专题07 角度中的五类动态模型（几何模型讲义）数学苏科版2024七年级上册

专题07. 角度中的五类动态模型 角度的动态（旋转）模型属于七年级上期必考压轴题型，是尖子生必须要攻克的一块重要内容，对考生的综合素养要求较高。绝大部分学生对角度旋转问题信心不足，原因就是很多角度旋转问题需要自己画出图形，与分类讨论思想、数形结合思想等结合得很紧密，思考性强，难度大。本专题重点研究与角有关的旋转模型（角度的和差倍分模型（求值模型）、‌定值模型、存在性模型（探究型）‌、分类讨论模型、新定义模型）。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型拓展 5 模型运用 6 模型1.旋转中的角度的和差倍分模型（求值模型） 2 模型2.旋转中的‌定值模型 16 模型3.旋转中的存在性模型（探究型） 29 模型4.旋转中的分类讨论模型 41 模型5.旋转中的新定义模型 41 17 古希腊时期，欧几里得《几何原本》通过公理化体系奠定了几何演绎基础，隐含了角度变化的静态分析‌。阿基米德利用穷竭法研究曲线与角度关系，为动态模型提供方法论雏形‌。17世纪笛卡尔坐标系建立后，角度动态问题开始与代数结合。现代初中数学教育工作者将角度动态问题被归纳为五类核心模型（动态角度问题类似），即：角度的和差倍分模型（求值模型）、‌定值模型、存在性模型（探究型）‌、分类讨论模型、新定义模型。 （24-25七年级上·辽宁辽阳·期末）定义：如果从一个角的顶点引出的一条射线，与角的一条边组成的角是原来的角的 则这条射线叫原来角的“新生线”． (1)如图1，，射线　　的“新生线”（填“是”或“不是”）； (2)点M、O、N在同一直线上，①在图2中， ，射线在的内部，并且是的“新生线”， 平分， 求的大小；②如图3，，，射线从出发绕点以每秒的速度逆时针旋转，运动时间为秒，若在射线旋转的同时，绕点以每秒的速度逆时针旋转，且在旋转过程中，射线平分．当射线与射线重合时，运动都停止．当射线是的“新生线”时，直接写出t的值． （24-25七年级上·江苏淮安·期末）将一副直角三角板如图1摆放在直线上（直角三角板和直角三角板），保持三角板不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转直至边第一次重合在直线上，旋转时间记为秒． (1)如图2，当秒时，求的度数；(2)当____秒时，平分； (3)若在三角板开始旋转的同时，另一个三角板也绕点以每秒的速度顺时针旋转，当旋转至直线上时同时停止．①当时，求t的值；②请直接写出在旋转过程中，与的数量关系（数量关系中不含t）：_____． 1、角度旋转模型解题步骤： ①找——根据题意找到目标角度；②表——表示出目标角度： 1）角度一边动另一边不动，角度变大：目标角=起始角+速度×时间； 2）角度一边动另一边不动，角度变小：目标角=起始角—速度×时间； 3）角度一边动另一边不动，角度先变小后变大。 变小：目标角=起始角—速度×时间；变大：目标角=速度×时间—起始角 ③列——根据题意列方程求解。 注：①注意题中是否确定旋转方向，未确定时要分顺时针与逆时针分类讨论；②注意旋转角度取值范围。 一副三角板有两个，一个是等腰直角三角板(90°、45°、45°)，另一个是含特殊角的直角三角板(90°、60°、30°)。三角板的旋转中隐藏的条件就是上面所说的这几个特殊角的角度。 总之不管这个角如何旋转，它的角度大小是不变的，旋转的度数就是组成角的两条射线旋转的度数（角平分线也旋转了同样的度数）。抓住这些等量关系是解题的关键，三角板只是把具体的度数隐藏了起来。 模型1.旋转中的角度的和差倍分模型（求值模型） 例1（24-25七年级上·天津河北·期末）如图1，已知，，且m、n满足等式，射线从处绕点O以4度/秒的速度逆时针旋转．(1)试求的度数．(2)如图1，当射线从处绕点O开始逆时针旋转，同时射线从处以1度/秒的速度绕点O顺时针旋转，当他们旋转多少秒时，使得？(3)如图2，若射线为的平分线，当射线从处绕点O开始逆时针旋转，同时射线从射线处以x度/秒的速度绕点O顺时针旋转，使得这两条射线重合于射线处（在的内部）时，且，试求x． 例2（24-25七年级上·山东济南·期末）如图，，将一直角三角尺的顶点与重合，，平分，三角尺始终在的内部（可以与，重合）． (1)如图1，当在射线上时，_____； (2)如图2，三角尺在的内部，当平分时，求的度数； (3)如图3，，将三角尺以每秒的速度绕点按逆时针方向旋转，同时射线从处出发以每秒的速度绕点按逆时针方向旋转，当到达处时三角尺和射线都停止旋转．设运动时间为秒，当时，求的值． 例3（24-25七年级上·四川达州·期末）如图1，直线上有一点O，过点O在直线上方作射线．将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一条直角边在射线上，另一边在直线上方．将直角三角板绕着点O按每秒的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为t秒． (1)若射线保持位置不变，当直角三角板旋转到如图2的位置时，恰好平分，此时，与之间有何数量关系？并说明理由．(2)若射线的初始位置不变，且． ①在直角三角板旋转的过程中，若射线保持位置不变，当边与射线相交时（如图3），求的值．②在直角三角板旋转的过程中，将射线绕着点O按每秒的速度顺时针旋转（随三角板旋转停止而停止），是否存在某个时刻，使得射线，与中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线？若存在，请求出所有满足题意的t的取值．若不存在，请说明理由． 模型2.旋转中的‌定值模型 例1（24-25七年级上·广东汕头·期末）如图，，角的顶点互相重合，将绕点旋转．(1)当射线，重合时，______，(2)在绕点旋转的过程中，若射线，与中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线，则的度数为______； (3)在绕点旋转的过程中，若射线始终在的内部． ①普于思考的小明发现，在旋转过程中，的值为定值，请你求出这个定值；②作和的平分线，，在旋转过程中的值是否发生变化？若不变，请求出这个定值，若变化，请求出变化的范围． 例2（24-25七年级下·辽宁鞍山·开学考试）在一次数学实践探究活动中，小明和他的同伴们将一个直角三角尺按如图所示方式放置，发现了其中的奥秘． (1)如图①，三角尺的直角顶点P在直线上，点A，B在直线的同侧．若，求度数．(2)绕点P旋转三角尺，使点A，B在直线的同侧，如图②，若平分，平分，他们发现的度数为定值，请你求出这个定值．(3)绕点P旋转三角尺，使点A，B在直线的异侧，平分，平分，设，如图③，探究的度数． 例3（24-25·江苏南京·七年级校考期末）如图，两条直线AB，CD相交于点O，且∠AOC＝∠AOD，射线OM从OB开始绕O点逆时针方向旋转，速度为15°/s，射线ON同时从OD开始绕O点顺时针方向旋转，速度为12°/s，运动时间为t秒（0＜t＜12，本题出现的角均小于平角） （1）图中一定有　 　个直角；当t＝2时，∠MON的度数为　 　，∠BON的度数为　 　； （2）若OE平分∠COM，OF平分∠NOD，当∠EOF为直角时，请求出t的值； （3）当射线OM在∠COB内部，且是定值时，求t的取值范围，并求出这个定值． 模型3.旋转中的存在性模型（探究型） 例1（24-25七年级上·江西萍乡·期末）刘星对几何中角平分线等兴趣浓厚，请你和他一起探究下面问题吧．已知，射线，分别是和的角平分线． (1)如图1，若射线在的内部，且，求的度数； (2)如图2，若射线在的内部绕点旋转，求的度数 (3)若射线在的外部绕点旋转（旋转中，均指小于的角），其余条件不变，请借助图3探究的大小． 例2（24-25七年级上·重庆九龙坡·期末）点O为直线上一点，过点O作射线，使，平分（如图1）． 将一直角三角板的直角顶点放在点O处，设直角三角板两直角边分别为、（，）． 边在射线上． (1)在图1中， ；(2)如图2所示，将直角三角板绕点O按每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当与垂直时，则旋转时间t的值为多少秒？(3)将直角三角板绕点O顺时针旋转，当在内部运动时，请直接写出此时与的数量关系． 例3（24-25七年级上·湖南岳阳·期末）数学在我们生活中无处不在，一节广播操的运动过程就有数学问题．如图1为一节广播操动作的示意图，如图2，为了方便研究，两手手心位置分别记为A，B两点，两脚脚跟位置分别记为C，D两点，且A，B，C，D在同一个平面内，做操过程中将手脚运动近似看作A，B，C，D绕点O旋转，其中O为该平面内的一个定点．                   图1                          图2                   图3                    图4 (1)如图2，A，O，B三点共线，且，则 °；(2)图3为腿部运动，A，O，B三点始终共线，却不在水平方向上，且．求的值； (3)图4为体侧运动，在运动前A、O、B三点在同一水平线上，，平分且，绕点O顺时针旋转，的旋转速度为每秒，的旋转速度为每秒，当旋转到与重合时，运动停止．①运动停止时，直接写出 °（用小于平角的度数表示）； ②判断运动过程中与的数量关系，并说明理由． 模型4.旋转中的分类讨论模型 例1（24-25七年级上·湖南长沙·期末）如图1，数轴上的点表示的数为，点表示的数为，且．点是线段的中点．(1)点表示的数是____________． (2)若动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，点同时出发，当点到达点时，两动点的运动同时停止，设运动时间为秒，则：①点、表示的数分别是____________、____________（用含的代数式表示）； ②若在运动过程中，存在，请求出的值． (3)我们发现角的很多运算方法和线段一样，如题图2，，平分．射线从出发，以每秒的速度绕点顺时针旋转，射线从出发，以每秒的速度绕点逆时针旋转，射线同时出发，当到达时，运动同时停止．设旋转时间为秒，若在运动过程中，存在某些时刻，使得和两个角中，其中一个角是另一个角的3倍，请求出所有符合题意的的值． 例2（24-25七年级上·湖北鄂州·期末）问题情境：数学活动课上，张老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动． 问题实践：（1）张老师将三角尺和三角尺按如图1所示摆放在直线上，边，落在直线上，，，，，则______； 操作探究：（2）奋进小组将图1中三角尺绕点逆时针旋转进行探究，三角尺保持不动状态，当边首次落在直线上时停止旋转，若以每秒的速度旋转，设三角尺旋转时间为秒，提出下列问题，请你帮忙解答．①求为多少秒时，边落在边上；②当边旋转至内部且满足时，求此时的值； 深度探究：（3）如图2，腾飞小组受奋进小组的启发继续进行探究：在三角尺绕点以每秒的速度逆时针旋转的同时，将三角尺也绕点以每秒的速度顺时针旋转，当三角尺的边首次落在直线上时停止旋转，同时三角尺也停止旋转．请你直接写出为何值时，． 模型5.旋转中的新定义模型 例1（24-25七年级上·江苏南京·期末）【概念提出】已知及射线，我们称的值为与的“关联度”，并用符号表示，其中都在到之间（含和）．(1)若，则 ；(2)尺规作图：如图1，已知，作一条射线，使得．（要求：保留作图痕迹，写出必要的说明） 【拓展延伸】(3)如图2，已知，射线与射线重合，射线位于内部或边上，将图2中的绕点O按顺时针方向以每秒的速度旋转，的值随旋转时间及的位置变化而变化．①如图3，当旋转时间为45秒时，的最小值为 ； ②在旋转一周的过程中，当旋转时间为 秒时，． 例2（24-25七年级上·江苏连云港·期末）如图1，射线在的内部，图中共有3个角：，和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“和谐线”． (1)若射线是的平分线，那么射线______的“和谐线”；（填“是”或“不是”） (2)若射线是的“和谐线”，当时，则______．（用含的代数式表示出所有可能的结果）； (3)如图2，为直线上一点，点C在射线上，现将一直角三角尺的角的顶点放置在点处（即），其中边在射线上，另一边在直线的上方．若图2中的射线绕点从位置开始，以每秒的速度沿顺时针方向旋转，同时直角三角尺也绕着点以每秒的速度沿顺时针方向旋转，当与重合时都停止旋转，设旋转的时间为秒．问：当为何值时，是的“和谐线”． 1．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，点，，依次在直线上；如图，现将射线绕点沿顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点沿逆时针方向以每秒的速度旋转，设旋转时间为秒（）．下列说法正确的是（   ） A．当值为秒时， B．当时，两射线的旋转时间一定为秒 C．整个运动过程中，不存在的情况 D．当值为秒时，射线恰好平分 2．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）如图，是一条射线，将一把直角三角尺的直角顶点放在处，，将绕着点按每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为秒，分别作出、的角平分线、．在旋转过程中，当或中有一条射线与平行时，的值为（   ）．（注：本题中所有的角均是指大于0度且小于或等于180度的角） A． B． C．或 D．或 3．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，于点O，，射线从出发，绕点O以每秒的速度顺时针向终边旋转，同时，射线从出发，绕点O以每秒的速度顺时针向终边旋转，当、中有一条射线到达终边时，另一条射线也随之停止．在旋转过程中，设，（、均小于），则x与y之间的数量关系为 ． 4．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）一副直角三角板如图1摆放在直线上，（直角三角板和直角三角板，，，，），如图2保持三角板不动，将三角板绕点旋转（旋转角）．在旋转过程中，当三角板的一边平行于时，此时 ． 5．（24-25七年级下·辽宁丹东·期末）将一副三角板按如图所示的方式摆放在一起，其中，，，，固定三角板，将三角板绕点A按顺时针方向旋转，若与的某一边平行（不共线）时，的值为 ． 6．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）如图，若，，，射线绕点O以每秒的速度逆时针旋转，射线绕点O以每秒的速度顺时针旋转，射线绕点O以每秒的速度顺时针旋转，三条射线同时旋转，当一条射线与直线重合时，三条射线同时停止运动．则经过 秒后，其中一条射线是另外两条射线夹角的平分线． 7．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）学校进行了创意设计大赛，请根据表格中提供的信息答题． 信息1 如图所示为小明设计的个性手表，时针，分针只在右半表盘来回转动（顺时针转至的位置再逆时针旋转至，来回旋转，转动速度与普通手表一致），左半表盘显示对应的时间．（不足一分钟的部分不显示） 信息2 学校作息时间表 第一节 8：00～8：40 第五节 13：00～13：40 第二节 8：50～9：30 第六节 13：50～14：35 大课间 9：30～10：00 第七节 14：45～15：25 第三节 10：00～10：40 第八节 15：35～16：15 第四节 10：50～11：35 体活课 16：25～16：55 (1)图1为学校大课间开始时手表盘面的示意图，此时时针和分钟所成的夹角为_____度； (2)已知某天上午第一节为数学课．请在图3中画出该节数学课下课时，时针与分针的位置．该位置与当天上课期间另一时刻时针和分针的位置都一致，这个时刻对应的时间为________； (3)若右半表面有一光线，始终保持平分．若在某一时刻射线刚好指向刻度2的位置，此时的位置记为，经过一个小时，射线的位置记为．若，请直接写出当在处时，电子表盘所显示的时间． 8．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）【实验操作】 如图①，把一副三角板拼在一起，边在直线上，其中． (1)填空：______；(2)如图②，三角板固定不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针开始旋转，在转动过程中，三角板一直在的内部，设三角板运动时间为秒． ①当时，______；②当为何值时，？ (3)如图②，三角板固定不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针开始旋转一周，在转动过程中，当时，直接写出三角板的运动时间． 9．（24-25七年级下·重庆·开学考试）如图1，已知O是直线上一点，是位于直线上方的三条射线，是的角平分线，在内部，且． (1)求的度数；(2)如图2，射线和射线分别从图1中射线和射线的位置出发，同时开始绕点O旋转．其中，射线以每秒的速度逆时针方向旋转，到达射线的位置时，射线立即停止旋转；射线以每秒的速度顺时针方向旋转，与射线重合后立即调转方向，变为逆时针方向旋转，速度仍为每秒．①当时，求时t的值；②射线开始旋转的同时，射线也从射线的位置开始绕点O以每秒的速度逆时针方向旋转，当到达射线时，速度立即变为每秒，当射线到达射线时，和同时停止旋转．作的角平分线，是否存在t，使得三条射线中，其中一条射线恰好是另两条射线所形成的角的角平分线？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 10．（24-25七年级上·江苏连云港·期末）如图1，射线在同一个平面内，则图中共有三个角，，其中每个角都是小于的角．设． (1)若时，则称线为的“倍比线”． ①若射线为的“倍比线”，且，则___________．； ②如图2，若，射线从出发，绕点以每秒的速度逆时针方回旋转，旋转一周至时停止，设旋转的时间为，当时，射线是的“倍比线”； ③在②的条件下，如图3，射线从出发，绕点以每秒的速度顺时针方向旋转．射线同时旋转，当旋转一周至时，射线同时停止运动，设旋转的时间为，求当为何值时，射线是的“倍比线”； (2)如图4，在同一个平面内，，射线在内部或边上．将射线关于的所有可能的的最小值记为，当在平面内运动时，的最大值为___________． 11．（24-25七年级上·辽宁辽阳·期末）定义：如果从一个角的顶点引出的一条射线，与角的一条边组成的角是原来的角的 则这条射线叫原来角的“新生线”． (1)如图1，，射线　　的“新生线”（填“是”或“不是”）； (2)点M、O、N在同一直线上，①在图2中， ，射线在的内部，并且是的“新生线”， 平分， 求的大小；②如图3，，，射线从出发绕点以每秒的速度逆时针旋转，运动时间为秒，若在射线旋转的同时，绕点以每秒的速度逆时针旋转，且在旋转过程中，射线平分．当射线与射线重合时，运动都停止．当射线是的“新生线”时，直接写出t的值． 12．（24-25七年级上·江苏南京·期末）【操作拼图】已知一副直角三角尺先按如图的方式拼接在一起，其中与直线重合，． (1)在上述所拼图形中，的度数为 °． (2)【问题探究】在上述所拼图形基础上，让三角尺固定不动，将三角尺绕着点O以每秒的速度按逆时针方向旋转，且两块三角尺均在直线的上方．设三角尺的旋转时间为，在旋转过程中，请求出当时t的值． (3)【拓展延伸】在按照【操作拼图】要求拼好图后，让三角尺绕着点O以每秒的速度按顺时针方向旋转的同时，三角尺也绕着点O以每秒的速度按顺时针方向旋转．在旋转过程中，两块三角尺均在直线的上方，且当三角尺停止旋转时，三角尺也停止旋转．设三角尺的旋转时间为．在旋转过程中，当与三角尺的某一边平行时，请直接写出的值． 13．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）一个问题解决往往经历发现猜想——探索归纳——问题解决的过程，下面结合一道几何题来体验一下． 【发现猜想】（1）如图①，已知，为的角平分线，则的度数为__________； 【探索归纳】（2）如图①，，为的角平分线．猜想的度数（用含、的代数式表示），并说明理由； 【问题解决】（3）如图②，若．若射线绕点以每秒逆时针旋转，射线绕点以每秒顺时针旋转，射线绕点每秒顺时针旋转，三条射线同时旋转，当一条射线与直线重合时，三条射线同时停止运动．运动几秒时，其中一条射线是另外两条射线夹角的角平分线？ 14．（25-26七年级上·江苏·期末）已知是内部的一条射线，M，N分别是边、上的点，线段、分别以、的速度同时绕点逆时针旋转． (1)如图①，若，当、逆时针旋转时，分别到、处，求的值；(2)如图②，若、分别在内部旋转时，总有，求的值； (3)如图③，C是线段上的一点，点M 从点A 出发沿线段向点C 运动，同时点N 从点C 出发沿线段向点 B 运动，M，N两点的速度比是．若在运动过程中始终有，求的值． 15．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）将一副直角三角板如图1摆放在直线上（直角三角板和直角三角板），保持三角板不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转直至边第一次重合在直线上，旋转时间记为秒． (1)如图2，当秒时，求的度数；(2)当____秒时，平分； (3)若在三角板开始旋转的同时，另一个三角板也绕点以每秒的速度顺时针旋转，当旋转至直线上时同时停止．①当时，求t的值；②请直接写出在旋转过程中，与的数量关系（数量关系中不含t）：_______． 16．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）我们常借助直角三角板进行一些数学问题的探究．如图1所示，在直角三角板中，，，点在直线上，先将边与重合，然后将三角板绕着点按每秒1度的速度顺时针旋转，旋转后的三角板记作，设运动时间为秒，且． (1)当与重合时，______；(2)当时，求的值；(3)如果把原题中的直角三角板换成普通的三角形纸片，不妨设，其他条件不变，在的内部作一条射线，使，如果在旋转过程中，始终有成立，直接写出与的数量关系． 17．（24-25七年级上·江苏·期末）如图1，点、、依次在直线上，现将射线绕点沿顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点沿逆时针方向以每秒的速度旋转，直线保持不动，如图，设旋转时间为的值在到之间，单位：秒．(1)当时，求的度数；(2)在运动过程中，当第二次达到时，求的值；(3)在旋转过程中是否存在这样的，使得射线与射线的夹角为？如果存在，请直接写出的值；如果不存在，请说明理由． 18．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）综合与实践 问题情境：在数学实践课上，老师给出两个大小形状完全相同的含有，的直角三角板如图1放置，其中在直线上．（1）如图1， ； 操作探究：（2）如图2，若三角板保持不动，三角板绕点逆时针旋转一定角度，平分，平分， ；（3）如图3，在图1基础上，若三角板开始绕点以每秒的速度逆时针旋转，同时三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，当转到与重合时，两三角板都停止转动．在旋转过程中，当三条射线中的其中一条射线平分另两条射线的夹角时，请求出旋转的时间； 拓广探究：（4）如图4，作三角板关于直线的对称图形．三角板保持不动，三角板绕点逆时针旋转，当时，请直接写出旋转角的度数 ． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07. 角度中的五类动态模型 角度的动态（旋转）模型属于七年级上期必考压轴题型，是尖子生必须要攻克的一块重要内容，对考生的综合素养要求较高。绝大部分学生对角度旋转问题信心不足，原因就是很多角度旋转问题需要自己画出图形，与分类讨论思想、数形结合思想等结合得很紧密，思考性强，难度大。本专题重点研究与角有关的旋转模型（角度的和差倍分模型（求值模型）、‌定值模型、存在性模型（探究型）‌、分类讨论模型、新定义模型）。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型拓展 5 模型运用 6 模型1.旋转中的角度的和差倍分模型（求值模型） 2 模型2.旋转中的‌定值模型 16 模型3.旋转中的存在性模型（探究型） 29 模型4.旋转中的分类讨论模型 41 模型5.旋转中的新定义模型 41 17 古希腊时期，欧几里得《几何原本》通过公理化体系奠定了几何演绎基础，隐含了角度变化的静态分析‌。阿基米德利用穷竭法研究曲线与角度关系，为动态模型提供方法论雏形‌。17世纪笛卡尔坐标系建立后，角度动态问题开始与代数结合。现代初中数学教育工作者将角度动态问题被归纳为五类核心模型（动态角度问题类似），即：角度的和差倍分模型（求值模型）、‌定值模型、存在性模型（探究型）‌、分类讨论模型、新定义模型。 （24-25七年级上·辽宁辽阳·期末）定义：如果从一个角的顶点引出的一条射线，与角的一条边组成的角是原来的角的 则这条射线叫原来角的“新生线”． (1)如图1，，射线　　的“新生线”（填“是”或“不是”）； (2)点M、O、N在同一直线上，①在图2中， ，射线在的内部，并且是的“新生线”， 平分， 求的大小；②如图3，，，射线从出发绕点以每秒的速度逆时针旋转，运动时间为秒，若在射线旋转的同时，绕点以每秒的速度逆时针旋转，且在旋转过程中，射线平分．当射线与射线重合时，运动都停止．当射线是的“新生线”时，直接写出t的值． 【答案】(1)是 (2)或；27.2或或 【详解】（1）解：∵，设，则， ∴，∴， ∴是的，∴是的新生线，故答案为：是； （2）解：①射线在的内部，并且是的“新生线”， 当时，如图所示， ∵点、、在同一直线上，，∴． ∴，∴． ∵平分，∴； 当时，如图所示， 同理，，∴， ∵平分，∴；综上所述，的大小为或； ②射线从出发绕点O以每秒的速度逆时针旋转，绕点O以每秒的速度逆时针旋转， ∴到的时间范围为：． ∵，，∴， ∴当追上的时间为：，解得：； 当追上的时间为：，解得：． 第一种情况，当在右侧时，即，如图， ∴，，， ∵射线平分，∴． ∵， 当时，∴，解得：； 当时， ，∴，解得：； 第二种情况，当在左侧时，即，如图， 当时，∵， ∴，∴，解得：； 第三种情况，当在内部，且在左侧，即，如图， 当时，∵， ∴，∴， 解得：，不合题意，舍去； 第四种情况，当在内部，且在右侧，即，如图， 当时，∵， ∴， ∵，∴， 解得：，不合题意，舍去； 当时，∴，解得：，不合题意，舍去． 综上可知t的值为27.2或或． （24-25七年级上·江苏淮安·期末）将一副直角三角板如图1摆放在直线上（直角三角板和直角三角板），保持三角板不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转直至边第一次重合在直线上，旋转时间记为秒． (1)如图2，当秒时，求的度数；(2)当____秒时，平分； (3)若在三角板开始旋转的同时，另一个三角板也绕点以每秒的速度顺时针旋转，当旋转至直线上时同时停止．①当时，求t的值；②请直接写出在旋转过程中，与的数量关系（数量关系中不含t）：_____． 【答案】(1)(2)(3)①或；② 【详解】（1）解：如图2，当秒时，， ，，； （2）解：平分，，， 将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，，解得：，故答案为：； （3）①在三角板开始旋转的同时，另一个三角板也绕点以每秒的速度顺时针旋转， ， ，分两种情况：当相遇前时， 解得：； 当相遇后时，解得：； 综上所述，或； ②，理由如下： 分两种情况：当在异侧时，如图：由题意得：， ， ； 当在同侧时，如图：由题意得：， ， ；综上所述，． 1、角度旋转模型解题步骤： ①找——根据题意找到目标角度；②表——表示出目标角度： 1）角度一边动另一边不动，角度变大：目标角=起始角+速度×时间； 2）角度一边动另一边不动，角度变小：目标角=起始角—速度×时间； 3）角度一边动另一边不动，角度先变小后变大。 变小：目标角=起始角—速度×时间；变大：目标角=速度×时间—起始角 ③列——根据题意列方程求解。 注：①注意题中是否确定旋转方向，未确定时要分顺时针与逆时针分类讨论；②注意旋转角度取值范围。 一副三角板有两个，一个是等腰直角三角板(90°、45°、45°)，另一个是含特殊角的直角三角板(90°、60°、30°)。三角板的旋转中隐藏的条件就是上面所说的这几个特殊角的角度。 总之不管这个角如何旋转，它的角度大小是不变的，旋转的度数就是组成角的两条射线旋转的度数（角平分线也旋转了同样的度数）。抓住这些等量关系是解题的关键，三角板只是把具体的度数隐藏了起来。 模型1.旋转中的角度的和差倍分模型（求值模型） 例1（24-25七年级上·天津河北·期末）如图1，已知，，且m、n满足等式，射线从处绕点O以4度/秒的速度逆时针旋转．(1)试求的度数．(2)如图1，当射线从处绕点O开始逆时针旋转，同时射线从处以1度/秒的速度绕点O顺时针旋转，当他们旋转多少秒时，使得？(3)如图2，若射线为的平分线，当射线从处绕点O开始逆时针旋转，同时射线从射线处以x度/秒的速度绕点O顺时针旋转，使得这两条射线重合于射线处（在的内部）时，且，试求x． 【答案】(1)160°(2)30秒或34秒(3) 【详解】（1）∵，∴3，解得，， ∴，∴； （2）设他们旋转x秒时，使得，则， ①当射线与射线相遇前有：， 即：，解得：； ②当射线与射线相遇后有：， 即：，解得：， 答：当他们旋转30秒或34秒时，使得； （3）设t秒后这两条射线重合于射线处，则， ∵为的平分线，∴，∴， ∵，∴， 则，°， ∴，解得：，∴，解得：． 例2（24-25七年级上·山东济南·期末）如图，，将一直角三角尺的顶点与重合，，平分，三角尺始终在的内部（可以与，重合）． (1)如图1，当在射线上时，_____； (2)如图2，三角尺在的内部，当平分时，求的度数； (3)如图3，，将三角尺以每秒的速度绕点按逆时针方向旋转，同时射线从处出发以每秒的速度绕点按逆时针方向旋转，当到达处时三角尺和射线都停止旋转．设运动时间为秒，当时，求的值． 【答案】(1)45(2)(3)的值为或 【详解】（1）解：平分，，， ，，故答案为：45； （2）解：设，则， 平分，，， 平分，， ，，解得，即； （3）解：由题意得，先到达，，， 出发前，，， 秒后，，， 当与重合时，秒， ①当时，，，，解得； ②当时，，，，解得； 综上所述，的值为或． 例3（24-25七年级上·四川达州·期末）如图1，直线上有一点O，过点O在直线上方作射线．将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一条直角边在射线上，另一边在直线上方．将直角三角板绕着点O按每秒的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为t秒． (1)若射线保持位置不变，当直角三角板旋转到如图2的位置时，恰好平分，此时，与之间有何数量关系？并说明理由．(2)若射线的初始位置不变，且． ①在直角三角板旋转的过程中，若射线保持位置不变，当边与射线相交时（如图3），求的值．②在直角三角板旋转的过程中，将射线绕着点O按每秒的速度顺时针旋转（随三角板旋转停止而停止），是否存在某个时刻，使得射线，与中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线？若存在，请求出所有满足题意的t的取值．若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)①；②，，， 【详解】（1）解：与之间的数量关系为，理由如下： ，，， 平分，，． （2）①∵， ∴； ②由题意得： 当平分时，，即，解得； 当在上方，第一次平分时，，即，解得； 当在下方，第二次平分时，，即，解得； 当第二次平分时，，即，解得：． 综上，的值为，，，． 模型2.旋转中的‌定值模型 例1（24-25七年级上·广东汕头·期末）如图，，角的顶点互相重合，将绕点旋转．(1)当射线，重合时，______，(2)在绕点旋转的过程中，若射线，与中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线，则的度数为______； (3)在绕点旋转的过程中，若射线始终在的内部． ①普于思考的小明发现，在旋转过程中，的值为定值，请你求出这个定值；②作和的平分线，，在旋转过程中的值是否发生变化？若不变，请求出这个定值，若变化，请求出变化的范围． 【答案】(1)(2)或或(3)①；②度数不发生变化，为定值，理由见解析 【详解】（1）解：∵，， ∴当射线，重合时，，故答案为：； （2）解：如图2-1所示，当是的角平分线时，则； 如图2-2所示，当是的角平分线时，则； 如图2-3所示，当是的角平分线时，则； 综上所述，的度数为或或； （3）解：①如图所示，∵，， ∴， ∴； ②度数不发生变化，为定值，理由如下： ∵，，∴， ∵，分别是和的平分线， ∴， ∴． 例2（24-25七年级下·辽宁鞍山·开学考试）在一次数学实践探究活动中，小明和他的同伴们将一个直角三角尺按如图所示方式放置，发现了其中的奥秘． (1)如图①，三角尺的直角顶点P在直线上，点A，B在直线的同侧．若，求度数．(2)绕点P旋转三角尺，使点A，B在直线的同侧，如图②，若平分，平分，他们发现的度数为定值，请你求出这个定值．(3)绕点P旋转三角尺，使点A，B在直线的异侧，平分，平分，设，如图③，探究的度数． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：， ； （2）解：∵，∴， 平分，平分，， ， ； （3）解：∵，，∴， ∴， ∵平分，∴， ∵平分，∴，． 例3（24-25·江苏南京·七年级校考期末）如图，两条直线AB，CD相交于点O，且∠AOC＝∠AOD，射线OM从OB开始绕O点逆时针方向旋转，速度为15°/s，射线ON同时从OD开始绕O点顺时针方向旋转，速度为12°/s，运动时间为t秒（0＜t＜12，本题出现的角均小于平角） （1）图中一定有　 　个直角；当t＝2时，∠MON的度数为　 　，∠BON的度数为　 　； （2）若OE平分∠COM，OF平分∠NOD，当∠EOF为直角时，请求出t的值； （3）当射线OM在∠COB内部，且是定值时，求t的取值范围，并求出这个定值． 【答案】(1)4；144°，114°；(2)t的值为10s；(3)当射线OM在∠COB内部，且是定值时，t的取值范围为＜t＜6，这个定值是3 【详解】（1）如图所示，∵两条直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝∠AOD， ∴∠AOC＝∠AOD＝90°，∴∠BOC＝∠BOD＝90°，∴图中一定有4个直角； 当t＝2时，∠BOM＝30°，∠NON＝24°， ∴∠MON＝30°+90°+24°＝144°，∠BON＝90°+24°＝114°；故答案为：4；144°，114°； （2）如图所示，∠BOM＝15t，∠NOD＝12t，∠COM＝15t﹣90°， ∵OE平分∠COM，OF平分∠NOD， ∴∠COE＝∠COM＝（15t﹣90°），∠DOF＝∠DON＝×12t， ∵当∠EOF为直角时，∠COE+∠DOF＝90°， ∴（15t﹣90°）＝×12t，解得t＝10，∴当∠EOF为直角时，t的值为10s； （3）当∠MON＝180°时，∠BOM+∠BOD+∠DON＝180°，∴15t+90°+12t＝180°，解得t＝， 当∠BOM＝90°时，15t＝90°，解得t＝6， ①如图所示，当0＜t＜时，∠MON＝∠BOM+∠BOD+∠DON＝15t+90°+12t ∴＝，（不是定值） ②如图所示，当＜t＜6时，∠COM＝90°﹣15t，∠BON＝90°+12t， ∠MON＝360°﹣（∠BOM+∠BOD+∠DON）＝360°﹣（15t+90°+12t）＝270°﹣27t， ∴＝=3，（是定值） 综上所述，当射线OM在∠COB内部，且是定值时， t的取值范围为＜t＜6，这个定值是3． 模型3.旋转中的存在性模型（探究型） 例1（24-25七年级上·江西萍乡·期末）刘星对几何中角平分线等兴趣浓厚，请你和他一起探究下面问题吧．已知，射线，分别是和的角平分线． (1)如图1，若射线在的内部，且，求的度数； (2)如图2，若射线在的内部绕点旋转，求的度数 (3)若射线在的外部绕点旋转（旋转中，均指小于的角），其余条件不变，请借助图3探究的大小． 【答案】(1)(2)(3)或 【详解】（1）解： 是 的平分线，， 是 的平分线，，； （2）解：，， ， ； （3）解： 是 的平分线，是 的平分线，，， ①延长至点，当在 的内部， ； ②延长至点，延长至点，当在内部， ， ； ③延长至点，当在 内部， ，，， 综上，度数为 或． 例2（24-25七年级上·重庆九龙坡·期末）点O为直线上一点，过点O作射线，使，平分（如图1）． 将一直角三角板的直角顶点放在点O处，设直角三角板两直角边分别为、（，）． 边在射线上． (1)在图1中， ；(2)如图2所示，将直角三角板绕点O按每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当与垂直时，则旋转时间t的值为多少秒？(3)将直角三角板绕点O顺时针旋转，当在内部运动时，请直接写出此时与的数量关系． 【答案】(1)；(2)或时与垂直；(3) 【详解】（1）解：∵，∴， ∵平分，∴； （2）解：由题意可得， ①当在之内时，由（1）得，， ∵，∴，即：，解得：， ②当旋转超过时，如图， ， ∵，∴，即：，解得：， 综上所述：或时与垂直； （3）解：由题意可得，如图所示， 设，∵， ∴， ，∴． 例3（24-25七年级上·湖南岳阳·期末）数学在我们生活中无处不在，一节广播操的运动过程就有数学问题．如图1为一节广播操动作的示意图，如图2，为了方便研究，两手手心位置分别记为A，B两点，两脚脚跟位置分别记为C，D两点，且A，B，C，D在同一个平面内，做操过程中将手脚运动近似看作A，B，C，D绕点O旋转，其中O为该平面内的一个定点．                   图1                          图2                   图3                    图4 (1)如图2，A，O，B三点共线，且，则 °；(2)图3为腿部运动，A，O，B三点始终共线，却不在水平方向上，且．求的值； (3)图4为体侧运动，在运动前A、O、B三点在同一水平线上，，平分且，绕点O顺时针旋转，的旋转速度为每秒，的旋转速度为每秒，当旋转到与重合时，运动停止．①运动停止时，直接写出 °（用小于平角的度数表示）； ②判断运动过程中与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)①；②当时，；当时，，理由见解析 【详解】（1）解：∵A，O，B三点共线，∴， ∵，∴，故答案为：； （2）如图3，∵，设， ∴，， ∴，即的值为； （3）如图4，∵，平分， ∴，， 设运动时间为，则，∴， ①运动停止时，即时，旋转的角度为， ∴，故答案为：； ②当时，；当时，；理由如下： 当点C、O、A三点共线时， ， ∴当时，∴； 当时，∴， 综上可知，当时，；当时，． 模型4.旋转中的分类讨论模型 例1（24-25七年级上·湖南长沙·期末）如图1，数轴上的点表示的数为，点表示的数为，且．点是线段的中点．(1)点表示的数是____________． (2)若动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，点同时出发，当点到达点时，两动点的运动同时停止，设运动时间为秒，则：①点、表示的数分别是____________、____________（用含的代数式表示）； ②若在运动过程中，存在，请求出的值． (3)我们发现角的很多运算方法和线段一样，如题图2，，平分．射线从出发，以每秒的速度绕点顺时针旋转，射线从出发，以每秒的速度绕点逆时针旋转，射线同时出发，当到达时，运动同时停止．设旋转时间为秒，若在运动过程中，存在某些时刻，使得和两个角中，其中一个角是另一个角的3倍，请求出所有符合题意的的值． 【答案】(1)(2)当或时，．(3)16或或32 【详解】（1）解：∵，∴，∴点A表示的数为，B表示的数为8， ∵点C是线段的中点，∴点C表示的数是． （2）解：①设运动时间为t秒，则：点M表示的数为：；点N表示的数为：； ②∵点M表示的数为：；点N表示的数为：；∴， ∵，∴，即， ∵当点N到达点A时，两动点的运动同时停止．∴； 当时，有，解得：； 当时，有，解得：． 综上，当或时，． （3）解：∵，平分．∴， 由题意可得：，∴， ∵当到达时，运动同时停止．∴； ①当时，， 当时，有，解得：； 当时，有，解得：； ②当时，， 当时，有，解得：，不符合题意； 当时，有，解得：． 综上，当t的值为16或或32时，使得和两个角中，其中一个角是另一个角的3倍． 例2（24-25七年级上·湖北鄂州·期末）问题情境：数学活动课上，张老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动． 问题实践：（1）张老师将三角尺和三角尺按如图1所示摆放在直线上，边，落在直线上，，，，，则______； 操作探究：（2）奋进小组将图1中三角尺绕点逆时针旋转进行探究，三角尺保持不动状态，当边首次落在直线上时停止旋转，若以每秒的速度旋转，设三角尺旋转时间为秒，提出下列问题，请你帮忙解答．①求为多少秒时，边落在边上；②当边旋转至内部且满足时，求此时的值； 深度探究：（3）如图2，腾飞小组受奋进小组的启发继续进行探究：在三角尺绕点以每秒的速度逆时针旋转的同时，将三角尺也绕点以每秒的速度顺时针旋转，当三角尺的边首次落在直线上时停止旋转，同时三角尺也停止旋转．请你直接写出为何值时，． 【答案】（1）（2）①24；②18（3）的值为或或或 【详解】解：（1），故答案为：； （2）①（秒），故答案为：24；②（秒），故答案为：18； （3）当三角尺的边首次落在直线上时，所需要的时间为：（秒）， 当秒或秒时，在的上方，当时，在的下方， 当秒时，或，解得：或； 当时，解得： 当秒时，解得：； 总上所述：当的值为或或或时，． 模型5.旋转中的新定义模型 例1（24-25七年级上·江苏南京·期末）【概念提出】已知及射线，我们称的值为与的“关联度”，并用符号表示，其中都在到之间（含和）．(1)若，则 ；(2)尺规作图：如图1，已知，作一条射线，使得．（要求：保留作图痕迹，写出必要的说明） 【拓展延伸】(3)如图2，已知，射线与射线重合，射线位于内部或边上，将图2中的绕点O按顺时针方向以每秒的速度旋转，的值随旋转时间及的位置变化而变化．①如图3，当旋转时间为45秒时，的最小值为 ； ②在旋转一周的过程中，当旋转时间为 秒时，． 【答案】(1)1或(2)见解析 (3) 2 75 【详解】（1）解：若射线在的内部，则， ； 若射线在的外部，则， ； 综上所述，或．故答案为：1或． （2）解：，，， 若射线在下方，此时， ，即（不符合题意，舍去）； 若射线在内部，此时， ，，即射线为的三等分线， 由于尺规作图不能三等分任意角，故不符合题意，舍去； 若射线在上方，此时， ，， 如下图，则射线即为所求： （3）解：①当旋转时间为45秒时，，， 射线位于内部或边上，下面分2种情况讨论： 当，此时， ， 由图可知，，； 当，此时， ；综上所述，的最小值为2．故答案为：2． ②当射线在内部或边上时，则有， 此时，不符合题意， 射线不能在内部或边上，即的两边都在的外部，设旋转时间为秒， 当射线从图2的位置旋转至，则， 当射线从图2的位置旋转至，则，； 当时，如图，则，此时， 当，此时， ， 此时的最小值为3，不符合题意，在范围内不存在符合题意的旋转时间； 当时，如图，则，此时， 当，此时， ， 此时的最小值为3，不符合题意， 在范围内不存在符合题意的旋转时间； 当时，如图， 当，由①中的结论有：，符合题意； 当，此时有或， 令，则或，解得：或， 射线位于内部或边上，或， 当时，， 当时，，当时，．故答案为：75． 例2（24-25七年级上·江苏连云港·期末）如图1，射线在的内部，图中共有3个角：，和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“和谐线”． (1)若射线是的平分线，那么射线______的“和谐线”；（填“是”或“不是”） (2)若射线是的“和谐线”，当时，则______．（用含的代数式表示出所有可能的结果）； (3)如图2，为直线上一点，点C在射线上，现将一直角三角尺的角的顶点放置在点处（即），其中边在射线上，另一边在直线的上方．若图2中的射线绕点从位置开始，以每秒的速度沿顺时针方向旋转，同时直角三角尺也绕着点以每秒的速度沿顺时针方向旋转，当与重合时都停止旋转，设旋转的时间为秒．问：当为何值时，是的“和谐线”． 【答案】(1)是(2)为或或．(3)当为或时，是的“和谐线”． 【详解】（1）解：∵射线是的平分线， ∴，∴射线是的“和谐线”； （2）解：∵射线是的“和谐线”，， 当时，∴， 当时，∴， 当时，∴； 综上：为或或． （3）解：由题意可得：旋转时间为， 当重合时，则，解得：， 当时，在的外部不符合题意； 当时，如图，时， ∵，，∴，∴，解得：， 如图，当时，即，∴，解得：， 如图，当时，∴，解得：，不符合题意，舍去， 综上：当为或时，是的“和谐线”． 1．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，点，，依次在直线上；如图，现将射线绕点沿顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点沿逆时针方向以每秒的速度旋转，设旋转时间为秒（）．下列说法正确的是（   ） A．当值为秒时， B．当时，两射线的旋转时间一定为秒 C．整个运动过程中，不存在的情况 D．当值为秒时，射线恰好平分 【答案】D 【详解】解：当秒时，顺时针旋转，逆时针旋转， 此时，故A选项错误，不符合题意； ∵，当时，有，， 则有，即，解得：， 当时，有，， 则有，即，解得：， 当时，有，， 则有，即，解得：， 两射线的旋转时间为秒或秒或秒时，故B选项错误，不符合题意； ∵，当时，有，， 则有，即，解得：， 当时，有，， 则有，即，解得：， 整个运动过程中，存在的情况，故C选项错误，不符合题意； 当秒时，，， ，恰好平分，故D选项正确，符合题意．故选：D． 2．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）如图，是一条射线，将一把直角三角尺的直角顶点放在处，，将绕着点按每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为秒，分别作出、的角平分线、．在旋转过程中，当或中有一条射线与平行时，的值为（   ）．（注：本题中所有的角均是指大于0度且小于或等于180度的角） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】解：①如图，当时，∵，∴， ∵平分，∴， ∴，即：，解得：； ②如图，当时，∵，∴， ∵平分，∴，∴，解得：， 综上所述，在旋转过程中，当或中有一条射线与平行时，的值为秒或秒，故选：C． 3．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，于点O，，射线从出发，绕点O以每秒的速度顺时针向终边旋转，同时，射线从出发，绕点O以每秒的速度顺时针向终边旋转，当、中有一条射线到达终边时，另一条射线也随之停止．在旋转过程中，设，（、均小于），则x与y之间的数量关系为 ． 【答案】或 【详解】解：∵，∴， ∵，∴，， 设旋转运动时间为秒，则，， ∵射线从出发向终边旋转所需时间为（秒），射线从出发向终边旋转所需时间为（秒），∴， 当与在一条直线上时，则，即，解得． ①如图1，当时，则， ∴，， ∵，，∴，， ∴，即，∴； ②如图2，当时，则， ∴，， ∵，，∴，， ∴，即，∴； 综上，或，故答案为：或． 4．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）一副直角三角板如图1摆放在直线上，（直角三角板和直角三角板，，，，），如图2保持三角板不动，将三角板绕点旋转（旋转角）．在旋转过程中，当三角板的一边平行于时，此时 ． 【答案】75或120或165 【详解】解：如图，当时， 此时与重合，∴； 如图，当时，∴； 如图，当时，∴， ∵，∴； 综上，或或．故答案为：75或120或165． 5．（24-25七年级下·辽宁丹东·期末）将一副三角板按如图所示的方式摆放在一起，其中，，，，固定三角板，将三角板绕点A按顺时针方向旋转，若与的某一边平行（不共线）时，的值为 ． 【答案】或 【详解】解：如图：当时，的值为；如图：当时，， ∵，∴，∴的值为． 如图：当时，∴的值为（不符合题意）． 综上，当与的某一边平行（不共线）时，的值为或．故答案为：或． 6．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）如图，若，，，射线绕点O以每秒的速度逆时针旋转，射线绕点O以每秒的速度顺时针旋转，射线绕点O以每秒的速度顺时针旋转，三条射线同时旋转，当一条射线与直线重合时，三条射线同时停止运动．则经过 秒后，其中一条射线是另外两条射线夹角的平分线． 【答案】或或4 【详解】解：设经过的时间为x秒，∵，，． 在旋转过程中，，，， 分别令，，可得，． 可见当时，三条射线停止运动． ①如图，当为、夹角的角平分线时， ．，解得，此时，不合题意； ②当为、夹角的角平分线时，． ，解得； ③当为、夹角的角平分线时，∴． ，解得； ④当为、夹角的角平分线时， ．，解得； 答：经过秒、秒、4秒时，其中一条射线是另两条射线夹角的平分线． 故答案为：或或4． 7．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）学校进行了创意设计大赛，请根据表格中提供的信息答题． 信息1 如图所示为小明设计的个性手表，时针，分针只在右半表盘来回转动（顺时针转至的位置再逆时针旋转至，来回旋转，转动速度与普通手表一致），左半表盘显示对应的时间．（不足一分钟的部分不显示） 信息2 学校作息时间表 第一节 8：00～8：40 第五节 13：00～13：40 第二节 8：50～9：30 第六节 13：50～14：35 大课间 9：30～10：00 第七节 14：45～15：25 第三节 10：00～10：40 第八节 15：35～16：15 第四节 10：50～11：35 体活课 16：25～16：55 (1)图1为学校大课间开始时手表盘面的示意图，此时时针和分钟所成的夹角为_____度； (2)已知某天上午第一节为数学课．请在图3中画出该节数学课下课时，时针与分针的位置．该位置与当天上课期间另一时刻时针和分针的位置都一致，这个时刻对应的时间为________； (3)若右半表面有一光线，始终保持平分．若在某一时刻射线刚好指向刻度2的位置，此时的位置记为，经过一个小时，射线的位置记为．若，请直接写出当在处时，电子表盘所显示的时间． 【答案】(1)；(2)第一节数学课下课时，时针与分针的位置如图所示； ． (3)时分或时分． 【详解】（1）表盘上一大格的角度是， 图1为学校大课间开始时手表盘面的示意图，此时时间是， 时针和分针中间有三个半大格，所成的夹角为，故答案为：． （2）第一节数学课下课时，时针与分针的位置如图所示； 该位置与当天上课期间另一时刻时针和分针的位置都一致，结合该电子表盘可知， 这个时刻对应的时间为． （3）一小时后，分针的位置不变，时针不经过拐点时会向前转动， 若要，则时针在一小时后会经过刻度或刻度并反向运动， 若时针一开始在刻度之间，与分针所成角的平分线不可能在刻度的位置， 故时针开始的位置在刻度之间．设显示的时间是时分， 当时，， ， 当时，， ， 故具体的时间是时分或时分，表盘上不足一分钟的时间不显示， 故当在处时，电子表盘所显示的时间是时分或时分 8．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）【实验操作】 如图①，把一副三角板拼在一起，边在直线上，其中． (1)填空：______；(2)如图②，三角板固定不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针开始旋转，在转动过程中，三角板一直在的内部，设三角板运动时间为秒． ①当时，______；②当为何值时，？ (3)如图②，三角板固定不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针开始旋转一周，在转动过程中，当时，直接写出三角板的运动时间． 【答案】(1)75(2)①53；②(3)或 【详解】（1）解：∵，，∴； （2）解：①当时，， ②由题意得，，则，∴ ∵，∴，解得，∴当t为时，； （3）解：如图，当在的上方时， ∵，∴， ∵，，∴，∴，解得：， 当在的下方的位置时，此时旋转过的角度为，∴，解得：； 综上：当时，直接写出三角板的运动时间为或． 9．（24-25七年级下·重庆·开学考试）如图1，已知O是直线上一点，是位于直线上方的三条射线，是的角平分线，在内部，且． (1)求的度数；(2)如图2，射线和射线分别从图1中射线和射线的位置出发，同时开始绕点O旋转．其中，射线以每秒的速度逆时针方向旋转，到达射线的位置时，射线立即停止旋转；射线以每秒的速度顺时针方向旋转，与射线重合后立即调转方向，变为逆时针方向旋转，速度仍为每秒．①当时，求时t的值；②射线开始旋转的同时，射线也从射线的位置开始绕点O以每秒的速度逆时针方向旋转，当到达射线时，速度立即变为每秒，当射线到达射线时，和同时停止旋转．作的角平分线，是否存在t，使得三条射线中，其中一条射线恰好是另两条射线所形成的角的角平分线？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①或②当运动10或65秒或80时，射线是射线，射线构成角的平分线； 【详解】（1）解：∵，不妨设，则，， ∵是的角平分线，∴， ∵，∴，解得，∴． （2）①解：设两射线的运动时间为t，根据题意，得射线转过的角度为，射线转过的角度为， 根据（1）得到，，， ∴射线转动时间为，射线转动到时间为， 当射线转动到前，射线未到达处时， ∵，且， ∴，解得； 当射线转动到前，射线到达处时，此时， ∵，且， ∴，解得；矛盾，此情形不存在； 当射线转动到前，射线到达处后返回时，此时， ∵，且， ∴，解得； 综上所述，当时，t的值为或． ②解：设三射线的运动时间为t，根据题意，得射线转过的角度为，射线转过的角度为，射线转过的角度为，根据（1）得到，，，，，，∴射线转动到时间为，射线转动到时间为，射线转动到时间为， 当时，当射线是射线 ，构成角的平分线时，根据题意，得， 此时，，， ∴，解得； 当与互为反向延长线时，, 当时，当射线是射线 ，构成角的平分线时，根据题意，得， 此时，，， ∴，解得；不符合题意，舍去； 当时，如图，当射线是射线 ，构成角的平分线时，根据题意，得， 此时，，，∴，解得；舍去； 当重合时，,解得：， 如图，当时，当射线是射线 ，构成角的平分线时，根据题意，得， 此时，，， ∴，解得（舍去）；当重合时，，解得：， 当时，如图，当射线是射线 ，构成角的平分线时，根据题意，得， 此时，，， ∴，解得；当重合时，，解得， 当时，如图，当射线是射线 ，构成角的平分线时，根据题意，得， 此时，，， ∴，解得；（舍去） 当时，如图，当射线是射线 ，构成角的平分线时，根据题意，得， 此时，，，∴，解得：， 综上所述，当运动10或65秒或80时，符合题意． 10．（24-25七年级上·江苏连云港·期末）如图1，射线在同一个平面内，则图中共有三个角，，其中每个角都是小于的角．设． (1)若时，则称线为的“倍比线”． ①若射线为的“倍比线”，且，则___________．； ②如图2，若，射线从出发，绕点以每秒的速度逆时针方回旋转，旋转一周至时停止，设旋转的时间为，当时，射线是的“倍比线”； ③在②的条件下，如图3，射线从出发，绕点以每秒的速度顺时针方向旋转．射线同时旋转，当旋转一周至时，射线同时停止运动，设旋转的时间为，求当为何值时，射线是的“倍比线”； (2)如图4，在同一个平面内，，射线在内部或边上．将射线关于的所有可能的的最小值记为，当在平面内运动时，的最大值为___________． 【答案】(1)①；②6或16；③或；射线是的“倍比线”(2) 【详解】（1）解：①∵射线为的“倍比线”， 且， 则，设时，， ∴，解得：，∴，故答案为：； ②当在内部时，，， ，即：此时不存在射线是的“倍比线”； 当在与的反向延长线构成角内部时，，，则， 若射线是的“倍比线”，则，解得：； 当在的反向延长线与的反向延长线构成角内部时，， 则，即：此时不存在射线是的“倍比线”； 当在的反向延长线与构成角内部时，， 若射线是的“倍比线”，则， 解得：； 综上：当或时，射线是的“倍比线”；故答案为：6或16； ③点旋转一周用时，此时点旋转， 即当旋转一周至时，旋转至的反向延长线， 由②可得当在的外部时，射线是的“倍比线”； 当相遇时，解得： 如图所示，当时，在的内部 ∵，，射线是的“倍比线”；∴ ∵∴解得： 当旋转到的延长线上时， 当，如图所示，∵，，射线是的“倍比线”； ∴∵ ∴，此方程无解 当第二次相遇时，解得： ∴当时，在的外部， ∵，，射线是的“倍比线”； ∴∵ ∴解得： 综上所述：或；射线是的“倍比线”； （2）解：如图所示，当在的内部时 当在内部时，，射线关于的所有可能的的最小值为，即 当和重合时，射线在的边上时，，此时 将逆时针旋转 如图所示，当时， 当射线在的边上时，， 当射线在的内部时，设，则 当，在上方， 当，在下方且在的反向延长线的上方， 当时，在下方且在的反向延长线的下方， 当射线在的边上时，， ∴将继续逆时针旋转 如图所示，此时，则 当射线在的边上时，， 当射线在的内部时，设，则 当射线在的边上时， ∴综上所述，的最大值为故答案为：． 11．（24-25七年级上·辽宁辽阳·期末）定义：如果从一个角的顶点引出的一条射线，与角的一条边组成的角是原来的角的 则这条射线叫原来角的“新生线”． (1)如图1，，射线　　的“新生线”（填“是”或“不是”）； (2)点M、O、N在同一直线上，①在图2中， ，射线在的内部，并且是的“新生线”， 平分， 求的大小；②如图3，，，射线从出发绕点以每秒的速度逆时针旋转，运动时间为秒，若在射线旋转的同时，绕点以每秒的速度逆时针旋转，且在旋转过程中，射线平分．当射线与射线重合时，运动都停止．当射线是的“新生线”时，直接写出t的值． 【答案】(1)是(2)或；27.2或或 【详解】（1）解：∵，设，则， ∴，∴， ∴是的，∴是的新生线，故答案为：是； （2）解：①射线在的内部，并且是的“新生线”， 当时，如图所示， ∵点、、在同一直线上，，∴． ∴，∴． ∵平分，∴； 当时，如图所示，同理，，∴， ∵平分，∴；综上所述，的大小为或； ②射线从出发绕点O以每秒的速度逆时针旋转，绕点O以每秒的速度逆时针旋转， ∴到的时间范围为：． ∵，，∴， ∴当追上的时间为：，解得：； 当追上的时间为：，解得：． 第一种情况，当在右侧时，即，如图， ∴，，， ∵射线平分，∴． ∵， 当时，∴，解得：； 当时，， ∴，解得：； 第二种情况，当在左侧时，即，如图， 当时，∵， ∴，∴，解得：； 第三种情况，当在内部，且在左侧，即，如图， 当时，∵， ∴，∴， 解得：，不合题意，舍去； 第四种情况，当在内部，且在右侧，即，如图， 当时，∵， ∴， ∵，∴， 解得：，不合题意，舍去； 当时，∴，解得：，不合题意，舍去． 综上可知t的值为27.2或或． 12．（24-25七年级上·江苏南京·期末）【操作拼图】已知一副直角三角尺先按如图的方式拼接在一起，其中与直线重合，． (1)在上述所拼图形中，的度数为 °． (2)【问题探究】在上述所拼图形基础上，让三角尺固定不动，将三角尺绕着点O以每秒的速度按逆时针方向旋转，且两块三角尺均在直线的上方．设三角尺的旋转时间为，在旋转过程中，请求出当时t的值． (3)【拓展延伸】在按照【操作拼图】要求拼好图后，让三角尺绕着点O以每秒的速度按顺时针方向旋转的同时，三角尺也绕着点O以每秒的速度按顺时针方向旋转．在旋转过程中，两块三角尺均在直线的上方，且当三角尺停止旋转时，三角尺也停止旋转．设三角尺的旋转时间为．在旋转过程中，当与三角尺的某一边平行时，请直接写出的值． 【答案】(1)75(2)12或(3)或15 【详解】（1）解：∵， ，∴；故答案为：75． （2）解：当和重合时，，则， 当和重合时，，则， 当和重合时，，则， ①当时，，，∴，解得：； ②当时，，∴，解得：； ③当时，，∴，t无解； 综上所述，或． （3）解：当和重合时，，则， ∴转动过程中，， ①当时，， ∴，∴， 即，解得：； ②当时，，∴， ∴，即，解得：； ③当时，，∴和重合， ∴，即，解得：； 当时，，且位于下面，不符合题意，舍去； 综上所述，或15． 13．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）一个问题解决往往经历发现猜想——探索归纳——问题解决的过程，下面结合一道几何题来体验一下． 【发现猜想】（1）如图①，已知，为的角平分线，则的度数为__________； 【探索归纳】（2）如图①，，为的角平分线．猜想的度数（用含、的代数式表示），并说明理由； 【问题解决】（3）如图②，若．若射线绕点以每秒逆时针旋转，射线绕点以每秒顺时针旋转，射线绕点每秒顺时针旋转，三条射线同时旋转，当一条射线与直线重合时，三条射线同时停止运动．运动几秒时，其中一条射线是另外两条射线夹角的角平分线？ 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】解：（1）∵，，∴， ∵为的角平分线，∴， ∴，故答案为：； （2）∵，，∴， ∵为的角平分线，∴， ∴，故答案为：； （3）解：设运动时间为t，反向延长到E，如图： 由题意知，旋转了，旋转了，旋转了， ，， ∴，，， ∴经过9秒射线与直线重合，经过秒射线与直线重合，经过秒射线与直线重合， ∴总运动时间为秒，∴，， 当重合时，则，解得； 当重合时，则，解得； 当重合时，则，解得， ①当为，夹角的角平分线，即平分时，此时，如图： ∴，；解得（舍去）； ②当为，夹角的角平分线，即平分时，，如图： ∴，∴ 解得，符合题意； ③当为，夹角的角平分线，即平分时，，如图： ∴，∴，解得，符合题意； ④当为，夹角的角平分线，即平分时，，如图： ∴，∴，解得，符合题意； 综上所述，运动时间为秒时，其中一条射线是另外两条射线夹角的角平分线． 14．（25-26七年级上·江苏·期末）已知是内部的一条射线，M，N分别是边、上的点，线段、分别以、的速度同时绕点逆时针旋转． (1)如图①，若，当、逆时针旋转时，分别到、处，求的值；(2)如图②，若、分别在内部旋转时，总有，求的值； (3)如图③，C是线段上的一点，点M 从点A 出发沿线段向点C 运动，同时点N 从点C 出发沿线段向点 B 运动，M，N两点的速度比是．若在运动过程中始终有，求的值． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：线段、分别以、的速度绕点逆时针旋转， ，，，， ， ，； （2）解：设旋转时间为，则，， ，，， ； （3）解：解：因为两点的速度比是，所以． 因为，所以，所以， 所以． 15．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）将一副直角三角板如图1摆放在直线上（直角三角板和直角三角板），保持三角板不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转直至边第一次重合在直线上，旋转时间记为秒． (1)如图2，当秒时，求的度数；(2)当____秒时，平分； (3)若在三角板开始旋转的同时，另一个三角板也绕点以每秒的速度顺时针旋转，当旋转至直线上时同时停止．①当时，求t的值；②请直接写出在旋转过程中，与的数量关系（数量关系中不含t）：_______． 【答案】(1)(2)(3)①或；② 【详解】（1）解：如图2，当秒时，，， ，； （2）解：平分，，， 将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，，解得：，故答案为：； （3）①在三角板开始旋转的同时，另一个三角板也绕点以每秒的速度顺时针旋转， ， ，分两种情况：当相遇前时， 解得：； 当相遇后时，解得：； 综上所述，或； ②，理由如下：分两种情况：当在异侧时，如图： 由题意得：， ， ； 当在同侧时，如图：由题意得：， ， ；综上所述，． 16．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）我们常借助直角三角板进行一些数学问题的探究．如图1所示，在直角三角板中，，，点在直线上，先将边与重合，然后将三角板绕着点按每秒1度的速度顺时针旋转，旋转后的三角板记作，设运动时间为秒，且． (1)当与重合时，______；(2)当时，求的值；(3)如果把原题中的直角三角板换成普通的三角形纸片，不妨设，其他条件不变，在的内部作一条射线，使，如果在旋转过程中，始终有成立，直接写出与的数量关系． 【答案】(1)120(2)70或170(3) 【详解】（1）解：∵，∴， ∵与重合，∴，∴．故答案为：120． （2）解：①当在上方时，则，∴； ②当在下方时，则，∴； ∴综上所述，的值为70或170． （3）解：在旋转过程中，，则， ∵，，∴，， ∴， ∵，∴，整理得：． 17．（24-25七年级上·江苏·期末）如图1，点、、依次在直线上，现将射线绕点沿顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点沿逆时针方向以每秒的速度旋转，直线保持不动，如图，设旋转时间为的值在到之间，单位：秒．(1)当时，求的度数；(2)在运动过程中，当第二次达到时，求的值；(3)在旋转过程中是否存在这样的，使得射线与射线的夹角为？如果存在，请直接写出的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)的度数是(2)的值是秒(3)存在，的值是秒或秒 【详解】（1）解：当时，，， ，答：的度数是； （2）根据题意，当第二次达到时，，解得， 答：当第二次达到时，的值是秒； （3）存在这样的，使得射线与射线的夹角为，理由如下： 当射线与射线第一次夹角为时，两条射线共旋转，，解得； 当射线与射线第二次夹角为时，两条射线共旋转，，解得， 综上所述，的值是秒或秒． 18．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）综合与实践 问题情境：在数学实践课上，老师给出两个大小形状完全相同的含有，的直角三角板如图1放置，其中在直线上．（1）如图1， ； 操作探究：（2）如图2，若三角板保持不动，三角板绕点逆时针旋转一定角度，平分，平分， ；（3）如图3，在图1基础上，若三角板开始绕点以每秒的速度逆时针旋转，同时三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，当转到与重合时，两三角板都停止转动．在旋转过程中，当三条射线中的其中一条射线平分另两条射线的夹角时，请求出旋转的时间； 拓广探究：（4）如图4，作三角板关于直线的对称图形．三角板保持不动，三角板绕点逆时针旋转，当时，请直接写出旋转角的度数 ． 【答案】（1）90；（2）30；（3）15秒或秒；（4）30或210 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴； （2）∵平分∠∴，设， ∴，， ∵平分，∴，∴， ∴，∴； （3）设t秒时，其中一条射线平分另两条射线的夹角， ∵当转到与重合时，两三角板都停止转动，∴秒，分三种情况讨论： ①当平分时，根据题意可列方程，解得，，符合题意； ②当平分时，根据题意可列方程，解得，，符合题意； ③当平分时，根据题意可列方程，解得，，不符合题意舍去， 所以，旋转时间为15秒或秒时，三条射线中的其中一条射线平分另两条射线的夹角； （4）如图①，∵与关于对称，∴， 若，则， ∴ ，∴， ∴旋转角度数为：； ②如图②，若，则 ∴ ∴旋转角度数为：； 综上，当时，旋转角的度数为或． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $