8.1.2　用二分法求方程的近似解课件-2026-2027学年高一上学期数学苏教版必修第一册

该高中数学课件核心内容为“用二分法求方程的近似解”，通过“猜数游戏”情境导入引导学生思考策略，构建从现实问题到数学概念的学习支架，涵盖二分法的条件、操作流程及注意事项，衔接自我诊断与典型例题。 其亮点在于以情境导入培养数学抽象，通过例题精析和跟踪训练强化数学运算与逻辑推理，如猜数游戏抽象二分法思路，二分法口诀与通性通法总结助学生掌握步骤，既提升学生思维能力，又为教师提供系统教学资源。

8.1.2　 用二分法求方程的近似解 新课程标准解读 核心素养 1.探索用二分法求方程近似解的思路并会画程序框 图 数学抽象 2.能借助计算工具用二分法求方程的近似解 数学运算 3.了解用二分法求方程近似解具有一般性 数学运算、逻 辑推理 目录 数学·必修第一册（SJ） 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 　　某电视娱乐节目中，有一种有趣的“猜数”游戏：竞猜者如在规 定的时间内猜出某种商品的价格（或重量），就可获得该件商品.现 有一商品，价格在0～4 000元之间. 【问题】　采取怎样的策略才能在较短的时间内说出正确的答案呢？  　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 目录 数学·必修第一册（SJ） 知识点　二分法 1. 二分法的概念 条 件 （1）函数 y ＝ f （ x ）的图象在区间[ a ， b ]上连续不断； （2）在区间端点的函数值满足 f （ a ） f （ b ）＜0 方 法 不断地把函数 y ＝ f （ x ）的零点所在的区间一分为二，使区间的 两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值 目录 数学·必修第一册（SJ） 提醒　用二分法只能求变号零点，即零点左右两侧的函数值的符号 相反，比如 y ＝ x2，该函数有零点为0，但不能用二分法求解. 目录 数学·必修第一册（SJ） 2. 用二分法求方程的一个近似解的操作流程 目录 数学·必修第一册（SJ） 在以上操作过程中，如果存在 c ，使得 f （ c ）＝0，那么 c 就是方 程 f （ x ）＝0的一个精确解. 提醒　二分法求函数零点近似值口诀 定区间，找中点，中值计算两边看； 同号去，异号算，零点落在异号间； 周而复始怎么办？精确度上来判断. 目录 数学·必修第一册（SJ） 1. 下列函数图象与 x 轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是 （　　） 解析： 　只有选项C中零点左右的函数值符号相反，且函数的图 象连续不断，可以利用二分法求解. 目录 数学·必修第一册（SJ） 2. （多选）下列说法中，正确的是（　　） A. 要用二分法，必须先确定零点所在区间 B. 函数 f （ x ）＝｜ x ｜不能用二分法求其零点 C. 二分法可求所有函数的近似零点 D. 二分法所求出的方程的解都是近似解 目录 数学·必修第一册（SJ） 解析： 　A中，要用二分法，必须先确定零点所在区间，故A正 确；B中，对于函数 f （ x ）＝｜ x ｜，不存在区间（ a ， b ），使 f （ a ） f （ b ）＜0，所以不能用二分法求其零点，故B正确；C中， 当零点左右两侧附近函数值同号时，不能用二分法求函数的近似零 点，故C错误；D中，二分法求出的解也有精确解，如 f （ x ）＝ x －1在（0，2）上用二分法求解时，中点为 x ＝1，而 f （1）＝0， 故D错误.故选A、B. 目录 数学·必修第一册（SJ） 3. 用二分法研究函数 f （ x ）＝ x3＋3 x －1的零点时，第一次经计算得 f （0）＜0， f （0.5）＞0，可得其中一个零点 x0∈ ⁠， 第二次应计算 ⁠. 解析：二分法要不断地取区间的中点值进行计算.由 f （0）＜0， f （0.5）＞0知 x0∈（0，0.5）.再计算0与0.5的中点0.25的函数 值，以判断 x0的更准确位置. （0，0.5）　 f （0.25）　 目录 数学·必修第一册（SJ） 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 二分法概念的理解 【例1】　（1）已知函数 f （ x ）的图象如图所示，其中零点的个 数与可以用二分法求解的个数分别为（　D　） A. 4，4 B. 3，4 C. 5，4 D. 4，3 D 解析：图象与 x 轴有4个交点，所以零点的个数为4；左右函数值异 号的零点有3个，所以可以用二分法求解的个数为3，故选D. 目录 数学·必修第一册（SJ） （2）（多选）下列函数中，能用二分法求函数零点的有 （　ACD　） A. f （ x ）＝3 x －1 B. f （ x ）＝ x2－2 x ＋1 C. f （ x ）＝4 x D. f （ x ）＝e x －2 解析： f （ x ）＝ x2－2 x ＋1＝（ x －1）2， f （1）＝0，当 x ＜1时， f （ x ）＞0；当 x ＞1时， f （ x ）＞0，在零点两侧函 数值同号，不能用二分法求零点，其余选项中函数的零点两 侧的函数值异号.故选A、C、D. ACD 目录 数学·必修第一册（SJ） 通性通法 运用二分法求函数零点的适用条件 （1）函数图象在零点附近连续不断； （2）零点为变号零点，即在该零点左右函数值异号. 只有满足上述两个条件，才可用二分法求函数零点. 目录 数学·必修第一册（SJ） 【跟踪训练】 用二分法求方程ln x －2＋ x ＝0在区间[1，2]上零点的近似值，先取区 间中点 c ＝ ，则下一个含根的区间是 　 　. 解析：令 f （ x ）＝ln x －2＋ x ，∵ f （1）＝－1＜0， f （2）＝ln 2＞ 0， f ＝ln － ＜0，∴下一个含根的区间是 . 　 目录 数学·必修第一册（SJ） 题型二 用二分法求函数的零点 【例2】　已知函数 f （ x ）＝2 x3－ x2－3 x ＋1. （1）求证： f （ x ）在区间（1，2）上存在零点； 解：证明：∵ f （ x ）＝2 x3－ x2－3 x ＋1， ∴ f （1）＝－1＜0， f （2）＝7＞0，∴ f （1） f （2）＝－7＜ 0，且 f （ x ）＝2 x3－ x2－3 x ＋1在（1，2）内连续， ∴ f （ x ）在区间（1，2）上存在零点. 目录 数学·必修第一册（SJ） （2）若 f （ x ）的一个正数零点附近的函数近似值如表格所示，请利 用二分法计算 f （ x ）＝0的一个近似解（精确到0.1）. f （1）＝－1 f （1.5）＝1 f （1.25）＝－0.406 25 f （1.375）≈0.183 59 f （1.312 5）≈－ 0.138 18 f （1.343 75）≈0.015 81 目录 数学·必修第一册（SJ） 解：由（1）知， f （ x ）＝2 x3－ x2－3 x ＋1在（1，2）内存 在零点， 由表知， f （1）＝－1， f （1.5）＝1， ∴ f （1） f （1.5）＜0，∴ f （ x ）的零点在（1，1.5）上. ∵ f （1.25）＜0，∴ f （1.25） f （1.5）＜0， ∴ f （ x ）的零点在（1.25，1.5）上. ∵ f （1.375）＞0，∴ f （1.25） f （1.375）＜0， ∴ f （ x ）的零点在（1.25，1.375）上. 目录 数学·必修第一册（SJ） ∵ f （1.312 5）＜0，∴ f （1.312 5） f （1.375）＜0，∴ f （ x ）的零点在（1.312 5，1.375）上. ∵ f （1.343 75）＞0，∴ f （1.312 5） f （1.343 75）＜0， ∴ f （ x ）的零点在（1.312 5，1.343 75）上. ∵1.312 5与1.343 75精确到0.1的近似值都是1.3， ∴ f （ x ）＝0的一个精确到0.1的近似解是1.3. 目录 数学·必修第一册（SJ） 通性通法 用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则 （1）需依据图象估计零点所在的初始区间[ m ， n ]（一般采用估计值 的方法完成）； （2）取区间端点的中点 c ，计算 f （ c ），确定有解区间是（ m ， c ） 还是（ c ， n ），逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端 点符合精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值. 目录 数学·必修第一册（SJ） 【跟踪训练】 证明函数 f （ x ）＝2 x ＋3 x －6在区间[1，2]内有唯一零点，并求出这 个零点（精确到0.1，参考数据：21.5≈2.83，21.25≈2.38， 21.125≈2.18，21.187 5≈2.28，21.218 75≈2.33，21.234 375≈2.35）. 解：易知 f （1）＝－1＜0， f （2）＝4＞0，函数 f （ x ）在[1，2]上单 调递增，所以函数 f （ x ）在区间[1，2]内有唯一零点，不妨设为 x0， 则 x0∈（1，2）.然后用二分法求解，如下表所示. 目录 数学·必修第一册（SJ） （ a ， b ） （ a ， b ）的 中点 f （ a ）的符号 f （ b ）的符号 （1，2） 1.5 f （1）＜0 f （2）＞0 f （1.5）＞0 （1，1.5） 1.25 f （1）＜0 f （1.5）＞0 f （1.25）＞0 （1，1.25） 1.125 f （1）＜0 f （1.25）＞ 0 f （1.125） ＜0 （1.125， 1.25） 1.187 5 f （1.125） ＜0 f （1.25）＞ 0 f （1.187 5）＜0 （1.187 5， 1.25） 1.218 75 f （1.875） ＜0 f （1.25）＞ 0 f （1.218 75）＜0 （1.218 75，1.25） 1.234 375 f （1.218 75）＜0 f （1.25）＞ 0 f （1.234 375）＞0 ∵1.218 75与1.234 375精确到0.1的近似值都是1.2，∴ f （ x ）＝0的 一个精确到0.1的近似解是1.2. 目录 数学·必修第一册（SJ） 题型三 用二分法求方程的近似解 【例3】　用二分法求方程2 x ＝4－ x 的近似解（精确到0.1）. 附参考数据： x 1.125 1.25 1.375 1.437 5 2 x 2.18 2.38 2.59 2.71 x 1.5 1.625 1.75 1.875 2 x 2.83 3.08 3.36 3.67 目录 数学·必修第一册（SJ） 解：在同一平面直角坐标系中分别画出函数 y ＝2 x ， y ＝4－ x 的图象，如图所示. 方程2 x ＝4－ x 的解就是两函数图象交点的横坐 标. 由图象可得，方程2 x ＝4－ x 有唯一解，记为 x0， 并且这个解在区间（1，2）上. 设 f （ x ）＝2 x ＋ x －4，则 f （1）＝2＋1－4＜ 0， f （2）＝22＋2－4＞0. 目录 数学·必修第一册（SJ） 区间 区间中点值 xn f （ xn ）的值及符号 （1，2） x1＝1.5 f （ x1）＝0.33＞0 （1，1.5） x2＝1.25 f （ x2）＝－0.37＜0 （1.25，1.5） x3＝1.375 f （ x3）＝－0.035＜0 （1.375，1.5） x4＝1.437 5 f （ x4）＝0.147 5＞0 ∵1.375与1.437 5精确到0.1的近似值都为1.4， ∴方程2 x ＝4－ x 的近似解为1.4. 目录 数学·必修第一册（SJ） 通性通法 用二分法求方程的近似解应明确两点 （1）根据函数的零点与相应方程的解的关系，求方程的近似解与求 相应函数的零点是等价的.求方程 f （ x ）＝0的近似解，即按照 用二分法求函数零点近似值的步骤求解； （2）对于求形如 f （ x ）＝ g （ x ）的方程的近似解，可以通过移项转 化成求形如 F （ x ）＝ f （ x ）－ g （ x ）＝0的方程的近似解，然 后按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解. 目录 数学·必修第一册（SJ） 【跟踪训练】 求方程lg x ＝（ ） x －1的近似解.（精确到0.1） 解：如图所示， 目录 数学·必修第一册（SJ） 由函数 y ＝lg x 和 y ＝（ ） x －1的图象可知，方程lg x ＝（ ） x －1有 唯一实数解，且在区间（0，1）内. 设 f （ x ）＝lg x －（ ） x ＋1，则 f （1）＝ ＞0，用计算器计算，列 表如下： 目录 数学·必修第一册（SJ） 区间 中点的值 中点函数值（近似值） （0，1） 0.5 －0.008 1 （0.5，1） 0.75 0.280 5 （0.5，0.75） 0.625 0.147 5 （0.5，0.625） 0.562 5 0.073 0 （0.5，0.562 5） 0.531 25 0.033 3 ∵0.5与0.531 25精确到0.1的近似值都是0.5，∴方程的近似解为0.5. 目录 数学·必修第一册（SJ） 1. 设 f （ x ）＝lg x ＋ x －3，用二分法求方程lg x ＋ x －3＝0在（2， 3）内近似解的过程中得 f （2.25）＜0， f （2.75）＞0， f （2.5） ＜0， f （3）＞0，则方程的根落在区间（　　） A. （2，2.25） B. （2.25，2.5） C. （2.5，2.75） D. （2.75，3） 解析： 　因为 f （2.5）＜0， f （2.75）＞0，由函数零点存在定 理知，方程的根在区间（2.5，2.75）内，故选C. 目录 数学·必修第一册（SJ） 2. 某同学求函数 f （ x ）＝ln x ＋2 x －5的零点时，用计算器算得部分 函数值如表所示： f （2）≈－0.307 f （3）≈2.099 f （2.5）≈0.916 f （2.25）≈0.311 f （2.125）≈0.004 f （2.062 5）≈－ 0.151 则方程ln x ＋2 x －5＝0的近似解（精确到0.1）可取为（　　） A. 2.5 B. 2.3 C. 2.1 D. 2.2 目录 数学·必修第一册（SJ） 解析： 　由表格可知，因为2.125和2.062 5精确到0.1的近似值都 是2.1，所以方程的近似解为2.1. 目录 数学·必修第一册（SJ） 3. 函数 f （ x ）＝ x2＋ ax ＋ b 有零点，但不能用二分法求出，则 a ， b 的关系是 ⁠. 解析：∵函数 f （ x ）＝ x2＋ ax ＋ b 有零点，但不能用二分法， ∴函数 f （ x ）＝ x2＋ ax ＋ b 图象与 x 轴相切.∴Δ＝ a2－4 b ＝0.∴ a2 ＝4 b . a2＝4 b 　 目录 数学·必修第一册（SJ） 谢 谢 观 看！ $