专题01 绝对值中的八类最值模型（几何模型讲义）数学人教版2024七年级上册

专题01 绝对值中的八类最值模型 最值问题一直都是初中数学的最难点之一，但也是高分的必须突破点，而绝对值中的最值模型是初中学生第一次接触最值类问题，该类最值模型主要依据绝对值的几何意义或代数意义，考查分类讨论和数形结合的数学思想。需要牢记绝对值中的最值情况规律，解题时能达到事半功倍的效果。本专题就绝对值中的八类最值模型进行梳理及对应试题分析，方便大家掌握。 1 模型来源 2 真题现模型 2 提炼模型 3 模型拓展 4 模型运用 4 模型1.的最小值模型 4 模型2.的最小值和最大值模型 6 模型3.的最小值模型 7 模型4.系数不为“1”的绝对值（和、差类）最值模型 12 模型5.型或型最值模型 14 模型6.绝对值最值模型的实际应用 15 模型7.绝对值相关运算与最值问题 18 模型8.绝对值最值中的新定义问题 21 25 绝对值最值问题的历史发展脉络源于几何直观与代数研究的结合，其核心理论随数学分析的发展逐步完善。绝对值的概念源于物理学中的距离概念，表示一个数到原点的距离。在数学中，绝对值用于表示一个数到数轴原点的距离，因此绝对值总是非负的。这一性质使得绝对值在数学分析中有着广泛的应用，特别是在处理不等式和最值问题时显得尤为重要。在解决含绝对值的代数式最值问题时，可以利用绝对值的几何意义或零点分段法，整体来说绝对值的几何意义较为简单适用。 （2025·山东青岛·校考一模）【问题提出】的最小值是多少？ 【阅读理解】为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手．的几何意义是这个数在数轴上对应的点到原点的距离，那么可以看作这个数在数轴上对应的点到1的距离；就可以看作这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和，下面我们结合数轴研究的最小值． 我们先看表示的点可能的3种情况，如图所示： 如图①，在1的左边，从图中很明显可以看出到1和2的距离之和大于1． 如图②，在1，2之间（包括在1，2上），可以看出到1和2的距离之和等于1． 如图③，在2的右边，从图中很明显可以看出到1和2的距离之和大于1.因此，我们可以得出结论：当在1，2之间（包括在1，2上）时，有最小值1． 【问题解决】(1)的几何意义是 ，请你结合数轴研究：的最小值是 ； (2)请你结合图④探究的最小值是 ，由此可以得出a为 ； (3)的最小值是 ；(4)的最小值为 。 【答案】(1)a在数轴上对应的点到4和7两个点的距离之和；3；(2)2；2；(3)6；(4)1025156。 【详解】（1）由题可知，的几何意义是a这个数在数轴上对应点到4和7两个点的距离之和 当a在4和7之间时（包括4，7上），a到4和7的距离之和等于3，此时取得最小值是3 故答案为：a在数轴上对应的点到3和6两个点的距离之和；3 （2）当a取中间数2时，绝对值最小；的最小值是1＋0＋1＝2故答案为：2；2 （3）当a取最中间数时，绝对值最小；的最小值是 ； （4）当a取中间数1013时，绝对值最小， 的最小值为： 故答案为：1025156. （2024·四川成都·三模）函数的最小值为3，则a的值为 ． 【答案】或 【详解】解：∵ ∴根据绝对值的意义，是指到和到的距离之和 ∵函数的最小值为3，∴此时在和的之间，且是和的之间的距离为3 即∴∴或故答案为：或． 知识储备：①绝对值具有非负性，即； ②绝对值的几何意义：表示数轴上的有理数a所对应的点到原点的距离； 表示数轴上的有理数x所对应的点到有理数a所对应的点的距离。‌ 1.求的最小值，即在数轴上找一点x，使x到a和b的距离和的最小值。 结论：根据绝对值的几何意义知：在时，取得最小值为。 另解：也可用绝对值的代数意义（即分类讨论思想）完成绝对值的最值问题。 2.求的最大值或最小值，即在数轴上找一点x，使x到a和b的距离差的取最大值或最小值： 结论：在时，取得最小值为；在时，取得最大值。（几何意义） 3.的最小值模型 结论：找到上述式子中的‬零点，按从小到大‬排序（不妨假设）‬，借助数轴容易得到： ‬当n‬奇数‬时‬‬，则x取‬中间数（）‬时‬取得‬最小值‬； ‬当n‬‬偶数时‬，‬则‬x取‬中间‬段（）‬时‬取得‬最小值‬。 规律可总结为：“奇中点，偶中段”。 4.型或型最值模型 1）：当a＞0时，∵，∴，即取得最小值为b； 当a＜0时，∵，∴，即取得最大值为b。 2）：当a＞0时，∵，∴，即取得最小值为b； 当a＜0时，∵，∴，即取得最大值为b。 5.系数不为“1”的绝对值（和、差类）最值模型 ①绝对值系数不为“1”：如：｜x-1｜+2｜x-2｜+3｜x-3｜+4｜x-4｜+5｜x-5｜ 解题步骤：第1步：将x平铺展开；第2步：找到每个式子的零点，分别为：1、2、2、3、3、3、4、4、4、4、5、5、5、5、5、5共15个零点；第3步：根据“奇中点，偶中段”，在第八个数时，即x=4时，有最小值，带入x=4，最小值为15。 ②x系数不为“1”：如：求｜2x-4｜+｜5x+5｜的最小值。 解题步骤：第1步：x的系数不为1，所以首先‬第一步‬想办法把x的系数化为1，采用提取公因数的方法（或乘法分配律的逆用）；即：｜2x-4｜+｜5x+5｜=｜2（x-2）｜+｜5（x+1）｜=2｜x-2｜+5｜x+1｜。 第2步：进入①中的三个步骤即可。这时，x的系数已经变成了1，我们就可以展开‬，然后‬利用“奇中点‬，偶中段”来求了‬。解‬得‬当x=-1时‬取得‬最小值，最小值‬为‬6。 另解：上述两类问题也可以采用绝对值的代数意义（根据零点分区讨论）求解。 模型1.的最小值模型 例1（24-25七年级上·北京·期中）我们知道，的几何意义是：在数轴上数a对应的点到原点的距离．类似的，的几何意义就是：数轴上数x、y对应点之间的距离．比如：2和两点之间的距离可以用表示，数x对应的点到1和3的距离的和可以用表示．则表示的几何意义是 ，该式子的最小值是 ． 【答案】 数m对应的点到1和的距离的和， 【详解】解：表示的几何意义是数m对应的点到1和的距离的和， 则当数m在1和之间时，距离和最小，式子的最小值是， 故答案为：数m对应的点到1和的距离的和，． 例2（24-25七年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）在有理数的绝对值的学习中，我们知道是在数轴上表示数的点到原点的距离，即表示，类比绝对值的意义，可知就是在数轴上表示数x的点到表示数的点的距离，当取得最小值时，的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【详解】解：∵就是在数轴上表示数x的点到表示数的点的距离， 就是在数轴上表示数x的点到表示数2的点的距离，∴当x的取值范围是时，取的最小值，即表示数的点到表示数2的点的距离．故选：C． 例3（24-25七年级上·四川南充·期中）规定：，，例如，．下列结论中，正确的序号为 ． ①若，则；②若，则；③式子的最小值是7． 【答案】①②③ 【详解】解：①∵，即，∴，， ∴，，∴，∴①正确； ②∵，∴，∴②正确； ③，它的几何意义是数轴上表示的点到表示3的点与到表示的点的距离之和，∴当表示x的点位于表示3的点与表示的点之间时，其距离之和最小，最小值为， ∴④正确．综上，①②③正确．故答案为：①②③． 例4（24-25九年级上·江苏南通·期中）已知为互不相等的三个有理数，且，若式子的最小值为4，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：由绝对值的几何意义可知，表示的是数轴上表示数x的点到表示数a的点和到表示数b的点的距离的和， ∵，∴当时，有最小值，最小值为， ∵的最小值为4，∴，即，∴，故答案为：． 例5（2024·四川成都·三模）函数的最小值为3，则a的值为 ． 【答案】或 【详解】解：∵∴根据绝对值的意义，是指到和到的距离之和 ∵函数的最小值为3，∴此时在和的之间，且是和的之间的距离为3 即∴∴或 故答案为：或． 模型2.的最小值和最大值模型 例1（23-24七年级上·湖北武汉·期末）数轴上点A、B表示的数为a、b，则A、B两点之间的距离可表示为线段，如：数轴上表示数x的点与表示数的点之间的距离为．代数式的最大值等于 ． 【答案】5 【详解】解：当时，； 当时，，当时，有最大值5； 当时，． 综上， 的最大值为5．故答案为5． 例2（2024·广东七年级期中）代数式，当时，可化简为______；若代数式的最大值为与最小值为，则的值______． 【答案】     3     -9 【详解】解：法1：当时，x-1＜0，x+2＜0，∴， 当时，， 当x＞1时， ∵当时，，∴代数式的最大值为3，最小值为-3， ∴a=3，b=-3，∴ab=-9，故答案为：3，-9． 法2：解：∵式子|x﹣1|﹣|x+2|可看作是数轴上表示x的点到-2、1两点的距离之差， ∴当x≤﹣2时，|x﹣1|﹣|x+2|有最大值3；当x≥1时，|x﹣1|﹣|x+2|有最小值-3； ∵代数式|x﹣1|﹣|x+2|的最大值为a，最小值为b，∴a=3，b=-3，∴ab=-9，故答案为：3，-9． 例3（2024·广西·七年级专题练习）我们知道，的几何意义是数轴上表示数a的点与原点的距离，一般地，点A，B在数轴上分别表示数a，b，那么A，B之间的距离可表示为|a-b|，请根据绝对值的几何意义并结合数轴解答下列问题：（1）数轴上的数x与1所对应的点的距离为____，数x与-1所对应的点的距离为____； （2）求的最大值； （3）直接写出的最大值为______． 【答案】（1）|x-1|，|x+1|；（2）2；（3）20 【详解】（1）由题意得到：数轴上的数x与1所对应的点的距离为， 数x与-1所对应的点的距离为，故答案为：， ； （2）表示x到1之间的距离，表示x到-1之间的距离， ①当x≤-1时，=1-x，=-1-x，∴=（-1-x）-（1-x）=-2； ②当-1≤x≤1时，=1-x，=x+1，∴=（x+1）-（1-x）=2x≤2； ③当x≥1时，=x-1，=x+1，∴=（x+1）-（x-1）=2，∴的最大值为2 （3）由（2）知：的最大值为2，由此可得： 的最大值为4， 的最大值是6，的最大值是8， ∴的最大值是2+4+6+8=20 模型3.的最小值模型 例1（24-25七年级上·陕西汉中·阶段练习）先阅读材料，后探究相关的问题． 【阅读】表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． (1)如图，先在数轴上画出表示2.5的相反数点B，再把点A向左移动1.5个单位，得到点C，则点B表示的数是______，点C表示的数是______，B，C两点之间的距离是______． (2)数轴上分别表示x与的两点F和D之间的距离可表示为______，如果F，D两点之间的距离为3，那么______． (3)若点E表示的数为y，则当______时，与的值相等； (4)要使||取得最小值，相应的z的取值范围是______． (5)当　　时，的值最小，最小值是______． 【答案】(1)，1，3.5；(2)，或2；(3)；(4)；(5)1，9． 【详解】（1）解：如图， 点与点即为所求，点表示的数是，点表示的数是1， ，两点之间的距离是，故答案为：，1，3.5； （2）由题意得和之间的距离可表示为， ，两点之间的距离为3，，解得：或2，故答案为：，或2； （3）与的值相等，则所对应的点到的距离，与所对应的点与2所对应的点的距离相等， 可得，，故答案为：； （4）要使取得最小值，则所对应的点在所对应的点和2所对应的点之间（包含端点）， 的取值范围是． （5）表示在数轴上点 所对应的点分别与 1，，4 所对应的点的距离之和． 当时，的值最小，最小值为9， 当时，的值最小，最小值为0，所以当时，的值最小， 最小值为9．故答案为：1，9． 例2（24-25七年级上·湖南衡阳·期中）如果的最小值是10， 那么 ． 【答案】或6 【详解】解：的几何意义是：数轴上表示数x的点到表示数，3，a的点的距离之和， ①当时， 当时，有最小值，即：，解得：或（舍去）； ②当时， 当时，有最小值，即：，不符合题意； ③当时， 当时，有最小值，即：，解得：或（舍去）； 综上，当或时，的最小值是10．故答案为：或6． 例3（24-25七年级上·广东湛江·期中）先阅读，结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： 【阅读】：表示与差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】：(1)数轴上表示和两点之间的距离是________；一般地、数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果表示数和的两点之间的距离是，那么的值为________． (2)若，，且数、在数轴上表示的点分别是点、点，则、两点间的最大距离是________，最小距离是________； (3)利用数轴找出所有符合条件的整数点，使得，这些点表示的数的和是________． (4)应用：小明妈妈要租房，使小明到学校与妈妈到上班地点距离和最小，若把租房地记作，妈妈上班地点记作，小明学校记作2，那么距离和的最小值是：________． (5)拓展：的最小值是：________． 【答案】(1)，或；(2)，；(3)；(4)；(5)． 【详解】（1）解：数轴上表示和两点之间的距离是； 表示数和的两点之间的距离是，， 整理得：，解得：或；故答案为：；或； （2）解：，，解得：或，，，解得：或， 当，时，，当，时，， 当，时，，当，时，， 、两点间的最大距离是，最小距离是； （3）解：如下图所示，，表示数轴上表示的点到表示数的点之间的距离， 表示数轴上表示的点到表示数的点之间的距离，表示到点和的距离之和等于的点，从数轴上可知，表示数的点在数轴上表示数和之间， 这些点表示的数有、、、、、、、， 这些点表示的数的和是，故答案为：； （4）解：当时，，，，； 当时，，当时，， ，，，距离和的最小值是：； （5）解：由可知当时，有最小值， ， 故答案：． 例4（23-24七年级上·湖北黄石·阶段练习）在数学问题中，我们常用几何方法解决代数问题，借助数形结合的方法使复杂问题简单化． 材料一：我们知道的几何意义是：数轴上表示数a的点到原点的距离；的几何意义是：数轴上表示数a，b的两点之间的距离；的几何意义是：数轴上表示数a，的两点之间的距离；根据绝对值的几何意义，我们可以求出以下方程的解． （1） 解：由绝对值的几何意义知：在数轴上x表示的点到3的距离等于4，∴，； （2） 解：∵，∴其绝对值的几何意义为：在数轴上x表示的点到的距离等于5． ∴，． 材料二：如何求的最小值． 由的几何意义是数轴上表示数x的点到表示数1和两点的距离的和，要使和最小，则表示数x的这点必在和1之间（包括这两个端点）取值． ∴的最小值是3；由此可求解方程，把数轴上表示x的点记为点P，由绝对值的几何意义知：当时，恒有最小值3，所以要使成立，则点P必在的左边或1的右边，且到表示数或1的点的距离均为0.5个单位． 故方程的解为：，． 阅读以上材料，解决以下问题：（1）填空：的最小值为_______； （2）已知有理数x满足：，有理数y使得的值最小，求的值． （3）试找到符合条件的x，使的值最小，并求出此时的最小值及x的取值范围． 【答案】（1）5（2）或9（3）当n是奇数，时，的最小值为；当n是偶数， 时，最的小值为 【详解】解：（1）由阅读材料二可得：的几何意义是数轴上表示数x的点到表示数3和两点的距离的和，要使和最小，则表示数x的这点必在和3之间（包括这两个端点）取值，即． ∴的最小值为5； （2）∵的几何意义是数轴上表示数x的点到表示数10和两点的距离的和，要使和最小，则表示数x的这点必在和10之间（包括这两个端点）取值，即． ∴的最小值为13， 又∵，∴或， ∵表示数轴上表示y到，3，6之间的距离和最小， ∴当时，有最小值7，∴或； （3）的值最小，表示数轴上点x到1，2，3，…，n之间的距离和最小， 当n是奇数时，中间的点为，所以当时， ； ∴当n是奇数，时，的最小值为． 当n是偶数时，中间的两个点相同为， 所以当时，． ∴当n是偶数， 时，最的小值为． 模型4.系数不为“1”的绝对值（和、差类）最值模型 例1（2024·重庆沙坪坝·七年级校考期中）已知为任意有理数，则的最小值为______． 【答案】 【详解】解：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 故答案为： 例2（23-24七年级上·重庆江北·期中）数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作．数轴上表示数的点与表示数的点距离记作，如表示数轴上表示数3的点与表示数5的点的距离，表示数轴上表示数3的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数的点与表示数3的点的距离．根据以上材料回答下列问题：（将结果直接填写在相应位置，不写过程） (1)若，则______；若，则_______． (2)若，则能取到的最小值是_______，最大值是_______． (3)当到取最小值时，则的值为_______． (4)的最小值为_______．(5)若，求的值． 【答案】(1)，(2)，(3)(4)(5)或 【详解】（1）表示数轴上表示x的点到表示和的距离相等， 因此到和距离相等的点表示的数为， 表示数轴上表示x的点到表示和的距离相等， 因此到和距离相等的点表示的数为，故答案为：，； （2）表示的意义是数轴上表示x的点到表示和两点的距离之和为，可得，因此x的最大值为，最小值为；故答案为：，； （3）表示的意义是数轴上表示x的点到表示，和三点的距离之和，根据数轴直观可得，最小值为3，由（2）可知， ∴当取最小值时，，故答案为：； （4） 根据绝对值几何意义，当时，有最小值，最小值为 故 的最小值为：；故答案为:； （5）当 时， ，去绝对值为：， 当 时，去绝对值为：9(不成立)， 当 时，去绝对值为：， ，综上，或． 例3（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）放飞自我：思考：数轴上的个点表示的数分别是，，…，，且，是数轴上一个点，其表示的数是，对于代数式，由绝对值的几何意义可得： 若为奇数时，当时，的值可取到最小；若为偶数，当时，的值可取到最小． (1)求的最小值．(2)求的最小值． 【答案】(1)30(2) 【详解】（1）解：由题意得：当时， 最小，最小值是： ； （2）解： 共个绝对值相加，即时， 最小，令，得： ． 模型5.型或型最值模型 例1（23-24七年级上·四川绵阳·阶段练习）若a是有理数，则的最小值是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】解：∵a是有理数∴可为正数、负数、零 由绝对值的非负性可知：∴ 即：的最小值是 故选：C 例2（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）当 时，有最大值，最大值为 ． 【答案】 1 【详解】解：因为，所以，即， 所以当时，有最大值，故答案为：1，． 例3（2024·广东·七年级校考阶段练习）若a，b为有理数，下列判断正确的个数是（    ） （1）的最小值是2；（2）的最小值是0；（3）的最大值为5；（4）的最大值是2． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】∵，∴≥2，即的最小值是2，(1)正确； ∵， ，∴当即a=0时，，故最小值不是0； 当时，则ab=4，即，即，故最小值不是0；故（2）不正确； 的最小值为5，故（3）错误；的最大值是2，故（4）正确；．故选：B. 例4（24-25七年级上·江西南昌·期中）当式子取最小值时，则 ． 【答案】 【详解】解：，，当式子取最小值时，，， 解得，，，故答案为：． 模型6.绝对值最值模型的实际应用 例1（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）（1）数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．例如数轴上表示数2和5的两点距离为 ；数轴上表示数3和的两点距离为 ； （2）代数式的最小值是 ；此时x的取值范围是 ； （3）代数式的最大值是 ；若，则x的值为 ； （4）在笔直的公路（数轴）一侧有A、B、C、E四个村庄，分别表示数，，3，8，现要在公路上开一家超市，使各村庄到超市的距离和最小，则超市的位置应在哪里，为什么？ 【答案】（1）3，4（2）7；；（3）7，，7；（4）超市的位置在时，各村庄到超市的距离和最小 【详解】解：（1）；；故答案为：3，4； （2）当时，； 当时，； 当时，； 所以，代数式的最小值是7，此时x的取值范围是；故答案为：7；； （3）当时，； 当时，； 当时，；因此，当时，有最大值，为7故答案为：7； 对于方程：，当时，，解得，； 当时，，此时，方程无解； 当时，，解得，， 所以方程解为，，故答案为：，7； （4）设超市的位置对应的数为x，根据题意得： 当时，原式，此时最小值为原式， 当时，原式，当时，原式有最小值，为； 当时，原式； 当时，原式； 当时，原式 ∴当超市的位置在时，各村庄到超市的距离和最小 例2（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）阅读下列材料并解决问题：我们知道：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离，所以式子的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数x的点之间的距离． 根据上述材料，回答下列问题：（1）若，则______；     （2）当x满足条件：_______时，式子有最小值，最小值是______； 应用：某环形道路上顺次排列有四家快递公司：A、B、C、D，它们顺次有快递车16辆，8辆，4辆，12辆，为使各快递公司的车辆数相同，允许一些快递公司向相邻公司调出，问共有多少种调配方案，使调动的车辆数最少？并求出调出的最少车辆数． 【答案】（1）；（2），；（3）共有 5 种调配方案，辆． 【详解】解:（1）表示在数轴上x到和的距离相等，∴，故答案为： （2）∵线段上的点到线段的两端点的距离最小， ∴当时，式子有最小值，最小值是，故答案为：， 应用：根据题意，（辆），（辆），即共有40辆车，每个公司10辆， 共有 5 种调配方案，如下图所示： 由上可知，方案一的调出的车辆数为 辆． 方案二的调出的车辆数为 辆．方案三的调出的车辆数为 辆． 方案四的调出的车辆数为辆．方案五的调出的车辆数为 辆． ∴调出的最小车辆数为：辆． 例3（24-25七年级上·广东梅州·期中）【定义新知】我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数1的点之间的距离．因此，若点、在数轴上分别表示有理数、，则、两点之间的距离．若点表示的数为，请根据数轴解决以下问题： （1）式子在数轴上的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数______的点之间的距离；在数轴上的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数______的点之间的距离； （2）若，则的值为______； （3）当的值最小且为整数时，则的取值可以为______； 【解决问题】（4）如图，一条笔直的公路边有三个居民区、、和市民广场，居民区、、分别位于市民广场左侧，右侧，右侧．鉴于环保之需，现计划在该路段建设一座垃圾中转站，以负责接收并转运上述三个居民区每日产生的生活垃圾．假设生活垃圾的清理运输费用为每公里50元，试问垃圾中转站应选址于这条公路的何处，以实现总运输成本的最小化？最低运输成本是多少元？ 【答案】（1），；（2）或；（3），，，，； （4）垃圾中转站应选址于市民广场右侧，以实现总运输成本的最小化，最低运输成本是元． 【详解】解：（1）由题意可知，式子在数轴上的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离；在数轴上的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离；故答案为：，． （2），即，在数轴上的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离为，所以或，故答案为：或； （3）在数轴上的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离与表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离之和， 当的值最小且为整数时，则的取值可以为，，，，， 故答案为：，，，，． （4）根据居民区、、分别位于市民广场左侧，右侧，右侧． 分别记市民广场为原点，向右为正方向，则居民区、、为，，， 要垃圾中转站实现总运输成本的最小化， 即垃圾中转站到居民区、、的距离和最小， 则垃圾中转站应建在居民区处，此时距离和， 所以最低运输成本是（元）， 答：垃圾中转站应选址于市民广场右侧，以实现总运输成本的最小化，最低运输成本是元． 模型7.绝对值相关运算与最值问题 例1（24-25七年级上·安徽淮南·期中）阅读下列材料：我们知道的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离，即，也就是说，表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离，这个结论可以推广为表示在数轴上数，对应点之间的距离，在解题中，我们会常常运用绝对值的几何意义； 例1：已知，求x的值． 解：在数轴上与原点距离为2的点对应的数为，即． 例2：已知，求x的值． 解：的几何意义是：在数轴上表示数x的点与表示数1的点之间的距离为2．在数轴上与表示数1的点的距离为2的点对应的数为，3，即或． 参考阅读材料，解答下列问题：(1)已知，则x的值为__________．(2)已知，则x的值为__________． (3)已知x是有理数，当x取不同数时，式子的值也会发生变化，问式子是否有最小值？若有，请求出最小值，若没有，请说出理由． (4)当时，则的最大值为__________． 【答案】(1)(2)2或(3)8(4)13 【详解】（1）解：，数轴上表示数x的点到原点的距离为3，因此或，故答案为：； （2）解：，在数轴上与的距离为3的点对应的数2或，故答案为：2或； （3）解：表示在数轴上表示数x的点到表示数2与表示数的距离之和， 因此当时，这个距离之和最小，最小值就是2与之间的距离，为8，故有最小值，是8； （4）解：∵表示在数轴上表示数x的点到表示数与表示数2的距离之和， ∴由（3）可得，当时，有最小值3 ∵表示在数轴上表示数y的点到表示数1与表示数3的距离之和， ∴由（3）可得，当时，有最小值2 ∵∴只有当且时等式成立 ∴，∴当，时，有最大值，即． 例2（23-24七年级上·江西景德镇·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系 【阅读】：表示5与2差的绝对值，可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离； 可看作，表示5与的差的绝对值，可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． （1）数轴上表示3和的两点之间的距离是__________；（2）若，则________； （3）若使a所表示的点到表示2和的点的距离之和为7，所有符合条件的整数a的和为_______； 【动手折一折】：小明在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究： （4）折叠纸面，若3表示的点和表示的点重合，①则表示的点和__________表示的点重合； ②这时如果A、B（A在B的左侧）两点之间的距离为，且A、B两点经折叠后重合，则点A表示的数是___________，点B表示的数是___________；③若点A表示的数为a，点B表示的数为b，且A、B两点经折叠后重合, 那么a与b之间的数量关系是_________； 【拓展延伸】：（5）若a、b满足，求代数式的最小值和最大值． 【答案】（1）9；（2）或；（3）；（4）①；②，；③；（5）最小值为，最大值为7 【详解】解：（1）表示3和两点之间的距离是， （2）∵，∴或，解得或， （3）∵使a所表示的点到表示2和的点的距离之和为7，∴， 当时，则； 当时，则； 当时，则；∴， ∵x是整数，∴x的值为，，，，，0，1，2， ∴所有符合条件的整数x的和为：， （4）①∵3表示的点和-7表示的点重合，∴折叠的点表示的数是， 设则表示的点和表示的点重合，∴∴表示的点和表示的点重合； ②设A点表示的数是x，则B点表示的数是， ∴解得， ∴点A表示的数，点B表示的数是， ③∵点A表示的数为a，点B表示的数为b，B两点经折叠后重合， ∴，那么a与b之间的数量关系是； （5）依题意：当时，则； 当时，则； 当时，则；所以的最小值为9， 同理，当时，则； 当时，则； 当时，则；所以的最小值为5， ∵的最小值为9，的最小值为5， ∴∴，，则， ∴代数式的最大值是7，最小值是． 模型8.绝对值最值中的新定义问题 例1（24-25七年级上·重庆·阶段练习）在式子（其中）中，任选两个字母，在两侧加绝对值后再去掉绝对值并化简（不改变字母的位置），称为第一轮“绝对操作”．例如，选择m，n进行第一轮“绝对操作”，得到，再对第一轮“绝对操作”后得到的式子进行同样的操作，称为第二轮“绝对操作”，例如，选择y，n进行第二轮“绝对操作”，得到，……，按此方法，进行轮“绝对操作”．对原式子进行第一轮“绝对操作”后，则有 种不同的结果；若对原式子进行三轮“绝对操作”，且每轮操作中绝对值里只含两个字母，则有 种不同的结果． 【答案】 5 5 【详解】解：∵，∴，， ∴的结果均为；， 当时，，当时，， 当时，，当时，， 故对原式子进行第一轮“绝对操作”后，则有5种不同的结果； 当对原式子进行三轮“绝对操作”，且每轮操作中绝对值里只含两个字母时： 第一轮操作：， 或，， 即第一轮操作，有3种不同的结果，，，， 第二轮操作，对于，仍有3种结果，为：，，， 对于：， ，对于：， 或，， 故第二轮操作后，共有：，，，四种结果； 第三轮操作，对于，，，最终结果仍为4种， 对于：，，， 故三轮操作后，共有，，，，，5种结果； 故答案为：5，5． 例2（23-24七年级上·河北保定·期中）对于有理数，，，，若，则称和关于的“美好关联数”为，例如，则，则2和3关于1的“美好关联数”为3． (1)1和2关于0的“美好关联数”为__________；和5关于2的“美好关联数”为__________； (2)若和2关于3的“美好关联数”为4，求的值； (3)若和关于1的“美好关联数”为1，和关于2的“美好关联数”为1，和关于3的“美好关联数”为1，…，和关于21的“美好关联数”为1，…则的最小值为__________． 【答案】(1)3，8；(2)6或0.(3) 【详解】（1）解：根据定义可得：1和2关于0的“美好关联数”为：； 和5关于2的“美好关联数”为：；故答案为：3，8； （2）解：∵，∴，∴， ∴或，解得：或∴的值为6或0. （3）解：由已知得：， ∵，，∴的最小值；， ∵，，∴的最小值； 同理，，的最小值； ，的最小值；……； ∴，的最小值是， ∴的最小值为.故答案为：． 例3（23-24七年级上·北京昌平·期末）对于数轴上不同的三个点M，N，P．若满足（），则称点P是点M关于点N的“隔序点”，其中“k是隔序系数”“b是隔序常数”．例如，如图，在数轴上，点M，N表示的数分别是，1，当“隔序常数”时，原点O是点M关于点N的“隔序点”，可知“隔序系数”，原点O也是点N关于点M的“隔序点”，可知“隔序系数”．在数轴上已知点A表示的数是，点B表示的数是3．(1)若点C在线段上，点C是点A关于B的“隔序点”， 时，点C表示的数是 ； (2)若点C在数轴上，，点C是点B关于A“隔序点”，隔序常数，求k的值； (3)在A，B，C三点中，点C表示的数是m，点C是另一点关于第三个点的“隔序点”，若k和b满足，当k取最小值时，b最大值时，直接写出m的值．    【答案】(1)1(2)或(3)7或或或 【详解】（1）解：设点C表示的数是， ∵点A表示的数是，点B表示的数是3，点C在线段上，∴， ∵点C是点A关于B的“隔序点”，且 ，∴，∴，解得， ∴点C表示的数是1，故答案为：1． （2）设点C表示的数是，∵，∴或， 当时，∴， ∵点C是点B关于A“隔序点”，隔序常数，∴，∴，解得； 当时，∴， ∵点C是点B关于A“隔序点”，隔序常数， ∴，∴，解得；综上所述，或． （3）设点C表示的数是m，则，∵k和b满足， 又：表示数轴上表示点的数到表示点的数的距离，以及到表示点3的数的距离之和， ∴当时，有最小值为，∴当k取最小值时，b最大值时，此时：， 当点C是点B关于A“隔序点”时，，，∴，解得：或； 当点C是点A关于B“隔序点”时，，，∴，解得：或； 综上所述m的值为7或或或． 1．（24-25七年级上·四川宜宾·期中）下列说法正确的有（   ） ①若，则；②若，则有是正数；③若代数式的值与无关，则该代数式值为；④代数式最大值是． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：①则，故①正确； ②∵∴或或或， 当时，，当时，， 当时，是正数，当时，是正数，故②正确； ③∵的值与无关， ∴，故③正确； ④∵的最大值为，∴，∴不存在，故④错误； ∴说法正确的是①②③，有3个，故选：C． 2．（2024七年级上·北京·专题练习）我们可以把理解为数轴上表示x的点到表示y的点距离．若，则的最小值和最大值分别为（　　） A．4，8 B．4，9 C．5，8 D．5，9 【答案】A 【详解】解：①当时，， 当时，最小值为4，当时，最大值为5； ②当时， 当时，最小值为5，当时，最大值为8． 综上所述，的最小值和最大值分别为4，8．答案：A． 3．（2024七年级上·绵阳市·专题练习）如果为有理数，式子存在最大值，这个最大值是（   ） A．2026 B．2027 C．2029 D．2031 【答案】C 【详解】解：∵为有理数，∴，∴，∴， ∴式子存在最大值，且当时，最大值为2029．故选：C． 4．（2024·重庆渝中·二模）已知四个整式分别为：，，，；若对这四个整式中的一个添加绝对值符号或多个分别添加绝对值符号（注：绝对值里面无绝对值，即不出现多重绝对值）后再求和称为一次“防御操作”；例如：为一次“防御操作”，为一次“防御操作”等；则以下表述正确的个数是（    ）．　 ①对于任意的实数x，存在某种“防御操作”使得化简结果恒为0； ②对于特殊“防御操作”：的最小值是6；③共有15种不同的“防御操作”； A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】①当时，四个整式中不论添加一个或多个绝对值符号，去绝对值后再求和，结果均为，故①错误； ②表示数轴上表示x的点到表示2，1， ，的点的距离之和，所以当 时，的值最小，最小值为6，故②正确； ③共有15种不同的“防御操作”，依次为： ，， ，， ，， ，， ，， ，， ，， 故③正确．故选C． 5．（2023·广东·七年级校考阶段练习）已知 是正实数，则 的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： 当时，有最小值. 故选：B. 6．（2024·黑龙江哈尔滨·二模）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离：因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与所对应的点之间的距离．则代数式的最小值是 ． 【答案】8 【详解】解： ， 的几何意义就是数轴上x所对应的点与所对应的点之间的距离，的几何意义就是数轴上x所对应的点与所对应的点之间的距离， 的几何意义就是数轴上x所对应的点与、所对应的点之间的距离之和， 当时，数轴上x所对应的点与、所对应的点之间的距离之和最短为：， 的最小值是8．故答案为：8． 7．（2025·陕西西安·七年级校考期中）点、在数轴上分别表示有理数、，则在数轴上、两点之间的距离为，利用数轴上两点间距离，可以得到的最大值是______． 【答案】4 【详解】解：根据题意，表示x到-1和3的距离之差，又-1和3的距离为，则 当时，； 当时，，则，此时无最大值； 当时，，综上，的最大值为4，故答案为：4． 8．（2025·四川泸州·二模）定义：平面内任意两点，，则称为这两点之间的曼哈顿距离，“曼哈顿距离”是十九世纪数学家赫曼．闵可夫斯基所创立的词汇．在此定义下，若，点在直线上，则的最小值是 ． 【答案】3 【详解】解：∵点在直线上，∴设，∵，∴， ∴可以看作是数轴上表示数的点到表示数的点距离和， ∴当，最小，为：；故答案为：3． 9．（2023·浙江杭州·七年级校考阶段练习）学习了数轴与绝对值知识后，我们知道：数轴上表示数m与数n的两点之间的距离为，则：①表示的实际意义是 _____． ②的最小值是 _____．③的最小值是 _____． 【答案】 表示数x与数1的两点之间的距离 2 4 【详解】解：①表示的实际意义是表示数x与数1的两点之间的距离； 故答案为：表示数x与数1的两点之间的距离； ②分类讨论：1）当时，，∴当时，有最小值3； 2）当时，，∴当x=2时，有最小值2； 3）当时，，此时最小值大于2； 4）当时，，此时最小值大于3； 综上可知，当时，且最小值为2；故答案为：2； ③根据的几何意义，可表示x到数轴上1，2，3和4的距离之和．于是可分以下五个情况讨论： 1）当时，； 2）当时； 3）当时，； 4）当时，； 5）当时，； 综上所述，当时，有最小值4，故答案为：4． 10．（2024七年级上·广东·专题练习）已知：取最小值，则 ． 【答案】4 【详解】解：∵，，∴， ∴当，时，取最小值，∴，， ∴，，∴，故答案为：4． 11．（24-25七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）阅读材料：的几何意义是数轴上数的对应点与原点之间的距离，即也可以说表示数轴上数与数0对应点之间的距离．这个结论可以推广为表示数轴上数与数对应点之间的距离．根据上述材料： （1）能够使成立的的值是 ；（2）若为有理数，则的最大值是 ． 【答案】 1或 3 【详解】解：（1），， 表示数轴上数与数对应点之间的距离， 表示数轴上数x与数对应点之间的距离是4， 当x对应点在对应点的左边时，， 当x对应点在对应点的右边时，，故答案为：1或； （2），当时，取得最大值，最大值为，故答案为：3． 12．（2024·福建七年级期中）阅读理解；我们知道，若A、B在数轴上分别表示有理数、，A、B两点间的距离表示为AB，则．所以的几何意义是数轴上表示X的点与表示2的点之间的距离．根据上述材料，解答下列问题： （1）若点A表示－2，点B表示3，则AB＝ ．（2）若，则的值是 ． （3）如果数轴上表示数的点位于－4和2之间，求的值； （4）点取何值时，取最小值，最小值是多少？请说明理由； （5）直接回答：当式子取最小值时，相应的取值范围是多少？最小值是多少？ 【答案】（1）；（2）或；（3）；（4）当时，最小值为；（5）当时，最小值为 【详解】解：（1），则； （2）∵，∴，故或，故答案为：或； （3）∵数轴上表示数的点位于－4和2之间，∴； （4）∵，代表点到和到之间的距离之和， 当时，取得最小值，最小值为； （5）当时，有最小值， 最小值为====20． 13．（23-24七年级上·福建宁德·期中）我国著名数学家华罗庚曾说过∶“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系．数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如：代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与3所对应的点之间的距离：因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与所对应的点之间的距离． (1)【发现问题】①若代数式的值等于2021，求x的值； ②已知代数式与代数式的值相等，求x的的值； (2)【探究问题】③求代数式的最小值；④代数式是否有最大值？并说明理由 (3)【解决问题】⑤当a为何值时，代数式的最小值是2． 【答案】(1)①或2020，②1 (2)③4，④没有最大值，见解析(3)⑤或 【分析】（1）①根据的几何意义，找出与对应的点距离为2021个单位长度的点即可；③找出与数轴上到对应的点距离与到3表示的点的距离相等的点即可；（2）根据的几何意义即可进行解答；（3）根据的几何意义，即可得出结论． 【详解】（1）解：①∵， ∴数轴上x所对应的点与所对应的点之间的距离为2021个单位长度，∴或． ②∵，如图： ∴到对应的点距离与到3表示的点的距离相等的点只有一个，即为1对应的点，∴． （2）③∵表示数轴上x对应的点到对应的点距离与到3表示的点的距离之和， 如图：当x对应的点在和3之间时，距离和最小，最小为4， ∴最小值为4； ④∵表示数轴上x对应的点到对应的点距离与到3表示的点的距离之和， ∴没有最大值． （3）⑤∵最小值为2， ∴表示数轴上x对应的点到对应的点距离与到3表示的点的距离之和最小为2，如图： 当或时最小值为2，∴或． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点之间的距离和绝对值的几何意义，解题的关键是熟练掌握绝对值的几何意义，明确数轴上的点和有理数的一一对应关系，以及具有数形结合的思想． 14．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）【阅读】：表示7与3差的绝对值，也可理解为7与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离：可以看作，表示7与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】：（1）如果，那么 ；（2）有最小值 ；（3）有最大值 ； 【应用】：（4）的最小值为 ； （5）的最大值为 ． 【答案】（1）0或；（2）1；（2）1；（4）；（5）1012． 【详解】（1）解：，∴或，解得或，故答案为：0或． （2）的意义即数轴上点x与1，2的距离和， 当时，距离和为；当时，距离和为；当时，距离和为； 故对于任何有理数，有最小值， 当时，即点x在1和2之间（包含1和2）时，最小值为1． （3）的意义即数轴上点x与1，2的距离差； 当时，；当时， ；当时， ； 故对于任何有理数，有最大值， 当时，即点x在2上或右边时，最大值为1． （4）表示数轴上点与1，2，……2024的距离和， 由（2）可知：当时，有最小值； 此时： =； （5）表示x到1的距离与x到2的距离的差、x到3距离与x到4距离的差 …x到2023距离与x到2024距离的差的和， 由（3）可知：当x在最大数右边（或最大数上）时有最大值； 即：时， ． 15．（23-24七年级上·江苏南通·期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：一般地，数轴上表示m和n的两点之间的距离为． (1)数轴上表示4和1的两点之间的距离为______； (2)当______时，的值最小，最小值为______． (3)当a满足______时，的值最小，最小值为______． (4)已知：关于x的代数式的最小值为2，则a的值为______． 【答案】(1)3(2)1；9(3)；24(4)3或 【详解】（1）解：数轴上表示4和1的两点之间的距离为：；故答案为：3； （2）解：∵表示数轴上表示a的点到的距离，到1的距离，到4的距离之和， ∴当时，的值最小，且最小值为：；故答案为：1；9． （3）解：当时，， ∵，∴此时； 当时，， ∴此时的值为24； 当时，， ∵，∴此时； 当时，， ∵，∴此时；∴当时，的值最小，且最小值为24； 故答案为：；24． （4）解：∵表示在数轴上表示x的点到1的距离与到表示a的点的距离之和， ∴当表示x的点在1和表示a的点之间时，的值最小，且最小值为， ∴，解得：或．故答案为：3或． 16．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题： “当式子取最小值时，相应的的取值范围是______，最小值是______”． 小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单了，把数轴分为三段：和，经研究发现，当时，值最小为”． 小明说：“利用数形结合思想可以解决这个问题，若点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，则在数轴上、两点之间的距离．” 请你根据他们的解题解决下面的问题： (1)当式子取最小值时，相应的的取值范围是______，最小值是______． (2)已知，求的最大值和最小值及相应的的取值范围，并写出解答过程． (3)求为何值时，式子有最小值，并求出此最小值． 【答案】(1)，(2)当最大值为；当最小值为(3)，最小值为 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； ∴式子取最小值时，相应的的取值范围是，最小值是． 故答案为；． （2）解：当时，； 当时，此时； 当时，； ∴当最大值为；当最小值为； （3）解：， 表示在数轴上的对应点与、、、……、所对应点的距离之和， 当时，有最小值，最小值为 ． 17．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）同学们都知道：表示与-之差的绝对值，实际上也可理解为与-两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索：    (1)数轴上表示与-的两点之间的距离可以表示为 ． (2)同样的道理，表示数轴上有理数所对应的点到-和所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数是 ． (3)根据数轴，若的最小值是，请直接写出的值． (4)由以上探索猜想是否有最小值？如果有，直接写出最小值，并求出所有符合条件的整数的和；如果没有，说明理由． 【答案】(1)(2)，，，(3)或(4)有，最小值为，和为 【详解】（1）数轴上表示与的两点之间的距离可以表示为，故答案为； （2）表示数轴上有理数所对应的点到和所对应的点的距离之和，， 为到之间的整数，这样的整数有、、、，故答案为、、、； （3）∵的最小值是，即表示到的和为 由于与之间的距离为，小于最小值，则或； ①当时，即，则在到之间时，最小值为 ∴∴ ②当时，即，∴ 综上所述，或 （4）有最小值，理由是|理解为：在数轴上表示到、、和的距离之和，∴当在和之间时，取得最小值， ∴最小值为∴符合条件的整数为 ∴所有符合条件的整数的和为 18．（23-24七年级上·四川成都·期末）已知有理数a，b满足，请回答下列问题： (1)请直接写出a，b的值： ， ； (2)数轴上a，b，x三个数所对应的点分别为A、B、X，且点X是数轴上的任意点，点A与点X之间的距离用表示，点B与点X之间的距离用表示，请计算当x分别为，0，2025时，代数式的值，并指出当的值最小时，点X在数轴上的位置； (3)如果在数轴连续的整数点上依次有n个机器人，且相邻两个机器人之间的距离都是1个单位，同时数轴上有一个快递包裹分发点智能机器人，它能根据机器人的数量自动决策出快递包裹分发点的位置，使得每个机器人去取快递包裹的距离之和最小，请直接用含n的代数式表示这个最小值． 【答案】(1)，2024 (2)当时，值为4051；当时，值为4047；当时，值为4049，当的值最小时，点X在数轴上的线段上； (3)当n为奇数时，最小值为，当n为偶数时，最小值为 【详解】（1）解：∵，∴， ∴；故答案为：，2024； （2）∵， ∴当时，原式； 当时，原式； 当时，原式； ∴当的值最小时，点X在数轴上的线段上； （3）当为奇数时，分包机器人在最中间的机器人处时，每个机器人去取快递包裹的距离之和最小，为： ； 当为偶数时，分包机器人在中间两个机器人之间时，每个机器人去取快递包裹的距离之和最小，为：． 19．（24-25七年级上·福建漳州·期中）阅读理解：我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点与原点的距离，也就是说，表示在数轴上数与数0对应点之间的距离，这个结论可以推广为：表示在数轴上数，对应点之间的距离．举例：数轴上表示数和的两点和之间的距离是． 问题探究：参考阅读材料，解答下列问题．(1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是______； (2)若数轴上表示数的点位于与5之间，求的值是______； (3)当取最小值时，相应的数的取值范围是______；(4)求的最小值是______． 实际应用：(5)问题：某一直线沿街一侧有2023户居民（相邻两户居民间隔相同），每户按序标记为：，，，，，…，，某餐饮公司想为这2023户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店，点选在______，才能使这2023户居民到点的距离总和最小．（填住户标记字母） 拓展提升：(6)若数满足，求的最小值为______． 【答案】(1)3(2)8(3)(4)2(5)(6) 【详解】（1）解：数轴上表示2和5的两点之间的距离为：，故答案为：3； （2）解：数轴上表示数a的点位于与5之间，， ，故答案为：8； （3）解：表示数a到点1与2的距离之和， 当时，取最小值，故答案为：； （4）解：表示数a到点1、2、3的距离之和， 当时，取得最小值，最小值为：，故答案为：2； （5）解：点，，，，，…，中，最中间的点是， 故点P选在紧靠居民家，才能使这2023户居民到点P的距离总和最小，故答案为：； （6）解：表示数a到点1与3的距离之和，当时，取得最小值； 表示数b到点4与的距离之和， 当时，取得最小值，此时， ∵a的最小值为1，b的最小值为，的最小值为：，故答案为：． 20．（24-25七年级上·广西玉林·期中）阅读下列材料并解决问题： 数轴是一种非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与形之间的联系，两个有理数在数轴上对应的点之间的距离，可以用这两个数的差的绝对值表示，这也体现了绝对值的几何意义．若在数抽上有理数对应的点为，有理数对应的点为，则A，B两点之间的距离可表示为或，记为．如式子的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数的点之间的距离． 根据上述材料，回答下列问题：(1)与3的距离是______；(2)式子的最小值是______； (3)应用：如图，某环形道路上顺次排列有四家快递公司：A，B，C，D，它们依次有快递车15辆，9辆，5辆，11辆，为使各快递公司的车辆数相同，允许一些快递公司向相邻公司调出，问共有多少种调配方案，使调动的车辆数最少？并求出调出的最少车辆数． 【答案】(1)(2)(3)有5种方案调运车辆数最小，都为10辆． 【详解】（1）解：与3的距离是； （2）解：∵表示在数轴上数对应的点与数，对应的点的距离之和， ∴当数在与之间时，即时，最小， ∴当时，式子有最小值，最小值是， （3）解：根据题意，（辆），（辆），即共有40辆车，每个公司10辆， ∴调运方案如下： ∴有5种方案调运车辆数最小，都为10辆． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 绝对值中的八类最值模型 最值问题一直都是初中数学的最难点之一，但也是高分的必须突破点，而绝对值中的最值模型是初中学生第一次接触最值类问题，该类最值模型主要依据绝对值的几何意义或代数意义，考查分类讨论和数形结合的数学思想。需要牢记绝对值中的最值情况规律，解题时能达到事半功倍的效果。本专题就绝对值中的八类最值模型进行梳理及对应试题分析，方便大家掌握。 1 模型来源 2 真题现模型 2 提炼模型 3 模型拓展 4 模型运用 4 模型1.的最小值模型 4 模型2.的最小值和最大值模型 6 模型3.的最小值模型 7 模型4.系数不为“1”的绝对值（和、差类）最值模型 12 模型5.型或型最值模型 14 模型6.绝对值最值模型的实际应用 15 模型7.绝对值相关运算与最值问题 18 模型8.绝对值最值中的新定义问题 21 25 绝对值最值问题的历史发展脉络源于几何直观与代数研究的结合，其核心理论随数学分析的发展逐步完善。绝对值的概念源于物理学中的距离概念，表示一个数到原点的距离。在数学中，绝对值用于表示一个数到数轴原点的距离，因此绝对值总是非负的。这一性质使得绝对值在数学分析中有着广泛的应用，特别是在处理不等式和最值问题时显得尤为重要。在解决含绝对值的代数式最值问题时，可以利用绝对值的几何意义或零点分段法，整体来说绝对值的几何意义较为简单适用。 （2025·山东青岛·校考一模）【问题提出】的最小值是多少？ 【阅读理解】为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手．的几何意义是这个数在数轴上对应的点到原点的距离，那么可以看作这个数在数轴上对应的点到1的距离；就可以看作这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和，下面我们结合数轴研究的最小值． 我们先看表示的点可能的3种情况，如图所示： 如图①，在1的左边，从图中很明显可以看出到1和2的距离之和大于1． 如图②，在1，2之间（包括在1，2上），可以看出到1和2的距离之和等于1． 如图③，在2的右边，从图中很明显可以看出到1和2的距离之和大于1.因此，我们可以得出结论：当在1，2之间（包括在1，2上）时，有最小值1． 【问题解决】(1)的几何意义是 ，请你结合数轴研究：的最小值是 ； (2)请你结合图④探究的最小值是 ，由此可以得出a为 ； (3)的最小值是 ；(4)的最小值为 。 （2024·四川成都·三模）函数的最小值为3，则a的值为 ． 知识储备：①绝对值具有非负性，即； ②绝对值的几何意义：表示数轴上的有理数a所对应的点到原点的距离； 表示数轴上的有理数x所对应的点到有理数a所对应的点的距离。‌ 1.求的最小值，即在数轴上找一点x，使x到a和b的距离和的最小值。 结论：根据绝对值的几何意义知：在时，取得最小值为。 另解：也可用绝对值的代数意义（即分类讨论思想）完成绝对值的最值问题。 2.求的最大值或最小值，即在数轴上找一点x，使x到a和b的距离差的取最大值或最小值： 结论：在时，取得最小值为；在时，取得最大值。（几何意义） 3.的最小值模型 结论：找到上述式子中的‬零点，按从小到大‬排序（不妨假设）‬，借助数轴容易得到： ‬当n‬奇数‬时‬‬，则x取‬中间数（）‬时‬取得‬最小值‬； ‬当n‬‬偶数时‬，‬则‬x取‬中间‬段（）‬时‬取得‬最小值‬。 规律可总结为：“奇中点，偶中段”。 4.型或型最值模型 1）：当a＞0时，∵，∴，即取得最小值为b； 当a＜0时，∵，∴，即取得最大值为b。 2）：当a＞0时，∵，∴，即取得最小值为b； 当a＜0时，∵，∴，即取得最大值为b。 5.系数不为“1”的绝对值（和、差类）最值模型 ①绝对值系数不为“1”：如：｜x-1｜+2｜x-2｜+3｜x-3｜+4｜x-4｜+5｜x-5｜ 解题步骤：第1步：将x平铺展开；第2步：找到每个式子的零点，分别为：1、2、2、3、3、3、4、4、4、4、5、5、5、5、5、5共15个零点；第3步：根据“奇中点，偶中段”，在第八个数时，即x=4时，有最小值，带入x=4，最小值为15。 ②x系数不为“1”：如：求｜2x-4｜+｜5x+5｜的最小值。 解题步骤：第1步：x的系数不为1，所以首先‬第一步‬想办法把x的系数化为1，采用提取公因数的方法（或乘法分配律的逆用）；即：｜2x-4｜+｜5x+5｜=｜2（x-2）｜+｜5（x+1）｜=2｜x-2｜+5｜x+1｜。 第2步：进入①中的三个步骤即可。这时，x的系数已经变成了1，我们就可以展开‬，然后‬利用“奇中点‬，偶中段”来求了‬。解‬得‬当x=-1时‬取得‬最小值，最小值‬为‬6。 另解：上述两类问题也可以采用绝对值的代数意义（根据零点分区讨论）求解。 模型1.的最小值模型 例1（24-25七年级上·北京·期中）我们知道，的几何意义是：在数轴上数a对应的点到原点的距离．类似的，的几何意义就是：数轴上数x、y对应点之间的距离．比如：2和两点之间的距离可以用表示，数x对应的点到1和3的距离的和可以用表示．则表示的几何意义是 ，该式子的最小值是 ． 例2（24-25七年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）在有理数的绝对值的学习中，我们知道是在数轴上表示数的点到原点的距离，即表示，类比绝对值的意义，可知就是在数轴上表示数x的点到表示数的点的距离，当取得最小值时，的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 例3（24-25七年级上·四川南充·期中）规定：，，例如，．下列结论中，正确的序号为 ． ①若，则；②若，则；③式子的最小值是7． 例4（24-25九年级上·江苏南通·期中）已知为互不相等的三个有理数，且，若式子的最小值为4，则的值为 ． 例5（2024·四川成都·三模）函数的最小值为3，则a的值为 ． 模型2.的最小值和最大值模型 例1（23-24七年级上·湖北武汉·期末）数轴上点A、B表示的数为a、b，则A、B两点之间的距离可表示为线段，如：数轴上表示数x的点与表示数的点之间的距离为．代数式的最大值等于 ． 例2（2024·广东七年级期中）代数式，当时，可化简为______；若代数式的最大值为与最小值为，则的值______． 例3（2024·广西·七年级专题练习）我们知道，的几何意义是数轴上表示数a的点与原点的距离，一般地，点A，B在数轴上分别表示数a，b，那么A，B之间的距离可表示为|a-b|，请根据绝对值的几何意义并结合数轴解答下列问题：（1）数轴上的数x与1所对应的点的距离为____，数x与-1所对应的点的距离为____； （2）求的最大值； （3）直接写出的最大值为______． 模型3.的最小值模型 例1（24-25七年级上·陕西汉中·阶段练习）先阅读材料，后探究相关的问题． 【阅读】表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． (1)如图，先在数轴上画出表示2.5的相反数点B，再把点A向左移动1.5个单位，得到点C，则点B表示的数是______，点C表示的数是______，B，C两点之间的距离是______． (2)数轴上分别表示x与的两点F和D之间的距离可表示为______，如果F，D两点之间的距离为3，那么______． (3)若点E表示的数为y，则当______时，与的值相等； (4)要使||取得最小值，相应的z的取值范围是______． (5)当　　时，的值最小，最小值是______． 例2（24-25七年级上·湖南衡阳·期中）如果的最小值是10， 那么 ． 例3（24-25七年级上·广东湛江·期中）先阅读，结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： 【阅读】：表示与差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】：(1)数轴上表示和两点之间的距离是________；一般地、数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果表示数和的两点之间的距离是，那么的值为________． (2)若，，且数、在数轴上表示的点分别是点、点，则、两点间的最大距离是________，最小距离是________； (3)利用数轴找出所有符合条件的整数点，使得，这些点表示的数的和是________． (4)应用：小明妈妈要租房，使小明到学校与妈妈到上班地点距离和最小，若把租房地记作，妈妈上班地点记作，小明学校记作2，那么距离和的最小值是：________． (5)拓展：的最小值是：________． 例4（23-24七年级上·湖北黄石·阶段练习）在数学问题中，我们常用几何方法解决代数问题，借助数形结合的方法使复杂问题简单化． 材料一：我们知道的几何意义是：数轴上表示数a的点到原点的距离；的几何意义是：数轴上表示数a，b的两点之间的距离；的几何意义是：数轴上表示数a，的两点之间的距离；根据绝对值的几何意义，我们可以求出以下方程的解． （1） 解：由绝对值的几何意义知：在数轴上x表示的点到3的距离等于4，∴，； （2） 解：∵，∴其绝对值的几何意义为：在数轴上x表示的点到的距离等于5． ∴，． 材料二：如何求的最小值． 由的几何意义是数轴上表示数x的点到表示数1和两点的距离的和，要使和最小，则表示数x的这点必在和1之间（包括这两个端点）取值． ∴的最小值是3；由此可求解方程，把数轴上表示x的点记为点P，由绝对值的几何意义知：当时，恒有最小值3，所以要使成立，则点P必在的左边或1的右边，且到表示数或1的点的距离均为0.5个单位． 故方程的解为：，． 阅读以上材料，解决以下问题：（1）填空：的最小值为_______； （2）已知有理数x满足：，有理数y使得的值最小，求的值． （3）试找到符合条件的x，使的值最小，并求出此时的最小值及x的取值范围． 模型4.系数不为“1”的绝对值（和、差类）最值模型 例1（2024·重庆沙坪坝·七年级校考期中）已知为任意有理数，则的最小值为______． 例2（23-24七年级上·重庆江北·期中）数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作．数轴上表示数的点与表示数的点距离记作，如表示数轴上表示数3的点与表示数5的点的距离，表示数轴上表示数3的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数的点与表示数3的点的距离．根据以上材料回答下列问题：（将结果直接填写在相应位置，不写过程） (1)若，则______；若，则_______． (2)若，则能取到的最小值是_______，最大值是_______． (3)当到取最小值时，则的值为_______． (4)的最小值为_______．(5)若，求的值． 例3（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）放飞自我：思考：数轴上的个点表示的数分别是，，…，，且，是数轴上一个点，其表示的数是，对于代数式，由绝对值的几何意义可得： 若为奇数时，当时，的值可取到最小；若为偶数，当时，的值可取到最小． (1)求的最小值．(2)求的最小值． 模型5.型或型最值模型 例1（23-24七年级上·四川绵阳·阶段练习）若a是有理数，则的最小值是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 例2（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）当 时，有最大值，最大值为 ． 例3（2024·广东·七年级校考阶段练习）若a，b为有理数，下列判断正确的个数是（    ） （1）的最小值是2；（2）的最小值是0；（3）的最大值为5；（4）的最大值是2． A．1 B．2 C．3 D．4 例4（24-25七年级上·江西南昌·期中）当式子取最小值时，则 ． 模型6.绝对值最值模型的实际应用 例1（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）（1）数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．例如数轴上表示数2和5的两点距离为 ；数轴上表示数3和的两点距离为 ； （2）代数式的最小值是 ；此时x的取值范围是 ； （3）代数式的最大值是 ；若，则x的值为 ； （4）在笔直的公路（数轴）一侧有A、B、C、E四个村庄，分别表示数，，3，8，现要在公路上开一家超市，使各村庄到超市的距离和最小，则超市的位置应在哪里，为什么？ 例2（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）阅读下列材料并解决问题：我们知道：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离，所以式子的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数x的点之间的距离． 根据上述材料，回答下列问题：（1）若，则______；     （2）当x满足条件：_______时，式子有最小值，最小值是______； 应用：某环形道路上顺次排列有四家快递公司：A、B、C、D，它们顺次有快递车16辆，8辆，4辆，12辆，为使各快递公司的车辆数相同，允许一些快递公司向相邻公司调出，问共有多少种调配方案，使调动的车辆数最少？并求出调出的最少车辆数． 例3（24-25七年级上·广东梅州·期中）【定义新知】我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数1的点之间的距离．因此，若点、在数轴上分别表示有理数、，则、两点之间的距离．若点表示的数为，请根据数轴解决以下问题： （1）式子在数轴上的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数______的点之间的距离；在数轴上的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数______的点之间的距离； （2）若，则的值为______； （3）当的值最小且为整数时，则的取值可以为______； 【解决问题】（4）如图，一条笔直的公路边有三个居民区、、和市民广场，居民区、、分别位于市民广场左侧，右侧，右侧．鉴于环保之需，现计划在该路段建设一座垃圾中转站，以负责接收并转运上述三个居民区每日产生的生活垃圾．假设生活垃圾的清理运输费用为每公里50元，试问垃圾中转站应选址于这条公路的何处，以实现总运输成本的最小化？最低运输成本是多少元？ 模型7.绝对值相关运算与最值问题 例1（24-25七年级上·安徽淮南·期中）阅读下列材料：我们知道的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离，即，也就是说，表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离，这个结论可以推广为表示在数轴上数，对应点之间的距离，在解题中，我们会常常运用绝对值的几何意义； 例1：已知，求x的值． 解：在数轴上与原点距离为2的点对应的数为，即． 例2：已知，求x的值． 解：的几何意义是：在数轴上表示数x的点与表示数1的点之间的距离为2．在数轴上与表示数1的点的距离为2的点对应的数为，3，即或． 参考阅读材料，解答下列问题：(1)已知，则x的值为__________．(2)已知，则x的值为__________． (3)已知x是有理数，当x取不同数时，式子的值也会发生变化，问式子是否有最小值？若有，请求出最小值，若没有，请说出理由． (4)当时，则的最大值为__________． 例2（23-24七年级上·江西景德镇·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系 【阅读】：表示5与2差的绝对值，可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离； 可看作，表示5与的差的绝对值，可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． （1）数轴上表示3和的两点之间的距离是__________；（2）若，则________； （3）若使a所表示的点到表示2和的点的距离之和为7，所有符合条件的整数a的和为_______； 【动手折一折】：小明在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究： （4）折叠纸面，若3表示的点和表示的点重合，①则表示的点和__________表示的点重合； ②这时如果A、B（A在B的左侧）两点之间的距离为，且A、B两点经折叠后重合，则点A表示的数是___________，点B表示的数是___________；③若点A表示的数为a，点B表示的数为b，且A、B两点经折叠后重合, 那么a与b之间的数量关系是_________； 【拓展延伸】：（5）若a、b满足，求代数式的最小值和最大值． 模型8.绝对值最值中的新定义问题 例1（24-25七年级上·重庆·阶段练习）在式子（其中）中，任选两个字母，在两侧加绝对值后再去掉绝对值并化简（不改变字母的位置），称为第一轮“绝对操作”．例如，选择m，n进行第一轮“绝对操作”，得到，再对第一轮“绝对操作”后得到的式子进行同样的操作，称为第二轮“绝对操作”，例如，选择y，n进行第二轮“绝对操作”，得到，……，按此方法，进行轮“绝对操作”．对原式子进行第一轮“绝对操作”后，则有 种不同的结果；若对原式子进行三轮“绝对操作”，且每轮操作中绝对值里只含两个字母，则有 种不同的结果． 例2（23-24七年级上·河北保定·期中）对于有理数，，，，若，则称和关于的“美好关联数”为，例如，则，则2和3关于1的“美好关联数”为3． (1)1和2关于0的“美好关联数”为__________；和5关于2的“美好关联数”为__________； (2)若和2关于3的“美好关联数”为4，求的值； (3)若和关于1的“美好关联数”为1，和关于2的“美好关联数”为1，和关于3的“美好关联数”为1，…，和关于21的“美好关联数”为1，…则的最小值为__________． 例3（23-24七年级上·北京昌平·期末）对于数轴上不同的三个点M，N，P．若满足（），则称点P是点M关于点N的“隔序点”，其中“k是隔序系数”“b是隔序常数”．例如，如图，在数轴上，点M，N表示的数分别是，1，当“隔序常数”时，原点O是点M关于点N的“隔序点”，可知“隔序系数”，原点O也是点N关于点M的“隔序点”，可知“隔序系数”．在数轴上已知点A表示的数是，点B表示的数是3．(1)若点C在线段上，点C是点A关于B的“隔序点”， 时，点C表示的数是 ； (2)若点C在数轴上，，点C是点B关于A“隔序点”，隔序常数，求k的值； (3)在A，B，C三点中，点C表示的数是m，点C是另一点关于第三个点的“隔序点”，若k和b满足，当k取最小值时，b最大值时，直接写出m的值．    1．（24-25七年级上·四川宜宾·期中）下列说法正确的有（   ） ①若，则；②若，则有是正数；③若代数式的值与无关，则该代数式值为；④代数式最大值是． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2024七年级上·北京·专题练习）我们可以把理解为数轴上表示x的点到表示y的点距离．若，则的最小值和最大值分别为（　　） A．4，8 B．4，9 C．5，8 D．5，9 3．（2024七年级上·绵阳市·专题练习）如果为有理数，式子存在最大值，这个最大值是（   ） A．2026 B．2027 C．2029 D．2031 4．（2024·重庆渝中·二模）已知四个整式分别为：，，，；若对这四个整式中的一个添加绝对值符号或多个分别添加绝对值符号（注：绝对值里面无绝对值，即不出现多重绝对值）后再求和称为一次“防御操作”；例如：为一次“防御操作”，为一次“防御操作”等；则以下表述正确的个数是（    ）．　 ①对于任意的实数x，存在某种“防御操作”使得化简结果恒为0； ②对于特殊“防御操作”：的最小值是6；③共有15种不同的“防御操作”； A．0 B．1 C．2 D．3 5．（2023·广东·七年级校考阶段练习）已知 是正实数，则 的最小值是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·黑龙江哈尔滨·二模）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离：因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与所对应的点之间的距离．则代数式的最小值是 ． 7．（2025·陕西西安·七年级校考期中）点、在数轴上分别表示有理数、，则在数轴上、两点之间的距离为，利用数轴上两点间距离，可以得到的最大值是______． 8．（2025·四川泸州·二模）定义：平面内任意两点，，则称为这两点之间的曼哈顿距离，“曼哈顿距离”是十九世纪数学家赫曼．闵可夫斯基所创立的词汇．在此定义下，若，点在直线上，则的最小值是 ． 9．（2023·浙江杭州·七年级校考阶段练习）学习了数轴与绝对值知识后，我们知道：数轴上表示数m与数n的两点之间的距离为，则：①表示的实际意义是 _____． ②的最小值是 _____．③的最小值是 _____． 10．（2024七年级上·广东·专题练习）已知：取最小值，则 ． 11．（24-25七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）阅读材料：的几何意义是数轴上数的对应点与原点之间的距离，即也可以说表示数轴上数与数0对应点之间的距离．这个结论可以推广为表示数轴上数与数对应点之间的距离．根据上述材料： （1）能够使成立的的值是 ；（2）若为有理数，则的最大值是 ． 12．（2024·福建七年级期中）阅读理解；我们知道，若A、B在数轴上分别表示有理数、，A、B两点间的距离表示为AB，则．所以的几何意义是数轴上表示X的点与表示2的点之间的距离．根据上述材料，解答下列问题： （1）若点A表示－2，点B表示3，则AB＝ ．（2）若，则的值是 ． （3）如果数轴上表示数的点位于－4和2之间，求的值； （4）点取何值时，取最小值，最小值是多少？请说明理由； （5）直接回答：当式子取最小值时，相应的取值范围是多少？最小值是多少？ 13．（23-24七年级上·福建宁德·期中）我国著名数学家华罗庚曾说过∶“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系．数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如：代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与3所对应的点之间的距离：因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与所对应的点之间的距离．(1)【发现问题】①若代数式的值等于2021，求x的值； ②已知代数式与代数式的值相等，求x的的值； (2)【探究问题】③求代数式的最小值；④代数式是否有最大值？并说明理由 (3)【解决问题】⑤当a为何值时，代数式的最小值是2． 14．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）【阅读】：表示7与3差的绝对值，也可理解为7与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离：可以看作，表示7与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】：（1）如果，那么 ；（2）有最小值 ；（3）有最大值 ； 【应用】：（4）的最小值为 ； （5）的最大值为 ． 15．（23-24七年级上·江苏南通·期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：一般地，数轴上表示m和n的两点之间的距离为． (1)数轴上表示4和1的两点之间的距离为______； (2)当______时，的值最小，最小值为______． (3)当a满足______时，的值最小，最小值为______． (4)已知：关于x的代数式的最小值为2，则a的值为______． 16．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题： “当式子取最小值时，相应的的取值范围是______，最小值是______”． 小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单了，把数轴分为三段：和，经研究发现，当时，值最小为”． 小明说：“利用数形结合思想可以解决这个问题，若点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，则在数轴上、两点之间的距离．” 请你根据他们的解题解决下面的问题： (1)当式子取最小值时，相应的的取值范围是______，最小值是______． (2)已知，求的最大值和最小值及相应的的取值范围，并写出解答过程． (3)求为何值时，式子有最小值，并求出此最小值． 17．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）同学们都知道：表示与-之差的绝对值，实际上也可理解为与-两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索：    (1)数轴上表示与-的两点之间的距离可以表示为 ． (2)同样的道理，表示数轴上有理数所对应的点到-和所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数是 ． (3)根据数轴，若的最小值是，请直接写出的值． (4)由以上探索猜想是否有最小值？如果有，直接写出最小值，并求出所有符合条件的整数的和；如果没有，说明理由． 18．（23-24七年级上·四川成都·期末）已知有理数a，b满足，请回答下列问题： (1)请直接写出a，b的值： ， ； (2)数轴上a，b，x三个数所对应的点分别为A、B、X，且点X是数轴上的任意点，点A与点X之间的距离用表示，点B与点X之间的距离用表示，请计算当x分别为，0，2025时，代数式的值，并指出当的值最小时，点X在数轴上的位置； (3)如果在数轴连续的整数点上依次有n个机器人，且相邻两个机器人之间的距离都是1个单位，同时数轴上有一个快递包裹分发点智能机器人，它能根据机器人的数量自动决策出快递包裹分发点的位置，使得每个机器人去取快递包裹的距离之和最小，请直接用含n的代数式表示这个最小值． 19．（24-25七年级上·福建漳州·期中）阅读理解：我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点与原点的距离，也就是说，表示在数轴上数与数0对应点之间的距离，这个结论可以推广为：表示在数轴上数，对应点之间的距离．举例：数轴上表示数和的两点和之间的距离是． 问题探究：参考阅读材料，解答下列问题．(1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是______； (2)若数轴上表示数的点位于与5之间，求的值是______； (3)当取最小值时，相应的数的取值范围是______；(4)求的最小值是______． 实际应用：(5)问题：某一直线沿街一侧有2023户居民（相邻两户居民间隔相同），每户按序标记为：，，，，，…，，某餐饮公司想为这2023户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店，点选在______，才能使这2023户居民到点的距离总和最小．（填住户标记字母） 拓展提升：(6)若数满足，求的最小值为______． 20．（24-25七年级上·广西玉林·期中）阅读下列材料并解决问题： 数轴是一种非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与形之间的联系，两个有理数在数轴上对应的点之间的距离，可以用这两个数的差的绝对值表示，这也体现了绝对值的几何意义．若在数抽上有理数对应的点为，有理数对应的点为，则A，B两点之间的距离可表示为或，记为．如式子的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数的点之间的距离． 根据上述材料，回答下列问题：(1)与3的距离是______；(2)式子的最小值是______； (3)应用：如图，某环形道路上顺次排列有四家快递公司：A，B，C，D，它们依次有快递车15辆，9辆，5辆，11辆，为使各快递公司的车辆数相同，允许一些快递公司向相邻公司调出，问共有多少种调配方案，使调动的车辆数最少？并求出调出的最少车辆数． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$