第十六章 轴对称和中心对称（复习课件）数学新教材冀教版八年级上册

该初中数学单元复习课件系统梳理了轴对称和中心对称的概念、性质、垂直平分线与角平分线的定理及尺规作图，通过单元知识图谱串联核心内容，结合表格对比轴对称与成轴对称、中心对称与成中心对称的区别联系，帮助学生构建完整知识网络。 其亮点在于采用“考点串讲-题型剖析-针对训练”的复习模式，如轴对称图形对称轴例题搭配变式作图培养几何直观，垂直平分线定理证明题强化推理意识，分层练习满足不同学生需求。这既巩固知识又提升核心素养，助力教师高效备课。

单元复习课件 第十六章 轴对称和中心对称 冀教版2024·八年级上册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.理解轴对称、中心对称的概念，掌握线段垂直平分线的性质定理和逆定理、角平分线的性质定理和逆定理，会作轴对称图形和中心对称图形，能用尺规作图画垂直平分线和角平分线 3.区分轴对称和轴对称图形、中心对称和中心对称图形，能够利用相关性质进行推理和作图，能在复杂的图形中综合运用相关定理. 2.轴对称和中心对称的性质，线段的垂直平分线性质定理和逆定理、角平分线的性质定理和逆定理的应用 单元学习目标 轴对称 概念 性质 轴对称图形 两个图形成轴对称 对应点、对应角、对应点的连线 中心对称 概念 性质 中心对称图形 两个图形成中心对称 对应点的连线过对称中心且被对称中心平分 单元知识图谱 考点一、轴对称图形 1. 轴对称图形的定义  一般地，如果一个图形沿某条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴 . 轴对称图形的三个条件： (1)一个整体图形； (2)一条直线——对称轴； (3)直线两旁的部分完全重合. 2. 轴对称图形的性质 轴对称图形被对称轴分成的两部分全等 . 考点串讲 考点一、轴对称图形 3. 几种常见的轴对称图形及其对称轴 名称 图形 对称轴 对称轴数量 线段 线段本身所在的直线和过线段中点的垂线 2 条 角 角平分线所在的直线 1 条 等腰三角形 底边上的高所在的直线 1 条 等边三角形 各条边上的高所在的直线 3 条 考点串讲 名称 图形 对称轴 对称轴数量 长方形 经过两条对边中点的直线 2 条 正方形 (1)经过两条对边中点的直线，(2)对角线所在的直线 4 条 圆 经过圆心的任意一条直线 无数条 正 n 边形 n 为奇数：过顶点与对边中点的直线； n 为偶数：过两条对边中点的直线和过相对顶点的直线 n 条 考点一、轴对称图形 考点串讲 考点二、轴对称 1. 轴对称定义 一般地，如果两个图形沿某条直线对折后，这两个图形能够完全重合，那么我们就说这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴. 关于对称轴对称的点、对称的线段、对称的角分别叫做对应点、对应线段、对应角. 1. 轴对称的三个条件： (1)有两个图形； (2)存在一条直线； (3)一个图形沿着这条直线折叠后与另一个图形完全重合． 2.轴对称的两个特性： (1)成轴对称的两个图形全等，但全等的两个图形不一定成轴对称. (2)轴对称是图形的一种全等变换. 考点串讲 名称 成轴对称图形 轴对称图形 区别 对象 两个图形 一个图形 意义 两个图形的特殊位置关系 一个具有特殊形状的图形 对应点 位置 对应点分别在两个图形上 对应点在同一个图形上 对称轴 位置 两个图形成轴对称，其对称轴可能在两个图形的外部，也可能经过两个图形的内部或它们的公共边(点) 轴对称图形的对称轴一定经过这个图形的内部 对称轴 数量 一般只有一条 有一条或多条或无数条 联系 (1)定义中都有一条直线，都要沿着这条直线对折， (2)把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是 一个轴对称图形 . 把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条对称轴成轴对称 2. 成轴对称图形与轴对称图形的区别与联系 考点二、轴对称 考点串讲 3. 成轴对称图形的性质 如果两个图形关于某一条直线成轴对称，那么这两个图形是全等形，它们的对应线段相等，对应角相等，对应点所连的线段被对称轴垂直平分. 成轴对称的两个图形的对应线段所在直线平行或者重合或者相交于对称轴上某一点 . 考点二、轴对称 考点串讲 考点三、垂直平分线的性质定理及逆定理 1.垂直平分线的定义 垂直且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线. 2. 性质定理 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 . 条件：点在线段的垂直平分线上. 结论：这个点到线段两端的距离相等. 几何语言 如图 AD⊥ BC， BD=CD， AB=AC. 考点串讲 3. 逆定理 到线段两端距离相等的点， 在这条线段的垂直平分线上 . 条件： 点到线段两端的距离相等. 结论： 点在线段的垂直平分线上. 几何语言  如图 AB=AC， 点 A 在线段 BC 的垂直平分线上 . 考点三、垂直平分线的性质定理及逆定理 4. 三角形三边的垂直平分线的性质 三角形三边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等. 考点串讲 考点四、与垂直平分线有关的尺规作图 1. 用尺规作线段的垂直平分线的步骤 如图 ①， (1)分别以点 A， B 为圆心，以大于AB的长为半径，在线段 AB 的两侧画弧，分别相交于点 C，D； (2)连接 CD，则直线 CD即为线段 AB 的垂直平分线 . 2. 过一点作已知直线的垂线 如图②，经过直线 AB 上(外)一点 P 作 AB的垂线，只要在直线 AB 上作出一条线段 CD，使得点 P 在线段 CD 的垂直平分线上，再作出到点 C,D 距离相等的点Q，连接 PQ，则直线 PQ即为所求. 考点串讲 考点五、角平分线的性质定理和逆定理 1. 角平分线的性质定理  角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 . 角平分线的性质定理的两个必要条件： (1)点在角平分线上； (2)这个点到角两边的距离相等，即点到角的两边的垂线段的长度相等. 几何语言  如图 OC 平分∠ AOB，点 P 是 OC 上一点， PD⊥OA 于点 D， PE ⊥ OB 于点 E， PD=PE. 考点串讲 2.逆定理 到角的两边距离相等的点在角平分线上. 几何语言 如图 点 P 为∠ AOB 内一点， PD⊥ OA， PE ⊥ OB，垂足分别为 D， E，且 PD=PE， 点 P 在∠ AOB 的平分线 OC 上 . 3. 角平分线性质定理与其逆定理的关系 (1) 都与垂直有关； (2) 点在角的平分线上 点到角两边的距离相等 . 考点五、角平分线的性质定理和逆定理 考点串讲 考点六、角平分线的尺规作图 尺规作角平分线的步骤 如图，已知∠ AOB. 求作： ∠ AOB 的平分线 . 作法：(1)以点 O 为圆心，适当长为半径画弧，交 OA于点 M，交 OB 于点 N. (2)分别以点 M，N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧在∠ AOB 的内部相交于点 C. (3)作射线 OC. 射线 OC 即为所求. 考点串讲 考点七、中心对称图形 1. 中心对称图形 如果一个图形绕某一个点旋转 180 °后能与它自身重合，我们就把这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心，其中对称的点叫做对应点 . (1)①中心对称图形是一个图形； ②中心对称图形有且只有一个对称中心； ③中心对称图形绕对称中心旋转 180°后能与自身重合 . (2)中心对称图形上所有的点关于对称中心的对称点都在这个图形上 . 常见的中心对称图形有线段、平行四边形、长方形、正方形、边数是偶数的正多边形、圆等. 考点串讲 2. 中心对称图形与轴对称图形的区别和联系 中心对称图形 轴对称图形 区别 有一个对称中心——点 至少有一条对称轴——直线 图形绕对称中心旋转 180°后与自身重合 图形沿对称轴对折后对称轴两旁的部分能够完全重合 相同点 过对称中心的任意一条直线都把中心对称图形分成全等的两部分；轴对称图形的一条对称轴把图形分成全等的两部分 联系 如果一个轴对称图形有两条互相垂直的对称轴，那么这个轴对称图形一定是中心对称图形，两条对称轴的交点是它的对称中心 考点七、中心对称图形 考点串讲 考点八、成中心对称的性质 1. 定义  如果一个图形绕某一点旋转 180 °后与另一个图形重合，我们就把这两个图形叫做成中心对称，这个点叫做对称中心，其中成中心对称的点、线段和角，分别叫做对应点、对应线段和对应角 . 2. 成中心对称与中心对称图形的区别与联系 中心对称图形 成中心对称 区别 图形的个数不同 只涉及一个图形 涉及两个图形 反映的关系不同 反映了这个图形自身的中心对称性 反映了两个图形之间的大小、形状、位置关系 对应点的位置不同 对应点都在同一个图形上 对应点分别在成中心对称的两个图形上 联系 过中心对称图形的对称中心画一条直线，如果把直线两旁的部分各看成一个图形，则这两个图形成中心对称；把成中心对称的两个图形看成一个图形，则这个图形是中心对称图形 考点串讲 在成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，并且被对称中心平分 . 注意： (1) 如果两个图形的所有对应点的连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点成中心对称，利用这一性质可以识别成中心对称 . (2)成中心对称的两个图形是全等图形，对应角相等，对应线段平行(或在一条直线上)且相等. 考点八、成中心对称的性质 由性质可以得到如下结论： (1)对称中心在一对对应点的连线上; (2)对称中心到一对对应点的距离相等. (3)两个全等图形不一定成中心对称，而成中心对称的两个图形一定是全等图形. 考点串讲 题型一、轴对称图形 例1.下面轴对称图形中对称轴最多的是( ) B A. B. C. D. 解：A有一条对称轴，B有3条对称轴，C有一条对称轴，D有一条对称轴，故选B项 题型剖析 变式1.画出下列各轴对称图形的对称轴. 解：如图所示. 题型一、轴对称图形 题型剖析 题型二、轴对称性质 例2.如图，与相交于点， 和关于 直线对称，点， 的对称点分别是点， .下列 不一定正确的是( ) A A. B. C. D. 解：根据轴对称的性质，对应点的连线垂直于对称轴，所以B正确. 对应图形为全等形，所以.C正确. 对应点的连线互相平行或重合，所以D正确. 故选A项. 题型剖析 变式2.如图，两个四边形关于某条直线对称，根据图中提供的数据可得， ___， _____. 5 题型二、轴对称性质 解：根据轴对称性质，对应线段相等，对应角相等 ，所以， . 题型剖析 题型三、垂直平分线性质定理 例3.如图，点在上，垂直平分 ，垂足为，垂直平分， 垂足为.求证： . 证明：垂直平分，垂直平分 ， ， . . 题型剖析 变式3.如图，在中，边 的垂直平分线交于点，边的 垂直平分线交于点，与 相交于点，连接，.若 的周长为， 的周长为 . （1）求线段 的长. 解：是边 的垂直平分线， . 是边的垂直平分线， . . 的周长为 ，即 ， . 题型三、垂直平分线性质定理 题型剖析 （2）连接，求线段 的长. 解：连接 . 是边的垂直平分线， . 是边的垂直平分线， . 的周长为 ， 即 . 又 ， . 题型三、垂直平分线性质定理 题型剖析 题型四、垂直平分线性质定理的实际应用 例4.如图，在正方形网格中有，两点，在直线上 求一点 ，使最短，则点 应选在( ) C A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 解：先做点关于的对称点，连接交于点，根据两点之间线段最短及垂直平分线性质可得当最短时，应在点位置. 题型剖析 变式4.如图，,是两个蓄水池，都在河流 的同侧，为了方便灌溉作 物，要在河边建一个抽水站，将河水送到, 两地，问该站建在河边 什么地方，可使所修的渠道最短？试在图中确定该点.（保留作图痕迹） 解：作点关于直线对称的点 ，连接交于点 ，则点 就是抽水站的位置. 题型四、垂直平分线性质定理的实际应用 题型剖析 题型五、垂直平分线性质定理的逆定理 例5.如图，与相交于点， ，，. 求证：垂直平分 . 证明：在和 中， . 点在线段 的垂直平分线上. , 点在线段 的垂直平分线上. 垂直平分 . 题型剖析 变式5.如图，在中， ， 平分 ，于点 ． （1）若 ，求 的度数. 解： ，平分 ， . ， . ． 题型五、垂直平分线性质定理的逆定理 题型剖析 （2）求证：直线是线段 的垂直平分线． 证明：， ， . 平分 ， . 又 ， . ， . 直线是线段 的垂直平分线． 题型五、垂直平分线性质定理的逆定理 题型剖析 题型六、垂直平分线的尺规作图 例6.观察图中尺规作图的痕迹，可得线段一定是 的( ) B A. 角平分线 B. 高线 C. 中位线 D. 中线 解：观察作图痕迹可以看出这是在做过点向作垂线的尺规作图痕迹，所以是的高线. 题型剖析 变式6.如图，在 中，，，分别 以点，为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧交 于点，，过， 两点作直线交于点，连接， 的周长是10，则 的长为( ) C A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 题型六、垂直平分线的尺规作图 解：根据尺规作图痕迹可以得到，垂直平分， 根据垂直平分线的性质，可得 那么所以 题型剖析 题型七、角平分线的性质定理 例7.如图，是的平分线，点在 上，，， 垂足分别为，.点，分别在， 上，，连接，. 求证： . 证明：是的平分线， , , , . 在和 中， . . 题型剖析 变式7.如图， ，平分，平分， 求证： 是 的中点. 证明：过点作于点 . ， ， . 平分，平分 ， ， . 是 的中点. 题型七、角平分线的性质定理 题型剖析 题型八、角平分线的性质定理的逆定理 例8.如图， ，于点，于点 .若 ，则____ . 35 解：，， 平分， . 题型剖析 变式8.如图，已知点是上一点，， ， 垂足分别为,，连接,.若垂直平分 ，求 证：是 的角平分线. 证明：垂直平分 ， . ， ， 是 的角平分线. 题型八、角平分线的性质定理的逆定理 题型剖析 题型九、中心对称图形 例9.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ) B A. B. C. D. A，平行四边形是中心对称图形不是轴对称图形 B，矩形是既是轴对称图形，又是中心对称图形 C，直角三角形既不是轴对称图形，又不是中心对称图形 D，正三角形是轴对称图形，不是中心对称图形 题型剖析 变式9.如图所示的是由8个大小相等的正方形组成的中心对 称图形，则此图的对称中心是( ) A A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 题型九、中心对称图形 解：判断对称中心即将图形绕该点点旋转能和本身重合，该图绕点旋转和本身重合，所以点为对称中心. 题型剖析 题型十、中心对称的性质 例10.如图， 与关于点 成中心对称， 则下列结论不成立的是( ) D A. 点与点是对称点 B. C. D. 解：对称点的连线经过对称中心，且到中心对称点距离相等，所以A正确，B正确； 成中心对称的两个图形对应角相等，C正确； D项两个角不是对应角，D错误. 题型剖析 变式10.如图，已知点与点关于点对称，点与点 也关于 点对称.若，,则 的长可能是( ) C A. 3 B. 4 C. 7 D. 11 解：根据中心对称的性质，， 根据三角形第三条边大于两边之和小于两边之差，所以，选. 题型十、中心对称的性质 题型剖析 1.下列选项中，直线 是四边形的对称轴的是( ) C A. B. C. D. 解：观察图发现能够沿直线折叠后两边图形完全重合的为图，故选项 针对训练 2.如图，四边形与四边形 关于一个点成中心对称，则这个点是 ( ) A A. B. C. D. 解：连接对应点的连线，发现对应点连线交于，所以是这两个图形的对称中心. 针对训练 3.如图所示，是 的垂直平分线.若， ，则四边形 的周长是( ) B A. B. C. D. 解：根据垂直平分线的性质， ，， 四边形ABCD的周长为 针对训练 4.如图，在中， ， ， ，平分，则点到 的距离 等于( ) C A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 解：过点往引垂线段，交于点， 根据角平分线的性质， 又因为==2 所以. 针对训练 5.如图，中，是的垂直平分线，交于点，交 于点 ，已知,的周长为，则 的周长是( ) B A. B. C. D. 解：根据垂直平分线的性质，. 的周长=AC+CD+AD=AC+CD+BD=AC+BC=12cm 的周长=CD+BC+AB=12+2=14cm 针对训练 6.甲、乙、丙、丁四位同学解决以下问题，其中作图正确的是( ) _____________________________________ 问题：某旅游景区内有一块三角形绿地 ，如图 所示，先要在道路边上建一个休息点 ，使它到 和两边的距离相等，在图中确定休息点 的 位置. C A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 解：甲图为两条角平分线 乙图为一条角平分线和一条垂线 丙图为一条角平分线 丁图为垂直平分线 根据题意应为角平分线上一点，故选 针对训练 7.如图，在中， ，是边上一点，， 的垂 直平分线分别交，于点，，则 ____度. 80 解：根据垂直平分线的性质 ， 所以 针对训练 8.如图，在中，，， 的面积为24，依据 尺规作图的痕迹判断， 的长为___. 6 解：根据尺规作图痕迹，为的角平分线，，过点作垂直于，交于点，， 的面积， 解得. 针对训练 9.如图，为 的角平分线，且，， 求 的长. 解：过点分别作， ，垂足分别 为， . 为 的平分线， . 又 ， . . ， . 针对训练 10.如图所示，已知,,是 上的一点. 求证： . 证明：连接 . , 点在线段 的垂直平分线上. , 点在线段 的垂直平分线上. 直线是线段 的垂直平分线. 点在直线上， .在和中， . 针对训练 11.如图，在四边形中，，为 的中点，连接,， ，延长交的延长线于点 .求证： （1） . 证明：， . 为的中点， . 在和中， . 针对训练 （2） . [解析] ，， . ,是线段 的垂直平分线. . 针对训练 ✅ 知识构建：轴对称和中心对称 轴对称概念→轴对称性质→中心对称概念→中心对称性质 ✅ 思想方法： 数形结合、类比思想 今天，我们都有哪些收获？快来说说吧. 课堂总结 感谢聆听! $