第二模块 方程（组）与不等式（组） 2026年中考数学一轮复习考点专练（河北）

第二模块 方程（组）与不等式（组） 第1讲 一次方程（组） 基础练 1．[2025沧州部分学校一模]已知是关于，的二元一次方程组，则（ ） A．15 B．12 C．9 D．3 2．[2024石家庄裕华质检]如图，已知相同物体的质量相等，图①中的天平保持平衡状态，则图②中的天平（ ） A．能平衡 B．不能平衡，右边比左边低 C．不能平衡，左边比右边低 D．无法确定 3．数学文化[2025江苏连云港] 《九章算术》中有一个问题:“今有凫起南海,七日至北海；雁起北海,九日至南海.今凫雁俱起,问何日相逢？”（凫:野鸭.所提问题即野鸭与大雁分别从南海和北海同时起飞,经过多少天能够相遇?）如果设经过天能够相遇,根据题意,得（ ） A． B． C． D． 4．[2025邢台一模]草船借箭是一个流传很广的故事.按照这个故事所说的,我们假定诸葛亮一共派出大、小草船共20艘,回来清点发现小船平均每艘上借的箭有4 800支,大船平均每艘上借的箭有6 200支,已知一共借箭112 800支,设派出大船艘,则下列说法正确的是（ ） A．依题意得 B．依题意得 C．派出大船8艘 D．派出小船14艘 5．数学文化 [2025山东] 明代数学家吴敬的《九章算法比类大全》中有一个“哪吒夜叉”问题,大意是:有3个头6只手的哪吒若干,有1个头8只手的夜叉若干,两方交战,共有36个头,108只手.问哪吒、夜叉各有多少?设哪吒有个,夜叉有个,则根据条件可列方程组为（ ） A． B． C． D． 6．[2025石家庄新华质检]某份资料计划印制1 000份，该任务由，两台印刷机先后接力完成，印刷机每小时印制150份，印刷机每小时印制200份．两台印刷机完成该任务共需．甲、乙两人所列的方程组如图所示，下列判断正确的是（ ） 甲 解：设印刷机印制， B印刷机印制． 由题意， 得 乙 解：设印刷机印制份，印刷机印制份． 由题意， 得 A．只有甲列的方程组正确 B．只有乙列的方程组正确 C．甲和乙列的方程组都正确 D．甲和乙列的方程组都不正确 7．[2025石家庄裕华质检]如图,在一个圆形转盘上,标有五个有理数. （1） 求竖列三个数的和. （2） 若横排三个数的和与竖列三个数的和相等. ① 求的值； ② 求,5,,这四个数的平均数. 8．[2024石家庄正定模拟]对于任意实数、，定义关于“ ”的一种运算：，例如． （1） 求的值； （2） 若，且，求的值． 提升练 9．[2024唐山一模]一个条件缺失的问题情境：一项工程，甲队单独做需要12天完成，乙队……还需要几天完成任务？根据标准答案，老师在黑板上画出线段示意图，设两队合作还需天完成任务，并列方程为.根据上面信息，下面结论不正确的是（ ） A．乙队单独完成需要8天 B．处代表的代数式为 C．处代表的实际意义：甲队做2天的工作量 D．甲队先做2天，然后甲、乙两队合作5天完成了整项工程 10．[2025秦皇岛开学考试]某社区活动中心计划出资600元（全部花完）购进跳棋、象棋、围棋,其进货情况如下表,则在每一种棋都要购买的条件下,的值为（ ） 单价/元 套数 跳棋 30 5 象棋 25 围棋 80 A．2 B．3 C．4 D．5 11．[2025沧州献县模拟]下图给出的是某月的月历,任意用“”形框框住7个数（如阴影部分所示）,请你运用所学的数学知识来研究,发现这7个数的和不可能是（ ） A．105 B．77 C．98 D．56 12．[2025沧州部分学校一模]宋代数学家杨辉称“幻方”为“纵横图”，我国古代的“洛书”就是一个幻方，杨辉的著作《续古摘奇算法》中总结了“洛书”的构造．在如图所示的三阶幻方中，每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则“”位置上的数是（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 13．[2024衡水模拟]课间游戏时同学们设计了一个飞镖游戏，规则如下：如图，掷到区和区的得分不同，区为小圆内的部分，区为大圆内小圆外的部分区、区均不含边界，若掷到边界或大圆以外，则重新投掷.现在将投掷有效的位置用一个点标注，统计出小红和小华的有效成绩情况如下：小红得了65分，小华得了71分. （1） 掷中区、区一次各得多少分？ （2） 按照这样的计分方法，小明得了多少分？ 第2讲 分式方程 基础练 1．[2024张家口联考]若分式与的值相等，则的值不可能是（ ） A． B．0 C． D． 2．[2025邢台信都一模]某同学在解关于的一元一次方程时，误将看作，得到方程的解为，则原方程的解为（ ） A． B． C． D． 3．[2025石家庄长安质检]将两把不同刻度的直尺和直尺分别按图1和图2的方式紧贴在一起,根据图中数据,下列正确的是（ ） 图1 图2 A． B． C． D．图1中，直尺中的刻度18正对直尺中的刻度22 4．[2024邯郸广平模拟]对于两个不相等的实数、，我们规定符号,表示、中较大的数,如.按照这个规定,方程,的根为（ ） A． B． C．或 D．或 5．[2024唐山迁安模拟]嘉淇准备完成题目：解方程．发现第一个分式的分母印刷不清，查阅答案后发现标准答案是，请你帮助嘉淇推断印刷不清的分母可能是（ ） A． B． C． D． 6．[2025江西]小美家有一辆燃油汽车和一辆纯电汽车,燃油汽车耗费6 000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1 000元电费行驶的路程相同,且每百千米的耗油费比耗电费多50元,求纯电汽车每百千米的耗电费.设纯电汽车每百千米的耗电费为元,可列分式方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 7．[2025沧州南皮一模]课堂上，数学老师展示了两道作业题及其错误的解答过程： 作业题1 解分式方程：． 解：去分母，得， ① 去括号，得， ② 移项，得， ③ 合并同类项，得， ④ 系数化为1，得， ⑤ 经检验，是原分式方程的解 作业题2 分式计算：． 解： ① ② ③ （1） 分别写出作业题1、作业题2的解答过程中是从第几步开始出现错误的； （2） 从两道作业题中任选一题，写出正确的解答过程． 8．[2024保定竞秀一模改编]甲、乙两地相距19千米，某人从甲地出发去乙地，先步行7千米，然后改骑自行车，共用2小时到达乙地，已知这个人骑自行车的速度是步行速度的4倍.设这个人步行的速度为千米/小时. （1） 这个人步行时间为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 小时（用含的代数式表示）； （2） 求这个人步行的速度. 提升练 9．原创题 若关于的方程的解为整数，则整数可取的值的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．[2025邯郸邯山模拟]某家文创店以相同的单价分三批采购同一款书签，采购第二批书签花费200元，比第一批少30份；采购第三批书签花费600元，比第一批多50份.若列出方程,则下列正确的是（ ） A．其中表示第二批书签的数量 B．其中表示第三批书签的数量 C．第二批书签的数量为40份 D．第三批书签的数量为70份 11．[2024邯郸广平模拟]某市需要紧急生产一批民生物资，现有甲、乙两家资质合格的工厂招标，加工一天需付甲厂货款1.5万元，付乙厂货款1.1万元，指挥中心的负责人根据甲、乙两厂的投标测算可有三种施工方案： 方案①：甲厂单独完成这项任务刚好如期完成；方案②：乙厂单独完成这项任务比规定日期多用5天；方案③：甲、乙两厂合作4天后，余下的工程由乙厂单独做也正好如期完成.在不耽误工期的前提下，最节省费用的施工方案是（ ） A．方案① B．方案② C．方案③ D．方案①和方案③ 12．[2025沧州献县模拟]某足球特色学校在商场购进、两种品牌的足球,已知购买品牌足球花费了2 500元,购买品牌足球花费了2 000元,且购买品牌足球数量是购买品牌足球数量的2倍,购买一个品牌足球比购买一个品牌足球多花30元. （1） 分别求、品牌的足球的单价； （2） 由于喜欢足球的人数增加,学校再次购进与第一次购买数量相同的、两种品牌足球,同时商场对两种品牌足球的售价进行了调整,品牌足球售价比第一次购买时提高了,品牌足球按第一次购买时售价的9折出售,则此次购买足球比第一次费用高还是低? 第3讲 一元二次方程 基础练 1．[2024石家庄一模]若已知是一元二次方程的根，则的值为（ ） A． B．4 C．2 D．0 2．[2024保定竞秀模拟]观察下列表格，一元二次方程的一个近似根为（ ） 4.67 4.61 4.56 4.51 4.46 4.41 4.35 A． B． C． D． 3．[2025保定竞秀开学考试]小明解方程的过程如下所示，他在解答过程中开始出错的步骤是（ ） . 解：，…………① ，…………② ，…………③ ，.…………④ A．① B．② C．③ D．④ 4．[2025石家庄新华质检]下列关于的一元二次方程中，一定有两个不相等的实数根的是（ ） A． B． C． D． 5．[2025保定竞秀开学考试]将进货价格为35元/个的商品按单价40元售出时，能卖出200个．已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个．设这种商品的单价上涨元时，获得的利润为1 870元，则下列方程正确的是（ ） A． B． C． D． 6．[2025邯郸一模]一元二次方程的两根为,,且,其中“”表示一个数,则“”为_ _ _ _ . 7．[2025山东]若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根,则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ . 8．[2025沧州学业考试]已知等腰三角形的底和腰的长是方程的两个根,则该三角形的周长是_ _ _ _ . 9．[2025邢台结课考试]习题课上，数学老师展示嘉嘉和淇淇解同一道题的错误解答过程： 嘉嘉：解方程. 解：方程两边同时除以得，…………① ，…………② .…………③ 淇淇：解方程. 解：移项得，…………① 分解因式得，…………② 即或，…………③ 所以,.…………④ （1） 分别写出嘉嘉和淇淇的解答过程从第几步开始出现错误的； （2） 请给出这道题的正确解答过程． 10．[2025沧州学业考试]已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根. （1） 求的取值范围； （2） 设,是方程的两个根且,求的值. 提升练 11．[2025邢台一模]小明在解关于的一元二次方程时,把一次项的符号抄成“”,得到其中一个根是,则关于的方程的根的情况是（ ） A．无实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个实数根 D．有一个根是 12．[2025保定竞秀开学考试]定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如和有且仅有一个相同的实数根2，所以这两个方程为“同伴方程”．若关于的方程的参数同时满足和，且该方程与互为“同伴方程”，则_ _ _ _ ． 13．[2025邢台信都一模]和是关于的一元二次方程的两个实数根，数轴上和所对应的点分别为，，若点到原点的距离恰好是点到原点的距离的2倍，则_ _ _ _ _ _ ． 14．[2025唐山路南模拟]“端午临中夏，时清日复长．”临近端午节，一家商店接到一批3 200袋粽子的订单，决定由甲、乙两组共同完成．已知甲组3天加工的粽子数比乙组2天加工的粽子数多300．两组同时开工，甲组原计划加工10天，乙组原计划加工8天就能完成订单． （1） 求甲、乙两组平均每天各能加工多少袋粽子. （2） 两组人员同时开工2天后，临时又增加了500袋的任务，甲组人员从第3天起提高了工作效率，乙组的工作效率不变．经估计，若甲组平均每天每多加工100袋粽子，则甲、乙两组就都比原计划提前1天完成任务．已知甲、乙两组加工的天数均为整数，求提高工作效率后，甲组平均每天能加工多少袋粽子. 第4讲 一元一次不等式（组） 基础练 1．[2024邢台任泽模拟]若，则,“”中应填（ ） A． B． C． D．无法确定 2．[2025保定模拟]下列数中,能使不等式成立的的值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．[2025内蒙古]一元一次不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A． B． C． D． 4．[2025廊坊安次一模]一元一次不等式组的解集为 （ ） A． B． C． D． 5．[2025秦皇岛开学考试]某电影院的1号厅正在放映一场电影,值班经理带领甲、乙两名工作人员巡查1号厅的观影情况.甲、乙两名工作人员根据正在1号厅观影的人数,说法如下: 甲:观影人数不超过25. 乙:观影人数不足30. 值班经理说甲的说法错误,乙的说法正确,则在1号厅观影的人数可能为（ ） A．25 B．28 C．30 D．31 6．[2025邯郸经开区一模]用算式表示“的一半与的3倍的差是非正数”为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 7．[2025保定莲池一模]点在数轴上的位置如图所示，设点表示的数为，若，则符合条件的的整数值为_ _ _ _ _ _ ． 8．[2025廊坊固安模拟]小明在学习解一元一次不等式时,发现它与解一元一次方程有许多相似之处,于是他列出了一张对照表,但解题过程均出现了错误: 题目 一元一次不等式 一元一次方程 第一步:去分母 第二步:去括号 第三步:移项 第四步:合并同类项 第五步:系数化为1 （1） 解一元一次不等式在第_ _ _ _ 步开始出现错误,解一元一次方程在第_ _ _ _ 步开始出现错误； （2） 从上述一元一次不等式和一元一次方程中任选一题,写出正确的解题过程. 9．[2024石家庄新华质检]已知数轴上有,两点，点表示的数为,点表示的数为. （1） 当时,求线段的长； （2） 若点与点关于原点对称，求点表示的数； （3） 若点在点的左侧，求的正整数值. 提升练 10．[2024邢台一模]如图，若是整数，且满足则落在（ ） A．段④ B．段③ C．段② D．段① 11．[2025沧州南皮一模]对于，符号表示不大于的最大整数．如：，，则满足关系式的的整数值有_ _ _ _ 个． 12．[2024邯郸广平模拟]对于三个实数,,,用,表示，用,,表示这三个数中最大的数，例如：,,2,,. 请结合上述材料，解决下列问题： （1） ,_ _ _ _ _ _ ; （2） 若,,,,则负整数的值是_ _ _ _ _ _ . 13．[2025石家庄长安质检]数学活动课上,刘老师让同学们做一个数学游戏,规则如下:每次游戏都涉及A、B、C三种运算,A、B、C分别代表下面的运算，每一种运算都是在上一步运算结束后进行的一步运算，运算过程中自动添加必要的括号.如对数1按的顺序计算,列式为. （1） 求对按的顺序运算后的结果. （2） 对数按的顺序运算后,结果大于.请从下面的问题①和②中选择其中一个进行解答: ①直接写出的正整数值； ②求的取值范围. 14．[2025石家庄晋州模拟]欧欧准备到敬老院看望老人,现将自己在劳动课上制作的竹篮和陶罐拿到学校的“跳蚤市场”一次性出售,嘉嘉和淇淇分别给出价格: （1） 根据对话内容,求欧欧制作的竹篮和陶罐数量各是多少. （2） 欧欧接受了淇淇的报价,交易后到花店购买价格为6元/束的鲜花看望老人,剩余的钱还要为自己购买一支钢笔.若一支钢笔的价格最低为15元,请你求出欧欧最多可以购买几束鲜花. 第二模块检测 45分钟 满分：100分 一、选择题（每小题6分，共48分） 1．下列解方程的过程正确的是（ ） A．,系数化为1，得 B．,解得 C．,移项，得 D．,去括号，得 2．[2025石家庄质检]若,则下列不等式不一定正确的是（ ） A． B． C． D． 3．解方程组:比较简便的方法是（ ） A．都用代入消元法 B．都用加减消元法 C．①用代入消元法,②用加减消元法 D．①用加减消元法,②用代入消元法 4．[2025廊坊广阳一模]一元二次方程,配方后可变形为（ ） A． B． C． D． 5．[2025秦皇岛海港一模]下图是嘉嘉在解不等式组的过程中画的数轴,数轴除不完整外没有其他问题.嘉嘉解的不等式组可能是（ ） A． B． C． D． 6．[2025保定竞秀一模]问题：解方程.嘉嘉说：“不管为何值,方程均有两个实数根.”琪琪说：“方程有两个实数根,而且一定是两个正数根.”珍珍说：“此方程无实数根.”则下列结论正确的是（ ） A．嘉嘉说的对 B．琪琪说的对 C．珍珍说的对 D．三名同学说的都不对 7．[2025唐山一模]嘉嘉设计了一个“幻方”游戏,现在将1、、3、、5、、7、分别填入图中的圆圈内,使横排、竖列以及内、外两个四边形顶点上的4个数之和都相等，则的值为（ ） A．或4 B．或1 C．或 D．1或 8．[2025唐山路南二模]《九章算术》中有这样一道题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”译文：“相同时间内，走路快的人走100步，走路慢的人只走60步．若走路慢的人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？（注：步为长度单位）”设走路快的人要走步才能追上，则下列说法正确的是（ ） A．依题意得 B．依题意得 C．走路快的人要走200步才能追上 D．从走路快的人出发时开始算，当走路慢的人再走600步时，两人相隔400步 二、填空题（每小题6分，共24分） 9．[2025唐山丰润二模]方程的解为_ _ _ _ _ _ . 10．[2025石家庄模拟]对于任意实数,,我们定义新运算“*”:*,例如:3*.若,是方程*的两个实数根,则的值为_ _ _ _ _ _ . 11．根据示意图中给出的信息，解答下列问题. （1） 若向左边水桶中放入一个小球和一个大球，则水桶中的水面高度是_ _ _ _ _ _ _ _ ； （2） 若向左边水桶中放入10个球，水桶中的水面升高到，则放入大球的个数是_ _ _ _ . 12．[2025石家庄模拟改编]定义一种新运算“”：当时，；当时，．例如：，． （1） _ _ _ _ _ _ ； （2） 已知，则的取值范围为_ _ _ _ _ _ ． 三、解答题（共28分） 13．（9分）[2025河北样卷] 有一个数学游戏，如图，一个实数从，，三个位置中任选一个位置出发，按照通道内标注的要求进行运算后到下一个位置．例如：将3按照（或）的顺序进行运算，是将数3进行“乘”的运算得出结果． （1） 将按照的顺序进行运算，列出算式并求出运算结果. （2） 将一个大于3的数按照的顺序进行运算，发现运算结果总小于1．请证明这个结论． 14．（9分）[2025邯郸一模] 某代表队参加知识竞赛,竞赛分必答和抢答两个环节,规定:必答环节每队均需答10道题，答对一题得20分,答错或不答扣10分；抢答环节各队共抢答10道题,抢答且答对得30分,抢答但答错扣10分,没有答题得0分.初始分数为100分. （1） 必答环节该队答对7道题,求该队必答环节后的总分； （2） 若抢答环节该队共抢答6次,本环节得140分,请通过列方程求该队抢答环节答对的题数. 15．（10分）[2025秦皇岛海港一模] 在数学课上,老师出了一道题,随机选择一组同学进行合作完成“接力游戏”.规则如下:每位同学可以完成解分式方程的一步,即前一位同学完成一步后,后一位同学接着前一位同学的步骤进行下一步运算,直至完成分式方程的求解. 接力游戏 解方程:. 甲同学:去分母，得. 乙同学:移项，得. 丙同学:合并同类项，得. 丁同学：系数化为1，得. 请根据上面的“接力游戏”回答问题: （1） 在“接力游戏”中,从_ _ _ _ 同学开始出现错误,你的判断依据是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ； （2） 写出正确的解答过程. 第二模块 方程（组）与不等式（组） 第1讲 一次方程（组） 基础练 1．A 2．A 3．A 4．B 5．D 6．C 7．解:（1） 竖列三个数的和为. （2） ① 由题意可知, . ② 由①知,,5,,这四个数的平均数为. 8．解:（1） . （2） 由题意得两式相加， 可得，． 提升练 9．D 10．A 11．D 12．D 13．解:（1） 设掷中区一次得分，掷中区一次得分.由题意， 得解得 答：掷中区一次得10分，掷中区一次得7分. （2） 小明得分为（分）. 第2讲 分式方程 基础练 1．C 2．A 3．B 4．D 5．A 6． 7．解:（1） 作业题1:第①步； 作业题2:第②步. （2） （只选一道做即可）选作业题1: 去分母,得. 去括号,得. 移项,得. 合并同类项,得. 系数化为1,得. 经检验,是原分式方程的解. 选作业题 . 8．解:（1） . （2） 由题意得,解得，经检验，是原方程的解，且符合题意. 答：这个人步行的速度为5千米/小时. 提升练 9．C 10．C 11．C 12．解:（1） 设品牌足球的单价为元，则品牌足球的单价为元，依题意得， 解得， 经检验，是原分式方程的解. . 答：品牌足球的单价为50元，品牌足球的单价为80元． （2） 第一次购买足球的总费用为（元）. 因为第二次购买数量与第一次相同，所以第二次购买足球的总费用为（元）. 答：第二次购买费用与第一次费用相同. 第3讲 一元二次方程 基础练 1．D 2．B 3．C 4．D 5．A 6．23 7． 8．5 9．解:（1） 嘉嘉是第①步;淇淇是第②步. （2） 移项得， 分解因式得， 即或， 所以,. 10．解:（1） . 原方程有两个不相等的实数根, ,解得. （2） 由题意，得,, 可化为, 即, 整理得， 解得,. ,. 提升练 11．C 12．1或2 13． [解析]由题意得，， ,，． 由题意知，， 解得．， ． 14．解:（1） 设甲、乙两组平均每天分别能加工袋、袋粽子， 由题意得 解得 答：甲、乙两组平均每天分别能加工200袋、150袋粽子． （2） 设提高效率后，甲组平均每天比原计划多加工袋粽子， 由题意得， 整理得， 解得，， 加工的天数均为整数，. . 答：提高工作效率后，甲组平均每天能加工400袋粽子． 第4讲 一元一次不等式（组） 基础练 1．C 2．A 3．C 4．D 5．B 6． 7． 8．解:（1） 五； 一 （2） 选一元一次不等式: , 去分母,得, 去括号,得, 移项,得, 合并同类项,得, 系数化为1,得. 选一元一次方程: , 去分母,得, 去括号,得, 移项,得, 合并同类项,得, 系数化为1,得. 9．解:（1） 当时，点表示的数为, 点表示的数为,则，即线段的长为18. （2） 点与点关于原点对称， ,解得, , 即点表示的数为. （3） 点在点的左侧， ,解得， 的正整数值为1,2,3. 提升练 10．B 11．3 12．（1） （2） 13．解:（1） 由题意得. （2） 选择①：的正整数值为1，2． 选择②：由题意得，解得． 14．解:（1） 设欧欧制作竹篮个,陶罐个,依题意得 解得 答:欧欧制作竹篮5个,陶罐4个. （2） 设购买鲜花束,依题意得 ，解得. 又为整数,最大可取9. 答:欧欧最多可以购买9束鲜花. 第二模块检测 一、选择题（每小题6分，共48分） 1．B 2．B 3．C 4．A 5．D 6．A 7．A 8．B 二、填空题（每小题6分，共24分） 9． 10． 11．（1） （2） 4 12．（1） （2） 13．解：（1） . （2） 证明：设这个数为,依题意，得. ,，即结论成立. 14．解：（1） （分）. 答:该队必答环节后的总分为210分. （2） 设该队抢答环节答对道题， 则,解得. 答:该队抢答环节答对5道题. 15．解：（1） 甲； 去括号法则（或分配律） （2） ， 去分母,得， 移项，得， 合并同类项,得， 系数化为1,得. 经检验，是原方程的增根. 所以原方程无解. 第页 学科网（北京）股份有限公司 $