专题01 相似三角形的判定和性质（高效培优专项训练）数学新教材沪科版九年级上册

**基本信息** 聚焦相似三角形判定与性质，通过判定、网格、动点、折叠、性质五大题型构建从基础到综合的知识逻辑链，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |判定|10题|涵盖选择、填空、证明，涉及直角三角形、平行四边形等背景|以判定定理（AA/SAS/SSS）为核心，从基本图形到复杂图形的推理应用| |网格|8题|格点三角形相似判定与计算，结合勾股定理求边长|将几何直观与代数计算结合，强化相似比的量化分析| |动点|6题|动态几何中相似三角形分类讨论，含速度与时间参数|体现运动变化思想，培养分类讨论与方程建模能力| |折叠|7题|折叠后图形的相似关系探究，涉及轴对称性质|通过折叠转化全等与相似，深化空间观念与转化思想| |性质|12题|比例线段、面积比、角度关系计算与证明|以性质定理为基础，延伸至实际应用与综合证明|

专题01 相似三角形的判定和性质 题型一 相似三角形的判定 题型二 网格中的相似三角形 题型三 相似三角形的动点问题 题型四 相似三角形的折叠问题 题型五 相似三角形的性质 题型一：相似三角形的判定 1.如图，是Rt△斜边上的高，，，则的长为（   ） A．12 B．13 C．14 D．15 2.如图，在平行四边形中，E为的中点，交于F，若，则 ．    3.如图，在中，，，平分，，垂足E在的延长线上，F是的中点，连接，则的面积是 ． 4.如图，在中，点E为边上一点，连结：点F为线段上一点，且．求证：． 5.已知：中，，，用尺规求作一条过点B的直线，使得截出的一个三角形与相似并证明．（保留作图痕迹，不写作法） 6.如图，四边形ABCD是平行四边形，点F在BA的延长线上，连接CF交AD于点E． （1）求证：△CDE∽△FAE； （2）当E是AD的中点且BC＝2CD时，直接写出图中所有与∠F相等的角． 7.如图，和是两个全等的等腰直角三角形，，的顶点与的斜边的中点重合，将绕点旋转，旋转过程中，线段与线段相交于点，线段与射线相交于点．    (1)如图①，当点在线段上，且时，求证：； (2)如图②，当点在线段的延长线上时，求证：． 8.如图，在矩形和矩形中，，，连接交于点， (1)求的值； (2)求的度数． 9.如图，在平行四边形中，过点B作，垂足为E，连接，F为上一点，且． (1)求证：． (2)若，，求的长． 10.如图，已知中，，P是边上一点，以为边作（C，D在同侧），使，，连接． (1)如图1，若D在上方且，求度数； (2)如图2．若D在BC上方且，判断与的位置关系，并说明理由； (3)如图3，若，，，则的最小值为（直接写出结果）． 题型二：网格中的相似三角形 1.如图，是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点上），点都是格点，下列三角形中与相似的是（    ）    A．以点为顶点的三角形 B．以点为顶点的三角形 C．以点为顶点的三角形 D．以点为顶点的三角形 2.如图，在正方形网格上有个斜三角形：①，②，③，④，⑤，⑥．在②～⑥中，与①相似的三角形有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3.如图，在正方形网格中有三个三角形，分别是，，，其中与相似的是　 　． 4.如图，在边长为1的正方形网格中，点A、B、C、D、E均为格点，则∠ADB+∠AEB＝ ． 5.如图，大小为4×4的正方形方格中，能作出与△ABC相似的格点三角形（顶点都在正方形的顶点上），其中最小的一个面积是 ． 6.如图，已知△ABC和△PBD都是正方形网格上的格点三角形(顶点为网格线的交点)，要使ΔABC∽ΔPBD，则点P的位置应落在    A．点上 B．点上 C．点上 D．点上 7.小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形叫做格点图形。如图，在的正方形网格中，画出符合要求的格点三角形.    (1)在图1中画出以C为旋转中心顺时针旋转的三角形； (2)在图2中画出以为边的三角形，且与相似（不全等）. 8.如图，在边长为1的网格中，点，，都为格点，线段经过点．以为圆心，为半径画弧，弧经过格点交所在格线于点，则阴影部分的面积是 ． 题型三：相似三角形的动点问题 1.如图，，，，，，点P在BD上，由点B向点D方向移动，当与相似时，BP的长为　 　. 2.如图，直线a∥b，点M、N分别为直线a和直线b上的点，连接M，N，∠1＝70°，点P是线段MN上一动点，直线DE始终经过点P，且与直线a，b分别交于点D、E，设∠NPE＝α． （1）证明△MPD∽△NPE． （2）当△MPD与△NPE全等时，直接写出点P的位置． （3）当△NPE是等腰三角形时，求α的值． 3.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t＜4），连接DE，当t为何值时，以B、E、D为顶点的三角形与△ABC相似？ 4.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝16cm，BC＝12cm．现有动点P从点A出发，沿线段AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB向点B方向运动．如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是3cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动，设运动的时间为ts． 求：（1）用含t的代数式表示Rt△CPQ的面积S； （2）当t＝2s时，P、Q两点之间的距离是多少？ （3）当t为多少秒时，以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？ 5.如图，在中，点D、E分别在边上，连接，且．    (1)证明：； (2)若，当点D在上运动时（点D不与重合），且是等腰三角形，求此时的长． 6.已知在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3cm，BC=4cm．动点Q从点A出发沿AC向终点C匀速运动，速度2cm/s；同时，点P从点B出发沿BA向终点A匀速运动，速度1cm/s； （1）当t为何值时，△APQ与△ABC相似？ （2）当t为何值时，△APQ为等腰三角形？ 题型四：相似三角形的折叠问题 1.如图△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，点E是AB中点，将△CAE沿着直线CE翻折，得到△CDE，连接AD，则线段AD的长等于（　　） A．8 B． C． D．10 2.如图1为一张正三角形纸片，其中D点在上，E点在上．以为折痕将B点往右折如图2所示，分别与相交于F点、G点．若，，，，则长度为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 3.如图，矩形中，，点M是的中点，连接．将沿着折叠后得，延长交于E，连接． （1）求证：平分； （2）求证：△EMC∽△MAB. 4.如图，在等腰Rt△ABC中∠C＝90°，AC＝BC＝2．点D和点E分别是BC边和AB边上两点，连接DE．将△BDE沿DE折叠，得到△B′DE，点B恰好落在AC的中点处，设DE与BB交于点F，则EF＝（　　） A． B． C． D． 5.如图，将矩形ABCD沿着GE，EC，GF翻折，使得点A，B，D恰好都落在点O处，且点G，O，C在同一条直线上，点E，O，F 在另一条直线上. 以下结论正确的是（　　） A．△COF∽△CEG B．OC=3OF C．AB：AD=4：3 D．GE=DF 6.如图1为一张正三角形纸片，其中点在上，点在上．今以为折线将点往右折后，、分别与相交于点、点，如图2所示．若，，，，则的长度为多少？（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 7.如图，将矩形ABCD沿着GE、EC、GF翻折，使得点A、B、D恰好都落在点O处，且点G、O、C在同一条直线上，同时点E、O、F在另一条直线上．小炜同学得出以下结论：①GF∥EC；②AB=AD；③GE=DF；④OC=2OF；⑤△COF∽△CEG．其中正确的是（    ） A．①②③ B．①③④ C．①④⑤ D．②③④ 题型五：相似三角形的性质 1.两个相似三角形的相似比是，则这两三角形面积的比是（　　） A． B． C． D． 2.两个相似三角形的面积比为4：9，其中较小三角形的周长为4，则较大三角形的周长为　 　． 3.如图，在中，点，分别在，上，若，且的面积为9，则四边形的面积为（　　） A．18 B．27 C．72 D．81 4.如图，点为的边上一点，，．若，则的长为 ． 5.如图，已知．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6.如图，在中，，，，且．若，，则的长是（   ） A． B． C． D． 7.如图，则下列式子中不成立的是（    ）    A． B． C． D． 8.如下图所示，在△ABC中，点D在线段AC上，且△ABC∽△ADB，则下列结论一定正确的是(  ) A． B． C． D． 9.，，分别是和的角平分线，且，下面给出的四个结论中，正确的结论有（　　） ①，②， ③，④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10.如图，在中，若，，，则的长为 .    11.如图，中，边，高，边长为x的正方形的一边在上，其余两个顶点分别在上，则正方形边长x为（　　） A． B． C． D． 12.如图，在中，，点在边上，且，点是边上的点，当时，的长为 ． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 相似三角形的判定和性质 题型一 相似三角形的判定 题型二 网格中的相似三角形 题型三 相似三角形的动点问题 题型四 相似三角形的折叠问题 题型五 相似三角形的性质 题型一：相似三角形的判定 1.如图，是Rt△斜边上的高，，，则的长为（   ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】B 【分析】由是Rt△斜边上的高，可得∠ADC=∠BDC=90°，可证△ACD∽△CBD，可得CD2=AD•BD，求出AD,再求AB． 【详解】解：∵是Rt△斜边上的高， ∴CD⊥AB， ∴∠ADC=∠BDC=90°， ∴∠A+∠ACD=90°， 又∵∠ACB=90°， ∴∠ACD+∠BCD=90°， ∴∠A=∠BCD， ∴△ACD∽△CBD， ∴， ∴CD2=AD•BD， ∴AD=9， ∴AB=AD+BD=13． 故选择：B． 2.如图，在平行四边形中，E为的中点，交于F，若，则 ．    【答案】180 【分析】根据平行四边形的性质可得，再根据是的中点，可得相似比，求出的长，最终可求的长． 【详解】解：平行四边形， ，， ，， ， 为的中点， ， 即， ， ， ， 故答案为：180． 3.如图，在中，，，平分，，垂足E在的延长线上，F是的中点，连接，则的面积是 ． 【答案】 【分析】延长和，相交于点G，根据，得，根据平分得，根据得，利用ASA 可证明，则，，即可得，根据F是的中点得是的中位线，即可得，，根据得，利用ASA可证明，即可得，根据得，可得，进行计算得，即可得． 【详解】解：如图所示，延长和，相交于点G， ∵，， ∴是直角三角形， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴（ASA）， ∴，， ∴， ∵F是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ∴（ASA）， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积： = =， 故答案为：． 4.如图，在中，点E为边上一点，连结：点F为线段上一点，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行四边形的性质、平行线的性质、相似三角形的判定，根据平行四边形的性质可得，再根据平行线的性质可得，，利用等量代换可得，再根据相似三角形的判定即可得证． 【详解】证明：在中，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 5.已知：中，，，用尺规求作一条过点B的直线，使得截出的一个三角形与相似并证明．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见详解 【分析】作∠ABC的角平分线，交AC于点D，再根据两角对应相等即可． 【详解】解：如图，直线BD即为所求． 证明：∵，， ∴∠ABC=∠ACB=72°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠BCD=36°， ∴∠BCD=∠A， ∵∠C=∠A， ∴ 6.如图，四边形ABCD是平行四边形，点F在BA的延长线上，连接CF交AD于点E． （1）求证：△CDE∽△FAE； （2）当E是AD的中点且BC＝2CD时，直接写出图中所有与∠F相等的角． 【答案】（1）见解析；（2）图中所有与∠F相等的角为∠DCE、∠BCF、∠AEF、∠DCE，理由见解析 【分析】（1）根据四边形ABCD是平行四边形就可以证明△CDE∽△FAE； （2）根据（1）和E是AD的中点可以得到△CDE≌△FAE，然后根据全等三角形的性质和等腰三角形的性质即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD∥AB， ∴∠DCE＝∠F，∠CDE＝∠FAE， ∴△CDE∽△FAE； （2）解：图中所有与∠F相等的角为∠DCE、∠BCF、∠AEF、∠DCE，理由如下： 由（1）得：∠DCE＝∠F， ∵△CDE∽△FAE，DE＝EA， ∴△CDE≌△FAE， ∴CD＝AF， ∴BF＝2CD， ∵BC＝2CD，AD＝BC＝2AE＝2DE， ∴BF＝BC，AF＝AE，CD＝DE， ∴∠F＝∠BCF，∠AEF＝∠F，∠DEC＝∠DCE． 7.如图，和是两个全等的等腰直角三角形，，的顶点与的斜边的中点重合，将绕点旋转，旋转过程中，线段与线段相交于点，线段与射线相交于点．    (1)如图①，当点在线段上，且时，求证：； (2)如图②，当点在线段的延长线上时，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定、三角形的外角性质． （1）由是等腰直角三角形，易得，，又由，是的中点，利用，可证得：； （2）由和是两个全等的等腰直角三角形，易得，然后利用三角形的外角的性质，即可得，则可证得：． 【详解】（1）证明：是等腰直角三角形， ，， ， ， 是的中点， ， 在和中， ， ； （2）证明：和是两个全等的等腰直角三角形， ， ， 即， ， ， ． 8.如图，在矩形和矩形中，，，连接交于点， (1)求的值； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两边对应成比例且夹角相等证明，即可求解； （2）根据，，可得，由，可得，进而可以解决问题． 【详解】（1）解：如图，设与交于点， ∵在矩形和矩形中，， ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 9.如图，在平行四边形中，过点B作，垂足为E，连接，F为上一点，且． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定，含直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键． （1）由平行的性质结合条件可得到和，可证得结论； （2）由平行可知，在中，由含直角三角形的性质结合勾股定理可求得． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∵，， ∴， 由勾股定理得：． 10.如图，已知中，，P是边上一点，以为边作（C，D在同侧），使，，连接． (1)如图1，若D在上方且，求度数； (2)如图2．若D在BC上方且，判断与的位置关系，并说明理由； (3)如图3，若，，，则的最小值为（直接写出结果）． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)的最小值为 【分析】（1）作交于H，根据全等三角形的判定和性质得出，即可解决问题； （2）作于H，在上截取，使得，利用全等三角形的判定和性质得出，，即可得出结果； （3）连接，作交的延长线于H，由相似三角形的判定和性质得出，，再由含30度角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，作交于H， ∵， ∴都是等边三角形， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴； （2）如图，结论：， 理由：作于H，在上截取，使得， ∵， ∴ ∵， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴ ∴； （3）如图所示，连接，作交的延长线于H， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴点D的运动轨迹是直线（与的夹角为，如图所示）， ∵， ∴， 根据垂线段最短可知，的最小值为． 题型二：网格中的相似三角形 1.如图，是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点上），点都是格点，下列三角形中与相似的是（    ）    A．以点为顶点的三角形 B．以点为顶点的三角形 C．以点为顶点的三角形 D．以点为顶点的三角形 【答案】B 【分析】先计算出每条边的长度，再进行比较即可，选出适合的选项． 【详解】解：设每个正方格边长为1， 则， ， ∴， 故选：B． 2.如图，在正方形网格上有个斜三角形：①，②，③，④，⑤，⑥．在②～⑥中，与①相似的三角形有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】设网格的边长为1，则①三角形的三边之比是，分别求出五个三角形的三边的比，符合这个结果就是与①相似的． 【详解】解：①三角形的三边之比是， ②中，， ③中， ④中， ⑤中， ⑥中， 故与①相似的三角形的序号是③④⑤． 故选C． 3.如图，在正方形网格中有三个三角形，分别是，，，其中与相似的是　 　． 【答案】△DEB 【分析】利用相似三角形的判定方法求解即可。 【详解】解：∵△ABC的三边之比是， △EBC的三边之比是 △CDB的三边之比是， △DEB的三边之比是． ∴△DEB与△ABC相似， 故答案为：△DEB． 4.如图，在边长为1的正方形网格中，点A、B、C、D、E均为格点，则∠ADB+∠AEB＝ ． 【答案】45° 【分析】根据勾股定理得到AC＝＝，求得＝，根据相似三角形的性质得到∠ADB＝∠CAE，根据三角形外角的性质即可得到结论． 【详解】∵AC＝＝，CD＝1，CE＝2， ∴＝，＝＝， ∴＝， ∵∠ACD＝∠ECA， ∴△ACD∽△ECA， ∴∠ADB＝∠CAE， ∴∠ADB+∠AEB＝∠AEB+∠CAE＝∠ACB＝45°， 故答案为：45°． 5.如图，大小为4×4的正方形方格中，能作出与△ABC相似的格点三角形（顶点都在正方形的顶点上），其中最小的一个面积是 ． 【答案】/0.5 【分析】先确定最短边最小为1，根据对应边成比例，确定另外两条边的长度，作出图形即可． 【详解】解：△ABC的边长分别为，5，，作一个边长为1，，的三角形即可． 如图，△CFE即为所求，面积＝×1×1＝． 故答案为：． 6.如图，已知△ABC和△PBD都是正方形网格上的格点三角形(顶点为网格线的交点)，要使ΔABC∽ΔPBD，则点P的位置应落在    A．点上 B．点上 C．点上 D．点上 【答案】B 【分析】由图可知∠BPD一定是钝角，若要△ABC∽△PBD，则PB、PD与AB、AC的比值必须相等，可据此进行判断． 【详解】解：由图知：∠BAC是钝角，又△ABC∽△PBD， 则∠BPD一定是钝角，∠BPD=∠BAC， 又BA=2，AC=2， ∴BA：AC=1：， ∴BP：PD=1：或BP：PD=：1， 只有P2符合这样的要求，故P点应该在P2． 故选B． 7.小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形叫做格点图形。如图，在的正方形网格中，画出符合要求的格点三角形.    (1)在图1中画出以C为旋转中心顺时针旋转的三角形； (2)在图2中画出以为边的三角形，且与相似（不全等）. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了网格作图，熟练掌握旋转性质，相似三角形的判定和性质，是解题的关键． （1）根据旋转的性质可作出点A和B的对应点D和E，使，，，所得即为绕点C顺时针旋转的三角形； （2）根据相似三角形性质取点F，使，，连接，，所得． 【详解】（1）如图，取格点D，E，使，，， 连接，，， 即为所求作； （2）如图，取格点F，使，， 连接，， 即为所求作． 8.如图，在边长为1的网格中，点，，都为格点，线段经过点．以为圆心，为半径画弧，弧经过格点交所在格线于点，则阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了扇形的面积，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据网格构造直角三角形求出扇形的半径．连接，过点作于点，在中，根据勾股定理求出半径，再根据相似三角形的性质求出，最后根据，即可求解． 【详解】解：连接，过点作于点， 在中，由勾股定理得：， 扇形的半径为， 根据题意得：， 由图像可知，， ， ，即， ， ， 故答案为：． 题型三：相似三角形的动点问题 1.如图，，，，，，点P在BD上，由点B向点D方向移动，当与相似时，BP的长为　 　. 【答案】或2cm或12cm 【分析】根据题意分类讨论：①当时，②当时，进而根据相似三角形的性质即可列出一元一次方程和一元二次方程，从而即可求解。 【详解】解：①当时，则，即， ， 解得：； ②当时，则，即， ∴， 即， 解得：或； 综上所述，的长为或或． 故答案为：或2或12 2.如图，直线a∥b，点M、N分别为直线a和直线b上的点，连接M，N，∠1＝70°，点P是线段MN上一动点，直线DE始终经过点P，且与直线a，b分别交于点D、E，设∠NPE＝α． （1）证明△MPD∽△NPE． （2）当△MPD与△NPE全等时，直接写出点P的位置． （3）当△NPE是等腰三角形时，求α的值． 【答案】（1）见解析；（2）点P是MN的中点；（3）40° 或70° 或55° 【分析】(1)利用相似三角形的判定定理证明即可； (2)根据全等三角形对应边相等得到MP＝NP，即点P是MN的中点； (3)需要分类讨论：PN＝PE、PE＝NE、PN＝NE，再根据三角形内角和计算即可． 【详解】(1)证明：∵a∥b， ∴△MPD∽△NPE． (2)∵a∥b， ∴∠MDP＝∠NEP， ∴当△MPD与△NPE全等时， MP＝NP，即点P是MN的中点； (3)∵a∥b， ∴∠1＝∠PNE＝70°， ①若PN＝PE时， ∴∠PNE＝∠PEN＝70°． ∴a＝180°﹣∠PNE﹣∠PEN＝180°﹣70°﹣70°＝40°． ∴∠a＝40°； ②若EP＝EN时，则a＝∠PNE＝70°； ③若NP＝NE 时，则∠PEN＝α，此时2α＝180°﹣∠PNE＝110°， ∴α＝∠PEN═55°； 综上所述，α的值是40° 或70° 或55°． 3.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t＜4），连接DE，当t为何值时，以B、E、D为顶点的三角形与△ABC相似？ 【答案】当以B、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，t的值为2或3.5； 【分析】求出AB=2BC=4cm，分两种情况：①当∠EDB=∠ACB=90°时，DE∥AC，△EBD∽△ABC，得出AE=BE=AB=2cm，即可得出t=2s；②当∠DEB=∠ACB=90°时，证出△DBE∽△ABC，得出∠BDE=∠A=30°，因此BE=BD=cm，得出AE=3.5cm，t=3.5s；即可得出结果． 【详解】解：∵∠ACB=90°，∠ABC=60°， ∴∠A=30°， ∴AB=2BC=4cm， 分两种情况： ①当∠EDB=∠ACB=90°时， DE∥AC，△EBD∽△ABC， ∵D为BC的中点， ∴BD=CD=BC=1cm，E为AB的中点，AE=BE=AB=2cm， ∴t=2s； ②当∠DEB=∠ACB=90°时， ∵∠B=∠B， ∴△DBE∽△ABC， ∴∠BDE=∠A=30°， ∴BE=BD=cm， ∴AE=3.5cm， ∴t=3.5s； 综上所述：当以B、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，t的值为2或3.5； 4.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝16cm，BC＝12cm．现有动点P从点A出发，沿线段AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB向点B方向运动．如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是3cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动，设运动的时间为ts． 求：（1）用含t的代数式表示Rt△CPQ的面积S； （2）当t＝2s时，P、Q两点之间的距离是多少？ （3）当t为多少秒时，以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？ 【答案】（1）Rt△CPQ的面积为S＝﹣6t2+24t（0＜t＜4）；（2）PQ＝10cm；（3）t＝2秒或t＝秒时，以点C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似． 【分析】(1)由点P,点Q的运动速度和运动时间,又知AC,BC的长,可将CP.CQ用含t的表达式求出,代入直角三角形面积公式S△CPQ=CP CQ求解 (2)在Rt△CPQ中,当t=2秒,可知CP、CQ的长,运用勾股定理可将PQ的长求出 (3)应分两种情况:当R△CPQ∽R△CAB时・根据 ,可将时间t求出;当Rt△ CPQ∽Rt△CBA时,根据 ,可求出时间t. 【详解】（1）由题意得AP＝4t，CQ＝3t，则CP＝16﹣4t， 因此Rt△CPQ的面积为S＝ CP×CQ＝ （16﹣4t）×3t＝﹣6t2+24t（0＜t＜4）； （2）由题意得AP＝4t，CQ＝3t，则CP＝16﹣4t， 当t＝2秒时，CP＝16﹣4t＝8cm，CQ＝3t＝6cm， 在Rt△CPQ中，由勾股定理得PQ＝ ； （3）由题意得AP＝4t，CQ＝3t，则CP＝16﹣4t， ∵AC＝16cm，BC＝12cm． ∴①当Rt△CPQ∽Rt△CAB时，，即，解得t＝2秒； ②当Rt△CPQ∽Rt△CBA时， ，即，解得t＝ 秒． 因此t＝2秒或t＝秒时，以点C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似． 5.如图，在中，点D、E分别在边上，连接，且．    (1)证明：； (2)若，当点D在上运动时（点D不与重合），且是等腰三角形，求此时的长． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】（1）根据平角的概念和三角形内角和定理证明，然后根据相似三角形的判定定理得出结论； （2）由题意易得是等腰直角三角形，所以，当是等腰三角形时，有三种情况：①，②，③；因为点D不与重合，所以第一种情况不符合，其他两种情况根据等腰三角形的性质及，求出即可． 【详解】（1）证明：∵，，， ， ； （2）解： ，， 是等腰直角三角形， ， ， 由勾股定理得：， ①当时， ， ， ， ， ， 点D在上运动时（点D不与重合）,点E在上， 此情况不符合题意． ②当时，如图，    ， 由（1）可知：，， ∴， ， ； ③当时，，    ∵ 是等腰三角形，，即， ． 综上，或． 6.已知在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3cm，BC=4cm．动点Q从点A出发沿AC向终点C匀速运动，速度2cm/s；同时，点P从点B出发沿BA向终点A匀速运动，速度1cm/s； （1）当t为何值时，△APQ与△ABC相似？ （2）当t为何值时，△APQ为等腰三角形？ 【答案】（1）t为 s或 s时；（2）当t为1s或 s或 s 【分析】（1）在Rt△ABC中，利用勾股定理求得AC的长，△APQ与△ABC有一个公共角∠A，由于对应边不确定进行分类讨论：△AQP∽△ACB和△AQP∽△ABC，再根据相似三角形对应边成比例的性质列方程求解。（2）分AQ=AP、PA=PQ、QA=QP三种情况分类讨论，利用相似三角形对应边成比例的性质列方程求解。 【详解】（1）解：∵∠ABC=90°，AB=3cm，BC=4cm，∴AC= =5， ∵∠A=∠A， ∴当 = 时，△AQP∽△ACB，即 = ，解得t= （s）； 当 = ，△AQP∽△ABC，即 = ，解得t= （s）； ∴当t为 s或 s时，△APQ与△ABC相似 （2）解：当AQ=AP时，2t=3﹣t，解得t=1（s）；当PA=PQ时，作PM⊥AQ于M，如图1，则AM=MQ=t， ∵∠MAP=∠BAC，∴△AMP∽△ABC，∴ = ，即 = ，解得t= （s）； 当QA=QP时，作QN⊥AP于N，如图2，则AN=PN= （3﹣t）， QN∥BC，∴△ANQ∽△ABC，∴ = ，即 = ，解得t= （s），∴当t为1s或 s或 s，△APQ为等腰三角形． 题型四：相似三角形的折叠问题 1.如图△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，点E是AB中点，将△CAE沿着直线CE翻折，得到△CDE，连接AD，则线段AD的长等于（　　） A．8 B． C． D．10 【答案】C 【分析】延长CE交AD于F，连接BD，先判定△ABC∽△CAF，即可得到CF=6.4，EF=CF-CE=1.4，再依据EF为△ABD的中位线，即可得出BD=2EF=2.8，最后根据∠ADB=90°，即可运用勾股定理求得AD的长． 【详解】解：如图，延长CE交AD于F，连接BD， ∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6， ∴AB=10， ∵∠ACB=90°，CE为中线， ∴CE=AE=BE， ∴∠ACF=∠BAC， 又∵∠AFC=∠BCA=90°， ∴△ABC∽△CAF， ∴ 即 ∴CF=6.4， ∴EF=CF-CE=1.4， 由折叠可得，AC=DC，AE=DE， ∴CE垂直平分AD， 又∵E为AB的中点， ∴EF为△ABD的中位线， ∴BD=2EF=2.8， ∵AE=BE=DE， ∴∠DAE=∠ADE，∠BDE=∠DBE， 又∵∠DAE+∠ADE+∠BDE+∠DBE=180°， ∴∠ADB=∠ADE+∠BDE=90°， ∴Rt△ABD中， 故选C． 2.如图1为一张正三角形纸片，其中D点在上，E点在上．以为折痕将B点往右折如图2所示，分别与相交于F点、G点．若，，，，则长度为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】先证明，得到，求出的长，然后求出线段长即可． 【详解】解：正三角形 ∴ ∵ ∴ ∴ 即 ∴ ∵，， ∴ ∴ 故选C． 3.如图，矩形中，，点M是的中点，连接．将沿着折叠后得，延长交于E，连接． （1）求证：平分； （2）求证：△EMC∽△MAB. 【答案】见详解 【分析】（1）要证ME平分∠PMC，只需证∠PME=∠CME，通过证即可；通过本题已知折叠条件分析，BM=CM=PM，∠MPE=∠C=90° ， EM=EM，符合直角三角形全等的判定条件（HL）； （2）由AM平分∠BMP，ME平分∠PMC，可知∠AME=90°，构成典型的K型图，△EMC∽△MAB的证明要熟练掌握；其条件是：，. 【详解】（1）证明：由折叠性质可得：，， ∴， ∴， ∵点M是BC的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； （2）证明：由折叠性质可得：， 由（1）得：， ∵， ∴， ∵， ∵， ∴， ∵， ∴ 4.如图，在等腰Rt△ABC中∠C＝90°，AC＝BC＝2．点D和点E分别是BC边和AB边上两点，连接DE．将△BDE沿DE折叠，得到△B′DE，点B恰好落在AC的中点处，设DE与BB交于点F，则EF＝（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等腰直角三角形的性质得到ABAC＝4，∠A＝∠B＝45°，过B′作B′H⊥AB与H，得到AH＝B′HAB′，求得AH＝B′H＝1，根据勾股定理得到BB′，由折叠的性质得到BFBB′，DE⊥BB′，根据相似三角形即可得到结论． 【详解】解：∵在等腰Rt△ABC中∠C＝90°，AC＝BC＝2， ∴ABAC＝4，∠A＝∠B＝45°， 过B′作B′H⊥AB与H， ∴△AHB′是等腰直角三角形， ∴AH＝B′HAB′， ∵AB′AC， ∴AH＝B′H＝1， ∴BH＝3， ∴BB′， ∵将△BDE沿DE折叠，得到△B′DE， ∴BFBB′，DE⊥BB′， ∴∠BHB′＝∠BFE＝90°， ∵∠EBF＝∠B′BH， ∴△BFE∽△BHB′， ∴， ∴， ∴EF， 故答案为：． 故选：C． 5.如图，将矩形ABCD沿着GE，EC，GF翻折，使得点A，B，D恰好都落在点O处，且点G，O，C在同一条直线上，点E，O，F 在另一条直线上. 以下结论正确的是（　　） A．△COF∽△CEG B．OC=3OF C．AB：AD=4：3 D．GE=DF 【答案】D 【分析】根据折叠的性质易得∠FOG=∠GOE=∠EOC=∠FGE=∠GEC=90°，根据折叠的性质和矩形的性质得点G为AD中点，点E为AB中点，设AD＝2a，AB＝2b，利用勾股定理根据勾股定理分别用含a的式子表示出OF、GE、CE、AB，进而即可判断B、C、D，进而根据∠GEC=∠FOC=90°，而判断A选项. 【详解】解：由折叠性质得：∠DGF＝∠FGO，∠AGE＝∠OGE，∠AEG＝∠OEG，∠OEC＝∠BEC， ∴∠FGE＝∠FGO＋∠OGE＝90°，∠GEC＝∠OEG＋∠OEC＝90°， 由矩形的性质，设AD=BC=2a，AB=DC=2b， 由折叠得DG=OG=a，AE=OE=BE=b， ∴CG=OG+OC=OG+BC=3a， 在Rt△CEG中，CG2=GE2+CE2， ∴（3a）2=a2+b2+b2+（2a）2， 解得， ∴AB=2b=； ∴，故C选项不符合题意； 在Rt△COF中，设OF=DF=x，则CF=2b-x=-x， ∵∠D=∠GOF=90°， ∴x2+（2a）2=， 解得， ∴， 在Rt△AGE中， ∴，故D选项符合题意； ∴，故B选项不符合题意； 在Rt△CEB中，， ∵∠GEC=∠FOC=90°，而， ∴△COF不相似于△CEG，故A选项错误，不符合题意. 故答案为：D. 6.如图1为一张正三角形纸片，其中点在上，点在上．今以为折线将点往右折后，、分别与相交于点、点，如图2所示．若，，，，则的长度为多少？（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】根据三角形ABC是正三角形，可得∠A=∠B=60°，△AFD∽△BFG，即可求出FG=7，而AD=10，DF=14，BF=8，可得AB=32=AC，故CG=AC-AF-FG=9． 【详解】解：三角形是正三角形， ， ， ， ，即， ， ，，， ， ， ； 故选：． 7.如图，将矩形ABCD沿着GE、EC、GF翻折，使得点A、B、D恰好都落在点O处，且点G、O、C在同一条直线上，同时点E、O、F在另一条直线上．小炜同学得出以下结论：①GF∥EC；②AB=AD；③GE=DF；④OC=2OF；⑤△COF∽△CEG．其中正确的是（    ） A．①②③ B．①③④ C．①④⑤ D．②③④ 【答案】B 【分析】由折叠的性质知∠FGE=90°，∠GEC=90°，点G为AD的中点，点E为AB的中点，设AD=BC=2a，AB=CD=2b，在Rt△CDG中，由勾股定理求得b=，然后利用勾股定理再求得DF=FO=，据此求解即可． 【详解】解：根据折叠的性质知∠DGF=∠OGF，∠AGE=∠OGE， ∴∠FGE=∠OGF+∠OGE=(∠DGO+∠AGO) =90°， 同理∠GEC=90°， ∴∠FGE+∠GEC=180° ∴GF∥EC；故①正确； 根据折叠的性质知DG=GO，GA=GO， ∴DG=GO=GA，即点G为AD的中点， 同理可得点E为AB的中点， 设AD=BC=2a，AB=CD=2b，则DG=GO=GA=a，OC=BC=2a，AE=BE=OE=b， ∴GC=3a， 在Rt△CDG中，CG2=DG2+CD2， 即(3a)2=a2+(2b)2， ∴b=， ∴AB=2=AD，故②不正确； 设DF=FO=x，则FC=2b-x， 在Rt△COF中，CF2=OF2+OC2， 即(2b-x)2=x2+(2a)2， ∴x==，即DF=FO=， GE=a， ∴， ∴GE=DF；故③正确； ∴， ∴OC=2OF；故④正确； ∵∠FCO与∠GCE不一定相等， ∴△COF∽△CEG不成立，故⑤不正确； 综上，正确的有①③④， 故选：B． 题型五：相似三角形的性质 1.两个相似三角形的相似比是，则这两三角形面积的比是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的性质.根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，据此求出这两三角形面积的比． 【详解】解：∵两个相似三角形的相似比是，相似三角形的面积比等于相似比的平方， ∴这两三角形面积的比是， 故答案为：D 2.两个相似三角形的面积比为4：9，其中较小三角形的周长为4，则较大三角形的周长为　 　． 【答案】6 【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方计算即可。 【详解】解：设较大三角形的周长为x， ∵两个相似三角形相似，两个相似三角形的面积比为4：9， ∴两个相似三角形的周长比为2：3， ∴=， 解得，x=6， ∴较大三角形的周长为6， 故答案为：6． 3.如图，在中，点，分别在，上，若，且的面积为9，则四边形的面积为（　　） A．18 B．27 C．72 D．81 【答案】C 【分析】先证出△ADE∽△ABC，相似比为 ，再利用相似三角形的性质可得S△ABC=81，最后利用割补法求出四边形BCED的面积为S△ABC－S△ADE=81－9=72即可. 【详解】解：∵，， ∴△ADE∽△ABC，相似比为 ， ∴S△ADE：S△ABC=1：9， ∵S△ADE=9， ∴S△ABC=81， ∴四边形BCED的面积为S△ABC－S△ADE=81－9=72， 故答案为：C． 4.如图，点为的边上一点，，．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】利用相似三角形的对应边成比例计算即可． 【详解】解：， ， 即， 或（不合题意，舍去）． 故答案为：． 5.如图，已知．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，三角形的内角和定理，解答的关键是结合图形分析清楚各角的关系． 由相似可得，利用三角形的外角性质可求得，从而可求的度数． 【详解】解：∵， ， 故选：D． 6.如图，在中，，，，且．若，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，知识的综合运用是解题的关键．先运用勾股定理计算出的长度，由，易证，最后列出比例式求解即可． 【详解】由勾股定理得， ，， ，， ， ， ， 解得， 故选：D． 7.如图，则下列式子中不成立的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质得出，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴，故A，B，C正确,D错误 故选：D． 8.如下图所示，在△ABC中，点D在线段AC上，且△ABC∽△ADB，则下列结论一定正确的是(  ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据相似三角形对应边成比例列式整理即可得解． 【详解】解：∵△ABC∽△ADB， ∴， ∴AB2=AC•AD． 故选：A． 9.，，分别是和的角平分线，且，下面给出的四个结论中，正确的结论有（　　） ①，②， ③，④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】利用相似三角形的性质（相似三角形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方）分析求解即可. 【详解】解：∵，，分别是和的角平分线，且， ∴，，故①②正确； ④错误； ，故③错误； 故答案为：B. 10.如图，在中，若，，，则的长为 .    【答案】8 【分析】根据平行线证出三角形相似，得出对应边成比例，即可得出结果． 【详解】解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴ 即 ∴BC=8（cm） 故答案是：8 11.如图，中，边，高，边长为x的正方形的一边在上，其余两个顶点分别在上，则正方形边长x为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，正方形的性质．利用正方形的性质可推出：，利用相似三角形的判定定理可证明，根据相似三角形对应边上高的比等于相似比，据此列方程，解方程可求出的值． 【详解】解：如图， ， ， ， 即， 解得． 故答案为：A 12.如图，在中，，点在边上，且，点是边上的点，当时，的长为 ． 【答案】或 【分析】此题重点考查直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、相似三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，求得是解题的关键． 分两种情况讨论，当，得，则，由，，求得，则；二是与不平行，且时，则，可证明是等边三角形，则，可求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：，， ， 当时， ， ， ，， ， ； 当与不平行时，且时，则， ， 是等边三角形， ， ， 故答案为：或． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $