8.1.2用二分法求方程的近似解（课件）-2025-2026学年高一上学期数学考试满分全攻略同步备课备考系列（苏教版必修第一册）

该高中数学课件聚焦“用二分法求方程近似解”，核心知识点为二分法定义及应用。课堂导入从方程lg x=3-x的求解困难切入，通过一元二次方程实例，搭建从函数零点判定到逐步缩小区间的学习支架，衔接函数单调性等前置知识。 其亮点在于以“问题驱动-实例探究-方法提炼”为主线，例题涵盖代数、对数、三角函数方程，渗透化归与逐步逼近思想，培养数学抽象、逻辑推理和数学运算素养。课堂小结系统梳理知识点与思想方法，题型分类分层巩固，助力学生深化理解，也为教师提供结构化教学资源。

8.1　二分法与求方程近似解 8.1.2用二分法求方程的近似解 苏教版2019高一数学（必修一）第八章 函数应用 02 03 05 06 04 典型例题（含课本例题） 知识点讲解 情景导入 课堂小结 课堂练习（含课本练习） 01 学习目标 目录/CONTENTS 学习目标 1.探索用二分法求方程的近似解的思路. 2.能借助计算工具用二分法求方程的近似解. 3.通过本节内容的学习，使学生体会“逐步逼近”的方法，提升学生数学抽象、逻辑推理、数学运算素养. 情景导入 对于方程 lg x＝3－x，要求出这个方程的解是较为困难的.我们能否求出这个方程的近似解呢? 让我们先从熟悉的一元二次方程开始研究. 新知探究 例如，求方程 x2－2x－1＝0 的实数解就是求函数 f(x) ＝x2－2x－1 的零点. 根据图8-1-2，我们发现 f(2)＜0，f(3)＞0. 这表明此函数图象在区间 (2，3) 上有零点，即方程 f(x)＝0 在区间(2，3)上有实数解. 又因为在区间(2，3)上函数 f(x) 单调递增，所以方程 x2－2x－1＝0 在区间(2，3)上有唯一实数解 x1. 计算得f() ＝＞0，发现 x1∈(2，2.5) ，这样可以进一步缩小 x1 所在的区间. 你能把此方程的一个根 x1 限制在更小的区间内吗? 思考 下面我们利用计算工具来求方程 x2－2x－1＝0 的一个近似解(精确到 0.1). 设 f(x)＝x2－2x－1，先画出函数的图象. ▲ 图中负号“－”表示此点所对应的函数值为负，正号“＋”表示此点所对应的函数值为正，下同 因为 f(2) ＝－1＜0，f(3)＝2＞0， 所以在区间(2，3)上，方程x2－2x－1＝0有一解，记为x1. 取2与3的平均数2.5.因为f(2.5)＝0.25＞0，所以2＜x＜2.5. 再取2与2.5的平均数2.25.因为 f(2.25) ＝－0.43750，所以2.25＜ x1＜2.5. 如此继续下去，得 f(2)＜0，f(3)＞0 ⇒ x1∈(2，3)， f(2)＜0，f(2.5)＞0 ⇒ x1∈(2，2.5)， f(2.25)＜0，f(2.5)＞0 ⇒ x1∈(2.25，2.5)， f(2.375)＜0，f(2.5)＞0 ⇒ x1∈(2.375，2.5)， f(2.375)＜0，f(2.437 5)＞0 ⇒ x1∈(2.375，2.437 5). 因为 2.375 与 2.437 5 精确到 0.1的近似值都为 2.4，所以此方程的近似解为 x1≈2.4. 利用同样的方法，还可以求出方程的另一个近似解. 像上面这种求方程近似解的方法称为二分法，它是求一元方程近似解的常用方法. 运用二分法的前提是要先判断某解所在的区间. 课本例题 例 3 利用计算器，求方程 lg x＝3－x 的近似解(精确到 0.1). 分析 求方程 lg x＝3－x 的解可以转化为求函数 f(x)＝lg x＋x－3 的零点，故可以利用二分法求出题中方程的近似解. 解 分别画出函数 y＝lg x 和 y＝3－x 的图象，如图所示. 在两个函数图象的交点处，函数值相等. 因此，这个点的横坐标就是方程 lgx＝3－x 的解由函数 y＝lgx 与 y＝3－x 的图象可以发现，方程 lg x＝3－x 有唯一解，记为x1，并这个解在区间 (2，3) 内. 先利用函数图象估算出方程的解所在的区间. 设 f(x)＝lgx＋x－3，用计算器计算，得 f(2)＜0，f(3)＞0 ⇒ x1∈(2，3)， f(2.5)＜0，f(3)＞0 ⇒ x1∈(2.5，3)， f(2.5)＜0，f(2.75)＞0 ⇒ x1∈(2.5，2.75)， f(2.5)<0，f(2.625)＞0 ⇒ x1∈(2.5，2.625), f(2.562 5)＜0，f(2.625)＞0 ⇒ x1∈(2.562 5，2.625). 因为 2.5625与2.625 精确到0.1的近似值都为 2.6，以原方程的近似解为 x1≈2.6. 利用计算器，求方程 lg x＝3－x 的近似解(精确到 0.1). 例 4 利用计算器，求方程 sin x＝1－x 的近似解 (精确到 0.1) 解：因为方程 sin x＝1－x 可化为 x＋sinx－1＝0，所以原方程的解即函数 f(x)＝x＋sinx－1的零点. 先画出函数 y＝sinx与函数 y＝1－x 的图象，如图 8-1-4 所示. 观察图象，因为 f(0)＝－1＜0，f(1)＝sin1＞0， 所以函数 f(x)的零点在区间 (0，1) 内，记为 x0. 取0和1的平均数 0.5，因为 f(0.5)＝sin0.5－0.5＝－0.020 57＜0， 所以动 x0∈ (0.5，1). 取 0.5和1的平均数 0.75，因为 f(0.75)－sin0.75－0.25＝0.43164＞0， 所以 x0∈(0.5，0.75). 利用计算器，求方程 sin x＝1－x 的近似解 (精确到 0.1) 例 4 取0.5和0.75的平均数 0.625，因为 f(0.625)＝sin0.625－0.375＝0.210 10＞0， 所以 x0∈(0.5，0.625). 取0.5和0.625的平均数 0.562 5，因为 f(0.562 5)＝sin0.562 5－0.437 5＝0.095 80＞0， 所以 x0∈ (0.5，0.562 5). 取0.5和0.5625的平均数0.53125，因为 f(0.531 25) ＝sin0.531 25－0.68 75＝0.037 86＞0， 所以 x0∈(0.5，0.531 25). 例 4 利用计算器，求方程 sin x＝1－x 的近似解 (精确到 0.1) 取0.5和0.5625的平均数0.53125，因为 f(0.531 25) ＝sin0.531 25－0.68 75＝0.037 86＞0， 所以 x0∈(0.5，0.531 25). 因为0.5和0.531 25 精确到 0.1的近似数都是0.5，所以区间(0.5，0.531 25)内的所有数精确到 0.1的近似数都是 0.5，从而 x0≈0.5. 因此，方程 sinx＝1－x 的近似解(精确到 0.1)为0.5. 例 4 利用计算器，求方程 sin x＝1－x 的近似解 (精确到 0.1) 用二分法求方程的一个近似解的操作流程是： 在以上操作过程中，如果存在 c，使得 f(x)＝0，那么 c 就是方程 f(x)＝0 的一个精确解. 例 4 利用计算器，求方程 sin x＝1－x 的近似解 (精确到 0.1) 课本练习 1. 利用计算器，求方程 x3＋3x －1＝0 在区间(0，1)上的近似解 (精确到0.1). 解 设 f(x)＝x3＋3x－1，因为 f(0)＝0＋3×0－1 ＝－1＜0, f(1)＝13＋3×1－1＝3＞0， 取区间 (0，1) 的中点 x1＝＝0.5， 因为 f(0.5)＝0.53＋3×0.5－1＞0.625＞0,所以 f(0)·f(0.5)＜0， 因为 ∣0－0.5∣＝0.5＞0.1，所以取区间 (0，0.5) 的中点x2＝ ＝0.25， 因为 f(0.25)＝0.253＋3×0.25－1≈－0.23＜0，所以 f(0.25)·f(0.5)＜0， 因为 ∣0.25－0.5∣＝0.5＞0.1，所以取区间 (0.25，0.5) 的中点 x3＝ ＝0.375， 因为 f(0.375)＝0.3753＋3×0.375－1≈0.18 ＞0，所以 f(0.25)·f(0.375)＜0， 因为 ∣0.25－0.375∣＝0.125＞0.1，所以取区间(0.25，0.375)的中点 x4＝＝0.31. 因为 f(0.31)＝0.313＋3×0.0.31－1＞－0.04＜0，所以 f(0.31)·f(0.375)＜0， 因为 ∣0.31－0.375∣＝0.065＜0.1，又因为函数 f(x) 在区间 (0.31，0.375) 上连续， 所以方程x3＋3x－1＝0在区间 (0，1) 上的近似解为0.3. 2. 利用计算器，求方程lgx＝1－2x的近似解 (精确到0.1). 解 令f(x)＝lgx＋2x－1，则 f()＝lg＜0， f(1)＝1＞0. 所以函数 f(x)＝lgx＋2－1在区间(，1)上存在零点，因为 f()＝lg＋≈0.375， 所以函数 f(x)＝lgx＋2x－1在区间(， )上存在零点，因为 f()＝lg＋≈0.0459， 所以函数 f(x)＝lgx＋2x－1在区间(， )上存在零点， 因为 f()＝lg＋≈－0.1249， 所以函数 f(x)＝lgx＋2x－1在区间(， )上存在零点， 因为 －＝ ＝0.0625＜0.1，所以可取(， )中的数作为方程的近似解， 例如0.6，因此0.6是方程 lgx＝1－2x的近似解. 3. 用自己的语言叙述用二分法求方程近似解的基本步骤. ① 给定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)＜0，给定精确度， ② 求区间[a，b]的中点c， ③ 若 f(c)＝0，则c就是函数的零点， 若f(a)·f(c)＜0，则令b＝c (此时零点 x0∈(a，c))， 若f(b)·f(c)＜0，则令a＝c (此时零点 x0∈(c，b))， ④ 判断是否达到精确度，即若∣b－a∣＜， 则得到零点近似值a或b，否则重复② － ④. 4. 用两种方法解方程 2x2＝3x－1. 解法一：23x-1 2=-1 . + = X± 解得： 解法二: 2x²=3x-1 2x²-3x+1=0 (x- 1) (2x-1)=0 则x-1=0或2x-1=0解得 . 5. 利用计算器，求方程 x3＝2x＋1 的近似解(精确到0.1). 解：设f(x)=x³ -2x-1,可知:f(-1)=-1+2-1=0, f(0)=-1, f(1)=1-2-1=-2, f(2)=8-4-1=3,f（）=+1 – 1= f（ ）= + = 由函数零点存在性定理可知，f(x) =0有三个根 1，2） 因为－0.625≈－0.6，－0.5625≈－0.6，所以取x2＝－0.6 因为1.5625 ≈ 1.6， 所以取x3 ≈ 1.6. 综上，方程x3＝2x＋1的近似解是 x1＝1.0，x2≈－0.6，x3≈1.6. 6. 利用计算器，求方程 x－cosx＝0 的近似解(精确到0.1). 解：设 f(x)＝x－cosx，方程的解为x0，用计算器计算得 f(0)＜0，f(1)＞0 ⇒ x0 ∈(0，1)， f(0.5)＜0，f(1)＞0 ⇒ x0 ∈(0.5，1)， f(0.5)＜0，f(0.75)＞0 ⇒ x0∈( 0.5，0.75 )， f(0.625)＜0，f(0.75)＞0 ⇒ x0∈(0.625，0.75)， f(0.6875)＜0，f(0.75)＞0 ⇒ x0∈(0.6875，0.75)， f(0.71875)＜0，f(0.75)＞0 ⇒ x0∈(0.71875 ，0.75)， f(0.734 375)＜0，f(0.75)＞0 ⇒ x0∈(0.734 375，0.75 )， f(0.734 375)＜0，f(0.742 187 5)＞0 ⇒ x0∈(0.734 375，0.742 187 5) ∵ 0.734375和0.742 1875 精确到0.1 的近似值都是 0.7， ∴x≈0.7. 题型分类讲解 题型一　二分法概念的理解 1.(1)下列函数中不能用二分法求零点的是(　　) (2)用二分法求方程2x＋3x－7＝0在区间(1，3)内的根，取区间的中点为x0＝2，那么下一个有根的区间是________. B (1，2) 解析　(1)观察图象与x轴的交点，若交点附近的函数图象连续，且在交点两侧的函数值符号相异，则可用二分法求零点，而B不能用二分法求零点. (2)设f(x)＝2x＋3x－7，则f(1)＝2＋3－7＝－2<0，f(3)＝10>0，f(2)＝3>0，故f(x)零点所在的区间为(1，2)，∴方程2x＋3x－7＝0有根的区间是(1，2). 2.已知函数f(x)的图象如图，则f(x)零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为(　　) A.4，4 　　　 　 B.3，4 C.5，4 　　 　　 D.4，3 解析　图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4； 左、右两侧函数值异号的有3个零点， 所以可以用二分法求解的个数为3. D 题型二　用二分法求函数的零点 3.用二分法求函数f(x)＝x3－x－1在区间[1，1.5]内的一个零点(精确到0.1). 解　经计算，f(1)<0，f(1.5)>0，所以函数在[1，1.5]内存在零点x0. 取区间(1，1.5)的中点x1＝1.25，经计算f(1.25)<0，因为f(1.25)f(1.5)<0，所以x0∈(1.25，1.5). 如此继续下去，得到函数的一个零点所在的区间，如下表： (a，b) (a，b)的中点 中点函数值符号 (1，1.5) 1.25 f(1.25)<0 (1.25，1.5) 1.375 f(1.375)>0 (1.25，1.375) 1.312 5 f(1.312 5)<0 (1.312 5，1.375) 1.343 75 f(1.343 75)>0 (1.312 5，1.343 75)     因为1.312 5与1.343 75精确到0.1的近似值都为1.3，所以函数f(x)＝x3－x－1的精确到0.1的近似零点可取为1.3. 题型三　用二分法求方程的近似解 4.在用二分法求方程x＝3－lg x在区间(2，3)内的近似解时，先将方程变形为lg x＋x－3＝0，构建f(x)＝lg x＋x－3，然后通过计算以判断f(2)及f(3)的正负号，再按步骤取区间中点值，计算中点的函数近似值，如此往复缩小零点所在区间，计算得部分数据列表如下： 步骤 区间左端点a 区间右端点b a，b中点c的值 中点c的函数近似值f(c) 1 2 3 2.5 －0.102 2       0.189 3     2.625 0.044 4 2.5 2.625 2.562 5 －0.029 5 2.562 5 2.625 2.593 75 0.008 6 2.562 5 2.593 75 2.578 125 －0.011 7 2.578 125 2.593 75 2.585 937 5 －0.001 8 2.585 937 5 2.593 75 2.589 843 75 0.003 9 2.585 937 5 2.589 843 75 2.587 890 625 0.001 (1)判断f(2)及f(3)的正负号； (2)请完成上述表格，在空白处填上正确的数字； (3)若精确到0.1，则到第几步骤即可求出近似值？此时近似值为多少？ (4)若精确到0.01，则需要到第几步骤才可求出近似值？近似值为多少？ 解　(1)f(2)＝lg 2－1＝lg 2－lg 10<0，f(3)＝lg 3>0. (2)如下表： 步骤 区间左端点a 区间右端点b a，b中点c的值 中点c的函数近似值f(c) 1 2 3 2.5 －0.102 2 2.5 3 2.75 0.189 3 2.5 2.75 2.625 0.044 (3)直到第5步骤时，2.562 5与2.625精确到0.1的近似值都为2.6，此时可求出零点的近似值为2.6. (4)直到第8步骤时，2.585 937 5与2.593 75精确到0.01的近似值都为2.59，此时可求出零点的近似值为2.59. 4 2.5 2.625 2.562 5 －0.029 5 2.562 5 2.625 2.593 75 0.008 6 2.562 5 2.593 75 2.578 125 －0.011 7 2.578 125 2.593 75 2.585 937 5 －0.001 8 2.585 937 5 2.593 75 2.589 843 75 0.003 9 2.585 937 5 2.589 843 75 2.587 890 625 0.001 5.用二分法求2x＋x＝4在[1，2]内的近似解(精确到0.1).参考数据： 解　令f(x)＝2x＋x－4，则f(1)＝2＋1－4<0，f(2)＝22＋2－4>0. x 1.125 1.25 1.375 1.437 5 1.5 1.625 1.75 2x 2.18 2.38 2.59 2.71 2.83 3.08 3.36 区间 区间中点值xn f(xn)的值及符号 (1，2) x1＝1.5 f(x1)＝0.33>0 (1，1.5) x2＝1.25 f(x2)＝－0.37<0 (1.25，1.5) x3＝1.375 f(x3)＝－0.035<0 (1.375，1.5) x4＝1.437 5 f(x4)＝0.147 5>0 ∵1.375与1.437 5精确到0.1的近似值都为1.4. ∴2x＋x＝4在[1，2]内的近似解可取为1.4. 课堂小结 1.掌握2个知识点 (1)二分法的定义. (2)利用二分法求函数的零点、方程的近似解. 2.学会2种方法——化归思想、逼近思想 (1)化归思想：把求方程f(x)＝0的近似解转化为求函数y＝f(x)的近似零点. (2)逼近思想：二分法是求函数零点的一种常用方法，是“逐步逼近”的数学思想的应用. 3.规避1个误区 并非所有函数都可以用二分法求其零点，只有满足： (1)f(x)在区间[a，b]上的图象连续不间断； (2)f(a)f(b)＜0， 上述两条的函数方可采用二分法求得零点的近似值. $