精品解析：北京市清华大学附属中学2025-2026学年八年级上学期期中数学试卷

初二第一学期期中试卷 数学（一） 一、选择题（本题共24分，每题3分）每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，幂的乘方与积的乘方，正确掌握相关运算法则是解题的关键．根据相关运算法则逐项进行判断即可． 【详解】解：A、因为与不是同类项，所以不能合并，故该选项计算错误，不符合题意； B、，因为与不是同类项，所以不能合并，故该选项计算错误，不符合题意； C、，故该选项计算错误，不符合题意； D、，故该选项计算正确，符合题意． 故选：D． 2. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了轴对称图形的识别，，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据轴对称图形的概念逐一判断即可． 【详解】解：、是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项符合题意； 、是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 3. 若点与点关于y轴对称，则m的值是（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标的知识，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数． 【详解】解：在直角坐标系中，点与点关于轴对称， 则，解得． 故选：B． 4. 若，则的值为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，通过展开左边的多项式乘积，与右边的二次多项式比较对应项的系数，从而确定的值，即可求解． 【详解】解： ∴， 故选：D． 5. 下列多项式，能用平方差公式进行因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了用平方差公式进行因式分解．熟记平方差公式的结构特点是解题的关键．平方差公式：． 根据平方差公式的结构特点，两个平方项，并且符号相反，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、两平方项符号相同，不能用平方差公式进行因式分解； B、，符合平方差公式的特点，能用平方差公式进行因式分解； C、两平方项符号相同，不能用平方差公式进行因式分解； D、是三项，不能用平方差公式进行因式分解． 故选：． 6. 如图，P为内一点，过点P的线段分别交、于点M、N，且M、N分别在、的中垂线上．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算，得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵M、N分别在、的中垂线上， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 7. 若，，则代数式的值（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了整式的化简求值，熟悉多项式乘法法则是解题关键．将展开并整理为含，的形式，再利用整体代入计算即可． 【详解】解： 原式 故选B． 8. 平面直角坐标系中，已知A（2，2）、B（4，0）．若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（　　） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【详解】解：构造等腰三角形， ①分别以A，B为圆心，以AB的长为半径作圆； ②作AB的中垂线． 如图，一共有5个C点， 注意，与B重合及与AB共线的点要排除． 故选A. 二、填空题（本题共24分，每题3分） 9. 与的最大公因式是___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查的是公因式的定义，找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取最小的． 根据公因式的定义进行解答． 【详解】解：与的公因式是． 故答案为：． 10. 若多项式是一个完全平方式，则______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式.根据完全平方公式即可求出的值． 【详解】解：， ， 故答案为：． 11. 若，则的值为___________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法法则的逆用，熟练掌握同底数幂乘法法则是解题关键． 利用同底数幂的乘法法则，将 转化为，然后代入已知值计算即可． 【详解】 故答案为12． 12. 计算：_______． 【答案】1 【解析】 【分析】将2024变形为，2026变形为，再利用平方差公式展开化简计算即可得到结果． 【详解】解： ． 13. 如图，中，，，于H，若，则__________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据直角三角形的性质可得和的度数，再根据在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半可得和的长，进而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 14. 如图，在中，，和的平分线分别交于点、，若，则的值为___________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质、角平分线的定义，平行线的性质等知识，解题的关键是等腰三角形的证明． 根据平行线的性质和等腰三角形的判定证得即可求得结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的平分线，是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：5． 15. 如图，是等边三角形，，，则的度数为_________． 【答案】##80度 【解析】 【分析】本题考查等边三角形性质和等腰三角形性质，三角形内角和．熟练掌握是解题的关键． 根据等边三角形性质，得．，可得，由等腰三角形性质得，由三角形内角和得，即可求解． 【详解】解：是等边三角形， ∴．， ∵． ∴． ∴． ∴． ∴． 故答案为：． 16. 在中，，点为直线上异于点的一点，若是等腰三角形，求的度数为________________． 【答案】或或 【解析】 【分析】在 中，根据，，得到 ，再根据是等腰三角形及三角形外角公式分类讨论即可得到答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴ ， ∵点为直线上异于点的一点， ∴当是等腰三角形时，只能或， ①当时，如图所示： ∴； ②当时，点D在点B的左侧时，如图所示： ∴ ， ∵， ∴； 当时，点D在点B的右侧时，如图所示： ∵， ∴； 综上所述的度数为或或． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查利用等腰三角形性质求角度及三角形内角和定理，解题关键是数形结合，注意进行分类讨论． 三、解答题（共52分，第17~18题每题9分，第19-22题每题5分，第23题6分，第24题每题8分） 17. 计算： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了单项式乘多项式、多项式乘多项式以及平方差公式和完全平方公式的应用． （1）运用单项式乘多项式法则，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加即可求解； （2）根据多项式乘多项式的法则，先用的每一项与的每一项相乘，再把所得的积相加即可求解； （3）通过分组应用平方差公式，将变形为，根据平方差公式变形计算即可求解． 【小问1详解】 【小问2详解】 【小问3详解】 18. 因式分解： （1）． （2）． （3）． 【答案】（1）． （2）． （3）． 【解析】 【分析】本题考查了因式分解（提公因式法、公式法），解题关键是根据多项式特点，先提公因式，再根据需要运用公式法进行分解． （1）提取公因式进行因式分解即可． （2）先提取公因式，再对括号内用完全平方公式进行因式分解即可． （3）先整体思想用平方差公式分解，再进行化简即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ， ； 【小问3详解】 解： ， ． 19. 已知：，求代数式的值． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算，根据乘法公式，单项式乘多项式的法则，进行计算，利用整体代入法进行求值即可． 【详解】解：原式 ； ∵， ∴， ∴原式． 20. 如图所示，由每一个边长均为1的小正方形构成的正方形网格中，点A，B，C，M，N均在格点上（小正方形的顶点为格点），利用网格画图． （1）画出关于直线MN对称的； （2）的面积为______． （3）在线段MN上找一点P，使得．（保留必要的画图痕迹，并标出点P位置） 【答案】（1） 如图所示，即为所求． （2）3 （3）如图所示，点P即为所求． 【解析】 【分析】（1）分别作出三个顶点关于直线的对称点，再首尾顺次连接即可； （2）用割补法求解即可； （3）连接，与直线的交点即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ． 故答案为：3； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查作图—轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义和性质．正确掌握轴对称的性质是解题的关键． 21. 已知，，求： （1）的值； （2）的值． 【答案】（1）15 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形、代数式求值、平方根的定义，熟练掌握完全平方公式的应用是解答关键． （1）将变形为，把，代入即可求解； （2）利用差的完全平方公式，代入数值，可求得，从而即可求解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， 故的值为； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∴． 22. 如图，在中，，，为延长线上的一点，连接，使得是的中点，点是上一点，连接，． （1）求的度数； （2）若，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和判定，三角形内角和定理，正确作出辅助线是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质求得，利用三角形内角和定理即可解答； （2）连接，利用等腰三角形的性质可得，利用推出，即可求得． 【小问1详解】 解：，， ， ， 【小问2详解】 解：如图，连接， ， 是的中点，， ， ， ， ， ， ． 23. 阅读下列材料： 材料1：若，利用配方法求的最小值． 解：． 当时，有最小值1． 把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法． 材料2：对于多项式，若存在，使得，则可对因式分解如下，， 例1因式分解： 解： 例2因式分解：． 解：把看作关于的二次式， ． 在分解含多个字母的多项式时，选取其中一个字母为主元，将其它字母看成是常数，把多项式整理成关于主元的降幂排列的多项式，这种解题方法叫做主元法． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： （1）若，则的最小值为___________； （2）因式分解：___________； （3）若，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题综合考查了完全平方公式和因式分解，对给出的代数式进行适当变形是解题关键； （1）根据即可求解； （2）根据，结合，且，即可求解； （3）根据即可求解； 【小问1详解】 解：∵， ∴当时，有最小值． 【小问2详解】 解：， ∵，且， ∴； 【小问3详解】 解： ∵， ∴当时，有最小值． 24. 在等边中，点在射线上，点在延长线上，满足． （1）如图1，若在线段上，求证：； （2）如图2，若在线段延长线上，为中点，连接．依题意补全图形，用等式表示线段和之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1） 证明：如图，过点作交于点， ，， 为等边三角形， ， ∴， ， 为等边三角形， ， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ， ， ； （2） 如图，作交的延长线于点M，延长至点N，使，连接， ，， 为等边三角形， ， ∴， ∴为等边三角形， ， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵ ， ， ． ∵为中点， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，解题的关键是灵活运用相关知识． （1）过点作交于点，得到，，根据等边三角形判定与性质推出，证明，得到，即可得证； （2）作交的延长线于点M，延长至点N，使，连接，证明得，从而可证．证明得，，再证明，可证，得到，进而可证． ． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 四、附加题（本题共20分，第25~28题，每题3分，第29题8分） 25. 若，则的值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，代入求值，掌握相关知识是解决问题的关键．原式变形为，提公因式合并同类项后得，再提公因式2得，将已知条件代入计算即可． 【详解】解： ， ∵ ， 代入得： 原式， 故答案为：． 26. 已知．若，则的值是___________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式的应用是解题关键． 根据题意将用含的式子表示，代入，利用完全平方公式建立等式求解即可． 【详解】，，， ，， ， ， ， ， ． 27. 已知，M是边OA上的一个定点，且，N、P分别是边、上的动点，则的最小值是_____． 【答案】4 【解析】 【分析】作M关于的对称点Q，过Q作于N，交于P，则此时的值最小，连接，得出，，，根据含30度角的直角三角形性质求出即可． 【详解】解：作M关于的对称点Q，过Q作于N，交于P，连接，如图， ∵作点M、点Q关于的对称， ∴， ∴， 根据垂线段最短可知：当时，最小， ∴根据作图可知此时：最小，且最小为， ∵，作点M、点Q关于的对称，， ∴，， ∴， ∵， ∴在中有：， ∴， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形性质，轴对称−最短路线问题，垂线段最短的应用，关键是确定P、N的位置． 28. 如图，在等边中，为边上一点，线段与线段关于直线对称，连接并延长交直线于点， （1）的度数是___________； （2）若，则___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）求出与的关系，再利用三角形的外角的性质解决问题即可． （2）过点A作于点T．先求得，得，由得，可得结论． 【详解】解：（1）∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵线段与线段关于直线对称， ∴， ， ， ∵， ∴． 故答案为：． （2）过点A作于点T． 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查等边三角形和轴对称．熟练掌握轴对称的性质，等边三角形性质，等腰三角形判定和性质，三角形外角性质，构造直角三角形，是解题的关键． 29. 对平面直角坐标系中的点和直线．将点进行不超过2次轴对称变换，每次的对称轴是轴或直线，得到的点称为点的关联点；如果点或点的关联点在图形的边界或者内部，就称图形是点的关联图形． （1）设，直线是轴，下列点中，是点的关联点的是___________（填所有满足要求点的序号） ①；②；③；④ （2）设，直线是一三象限角平分线所在直线． ①若正方形是点的关联图形，则的取值范围是___________（请直接写答案）； ②将直线向右平移1个单位长度得到直线，若是点的-关联图形，则的取值范围是___________（请直接写答案）． 【答案】（1）①③ （2）①②或 【解析】 【分析】本题考查轴对称，一次函数，求不等式组的解集，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）此问中对称轴是轴或y 轴，根据点的关联点定义分类讨论，经过1次变换，每种情况要分为关于哪条直线为对称轴进行变换；或者经过两次变换，要讨论对称轴的先后顺序； （2）①此问中对称轴是轴或一、三象限角平分线，即直线，的关联图形是正方形，求出正方形的坐标范围，因为点 本身不在正方形内，类比（1）分类讨论进行求解； ②此问中对称轴是轴或直线，的关联图形是，求出的坐标范围，先求解Q 本身在内部或边缘时的取值范围，再类比（1）分类讨论进行求解． 【小问1详解】 解：由题意点的关联点是进行不超过2次轴对称变换得到的，且每次的对称轴是轴或y 轴， 点关于轴的对称点为，关于轴对称点为， Ⅰ．经过1 次变换： ⅰ关于 x 轴对称得①， ⅱ关于 y 轴对称得，无对应选项； Ⅱ．经过2 次变换： 先 x 轴再 y 轴（或先 y 轴再 x 轴），得③； ②④无法通过规定变换得到，故排除； 故答案为：①③； 【小问2详解】 解：①的关联点是进行不超过2次轴对称变换得到的，且每次的对称轴是轴或一、三象限角平分线，即直线， 点关于轴的对称点为，关于直线的对称点为， 由题意，点的关联图形是正方形，其坐标范围：， ∵点 本身不在正方形内， ∴的关联点在正方形的边界或者内部， Ⅰ．经过1 次变换： ⅰ若对称轴是x轴：P 关于 x 轴对称得，若要在正方形的边界或者内部，需满足（落在正方形上边界）； ⅱ若对称轴是直线：P 关于直线的对称得，不会落在正方形的边界或者内部，这种情况舍去； Ⅱ．经过2 次变换 ⅰ若先 关于x 轴对称再关于直线对称：得，若要在正方形的边界或者内部，需满足（落在正方形左边界）； ⅱ若先关于直线对称再关于 x 轴对称，得，不会落在正方形的边界或者内部，这种情况舍去； 综上所述， p 的取值范围为 ； ②的关联点是进行不超过2次轴对称变换得到的，且每次的对称轴是轴或直线， 点关于轴的对称点为，关于直线的对称点为， 的坐标范围：，斜边解析式为，点 ， Ⅰ．Q 本身在内部或边缘：需满足（落在上边界） Ⅱ．经过1 次变换， ⅰ关于x 轴对称：得不在内部或边缘，这种情况舍去； ⅱ关于直线对称：得对称点， 当时，代入斜边解析式为得， ∵点在内部或边缘， ∴， ∴； Ⅲ．经过2 次变换 ⅰ先关于直线对称再关于x 轴对称：得对称点， ∵在内部或边缘， ∴需满足且， 解得； ⅱ先关于x 轴对称再关于直线对称：得对称点，不在内部或边缘，这种情况舍去； 综上所述：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初二第一学期期中试卷 数学（一） 一、选择题（本题共24分，每题3分）每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 若点与点关于y轴对称，则m的值是（ ） A. 6 B. C. D. 4. 若，则的值为( ) A. B. C. D. 5. 下列多项式，能用平方差公式进行因式分解的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，P为内一点，过点P的线段分别交、于点M、N，且M、N分别在、的中垂线上．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 若，，则代数式的值（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 8. 平面直角坐标系中，已知A（2，2）、B（4，0）．若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（　　） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 二、填空题（本题共24分，每题3分） 9. 与的最大公因式是___________． 10. 若多项式是一个完全平方式，则______． 11. 若，则的值为___________． 12. 计算：_______． 13. 如图，中，，，于H，若，则__________． 14. 如图，在中，，和的平分线分别交于点、，若，则的值为___________． 15. 如图，是等边三角形，，，则的度数为_________． 16. 在中，，点为直线上异于点的一点，若是等腰三角形，求的度数为________________． 三、解答题（共52分，第17~18题每题9分，第19-22题每题5分，第23题6分，第24题每题8分） 17. 计算： （1）； （2）； （3）． 18. 因式分解： （1）． （2）． （3）． 19. 已知：，求代数式的值． 20. 如图所示，由每一个边长均为1的小正方形构成的正方形网格中，点A，B，C，M，N均在格点上（小正方形的顶点为格点），利用网格画图． （1）画出关于直线MN对称的； （2）的面积为______． （3）在线段MN上找一点P，使得．（保留必要的画图痕迹，并标出点P位置） 21. 已知，，求： （1）的值； （2）的值． 22. 如图，在中，，，为延长线上的一点，连接，使得是的中点，点是上一点，连接，． （1）求的度数； （2）若，求的长． 23. 阅读下列材料： 材料1：若，利用配方法求的最小值． 解：． 当时，有最小值1． 把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法． 材料2：对于多项式，若存在，使得，则可对因式分解如下，， 例1因式分解： 解： 例2因式分解：． 解：把看作关于的二次式， ． 在分解含多个字母的多项式时，选取其中一个字母为主元，将其它字母看成是常数，把多项式整理成关于主元的降幂排列的多项式，这种解题方法叫做主元法． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： （1）若，则的最小值为___________； （2）因式分解：___________； （3）若，求的最小值． 24. 在等边中，点在射线上，点在延长线上，满足． （1）如图1，若在线段上，求证：； （2）如图2，若在线段延长线上，为中点，连接．依题意补全图形，用等式表示线段和之间的数量关系，并证明你的结论． 四、附加题（本题共20分，第25~28题，每题3分，第29题8分） 25. 若，则的值是___________． 26. 已知．若，则的值是___________． 27. 已知，M是边OA上的一个定点，且，N、P分别是边、上的动点，则的最小值是_____． 28. 如图，在等边中，为边上一点，线段与线段关于直线对称，连接并延长交直线于点， （1）的度数是___________； （2）若，则___________． 29. 对平面直角坐标系中的点和直线．将点进行不超过2次轴对称变换，每次的对称轴是轴或直线，得到的点称为点的关联点；如果点或点的关联点在图形的边界或者内部，就称图形是点的关联图形． （1）设，直线是轴，下列点中，是点的关联点的是___________（填所有满足要求点的序号） ①；②；③；④ （2）设，直线是一三象限角平分线所在直线． ①若正方形是点的关联图形，则的取值范围是___________（请直接写答案）； ②将直线向右平移1个单位长度得到直线，若是点的-关联图形，则的取值范围是___________（请直接写答案）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $