第25讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式讲义-2026届高三数学一轮复习

2026高考数学一轮专题讲义与课时精练 第25讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 【基础回顾】 知识点1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式 (1)公式C(α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β； (2)公式C(α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β； (3)公式S(α－β)：sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β； (4)公式S(α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β； (5)公式T(α－β)：tan(α－β)＝； (6)公式T(α＋β)：tan(α＋β)＝. 知识点2．辅助角公式 asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)，其中sin φ＝，cos φ＝. 【必备知识】 两角和与差的公式的常用变形： (1)sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β. (2)cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β. (3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)． (4)tan αtan β＝1－＝－1. 题型一 给角求值 步骤1：分析所求角是否可表示为已知特殊角的和或差． 步骤2：选择对应公式展开，注意符号对应（余弦公式符号与正弦公式符号不同）． 步骤3：代入特殊角的三角函数值计算，化简结果． 注意事项： 合理配角，如， 【例题精讲】 1．sin33°cos27°+sin57°sin27°＝（　　） A． B． C． D． 2．已知α+β，则（1﹣tanα）（1﹣tanβ）的值是（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2 3．已知，tanα•tanβ＝7，则cos（α﹣β）＝（　　） A． B． C． D． （多选）4．下列等式成立的有（　　） A． B． C． D． （多选）5．下列等式中正确的有（　　） A． B． C． D． 题型二 给值求值 已知部分角的三角函数值，求目标角的三角函数值 1.确定目标角与已知角的关系： 将目标角表示为已知角的和或差（如求，若已知等）． 2.计算所需中间量： 利用同角三角函数基本关系（，）求未知三角函数值，注意角的范围对符号的影响（如时，为负）． 3.代入和差公式计算： 严格遵循公式结构，避免展开时符号混淆． 【例题精讲】 1．已知，则cosθ＝（　　） A． B． C． D． 2．已知，，则sin（α﹣β）＝（　　） A． B． C． D． 3．已知α为锐角，且，则tanα＝（　　） A． B． C． D． （多选）4．已知α，β为锐角，，，则（　　） A． B． C． D． （多选）5．设，则（　　） A． B．cos（α+β）＝0 C． D．2tan（α﹣β）＝tanα﹣tanβ 题型三 与其他知识点的综合应用 1.与三角函数性质结合： 求的周期或最值时，先利用和差公式化简为单一三角函数，再分析性质． 2.与解三角形结合： 在中，利用，将角转化为和差关系（如），再用和差公式展开结合正弦定理、余弦定理解题． 3.与向量结合： 若向量，，则，利用数量积公式结合和差公式求解夹角． 【例题精讲】 1．如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox为始边作角α与，它们的终边分别与单位圆交于点，点． （1）求sinα+cosβ的值； （2）求tan（α﹣β）的值． 2．已知，． （1）求tanα和sin2α的值； （2）若，β为锐角，求sin（α﹣β）的值； （3）若，β为锐角，求角α+2β． 3．已知函数f（x）＝sin2x+cos2x （1）求函数f（x）在上的值域； （2）若，其中，求cos2α的值． 4．已知0＜α，β＜π且tanα，tan（α+β）． （1）求tanβ的值； （2）求2α+β的大小． 5．已知函数． （1）求f（x）的最小正周期； （2）求f（x）的单调递增区间． 课时精练 一．选择题（共8小题） 1．已知，则tanθ＝（　　） A．3 B．2 C． D． 2．（　　） A． B． C． D． 3．已知，则cosθ＝（　　） A． B． C． D． 4．已知α为锐角，且，则tanα＝（　　） A． B． C． D． 5．已知sin（α﹣β）＝3cos（α+β），tanαtanβ＝2，则tan（α﹣β）＝（　　） A．1 B．﹣1 C． D． 6．已知，，则sin（α﹣β）＝（　　） A． B． C． D． 7．已知，则（　　） A． B． C． D． 8．若a＝cos15°﹣sin15°，b，c＝sin105°cos15°+cos75°sin195°，则（　　） A．c＜b＜a B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．b＜a＜c 二．多选题（共3小题） （多选）9．下列各式的值正确的是（　　） A． B． C． D．（1+tan13°）（1+tan32°）＝2 （多选）10．已知α，β为锐角，，，则（　　） A． B． C． D． （多选）11．设，则（　　） A． B．cos（α+β）＝0 C． D．2tan（α﹣β）＝tanα﹣tanβ 三．填空题（共3小题） 12．已知，，则tanα﹣tan（α﹣β）＝　 　 ． 13．在△ABC中，，则tanC＝　 　 ． 14．已知，，且，，则的值为 　 　 ． 四．解答题（共5小题） 15．如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox为始边作角α与，它们的终边分别与单位圆交于点，点． （1）求sinα+cosβ的值； （2）求tan（α﹣β）的值． 16．已知向量（cosα，sinα），α∈（0，π），（，cosβ），β∈（，π）． （1）若，求||； （2）若向量（4，3）与向量共线且||＝1，求sin（2α+β）的值． 17．设函数，其中0＜ω＜3，已知函数f（x）的图象关于点成中心对称． （1）求ω； （2）当x∈[0，π]时，求函数f（x）的单调递增区间； （3）若，，且，，求α+β的值． 18．已知函数． （1）若A是三角形中一内角，且，求A的值； （2）若函数在有唯一零点，求m的范围． 19．已知． （1）求f（x）的最小正周期和单调递增区间； （2）求f（x）在上的值域； （3）将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数g（x）的图象，若对于任意的恒成立，求a的取值范围． 第7页（共7页） 学科网（北京）股份有限公司 $2026高考数学一轮专题讲义与课时精练 第25讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 【基础回顾】 知识点1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式 (1)公式C(α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β； (2)公式C(α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β； (3)公式S(α－β)：sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β； (4)公式S(α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β； (5)公式T(α－β)：tan(α－β)＝； (6)公式T(α＋β)：tan(α＋β)＝. 知识点2．辅助角公式 asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)，其中sin φ＝，cos φ＝. 【必备知识】 两角和与差的公式的常用变形： (1)sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β. (2)cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β. (3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)． (4)tan αtan β＝1－＝－1. 题型一 给角求值 步骤1：分析所求角是否可表示为已知特殊角的和或差． 步骤2：选择对应公式展开，注意符号对应（余弦公式符号与正弦公式符号不同）． 步骤3：代入特殊角的三角函数值计算，化简结果． 注意事项： 合理配角，如， 【例题精讲】 1．sin33°cos27°+sin57°sin27°＝（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：由已知，原式． 故选：A． 2．已知α+β，则（1﹣tanα）（1﹣tanβ）的值是（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2 【答案】D 【解答】解：∵α+β， ∴tan（α+β）1，即tanα+tanβ＝﹣1+tanαtanβ， 则（1﹣tanα）（1﹣tanβ）＝1﹣（tanα+tanβ）+tanαtanβ＝1﹣（﹣1+tanαtanβ）+tanαtanβ＝2， 故选：D． 3．已知，tanα•tanβ＝7，则cos（α﹣β）＝（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：因为tanαtanβ7，则sinαsinβ＝7cosαcosβ（1）， 由，可得，所以cosαcosβ﹣sinαsinβ（2）， 将（1）代入上式，cosαcosβ﹣7cosαcosβ，即cosαcosβ， 代入（2），可得sinαsinβ＝7cosαcosβ， 故cosα﹣β＝cosαcosβ+sinαsinβ． 故选：B． （多选）4．下列等式成立的有（　　） A． B． C． D． 【答案】AD 【解答】解：对于A，因为， 所以， 所以，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，4，故D正确． 故选：AD． （多选）5．下列等式中正确的有（　　） A． B． C． D． 【答案】AD 【解答】解：，A正确； ，B错误； cos38°cos22°﹣cos52°sin22°＝cos38°cos22°﹣sin38°sin22°＝cos60，C错误； 因为， 所以tan88°﹣tan28°， 所以，D正确． 故选：AD． 题型二 给值求值 已知部分角的三角函数值，求目标角的三角函数值 1.确定目标角与已知角的关系： 将目标角表示为已知角的和或差（如求，若已知等）． 2.计算所需中间量： 利用同角三角函数基本关系（，）求未知三角函数值，注意角的范围对符号的影响（如时，为负）． 3.代入和差公式计算： 严格遵循公式结构，避免展开时符号混淆． 【例题精讲】 1．已知，则cosθ＝（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：由题意得，结合，可得， 所以cosθ＝cos[（θ）]＝cos（θ）cossin（θ）sin． 故选：B． 2．已知，，则sin（α﹣β）＝（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：因为，， 所以， ， 两式相加得，得． 故选：C． 3．已知α为锐角，且，则tanα＝（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：由题意得sinβcos（α﹣β）﹣cosβsin（β﹣α） ＝sinβcos（α﹣β）+cosβsin（α﹣β）＝sin[β+（α﹣β）]＝sinα， 结合α为锐角，可得cosα，所以． 故选：A． （多选）4．已知α，β为锐角，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】AB 【解答】解：因为α为锐角，， 所以，可得， 由题意，可得， 因为， 所以， 选项A：，正确； 选项B：，正确； 选项D：由选项B得：， 所以，错误； 选项C：由选项A、D得：，错误． 故选：AB． （多选）5．设，则（　　） A． B．cos（α+β）＝0 C． D．2tan（α﹣β）＝tanα﹣tanβ 【答案】BD 【解答】解：由题意，， ， 所以，故A错误； ，故B正确； ，故C错误； 因为， 所以2tan（α﹣β）＝tanα﹣tanβ，故D 正确． 故选：BD． 题型三 与其他知识点的综合应用 1.与三角函数性质结合： 求的周期或最值时，先利用和差公式化简为单一三角函数，再分析性质． 2.与解三角形结合： 在中，利用，将角转化为和差关系（如），再用和差公式展开结合正弦定理、余弦定理解题． 3.与向量结合： 若向量，，则，利用数量积公式结合和差公式求解夹角． 【例题精讲】 1．如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox为始边作角α与，它们的终边分别与单位圆交于点，点． （1）求sinα+cosβ的值； （2）求tan（α﹣β）的值． 【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1）由三角函数的定义可得，， 因为，所以sinα＞0，cosβ＜0， 所以，， 所以； （2）由（1）知tanα，tanβ， 所以tan（α﹣β）． 2．已知，． （1）求tanα和sin2α的值； （2）若，β为锐角，求sin（α﹣β）的值； （3）若，β为锐角，求角α+2β． 【答案】（1），； （2）； （3）． 【解答】解：（1）根据，可得cos2α＝1﹣sin2α，结合，解得， 所以tanα＝sinαcosα，sin2α＝2sinαcosα； （2由题意得，结合，可得， 所以sinβ＝sin（（α+β）﹣α）＝sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα， 可得cosβ，所以； （3）因为，，所以，且， 由，结合，可得． 3．已知函数f（x）＝sin2x+cos2x （1）求函数f（x）在上的值域； （2）若，其中，求cos2α的值． 【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1）根据题意f（x）＝sin2x+cos2x（sin2xcos2x）， 设，因为，则， 所以， 所以的值域为； （2）因为， 所以， 可得， 因为， 可得， 所以， 所以cos2α ． 4．已知0＜α，β＜π且tanα，tan（α+β）． （1）求tanβ的值； （2）求2α+β的大小． 【答案】（1）；（2）． 【解答】解：（1）已知0＜α，β＜π且tanα，tan（α+β）， 所以：， （2）， 又，所以． 5．已知函数． （1）求f（x）的最小正周期； （2）求f（x）的单调递增区间． 【答案】（1）2π； （2）． 【解答】解：（1）由已知，，故最小正周期T＝2π； （2）令， 解得， 所以f（x）的单调递增区间为． 课时精练 一．选择题（共8小题） 1．已知，则tanθ＝（　　） A．3 B．2 C． D． 【答案】C 【解答】解：因为， 所以， 可得． 故选：C． 2．（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：根据tan60°＝tan（80°﹣20°）， 可得tan80°﹣tan20°（1+tan80°tan20°），整理得． 故选：A． 3．已知，则cosθ＝（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：由题意得，结合，可得， 所以cosθ＝cos[（θ）]＝cos（θ）cossin（θ）sin． 故选：B． 4．已知α为锐角，且，则tanα＝（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：由题意得sinβcos（α﹣β）﹣cosβsin（β﹣α） ＝sinβcos（α﹣β）+cosβsin（α﹣β）＝sin[β+（α﹣β）]＝sinα， 结合α为锐角，可得cosα，所以． 故选：A． 5．已知sin（α﹣β）＝3cos（α+β），tanαtanβ＝2，则tan（α﹣β）＝（　　） A．1 B．﹣1 C． D． 【答案】B 【解答】解：因为tanαtanβ＝2， 所以，可得sinαsinβ＝2cosαcosβ， 又因为sin（α﹣β）＝3cos（α+β）， 所以sinαcosβ﹣cosαsinβ＝3（cosαcosβ﹣sinαsinβ）＝﹣3cosαcosβ， 可得tanα﹣tanβ＝﹣3， 所以1． 故选：B． 6．已知，，则sin（α﹣β）＝（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：因为，， 所以， ， 两式相加得，得． 故选：C． 7．已知，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：由题意得，即， 所以（sincosα﹣cossinα），即， 可得． 故选：B． 8．若a＝cos15°﹣sin15°，b，c＝sin105°cos15°+cos75°sin195°，则（　　） A．c＜b＜a B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．b＜a＜c 【答案】D 【解答】解：因为a＝cos 15°﹣sin 15°sin（45°﹣15°）， c＝sin 105°cos 15°+cos 75°sin 195°＝sin 75°cos 15°﹣cos 75°sin 15° ＝sin（75°﹣15°）＝sin 60°，所以b＜a＜c． 故选：D． 二．多选题（共3小题） （多选）9．下列各式的值正确的是（　　） A． B． C． D．（1+tan13°）（1+tan32°）＝2 【答案】BD 【解答】解：根据，可知A项不正确； 根据cos28°cos32°﹣cos62°sin32°＝cos28°cos32°﹣sin28°sin32° ＝cos（28°+32°）＝cos60°，可知B正确； 根据，可知C不正确； 由， 化简得tan13°+tan32°＝1﹣tan13°tan32°， 所以（1+tan13°）（1+tan32°）＝1+tan13°+tan32°+tan13°tan32° ＝1+1﹣tan13°tan32°+tan13°tan32°＝2，可知D正确． 故选：BD． （多选）10．已知α，β为锐角，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解答】解：因为，，所以， 所以cos（α﹣β）＞0， 由⇒，① 故，选项A正确； 因为，所以， 所以sinβ＝sin[α﹣（α﹣β）]＝sinαcos（α﹣β）﹣cosαsin（α﹣β）②，选项B正确； 由①得：， 由②得：，所以，， 所以C正确，D错误． 故选：ABC． （多选）11．设，则（　　） A． B．cos（α+β）＝0 C． D．2tan（α﹣β）＝tanα﹣tanβ 【答案】BD 【解答】解：由题意，， ， 所以，故A错误； ，故B正确； ，故C错误； 因为， 所以2tan（α﹣β）＝tanα﹣tanβ，故D 正确． 故选：BD． 三．填空题（共3小题） 12．已知，，则tanα﹣tan（α﹣β）＝　　 ． 【答案】． 【解答】解：∵sin[α﹣（α﹣β）]＝sinαcos（α﹣β）﹣cosαsin（α﹣β），， ∴tanα﹣tan（α﹣β）． 故答案为：． 13．在△ABC中，，则tanC＝　　 ． 【答案】． 【解答】解：在△ABC中，，则A∈（0，）， 故，， 又tanB＝2， 故． 故答案为：． 14．已知，，且，，则的值为 　24　 ． 【答案】24． 【解答】解：由题意得，α﹣β∈（0，π）， 可得， 由，可得， 解得，． 根据， ，两式作差可得， 所以，可得， 因此． 故答案为：24． 四．解答题（共5小题） 15．如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox为始边作角α与，它们的终边分别与单位圆交于点，点． （1）求sinα+cosβ的值； （2）求tan（α﹣β）的值． 【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1）由三角函数的定义可得，， 因为，所以sinα＞0，cosβ＜0， 所以，， 所以； （2）由（1）知tanα，tanβ， 所以tan（α﹣β）． 16．已知向量（cosα，sinα），α∈（0，π），（，cosβ），β∈（，π）． （1）若，求||； （2）若向量（4，3）与向量共线且||＝1，求sin（2α+β）的值． 【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1）因为（，cosβ），β∈（，π）． 则， 因为，则， 两边平方可得，即， 又因为，所以，即， 所以，所以． 所以． （2）由题意，向量与向量共线，（cosα，sinα），α∈（0，π）， 则， 因为sin2α+cos2α＝1，所以， 则． 由，可得， 又，所以． 故． 17．设函数，其中0＜ω＜3，已知函数f（x）的图象关于点成中心对称． （1）求ω； （2）当x∈[0，π]时，求函数f（x）的单调递增区间； （3）若，，且，，求α+β的值． 【答案】（1）ω＝2； （2）； （3）． 【解答】解：（1） ， 将代入得， 故， 解得ω＝6k+2，k∈Z， 又0＜ω＜3， 故当k＝0时，ω＝2满足要求； （2）因为x∈[0，π]， 可得， 故当或，即或时，f（x）单调递增， 故f（x）单调递增区间为； （3），可得， 又，可得， 因为，可得， 故，， 又，故， 又，可得， 所以， 其中cos（α+β） ＝cos[（β﹣α）+2α] ＝cos（β﹣α）cos2α﹣sin（β﹣α）sin2α ， 其中， 故． 18．已知函数． （1）若A是三角形中一内角，且，求A的值； （2）若函数在有唯一零点，求m的范围． 【答案】（1）A； （2）{m|2＜m≤4或m}． 【解答】解：（1） sin2x ＝sin2xcos2x ＝2sin（2x）， 若2sin（）， 则sin（）， 由A为三角形内角可得A； （2）令0可得，f（x）log2m， 则2sin（2x）＝log2m， 由可得， 若在有唯一零点，则y＝2sin（2x）与y＝log2m在[]有一个交点， 所以1＜log2m≤2或log2m＝﹣2， 所以2＜m≤4或m， 故m的范围为{m|2＜m≤4或m}． 19．已知． （1）求f（x）的最小正周期和单调递增区间； （2）求f（x）在上的值域； （3）将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数g（x）的图象，若对于任意的恒成立，求a的取值范围． 【答案】（1）[kπ，kπ]，k∈Z； （2）[，1]； （3）[4，+∞）． 【解答】解：（1）因为（sinxcosx）cosx•sin2x•cos2x sinxcosxcos2xsin2xcos2x sin2x•sin2xcos2x sin2xcos2x＝sin（2x）， 可得函数的最小正周期Tπ， 令2kπ≤2x2kπ，k∈Z， 解得kπ≤xkπ，k∈Z， 所以函数的单调递增区间为[kπ，kπ]，k∈Z； （2）由x∈，则2x∈[，]， 由正弦函数的单调性可得f（x）min＝sin（），f（x）max＝sin1， 即函数f（x）的值域为[，1]； （3）将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐不变），得到函数g（x）的图象， 可得g（x）＝sin（x）， 所以g（x）＝sinx，g（x）＝sin（x）＝cosx， 因为对于任意的恒成立，即asinx﹣cosx≥2恒成立； 即a2sin2x≥（cosx+2）2对任意的恒成立， a＞0，可得对任意的恒成立且a＞0， 记t＝cosx，，条件可化为对任意的成立， 设，，则， 设u＝4t+5，，则， 由在上递减，（3，5）上递增可得，f（u）在上递减，在（3，5）上递增， 当，即时，， 当u＝5，即t＝0时，y＝4， 因此f（u）的最大值为，由题意得，故． 故a范围为：[4，+∞）． 第7页（共7页） 学科网（北京）股份有限公司 $