专题08 角度中的四类动态模型-2024-2025学年七年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（人教版2024）

专题08 角度中的四类动态模型 角度的动态（旋转）模型属于七年级上期必考压轴题型，是尖子生必须要攻克的一块重要内容，对考生的综合素养要求较高。绝大部分学生对角度旋转问题信心不足，原因就是很多角度旋转问题需要自己画出图形，与分类讨论思想、数形结合思想等结合得很紧密，思考性强，难度大。本专题重点研究与角有关的旋转模型（求值模型；定值模型；探究模型；分类讨论模型）。 2 模型1.旋转中的求值模型 2 模型2.旋转中的定值模型 4 模型3.旋转中的探究类模型（判断角的数量之间的关系） 10 模型4.旋转中的分类讨论模型 14 18 模型1.旋转中的求值模型 1、角度旋转模型解题步骤： ①找——根据题意找到目标角度；②表——表示出目标角度： 1）角度一边动另一边不动，角度变大：目标角=起始角+速度×时间； 2）角度一边动另一边不动，角度变小：目标角=起始角—速度×时间； 3）角度一边动另一边不动，角度先变小后变大。 变小：目标角=起始角—速度×时间；变大：目标角=速度×时间—起始角 ③列——根据题意列方程求解。 注：①注意题中是否确定旋转方向，未确定时要分顺时针与逆时针分类讨论；②注意旋转角度取值范围。 2、常见的三角板旋转模型： 一副三角板有两个，一个是等腰直角三角板(90°、45°、45°)，另一个是含特殊角的直角三角板(90°、60°、30°)。三角板的旋转中隐藏的条件就是上面所说的这几个特殊角的角度。 总之不管这个角如何旋转，它的角度大小是不变的，旋转的度数就是组成角的两条射线旋转的度数（角平分线也旋转了同样的度数）。抓住这些等量关系是解题的关键，三角板只是把具体的度数隐藏了起来。 例1．（23-24七年级上·河北唐山·期中）综合与实践 【问题情境】利用旋转开展数学活动，探究体会角在旋转过程中的变化，    【操作发现】如图①，且两个角重合．（1）将绕着顶点O顺时针旋转如图②，此时OB平分 ；的余角有 个，分别是： ． 【实践探究】（2）将绕着顶点O顺时针继续旋转如图③位置，若，射线OE在内部，且请探究：①的补角是哪几个角？ ．②求的度数． 【答案】（1），2，和；（2）①，，；② 【分析】本题考查了旋转的性质、角平分线的定义、角度的运算、余角和补角的定义： （1）根据旋转的性质得，进而可得角平分线的答案，根据，，进而可求解；（2）①根据旋转的性质及角度之间的计算找出与相加等于的角即可；②利用角度之间的计算即可求解；熟练掌握角度之间的计算，理解平角、余角和补角的定义是解题的关键． 【详解】解：（1）由旋转的性质得：， ，， ，平分， ，， 的余角有2个（本身除外），分别是和， 故答案为：；2；和； （2）①，，， ，的补角是， ，， 的补角是，，的补角是， 综上所述，的补角分别是、、， 故答案为：、、． ②∵，，∴，∴， 又∵，∴． 例2．（2023·湖南株洲·七年级期末）点为直线上一点，过点作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点处． (1)如图1，当三角板的一边与射线重合时，则________； (2)如图2，将三角板绕点逆时针旋转一定角度，此时是的平分线，求和的度数；(3)将三角板绕点逆时针旋转至图3所示的位置时，，求的度数． 【答案】(1)25°(2)∠AOM＝50°，∠CON＝25°(3)＝70° 【分析】（1）根据∠MON和∠BOC的度数可以得到∠MON的度数； （2）根据OC是∠MOB的角平分线，∠BOC＝65°可以求得∠BOM的度数，由∠NOM＝90°，可得∠BON的度数，从而可得∠CON的度数；（3）根据平角的定义求出∠NOC＝5°，再根据角的和差即可得解． （1）解：∵∠MON＝90°，∠BOC＝65°， ∴∠MOC＝∠MON−∠BOC＝90°−65°＝25°，故答案为：25°； （2）∵∠BOC＝65°，OC是∠MOB的角平分线，∴∠MOB＝2∠BOC＝130°， ∴∠AOM＝180°−∠MOB＝180°−130°＝50°，∠BON＝∠MOB−∠MON＝130°−90°＝40°， ∠CON＝∠COB−∠BON＝65°−40°＝25°，即∠AOM＝50°，∠CON＝25°； （3）∵∠AOM＋∠MON＋∠NOC＋∠BOC＝180°，∠BOC＝65°，∠MON＝90°， ∴∠AOM＋∠MON＝180°−65°−90°＝25°， ∵∠AOM＝4∠NOC，∴∠NOC＝5°，∴∠NOB＝∠NOC＋∠BOC＝70°． 【点睛】本题考查了余角和补角，角平分线的定义，三角板的知识，角的计算，熟记概念并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键． 模型2.旋转中的定值模型 例1．（23-24七年级上·广东汕头·期末）如图，，角的顶点互相重合，将绕点旋转．(1)当射线，重合时，______，(2)在绕点旋转的过程中，若射线，与中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线，则的度数为______； (3)在绕点旋转的过程中，若射线始终在的内部． ①普于思考的小明发现，在旋转过程中，的值为定值，请你求出这个定值； ②作和的平分线，，在旋转过程中的值是否发生变化？若不变，请求出这个定值，若变化，请求出变化的范围． 【答案】(1)(2)或或(3)①；②度数不发生变化，为定值，理由见解析 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义：（1）直接根据角之间的关系进行求解即可；（2）分当是的角平分线时，当是的角平分线时，当是的角平分线时，三种情况讨论求解即可；（3）①，则；②先由角平分线的定义得到，再由即可得到结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴当射线，重合时，，故答案为：； （2）解：如图2-1所示，当是的角平分线时，则； 如图2-2所示，当是的角平分线时，则； 如图2-3所示，当是的角平分线时，则； 综上所述，的度数为或或； （3）解：①如图所示，∵，， ∴， ∴； ②度数不发生变化，为定值，理由如下： ∵，，∴， ∵，分别是和的平分线， ∴， ∴． 例2．（2023·河南南阳·七年级校考期末）将一副三角尺如图①摆放，，，现将绕点C以/秒的速度逆时针方向旋转，旋转时间为秒．    (1)如图②，当______时，恰好平分；(2)如图③，当______时，恰好平分； (3)如图④，当______时，恰好平分； (4)绕点C旋转到如图⑤的位置，平分，平分，求的度数； (5)若旋转到如图⑥的位置，（4）中结论是否发生变化？请说明理由． 【答案】(1)4(2)7(3)10(4)(5)不变，，理由见解析； 【分析】（1）如图，由题意可得：，而，， 再证明，而，再建立方程求解即可； （2）如图，证明，，再建立方程求解即可； （3）如图，证明，，同理：，而，可得，从而可得答案； （4）先表示，可得，同理可得，而，再利用角的和差可得答案； （5）先表示，可得，同理可得，而，再利用角的和差可得答案． 【详解】（1）解：如图，由题意可得：，而， ∴，    ∵平分，∴，而，∴，解得：； （2）如图，∵，平分，∴，   ∵，，∴，∴，解得：； （3）如图，∵，恰好平分，∴，， 同理：，而，∴，解得：； （4）如图，∵，，∴，       ∵平分，∴， ∵，，∴， ∵平分，∴， 而， ∴． （5）如图，∵，，∴， ∵平分，∴， ∵，，∴， ∵平分，∴， 而， ∴． 【点睛】本题考查的是角的动态定义，角的和差运算，角平分线的含义，一元一次方程的应用，熟练的画出符合题意的图形，再利用数形结合的方法解题是关键． 例3．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）已知，为内部的一条射线，． (1)如图1，若平分，为内部的一条射线，，则 ； (2)如图2，若射线绕着O点从开始以每秒的速度顺时针旋转至结束、绕着O点从开始以每秒的速度逆时针旋转至结束，当一条射线到达终点时另一条射线也停止运动．若运动时间为t秒，当时，求t的值； (3)如图3，若射线绕着O点从开始以每秒的速度逆时针旋转至结束，在旋转过程中，平分，试问：在某时间段内是否为定值？若不是，请画出图形，并说明理由；若是，请画出图形，并直接写出这个定值以及t相应所在的时间段．（题中的角均为大于且小于的角） 【答案】(1)(2)3或(3)当时，；当时， 【分析】本题考查了角平分线的定义、角的和差倍分．（1）先根据角平分线的定义求出的度数，再根据角的倍差求出的度数，最后根据角的和差即可；（2）先求出的度数和t的最大值，从而可知停止运动时，在的右侧，因此，分在左侧和右侧两种情况，再根据列出等式求解即可；（3）因本题中的角均为大于且小于的角，则需分与在一条直线上、与在一条直线上、与在一条直线上三个临界位置，从而求出此时t的取值范围，并求出各范围内和的度数，即可得出答案． 【详解】（1）解：平分， ，故答案为：； （2） 由题意知，当转到时，两条射线均停止运动 此时（秒）则停止转动时， 即从开始旋转至停止运动，始终在OC的右侧 因此，分以下2种情况： ①当在左侧时， 则由得，解得 ②当在右侧时， 则由得，解得 综上，t的值为3或7.5； （3）射线从开始转动至结束时，转动时间为（秒） 由题意，分与在一条直线上（）、与在一条直线上（）、与在一条直线上（）三个临界位置 ①当时，如图1所示 此时， 则为定值 ②当时，如图2所示 此时， 则不为定值 ③当时，如图3所示 此时， 则为定值 ④当时，如图4所示 此时， 则不为定值 综上，当或时，为定值． 模型3.旋转中的探究类模型（判断角的数量之间的关系） 例1．（23-24七年级下·辽宁鞍山·开学考试）在一次数学实践探究活动中，小明和他的同伴们将一个直角三角尺按如图所示方式放置，发现了其中的奥秘． (1)如图①，三角尺的直角顶点P在直线上，点A，B在直线的同侧．若，求度数． (2)绕点P旋转三角尺，使点A，B在直线的同侧，如图②，若平分，平分，他们发现的度数为定值，请你求出这个定值． (3)绕点P旋转三角尺，使点A，B在直线的异侧，平分，平分，设，如图③，探究的度数． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】本题考查角的和差，角平分线的定义．（1）根据即可求解； （2）由可得到，根据角平分线的定义，可得，进而根据角的和差即可求解；（3）由，求得，，根据角平分线的定义可得，，最后根据即可求解． 【详解】（1）解：， ； （2）解：∵，∴， 平分，平分，， ， ； （3）解：∵，，∴， ∴， ∵平分，∴， ∵平分，∴， ． 例2．（23-24七年级上·河北石家庄·期末）如图1，将一副直角三角板摆放在直线上（直角三角板和直角三角板），，，，保持三角板不动，将三角板绕点O以每秒的速度顺时针旋转（如图2），旋转时间为t（）秒．      计算  当平分时，求t的值； 判断  判断与的数量关系，并说明理由； 操作  若在三角板开始旋转的同时，另一个三角板也绕点O以每秒的速度顺时针旋转，当三角板停止时，三角板也停止，直接写出在旋转过程中，与的数量关系． 【答案】计算：；判断：当时，，当时，；操作： 【分析】本题主要考查角度的和差关系和角平分线性质，计算：根据角平分线性质得，结合旋转速度即可求的时间；判断：分两种情况和，分别求得和即可找得到关系；操作：由题意知和，即可得，进一步可求得和，即可发现其关系． 【详解】解：计算∵，平分，∴， ∵三角板绕点O以每秒的速度顺时针旋转，∴．∴t的值为2.25． 判断 当时，如图1，据题意，得，∴， ∵，∴，∴， 当时，如图2，据题意，得，∴， ∵，∴，∴； 操作 ∵，，∴， ∴， ∵，∴，则． 例3．（23-24七年级上·贵州黔西·期末）如图，大课间的广播操展让我们充分体会到了一种整体的图形之美，洋洋和乐乐想从数学角度分析下如何能让班级同学们的广播操做得更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图，为了方便研究，定义两手手心位置分别为，两点，两脚脚跟位置分别为，两点，定义，，，平面内为定点，将手脚运动看作绕点进行旋转：    (1)填空：如图，，，三点共线，且，则______°； (2)第三节腿部运动中，如图，洋洋发现，虽然，，三点共线，却不在水平方向上，且，他经过计算发现，的值为定值，请判断洋洋的发现是否正确，如果正确请求出这个定值，如果不正确，请说明理由；(3)第四节体侧运动中，乐乐发现，两腿左右等距张开且，开始运动前、、三点在同一水平线上，、绕点顺时针旋转，旋转速度为，旋转速度为，当旋转到与重合时，运动停止，如图．运动停止时，直接写出______；请帮助乐乐求解运动过程中与的数量关系． 【答案】(1)；(2)小田的发现是正确的，这个定值是； (3)；当时，；当时，． 【分析】（）由，，三点共线，可得出，再由，即可求出；（）由，设，则，分别求出，，再代入即可求解； （）算出运动停止时间，求出运动的角度，进而求出度数； 由的运动过程可知，需要分类讨论，在点，，三点共线前和点，，三点共线后，分别求解即可；本题考查了角的和差运算，解题的关键是发现图中角之间的和差关系． 【详解】（1）如图，∵，，三点共线，∴， ∵，∴，故答案为：； （2）小田的发现是正确的，这个定值是，理由，如图， ∵，设，则， ∴，， ∴，∴小田的发现是正确的，这个定值是； （3）如图，∵，∴，， 设运动时间为，则，则， 运动停止时，即时，如图，旋转的角度为， ∴，故答案为：； 当点，，三点共线时，； ∴当时，，，∴； 当时，，，∴， 综上，当时，；当时，． 模型4.旋转中的分类讨论模型 例1．（23-24七年级上·陕西汉中·期末）【问题背景】如图1，已知射线在的内部，若，和三个角中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“量尺金线”． 【问题感知】（1）一个角的平分线________这个角的“量尺金线”；（填“是”或“不是”） 【问题初探】（2）如图2，．若射线是的“量尺金线”，则的度数为________； 【问题推广】（3）在（2）中，若，，射线从位置开始，以每秒旋转的速度绕点P按逆时针方向旋转，当首次等于时停止旋转，设旋转的时间为．当t为何值时，射线是的“量尺金线”？（用含x的式子表示出t即可） 【答案】（1）是；（2）20或30或40；（3），，； 【分析】本题考查新定义下的角计算，几何图形中的角度计算，理解题意，列出相应的式子求解，是解题关键．（1）据“量尺金线”的定义进行判断即可；（2）根据“量尺金线”的定义分三种情况讨论计算即可；（3）射线是的“量尺金线”，在的内部，在的外部，然后分三种情况求解即可． 【详解】解：（1）一个角的平分线中，大角是小角的2倍，满足“量尺金线”的定义，故答案为：是； （2），射线是的“量尺金线”，根据“量尺金线”的定义分三种情况讨论： 当时，如图，∵，∴； 当时，如图，∵∴； 当时，如图，∵，∴； 综上：当为，，时，射线是的“量尺金线”． （3）∵射线是的“量尺金线”，∴在的内部，∴在的外部； 分三种情况：①如图，当时，如图所示： ∴，∴； ②如图，当时，如图所示：∴，∴； ③当时，如图所示： ∵，∴，∴； 综上：当t为或或时，射线是的“量尺金线”． 例2．（23-24七年级上·广东深圳·期末）如图1，某校七年级数学学习小组在课后综合实践活动中，把一个直角三角尺的直角顶点O放在互相垂直的两条直线、的垂足O处，并使两条直角边落在直线、上，将绕着点O顺时针旋转．    (1)如图2，若，则______，______； (2)若射线是的角平分线，且． ①旋转到图3的位置，的度数是多少？（用含的代数式表示） ②在旋转过程中，若，则此时的值． 【答案】(1)；(2)；或 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，几何图形中的角度计算，数形结合，分情况讨论是解题的关键． （1）根据，以及角的和差计算即可； （2）①先求，再利用得出结论； ②分两种情况讨论：当旋转到左侧时；当旋转到右侧时，解答即可． 【详解】（1）解：，∴，∵，∴， ∵，∴； ∵，， ∴；故答案为：；． （2）解：①∵，，∴， ∵射线是的角平分线，∴， ∴， ∵，∴；故答案为：； ②当旋转到左侧时，如图所示：       ∵是的角平分线，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴， ∴； 当旋转到右侧时，如图所示： 设，∵，∴， ∵是的角平分线，∴， ∵，∴，解得：，∴， ∴；综上分析可知，的值为：或．故答案为：或． 1．（23-24七年级上·江苏泰州·期末）如图，于点，，射线从出发，绕点以每秒的速度顺时针向终边旋转，同时，射线从出发，绕点以每秒的速度顺时针向终边旋转，当、中有一条射线到达终边时，另一条射线也随之停止．在旋转过程中，设，，则与之间的数量关系为 ． 【答案】或 【分析】分和，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：由题意，得：的运动时间为：秒，的运动时间为：秒； ∴运动的时间相同； 设运动时间为秒， 则：， ∵， ∴， 当时：， ∴， ， ∴， ∴， ∴，即：； 当，在上方时：如图，， ∴， ， ∴， ∴， ∴，即：； 当，在下方时：如图2，， ∴， ， ∴， ∴， ∴，即：； 综上：与之间的数量关系为或； 故答案为：或． 【点睛】本题考查几何图形中角度的计算．正确的识图，理清角之间的和差关系，是解题的关键． 2．（23-24七年级·江西南昌·期末）如图，直线与相交于点O，，平分，，平分．若射线从射线的位置出发，绕点O以每秒的速度逆时针旋转一周，当旋转时间为t秒时，三条射线中恰好有一条射线是另外两条射线所组成的角的平分线，请写出旋转时间t的值为 秒．（旋转过程中，，都只考虑小于的角）    【答案】1或13或25 【分析】利用角平分线求出，，求出，，求出，由角平分线，求出，，再分平分，平分，平分三种情况讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 分情况讨论： ①当平分时，    ∵， ∴，即：， ∴， ∴； ②平分时，    则：， ∴， ∴； ③当平分时：    则：， ∴， ∴点旋转的角度为：， ∴； 综上：的值为：1或13或25． 故答案为：1或13或25． 【点睛】本题考查几何图形中角度的计算．正确的识图，理清角的和差关系，是解题的关键． 3．（22-23七年级上·湖北武汉·期末）如图，．若在平面内绕点O旋转，分别作和平分线OP、OQ，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】分三种情况画出图形求解即可． 【详解】设，， 如图1， ∵OP、OQ分别是和平分线， ∴， ∴ ， ∴； 如图2， ∵， ∵OP、OQ分别是和平分线， ∴， ∴ ； 如图3， ∵OP、OQ分别是和平分线， ∴， ∴ ； 故答案为：或． 【点睛】本题考查了角平分线定义，线段的和差，以及分类讨论的数学思想，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键． 4．（2023·广东·七年级专题练习）一副三角板与如图摆放，且，，，平分，平分．当三角板绕点顺时针旋转（从图到图）．设图、图中的的度数分别为，， 度．    【答案】105 【分析】根据角平分线的性质分别求出，的值，计算即可． 【详解】解：如图1：∵，，，       ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∵， 即，∴； 如图2：∵，，， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∵，即， ∴；∴；故答案为：105． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 5．（23-24七年级下·河南郑州·开学考试）如图，和都是直角．固定不动，将绕点O旋转，在旋转过程中，下列结论正确的有 ． ①如果，那么；②是定值 ③若变小，则变大；④ 【答案】①②③④ 【分析】由题意得到，，进行整理即可分别进行判断． 【详解】解：，， ，， ， 即，即， 当，则，故①正确； ，，故②正确； ，若变小，则变大，故③正确； ， ，，故④正确； 综上所述，故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查了角的有关计算；解题的关键是结合图形对角进行正确拆分、组合． 6．（23-24七年级上·广东广州·期末）如图，点为直线上一点，将一直角三角板的直角顶点放在点处，是直角，平分． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若，求的度数； (3)当时，三角板绕点以每秒6沿逆时针方向旋转秒（），请探究和之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3)时，；时， 【分析】本题考查相交线，涉及到角平分线的性质、垂直的性质等，灵活运用所学知识是关键． （1）根据直角和交平分线的性质求解即可； （2）根据直角和交平分线的性质求解即可； （3）分两种情况时，进行讨论即可． 【详解】（1）解： ， ， 平分， ， 是直角， ， ； （2）解：平分， ． ， ． ． ． ∴； （3）解：①时，由题意得， 平分， ， ， ； ②时， 由题意得， 平分， ， ， ． 综上所述，时，； 时，． 7．（23-24七年级上·吉林白山·期末）如图1，直线上有一点O，过点O在直线上方作射线，将一个直角三角尺的直角顶点放在点O处，一条直角边在射线上，另一边在直线上方，将直角三角尺绕着点O按每秒的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为t秒． (1)当直角三角尺旋转到图2所示的位置时，恰好平分，此时，与之间的数量关系是____________． (2)若射线的位置保持不变，且． ①在旋转过程中，是否存在某个时刻，使得射线，，中的某一条射线是另两条射线所夹角的平分线？若存在，请求出所有满足题意的的取值；若不存在，请说明理由． ②在旋转的过程中，当边与射线相交时（如图3），求的值． 【答案】(1) (2)①存在，的值为或或；②的值为 【分析】本题考查平角的定义、角平分线的定义、一元一次方程的应用；学会用分类讨论的思想是解决本题的关键； （1）根据平角的定义及得，再根据平分即可得； （2）①分三种情况讨论：平分时，；平分时，；平分时，；每种情况分别列出关于t的方程求解即可；②根据题意用分别表示出和，再代入求解即可． 【详解】（1）解：， 理由如下： 因为， 所以，， 因为平分，所以， 所以， 故答案为∶； （2）①存在； 理由如下：当平分时，，即，解得， 当平分时，，即，解得， 当平分时，，即．解得， 综上所述，的值为或或； ②因为，， 所以， 所以的值为． 8．（23-24七年级上·河南信阳·期末）将一副直角三角板按图1所示摆放在直线 上（直角三角板直角三角板， ），保持板不动，将三角板 绕点 O 以每秒： 的速度顺时针方向旋转t秒． (1)如图2，当 ____秒时，平分 ； (2)继续旋转三角板，如图3，使得 同时在直线 的右侧，猜想与有怎样的数量关系，并说明理由；（数量关系中不能含 t） (3)直线的位置不变，在三角板开始顺时针旋转的同时，另一个三角板也绕点 O 以每秒的速度顺时针旋转，当旋转至射线上时，两个三角板停止运动．当t为多少时， ？ 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)或 【分析】本题考查角的计算，认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系是解题的关键． （1）根据角平分线的定义得 根据题意求解即可． （2）根据题意得，进而求得． ，即可得到结论； （3）根据题意得，求得． ，分情况列方程求解即可得到结论． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：，理由如下： ∵ ∴ ∵ ∴； （3）解：∵，， 或 解得 或 9．（23-24七年级上·陕西榆林·期末）已知，三角形纸板可以绕点O在内任意旋转，且始终保持平分，平分． (1)如图1，当与重合时，求的度数． (2)如图2，当三角形纸板绕点O在内旋转时，请判断的大小是否会随的位置的变化发生改变？并说明理由． (3)在三角形纸板旋转过程中，当时，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)不会随位置的变化发生改变，见解析 (3)或 【分析】本题考查了角的计算，角平分线的定义，等量代换及准确识图是解题的关键．注意使用分类讨论思想． （1）通过平分，平分，，分别求出，即可求解； （2）通过平分，平分，表示出由即可求解； （3）由（2）结合可得，分在右侧，在左侧两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：与重合，，平分， ． ，平分， ， ； （2）不会随位置的变化发生改变． 理由：平分， 平分， ， 故不会随位置的变化发生改变； （3）由（2）可知，，，， ， ． 如图1， 当在右侧时，． ， ． 如图2， 当在左侧时，， ， ． 综上所述，的度数为或． 10．（23-24七年级上·吉林长春·期末）已知是一个直角，作射线，再分别作和的平分线、． (1)如图①，当时，则的度数为_________________； (2)如图②，当射线在内绕点旋转时，的大小是否发生变化．若变化，说明理由；若不变，求的度数； (3)当射线在外绕点旋转时，请直接写出的度数_______________． 【答案】(1) (2)不变 (3)或 【分析】考查了角的计算，正确作图，熟记角的特点与角平分线的定义是解决此题的关键． （1）根据分别平分和，以及，即可得出与的度数； （2）结合角的特点，求得结果进行判断和计算； （3）正确做出图形，判断大小即可． 【详解】（1）∵， ∵、分别平分和， （2）不变， 理由：分别平分 ； 故的大小不发生变化． （3）当旋转到左上方时，； 如图： 分别平分 ； 当旋转到左下方时，如图： 分别平分 ； 当旋转到右下方时，如图， 分别平分 ； 综上所述，或． 11．（23-24七年级上·贵州贵阳·期末）已知 ，按如图①所示摆放，将边重合在直线上，边在直线的两侧． (1)保持不动，将绕点O旋转至如图②所示的位置，则　 　，　 　； (2)若按每分钟的速度绕点O逆时针方向旋转，按每分钟的速度也绕点O逆时针方向旋转，旋转到射线上时都停止运动，设旋转时间为t分钟． 求的大小（用t的代数式表示）； (3)保持不动，将绕点O逆时针方向旋转，若射线平分，射线平分，求的大小． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）①将转化为即可得；②依据、，将原式转化为计算可得； （2）设运动时间为t秒，，只需表示出即可得出答案，而在与相遇前、后表达式不同，故需分与相遇前后即和两种情况求解； （3）设绕点O逆时针旋转，则也绕点O逆时针旋转，再分①射线在射线同侧；②射线在射线异侧，分别求解即可． 【详解】（1）① ， ② ； 故答案为：； （2） 设旋转时间为t秒，则，， ①时，与相遇前，， ∴； ②时，与相遇后，， ∴； （3） 设绕点O逆时针旋转，则也绕点O逆时针旋转， ①时，如图①， 在射线同侧， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵，平分， ∴ ∴， ∴； ②时，如图②， 在射线异侧， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵，平分， ∴ ∴， ∴． 综上，． 【点睛】本题考查了角的计算，解题的关键是掌握角的和差计算、角平分线的定义及分类讨论思想的运用． 12．（23-24七年级上·河南新乡·期末）操作：在一张白纸上画一条直线，把一块直角三角板的直角顶点放在直线上． (1)如图（1），当点都在直线上方时，试判断与的度数之和是多少，并说明理由； (2)如图（2），把直角三角板绕点C旋转，使点A在直线的下方，点仍在直线的上方，用测量或分析的方法完成下表，并判断与的数量关系．结论：______； 的度数 的度数 与的差 (3)如图（3），继续把直角三角板绕点C旋转，使点A和点B都在直线的下方，你发现与又有什么样的数量关系呢？请直接写出结论：______． 【答案】(1)，理由见解析 (2)表格见解析 (3) 【分析】本题主要考查了几何图形中角的计算，三角板中角的计算，解题的关键是数形结合，熟练掌握各个角之间的数量关系． （1）根据进行解答即可； （2）根据图形，求出，然后根据平角再求出即可； （3）根据，，进行解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即． （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 的度数 的度数 与的差 （3）解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：． 13．（23-24七年级上·贵州遵义·期末）请阅读以下信息：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所组成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的“内半角”．如图①，若射线，在的内部，且，则称是的“内半角”． 请根据以上信息，解决下面的问题： (1)如图①，，．若是的“内半角”，则_______． (2)如图②，已知，将绕点O按顺时针方向旋转一个角度至，即，其中．若是的“内半角”，求的度数． (3)把一块含的三角板按如图③方式放置，使边与边重合，边与边重合．如图④，将三角板绕顶点O以每秒的速度按顺时针方向旋转一周，旋转时间为t秒．当射线，，，构成“内半角”时，请直接写出t的值． 【答案】(1)(2)(3)t的值为或30 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算： （1）根据题意算出的度数，利用即可算出的度数； （2）根据旋转性质可推出和，然后可用含有α的式子表示和的度数，根据是的内半角，即可求出α的值； （3）根据旋转一周构成内半角的情况总共有两种，分别画出图形，求出对应t值即可． 【详解】（1）解：∵是的内半角，， ∴，∴，故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∵是的内半角，∴，即，解得：，∴α的值为； （3）解：①如图所示，此时是的内半角， 由旋转性质可知：， ∴， ∵是的内半角，∴，即，解得：； ②如图所示，此时是的半角， 由旋转性质可得：， ∴， ∵是的内半角，∴，即，解得：； 综上所述：当射线构成内半角时，t的值为或30． 14．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）已知一副三角板按图1所示摆放，，，，将、边重合在直线上，、边在直线的两侧．保持不动． (1)在图1中，______； (2)将绕点旋转至如图2所示的位置，则______； (3)将绕点逆时针方向旋转到边平分时，求旋转角的度数？ (4)将绕点逆时针方向旋转时，直接写出与的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) (4)当时，；当时， 【分析】本题主要考查角之间的和差关系、一元一次方程的应用，熟练掌握角度之间的关系是解题的关键． （1）根据角的和差关系求解； （2）将变形为求解； （3）设旋转角度为，平分时，，据此列方程，即可求解； （4）分和两种情况，用含n的式子表示出与的度数，即可求解． 【详解】（1）解：图1中，， 故答案为：； （2）解：， 故答案为：； （3）解：平分时，， 设旋转角度为，， ， 解得， 即旋转角的度数为； （4）解：当时，，， ； 当时，，， ； 综上可知，当时，；当时，． 15．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）（1）已知：如图1，是直角三角板斜边上的一个动点，、分别是和的平分线．当点在斜边上移动时，　　； （2）把直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上： ①点和点在直线的上方（如图），此时与的数量关系是　　； ②当把这把直角三角板绕顶点旋转到点在直线的下方、点仍然在直线的上方时（如图），与的数量关系是　　； ③当把这把直角三角板绕顶点旋转到点和点都在直线的下方时（如图），与的数量关系是　　． 【答案】（1）；（2）①；②；③ 【分析】本题考查与三角板有关的计算，与角平分线有关的计算： （1）根据角平分线的定义和角的和差关系进行求解即可； （2）①根据平角的定义，即可得出结论； ②根据角的和差关系进行求解即可； ③根据角的和差关系进行求解即可． 【详解】解：（1）如图1，的大小不会发生变化，理由如下： 、分别是和的平分线， ，， ； （2）①当点和点在直线的上方时（如图，； ②当点在直线的下方，点仍然在直线的上方时（如图， ，， ； ③当点和点都在直线的下方时（如图， ，， ． 故答案为：45；，，． 16．（2024七年级上·重庆·专题练习）已知O为直线上的一点，． (1)如图①，以O为观察中心，射线表示正北方向，表示正东方向． ①若，则射线的方向是_________； ②与的关系为_________； ③与的关系为_________． (2)若将射线、射线绕点O旋转至如图②所示的位置，另一条射线恰好平分．若，求的度数； (3)若将射线、射线绕点O旋转至如图③所示的位置，射线仍然平分与之间存在怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】(1)①北偏东；②相等；③互补 (2) (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查了方向角的定义，以及角平分线的定义，余角与补角的性质，对定义的熟练掌握是解题关键． （1）①根据方向角的定义即可求解； ②根据同角的余角相等即可得出结论； ③先根据同角的余角相等得出，再根据两角互补的定义即可得出结果； （2）①根据同角的余角可知，又根据角平分线的定义可得，两式相减即可得出结果； （3）根据角的和差，以及角平分线的定义即可求解． 【详解】（1）解：①∵， ∴射线的方向是北偏东； ②∵由题意知，， ∴； ③由题意知，， ∴， 又， ∴． 即与的关系为互补． 故答案为：①北偏东；②相等；③互补； （2）由题意知，， ∴． ∵恰好平分， ∴， ∴， ∴． （3），理由如下： ∵为的平分线， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 17．（23-24七年级上·辽宁沈阳·期末）【思路导引】几何图形的运动中伴随着一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”．遇这类问题的分析思路是：了解图形运动的全过程，“动中见静”，寻找运动变化的过程中不变性及变化规律．如“角”，可以看成是由一条射线绕它的端点旋转而成的． 【问题情境】已知：是由射线绕点O旋转而成，始边与终边所成的角的度数为α（α为锐角），射线，绕点O运动． 【特例感知】（1）如图1，射线是的角平分线，若，求∠AOE的度数； （2）如图2，射线OE在的内部时，射线平分，射线平分，求的度数．（用含α的代数式表示） 【探索发现】（3）射线、射线绕点O运动到直线上方，且射线与射线在射线的两侧，的度数为，射线在的内部，的度数为m，平分，求的度数．（用含m，n，α的代数式表示） 【答案】（1）；（2）；（3）或或． 【分析】本题考查了角的计算，角平分线的定义，分类讨论思想，观察图形得出角之间的数量关系是解题的关键。 （1）根据角平分线的定义计算即可； （2）根据角平分线的定得出，即可得出，从而求出的度数。 （3）先求出的度数，根据角平分线的定义求出的度数，再根据图形分情况讨论计算即可 【详解】解：（1）射线是的角平分线， ， ， ， ； （2）射线平分，射线平分∠BOE， ， ， ； （3）如图3， ，， ， 平分， ， ， ； 如图4， ，， ， 平分， ， ， ； 如图5， ，， ， 平分， ， ， ； 综上，的度数为或或． 18．（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）已知、共顶点O，平分，平分．    (1)如图1，当与重合时，若，，求的度数； (2)将绕点O逆时针旋转一个角α至图2所示位置，设，求的度数（用、表示）； (3)在（1）条件下，将从图1所示位置逆时针以每秒2°的速度旋转，设运动时间为秒（），当时，的值为 　 　．（直接写出答案） 【答案】(1)10度 (2) (3)5或75 【分析】（1）根据角平分线定义及角的和差关系即可求得答案； （2）根据角平分线定义及角的和差关系即可求得答案； （3）分四种情况：①当时，②当时，③当时，④当时，分别根据角平分线定义及角的和差关系即可求得答案； 【详解】（1）解：如图1，    ∵平分，平分，与重合， ∴，， ∴； （2）如图2，    ∵平分，平分， ∴，， ∴ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝， ∵绕点O逆时针旋转一个角， ∴， ∵， ∴； （3）①当时，如图3，    由题可知，， 则，， ∵平分，平分， ∴，， ∴ ， ∵， ∴， 解得：； ②当时，如图4，    由题可知，， 则，， ∵平分，平分， ∴，， ∴ ， ∵， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）； ③当时，如图5，    由题可知，， 则，， ∵平分，平分， ∴，， ∴ ， ∵， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）； ④当时，如图6，    由题可知，，则，， ∵平分，平分， ∴∴，， ∴， ∵，∴，解得：； 综上，t的值为或，故答案为：或． 【点睛】本题考查了角的计算，角平分线的定义．本题是探究型题目，利用类比的方法解答是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 角度中的四类动态模型 角度的动态（旋转）模型属于七年级上期必考压轴题型，是尖子生必须要攻克的一块重要内容，对考生的综合素养要求较高。绝大部分学生对角度旋转问题信心不足，原因就是很多角度旋转问题需要自己画出图形，与分类讨论思想、数形结合思想等结合得很紧密，思考性强，难度大。本专题重点研究与角有关的旋转模型（求值模型；定值模型；探究模型；分类讨论模型）。 1 模型1.旋转中的求值模型 1 模型2.旋转中的定值模型 3 模型3.旋转中的探究类模型（判断角的数量之间的关系） 4 模型4.旋转中的分类讨论模型 6 7 模型1.旋转中的求值模型 1、角度旋转模型解题步骤： ①找——根据题意找到目标角度；②表——表示出目标角度： 1）角度一边动另一边不动，角度变大：目标角=起始角+速度×时间； 2）角度一边动另一边不动，角度变小：目标角=起始角—速度×时间； 3）角度一边动另一边不动，角度先变小后变大。 变小：目标角=起始角—速度×时间；变大：目标角=速度×时间—起始角 ③列——根据题意列方程求解。 注：①注意题中是否确定旋转方向，未确定时要分顺时针与逆时针分类讨论；②注意旋转角度取值范围。 2、常见的三角板旋转模型： 一副三角板有两个，一个是等腰直角三角板(90°、45°、45°)，另一个是含特殊角的直角三角板(90°、60°、30°)。三角板的旋转中隐藏的条件就是上面所说的这几个特殊角的角度。 总之不管这个角如何旋转，它的角度大小是不变的，旋转的度数就是组成角的两条射线旋转的度数（角平分线也旋转了同样的度数）。抓住这些等量关系是解题的关键，三角板只是把具体的度数隐藏了起来。 例1．（23-24七年级上·河北唐山·期中）综合与实践 【问题情境】利用旋转开展数学活动，探究体会角在旋转过程中的变化， 【操作发现】如图①，且两个角重合．（1）将绕着顶点O顺时针旋转如图②，此时OB平分 ；的余角有 个，分别是： ． 【实践探究】（2）将绕着顶点O顺时针继续旋转如图③位置，若，射线OE在内部，且请探究：①的补角是哪几个角？ ．②求的度数．    例2．（2023·湖南株洲·七年级期末）点为直线上一点，过点作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点处．(1)如图1，当三角板的一边与射线重合时，则________； (2)如图2，将三角板绕点逆时针旋转一定角度，此时是的平分线，求和的度数；(3)将三角板绕点逆时针旋转至图3所示的位置时，，求的度数． 模型2.旋转中的定值模型 例1．（23-24七年级上·广东汕头·期末）如图，，角的顶点互相重合，将绕点旋转．(1)当射线，重合时，______，(2)在绕点旋转的过程中，若射线，与中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线，则的度数为______； (3)在绕点旋转的过程中，若射线始终在的内部．①普于思考的小明发现，在旋转过程中，的值为定值，请你求出这个定值；②作和的平分线，，在旋转过程中的值是否发生变化？若不变，请求出这个定值，若变化，请求出变化的范围． 例2．（2023·河南南阳·七年级校考期末）将一副三角尺如图①摆放，，，现将绕点C以/秒的速度逆时针方向旋转，旋转时间为秒． (1)如图②，当______时，恰好平分；(2)如图③，当______时，恰好平分； (3)如图④，当______时，恰好平分； (4)绕点C旋转到如图⑤的位置，平分，平分，求的度数； (5)若旋转到如图⑥的位置，（4）中结论是否发生变化？请说明理由．    例3．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）已知，为内部的一条射线，． (1)如图1，若平分，为内部的一条射线，，则 ； (2)如图2，若射线绕着O点从开始以每秒的速度顺时针旋转至结束、绕着O点从开始以每秒的速度逆时针旋转至结束，当一条射线到达终点时另一条射线也停止运动．若运动时间为t秒，当时，求t的值； (3)如图3，若射线绕着O点从开始以每秒的速度逆时针旋转至结束，在旋转过程中，平分，试问：在某时间段内是否为定值？若不是，请画出图形，并说明理由；若是，请画出图形，并直接写出这个定值以及t相应所在的时间段．（题中的角均为大于且小于的角） 模型3.旋转中的探究类模型（判断角的数量之间的关系） 例1．（23-24七年级下·辽宁鞍山·开学考试）在一次数学实践探究活动中，小明和他的同伴们将一个直角三角尺按如图所示方式放置，发现了其中的奥秘．(1)如图①，三角尺的直角顶点P在直线上，点A，B在直线的同侧．若，求度数．(2)绕点P旋转三角尺，使点A，B在直线的同侧，如图②，若平分，平分，他们发现的度数为定值，请你求出这个定值．(3)绕点P旋转三角尺，使点A，B在直线的异侧，平分，平分，设，如图③，探究的度数． 例2．（23-24七年级上·河北石家庄·期末）如图1，将一副直角三角板摆放在直线上（直角三角板和直角三角板），，，，保持三角板不动，将三角板绕点O以每秒的速度顺时针旋转（如图2），旋转时间为t（）秒． 计算  当平分时，求t的值；判断  判断与的数量关系，并说明理由； 操作  若在三角板开始旋转的同时，另一个三角板也绕点O以每秒的速度顺时针旋转，当三角板停止时，三角板也停止，直接写出在旋转过程中，与的数量关系．      例3．（23-24七年级上·贵州黔西·期末）如图，大课间的广播操展让我们充分体会到了一种整体的图形之美，洋洋和乐乐想从数学角度分析下如何能让班级同学们的广播操做得更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图，为了方便研究，定义两手手心位置分别为，两点，两脚脚跟位置分别为，两点，定义，，，平面内为定点，将手脚运动看作绕点进行旋转： (1)填空：如图，，，三点共线，且，则______°； (2)第三节腿部运动中，如图，洋洋发现，虽然，，三点共线，却不在水平方向上，且，他经过计算发现，的值为定值，请判断洋洋的发现是否正确，如果正确请求出这个定值，如果不正确，请说明理由；(3)第四节体侧运动中，乐乐发现，两腿左右等距张开且，开始运动前、、三点在同一水平线上，、绕点顺时针旋转，旋转速度为，旋转速度为，当旋转到与重合时，运动停止，如图．运动停止时，直接写出______；请帮助乐乐求解运动过程中与的数量关系．    模型4.旋转中的分类讨论模型 例1．（23-24七年级上·陕西汉中·期末）【问题背景】如图1，已知射线在的内部，若，和三个角中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“量尺金线”． 【问题感知】（1）一个角的平分线________这个角的“量尺金线”；（填“是”或“不是”） 【问题初探】（2）如图2，．若射线是的“量尺金线”，则的度数为________； 【问题推广】（3）在（2）中，若，，射线从位置开始，以每秒旋转的速度绕点P按逆时针方向旋转，当首次等于时停止旋转，设旋转的时间为．当t为何值时，射线是的“量尺金线”？（用含x的式子表示出t即可） 例2．（23-24七年级上·广东深圳·期末）如图1，某校七年级数学学习小组在课后综合实践活动中，把一个直角三角尺的直角顶点O放在互相垂直的两条直线、的垂足O处，并使两条直角边落在直线、上，将绕着点O顺时针旋转． (1)如图2，若，则______，______； (2)若射线是的角平分线，且． ①旋转到图3的位置，的度数是多少？（用含的代数式表示） ②在旋转过程中，若，则此时的值．    1．（23-24七年级上·江苏泰州·期末）如图，于点，，射线从出发，绕点以每秒的速度顺时针向终边旋转，同时，射线从出发，绕点以每秒的速度顺时针向终边旋转，当、中有一条射线到达终边时，另一条射线也随之停止．在旋转过程中，设，，则与之间的数量关系为 ． 2．（23-24七年级·江西南昌·期末）如图，直线与相交于点O，，平分，，平分．若射线从射线的位置出发，绕点O以每秒的速度逆时针旋转一周，当旋转时间为t秒时，三条射线中恰好有一条射线是另外两条射线所组成的角的平分线，请写出旋转时间t的值为 秒．（旋转过程中，，都只考虑小于的角）    3．（22-23七年级上·湖北武汉·期末）如图，．若在平面内绕点O旋转，分别作和平分线OP、OQ，则的度数为 ． 4．（2023·广东·七年级专题练习）一副三角板与如图摆放，且，，，平分，平分．当三角板绕点顺时针旋转（从图到图）．设图、图中的的度数分别为，， 度．    5．（23-24七年级下·河南郑州·开学考试）如图，和都是直角．固定不动，将绕点O旋转，在旋转过程中，下列结论正确的有 ． ①如果，那么；②是定值 ③若变小，则变大；④ 6．（23-24七年级上·广东广州·期末）如图，点为直线上一点，将一直角三角板的直角顶点放在点处，是直角，平分． (1)如图1，若，求的度数；(2)如图2，若，求的度数； (3)当时，三角板绕点以每秒6沿逆时针方向旋转秒（），请探究和之间的数量关系． 7．（23-24七年级上·吉林白山·期末）如图1，直线上有一点O，过点O在直线上方作射线，将一个直角三角尺的直角顶点放在点O处，一条直角边在射线上，另一边在直线上方，将直角三角尺绕着点O按每秒的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为t秒． (1)当直角三角尺旋转到图2所示的位置时，恰好平分，此时，与之间的数量关系是____________．(2)若射线的位置保持不变，且．①在旋转过程中，是否存在某个时刻，使得射线，，中的某一条射线是另两条射线所夹角的平分线？若存在，请求出所有满足题意的的取值；若不存在，请说明理由．②在旋转的过程中，当边与射线相交时（如图3），求的值． 8．（23-24七年级上·河南信阳·期末）将一副直角三角板按图1所示摆放在直线 上（直角三角板直角三角板， ），保持板不动，将三角板 绕点 O 以每秒： 的速度顺时针方向旋转t秒． (1)如图2，当 ____秒时，平分 ； (2)继续旋转三角板，如图3，使得 同时在直线 的右侧，猜想与有怎样的数量关系，并说明理由；（数量关系中不能含 t） (3)直线的位置不变，在三角板开始顺时针旋转的同时，另一个三角板也绕点 O 以每秒的速度顺时针旋转，当旋转至射线上时，两个三角板停止运动．当t为多少时， ？ 9．（23-24七年级上·陕西榆林·期末）已知，三角形纸板可以绕点O在内任意旋转，且始终保持平分，平分． (1)如图1，当与重合时，求的度数．(2)如图2，当三角形纸板绕点O在内旋转时，请判断的大小是否会随的位置的变化发生改变？并说明理由．(3)在三角形纸板旋转过程中，当时，请直接写出的度数． 10．（23-24七年级上·吉林长春·期末）已知是一个直角，作射线，再分别作和的平分线、． (1)如图①，当时，则的度数为_________________； (2)如图②，当射线在内绕点旋转时，的大小是否发生变化．若变化，说明理由；若不变，求的度数；(3)当射线在外绕点旋转时，请直接写出的度数_______________． 11．（23-24七年级上·贵州贵阳·期末）已知 ，按如图①所示摆放，将边重合在直线上，边在直线的两侧．(1)保持不动，将绕点O旋转至如图②所示的位置，则　 　，　 　；(2)若按每分钟的速度绕点O逆时针方向旋转，按每分钟的速度也绕点O逆时针方向旋转，旋转到射线上时都停止运动，设旋转时间为t分钟．求的大小（用t的代数式表示）；(3)保持不动，将绕点O逆时针方向旋转，若射线平分，射线平分，求的大小． 12．（23-24七年级上·河南新乡·期末）操作：在一张白纸上画一条直线，把一块直角三角板的直角顶点放在直线上． (1)如图（1），当点都在直线上方时，试判断与的度数之和是多少，并说明理由； (2)如图（2），把直角三角板绕点C旋转，使点A在直线的下方，点仍在直线的上方，用测量或分析的方法完成下表，并判断与的数量关系．结论：______； 的度数 的度数 与的差 (3)如图（3），继续把直角三角板绕点C旋转，使点A和点B都在直线的下方，你发现与又有什么样的数量关系呢？请直接写出结论：______． 13．（23-24七年级上·贵州遵义·期末）请阅读以下信息：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所组成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的“内半角”．如图①，若射线，在的内部，且，则称是的“内半角”． 请根据以上信息，解决下面的问题： (1)如图①，，．若是的“内半角”，则_______． (2)如图②，已知，将绕点O按顺时针方向旋转一个角度至，即，其中．若是的“内半角”，求的度数． (3)把一块含的三角板按如图③方式放置，使边与边重合，边与边重合．如图④，将三角板绕顶点O以每秒的速度按顺时针方向旋转一周，旋转时间为t秒．当射线，，，构成“内半角”时，请直接写出t的值． 14．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）已知一副三角板按图1所示摆放，，，，将、边重合在直线上，、边在直线的两侧．保持不动． (1)在图1中，______；(2)将绕点旋转至如图2所示的位置，则______； (3)将绕点逆时针方向旋转到边平分时，求旋转角的度数？ (4)将绕点逆时针方向旋转时，直接写出与的数量关系． 15．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）（1）已知：如图1，是直角三角板斜边上的一个动点，、分别是和的平分线．当点在斜边上移动时，　　； （2）把直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上： ①点和点在直线的上方（如图），此时与的数量关系是　　； ②当把这把直角三角板绕顶点旋转到点在直线的下方、点仍然在直线的上方时（如图），与的数量关系是　　； ③当把这把直角三角板绕顶点旋转到点和点都在直线的下方时（如图），与的数量关系是　　． 16．（2024七年级上·重庆·专题练习）已知O为直线上的一点，． (1)如图①，以O为观察中心，射线表示正北方向，表示正东方向． ①若，则射线的方向是_________；②与的关系为_________； ③与的关系为_________． (2)若将射线、射线绕点O旋转至如图②所示的位置，另一条射线恰好平分．若，求的度数； (3)若将射线、射线绕点O旋转至如图③所示的位置，射线仍然平分与之间存在怎样的数量关系？请说明理由． 17．（23-24七年级上·辽宁沈阳·期末）【思路导引】几何图形的运动中伴随着一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”．遇这类问题的分析思路是：了解图形运动的全过程，“动中见静”，寻找运动变化的过程中不变性及变化规律．如“角”，可以看成是由一条射线绕它的端点旋转而成的． 【问题情境】已知：是由射线绕点O旋转而成，始边与终边所成的角的度数为α（α为锐角），射线，绕点O运动． 【特例感知】（1）如图1，射线是的角平分线，若，求∠AOE的度数； （2）如图2，射线OE在的内部时，射线平分，射线平分，求的度数．（用含α的代数式表示） 【探索发现】（3）射线、射线绕点O运动到直线上方，且射线与射线在射线的两侧，的度数为，射线在的内部，的度数为m，平分，求的度数．（用含m，n，α的代数式表示） 18．（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）已知、共顶点O，平分，平分．    (1)如图1，当与重合时，若，，求的度数； (2)将绕点O逆时针旋转一个角α至图2所示位置，设，求的度数（用、表示）； (3)在（1）条件下，将从图1所示位置逆时针以每秒2°的速度旋转，设运动时间为秒（），当时，的值为 　 　．（直接写出答案） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$