提高出手高度后的抛物线解析式，取，得到对应的y的值，进而根据y的取值范围得到m的值，取，得到c的值，即可判断c的取值范围． 【小问1详解】 解：由题意得：仔浩初次投篮时抛物线的顶点坐标为：， ∴设， ∵经过点， ∴， 解得：， ∴, 当时，， 时，篮球命中篮筐， 仔浩初次投篮时不能命中篮筐． 【小问2详解】 解：向前走了t米后抛物线的解析式为：， ∵经过点, ∴， ∴， 解得：（不合题意，舍去），， 答：t的值为； 【小问3详解】 解：由题意得：仔浩在离篮筐中心的水平距离5米处开始起跳投篮时，抛物线的解析式为：， 当时，， 不能命中篮筐； 设改变出手点的高度后的抛物线的解析式为：， 当时，， ∴, 解得：， ∵出手点的坐标为， ， ． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，点P是直线下方抛物线上一动点． （1）求这条抛物线的解析式： （2）如图（甲），在x轴上是否存在点E，使得以为顶点的三角形为直角三角形？若存在，请直接写出点E坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图（乙），动点P运动到什么位置时，面积最大，求出此时P点的坐标和面积的最大值． 【答案】（1） （2）或 （3）点P的坐标为时，面积最大，最大面积为8 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，求解二次函数解析式，勾股定理，涉及到面积的计算、直角三角形的性质，分类求解是解题的关键． （1）由待定系数法即可求解； （2）当是斜边时，根据勾股定理列出等式即可求解当，或为斜边时，同理可解； （3）由，即可求解． 【小问1详解】 解：抛物线与x轴交于两点， 设抛物线的表达式为：， 又， ， 解得：， 则抛物线的表达式为：； 【小问2详解】 存在，理由： 有抛物线的表达式可知，点， 设点， 则， ， 当是斜边时， 则， 解得：或4， 即点或（舍去）， 当或是斜边时， 同理可得：或， 解得：或， 即点或， 综上，点或； 【小问3详解】 如图，过点P作轴交于点H 设直线的表达式为：， ，， ，解得： 则直线的表达式为：， 故当时，的最大值为8，此时，点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级上学期期中试题 （九年级数学上） 一．选择题（共12小题，每小题3分，共36分） 1. 把方程化为一般形式后是（ ） A. B. C. D. 2. 如果2是方程的一个根，那么c的值是（ ） A. 3 B. 2 C. D. 3. 若是关于x的一元二次方程的解，则（ ） A. B. C. D. 4. 关于的一元二次方程存在两实数根，下列说法错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 和一定异号 D. 若，则 5. 方程的解是（ ） A. B. C. D. 6. 若关于x的方程x2+(m+1)x+m2＝0的两个实数根互为倒数，则m的值是（　　） A. ﹣1 B. 1或﹣1 C. 1 D. 2 7. 俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，设每天“遗忘”的百分比为x，则x满足方程（　　） A. B. C. D. 8. 二次函数的最小值是（ ） A. 3 B. 4 C. D. 2 9. 二次函数的图象如图所示，给出四个结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 10. 已知关于的二次函数的图象的顶点在轴的正半轴上，则一次函数和的图象可能是（ ） A. B. C. D. 11. 对于二次函数，下列说法正确的是( ) A. 当，随的增大而减小 B. 当时， 有最大值 C. 图像的顶点 D. 图像与x轴有两个交点 12. “科教兴国，强国有我”．某中学在科技实验活动中，设计制作了“水火箭”升空实验，“水火箭”的升空高度h（单位：）与飞行时间t（单位：）满足的关系为．若“水火箭”的升空高度为，则此时的飞行时间为（ ） A. B. C. D. 或 二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 13. 若关于的方程是一元二次方程，则__________． 14. 若，是方程的两个实数根，则的值为______． 15. 2022版《义务教育数学课程标准》将劳动从综合实践活动课中独立出来，劳动教育已纳入义务教育全过程．某校积极实施，建设校园劳动基地．如图，是该校一块矩形劳动场地，长，宽，要求在场地内修同样宽的道路(图中阴影部分)，余下部分作为种植区．如果种植区的总面积为，则所修道路的宽为__________． 16. 如图，，是抛物线上两点，点为的中点，过点作轴的垂线，交抛物线于点，．设，两点的横坐标分别为，．则的值为___________． 17. 已知方程的两个根为1和，则抛物线的对称轴为直线___________． 18. 一个涵洞的截面边缘是抛物线，如图所示现测得当水面宽时，涵洞顶点与水面的距离为．这时，离开水面处，涵洞的宽度是____________． 三．解答题（共6小题，共46分） 19. （1）解方程： ①； ②； （2）先化简，再求值：，其中x满足方程． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为，且，求的值． 21. 如图，是一个抛物线形拱桥，以拱顶O为坐标原点建立平面直角坐标系，当拱顶O离水面的高时，水面宽． （1）求该抛物线表示的二次函数解析式； （2）当水面下降到达时，求水面宽度增加多少？ 22. 在历史的长河中，很多文物难免损耗或破碎断裂，而文物修复师能运用自身拥有的多门学科的专业知识去修复破损的文物，使其重获新生．如图1，某文物修复师在修复一件破碎的古代瓷器束口盏（盏口原貌为圆形）的时候，仅凭一块碎片就初步推算出了该文物原貌口径的尺寸．如图2是文物修复师根据碎片的切面画出的几何图形．碎片的边缘是圆弧，表示为，测得弧所对的弦长为12.8，弧中点到弦的距离为2．设所在圆的圆心为O，半径于D，连接．求这个盏口半径的长（精确到0.1）． 23. 综合实践：怎样才能命中篮筐 活动背景：学校组织班级间篮球比赛，九年级2班仔浩发现自己投篮命中率较低，特请本班数学兴趣小组同学拍摄自己投篮图片(如图)，并测量相应的数据进行研究． 模型建立：如图所示，以仔浩的起跳点O为坐标原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立平面直角坐标系：篮球运动轨迹可以看作是抛物线的一部分． 信息整理： 素材1：篮球(P)出手时离地面的高度为c米，篮筐中心离地面的高度米，篮球出手位置与篮筐中心的水平距离米，篮球距地面的最大高度米，此时离篮球出手位置的水平距离米． 素材2：当篮球(P)恰好经过篮筐中心点A时，我们称此次进球为“空心球”；由于篮球的直径大约是篮筐直径的一半，因此当篮球到达篮筐中心的水平位置时，篮球的高度(n米)满足时，篮球即可命中篮筐；篮球运动轨迹抛物线的开口大小由投篮方向和出手速度决定，仔浩在投篮过程中始终保持投篮方向和出手速度不变． 解决问题：在初次投篮时，数学兴趣小组同学测得相关数据为：米，米，米，米． （1）写出仔浩初次投篮时篮球的运动轨迹抛物线，并通过计算判断是否能命中篮筐？ （2）该班数学兴趣小组同学对仔浩的初次投篮数据进行研究后，让仔浩同学在原来位置向前走了t米后再次投篮，发现此次正好投进一个“空心球”，求t值(保留根号) （3）在比赛过程中，仔浩在离篮筐中心的水平距离5米处开始起跳投篮，若保持初次投篮时的出手高度，仔浩此次能否命中篮筐？如果不能，那么要想命中篮筐，则c的取值范围是多少？ 24. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，点P是直线下方抛物线上一动点． （1）求这条抛物线的解析式： （2）如图（甲），在x轴上是否存在点E，使得以为顶点的三角形为直角三角形？若存在，请直接写出点E坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图（乙），动点P运动到什么位置时，面积最大，求出此时P点的坐标和面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $