专题03 相似三角形重要模型之手拉手模型（几何模型讲义）数学苏科版九年级下册

专题03 相似三角形重要模型之手拉手模型 相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。手拉手模型相似是手拉手模型当中相对于手拉手全等模型较难的一种模型，在实际的应用和解题当中出现时，对于同学们来说，都比较困难。而深入理解模型内涵，灵活运用相关结论可以显著提高解题效率，本专题重点讲解相似三角形的“手拉手”模型（旋转模型）。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型拓展 4 模型运用 4 模型1.手拉手（旋转）模型 4 14 “手拉手”模型名称源于几何图形的动态特征：当两个具有‌公共顶点‌的相似三角形通过旋转或缩放后，连接对应顶点形成的图形如同两人“手拉手”。民间数学爱好者根据此特征命名，使其成为几何解题中的通用术语。虽模型归类为现代教学成果，但其数学思想早有体现：7世纪印度数学家‌婆罗摩笈多‌研究的圆内接四边形定理中，对角线交点与边的垂足关系隐含手拉手结构。 “手拉手”模型有以下特点：1）两个三角形相似；2）这两个三角形有公共顶点，且绕顶点旋转并缩放后2个三角形可以重合；3）图形是任意三角形(只要这两个三角形是相似的)。 （2025·广东东莞·二模）点C为和的公共顶点，将绕点C顺时针旋转，连接， (1)【问题发现】如图1所示，若和均为等边三角形，求证：； (2)【类比探究】如图2所示，若，，其他条件不变，请写出线段与线段的数量关系是______； (3)【拓展应用】如图3所示，若，，，，当点B，D，E三点共线时，求的长． 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)或． 【详解】（1）证明：和均为等边三角形， ，，，， 在和中，，，； （2）解：，， ，，，，则， ，，，故答案为：； （3）解：，，， ，，，，， ，∴，， 当点D在线段上时，如图3，，，， 由得，，则，； 当E在线段上时，如图4，则，， 综上，当点B，D，E三点共线时，的长为或 1.手拉手相似模型（任意三角形） 图1 图2 条件:如图1，∠BAC=∠DAE=，； 结论：△ADE∽△ABC，△ABD∽△ACE；；∠BFC=∠BAC. 证明：∵，∴，∵∠BAC=∠DAE=，∴△ADE∽△ABC， ∵∠BAC=∠DAE=，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE， ∵，∴△ABD∽△ACE，∴，∠ABD=∠ACE，∴∠BFC=∠BAC=∠DAE=， 2.手拉手相似模型（直角三角形） 条件:如图2，，； 结论：△AOC∽△BOD；，AC⊥BD，. 证明：∵，∴∠AOB-∠BOC=∠COD-∠BOC，∴∠AOC=∠BOD， ∵，∴△AOC∽△BOD，∴，∠OAB=∠OBD， ∴∠AEB=∠AOB=90°，∴AC⊥BD，∴. 3.手拉手相似模型（特殊的等边三角形与等腰直角三角形） 图3 图4 条件:M为等边三角形ABC和DEF的边AC和DF的中点； 结论：△BME∽△CMF；. 证明：∵M为等边三角形ABC和DEF的边AC和DF的中点，∴，∠BMC=∠EMF=90°， ∴∠BMC-∠EMC=∠EMF-∠EMC，∴∠BME=∠CMF，∴△BME∽△CMF，∴， 条件:△ABC和ADE是等腰直角三角形； 结论：△ABD∽△ACE；∠ACE=90°；. 证明：∵△ABC和ADE是等腰直角三角形，∴，∠BAC=∠DAE=45°， ∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE，∴△ABD∽△ACE， ∴，∠ACE=∠ABD=90° 手拉手相似证明题一般思路方法: ①由线段乘积相等转化成线段比例式相等； ②分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形； ③第②步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等； ④第②步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第③步。 模型1.“手拉手”模型（旋转模型） 例1（2025·山东枣庄·模拟预测）【综合与实践】 如图，在中，点是斜边上的动点（点与点不重合），连接，以为直角边在的右侧构造，，连接，． 【特例感知】（1）如图1，当时，与之间的位置关系是_____，数量关系是__________． 【类比迁移】（2）如图2，当时，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想． 【拓展应用】（3）在（1）的条件下，点与点关于对称，连接，EF，，如图3．已知，，设，求的长度． 【答案】（1），；（2），，见解析；（3）或. 【详解】（1），；∵∴ ∵∴∴ ∴∴ ∴∴ （2），，证明：，， ，，，，， ，，，； （3）连接交于点与点关于对称垂直平分， 又四边形是正方形 过作于，则是等腰直角三角形，设， ，，连接 为直角三角形斜边中点，，，， ，，， ，，解得或，或. 例2（24-25·浙江·九年级期中）问题情境：如图1，在△ABC中，AB＝6，AC＝5，点D，E分别在边AB，AC上，且．数学思考： (1)在图1中，的值为 　 ；(2)图1中△ABC保持不动，将△ADE绕点A按逆时针方向旋转到图2的位置，其它条件不变，连接BD，CE，则（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由；(3)拓展探究：在图2中，延长BD，分别交AC，CE于点F，P，连接AP，得到图3，探究∠APE与∠ABC之间有何数量关系，并说明理由；(4)若将△ADE绕点A按逆时针方向旋转到图4的位置，连接BD，CE，延长BD交CE的延长线于点P，BP交AC于点F，则（3）中的结论是否仍然成立，若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出∠APE与∠ABC之间的数量关系． 【答案】(1)(2)（1）中结论仍然成立，理由见解析(3)∠APE=∠ABC，理由见解析 (4)结论不成立，∠APE+∠ABC=180°，理由见解析 【解析】（1）解：∵，∴，∴； （2）解：中结论仍然成立，理由如下：∵旋转的性质，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB， ∴△ADE∽△ABC，∴，在图2中，由旋转的性质可知，∠BAC=∠DAE， ∴∠BAD=∠CAE，∴△BAD∽△CAE，∴； （3）解：∠APE=∠ABC，理由如下：由（2）得△BAD∽△CAE，∴∠ABD=∠ACE， 又∵∠AFB=∠PFC，∴△AFB∽△PFC，∴，∴， 又∵∠AFP=∠BFC，∴△AFP∽△BFC，∴∠CBF=∠PAF， ∵∠APE=∠ACE+∠PAF，∠ABC=∠ABF+∠CBF，∴∠APE=∠ABC； （4）解：（3）结论不成立，∠APE+∠ABC=180°，理由如下： 由（2）知，△BAD∽△CAE，∴∠ABD=∠ACE， ∴A、B、C、P四点共圆，∴∠APE+∠ABC=180°． 例3（24-25九年级上·四川成都·期末）已知，，直线与直线相交于点． (1)如图1，点在内部，当且点，重合时，请证明：； (2)如图2，点在内部． ①当时，探究线段，，之间的数量关系； ②当时，直接写出一个等式，表示线段，，之间的数量关系； (3)当，，且为直角三角形时，直接写出表示线段与的比值． 【答案】(1)见解析(2)①；②(3)或或 【详解】（1）证明：，是等边三角形， ，是等边三角形，， ∵，，， 在和中，，()，． （2）解：①(ⅰ)如图，当点D，N重合时， ，，，， ，，，， ，，， ，，即，在中，， ，，， ，当点D，N重合时，； (ⅱ) 如图，当点D，N不重合时，在上取一点H，使得，连接； 由(ⅰ)同理可证：，，， ，， ，， ，，， ， ，；在中， 同理可求：， 当点D，N不重合时，．综上，． ②如图：在上取一点H，使得，连接， 由①中的(ⅱ)同理可证，， ∴，，，如图，过作交于，， 设，则，，， ，， ， ，故； （3）解：如图，取的中点，连接，， ，，， ，是等边三角形，，，，， ，，， ，，， ①如图，当时，此时与重合， （ⅰ）点在线段上，如图， ，，，； （ⅱ）点在线段延长线上，如图，由（ⅰ）同理可证：； ②当时，（ⅰ）如图，当点在的内部时， 如图，连接，在上取一点H，使得，连接，过作交的延长线于，过作于，设， ，，，， 由勾股定理得：，， 四边形是矩形，，，， ，，，，， ，， 由（2）同理可证：，， ， ，解得：， ，，解得：， ， ， ， ，； （ⅱ）如图，当点在的外部时， 连接，在上取一点H，使得，连接，过作交于，过作交于，设， ，，， ，，， 四边形是矩形，，，， ，，，，， ，， 由（2）同理可证：，， ， ，，解得：， ，，解得：， ， ， ， ，； 综上所述：或或． 例4（2024·山西·模拟预测）综合与实践 问题背景：在数学活动课上，老师带领同学们进行三角形旋转的探究，已知和均为等边三角形，O是和的中点，将绕点O顺时针旋转． 猜想证明：(1)如图①，在旋转的过程中，当点E恰好在的延长线上时，交于点H，试判断的形状，并说明理由；(2)如图②，在旋转的过程中，当点E恰好落在边上时，连接，试猜想线段与线段的数量关系，并加以证明；(3)如图③，若，连接，设所在直线与所在直线交于点M，在旋转的过程中，当点B，F，E在同一直线上时，在M，O两点中的其中一点恰好是另一点与点C构成的线段的中点，请直接写出此时的长． 【答案】(1)为等腰三角形，理由见详解(2)，证明见详解(3)1或2 【详解】（1）解：为等腰三角形，理由：∵为等边三角形，∴，， ∵O是的中点∴，∵是等边三角形，∴， ∵，∴，∴，∴为等腰三角形； （2）解：， 证明如下：连接，∵均是等边三角形，∴， ∵点O为的中点，∴，∴， ∵，∴，∴，∴，∴； （3）解：情况一，如图①，当点在同一直线上，连接， ∵点O为中点，∴，∵，∴， ∴，∴，∴，∴， ∵点M为的中点，点O为中点，∴，∴，即，解得：； 情况二：∵为等边三角形，∴， ∵点O为中点，，∴，， 如图②，当点O为中点时，， ∵等边边长为2，∴在中，，∴， ∵此时三点共线，∴点B和点E重合， 又∵点M是直线与直线的交点，∴三点重合， ∴此时的长为的长，即，综上所述，此时的长为1或2． 例5（2024·江苏扬州·三模）（1）观察猜想：如图1，已知三点在一条直线上（），正方形和正方形在线段同侧，H是中点，线段与的数量关系是______，位置关系是______；（2）猜想证明：在（1）的基础上，将正方形绕点D旋转度（），试判断（1）中结论是否仍成立？若成立，仅用图2进行证明；若不成立，请说明理由． （3）拓展延伸：如图3，矩形和矩形中，，将矩形绕点旋转任意角度，连接是中点，若，求点运动的路径长． 【答案】（1）；（2）成立，证明见解析；（3） 【详解】（1），且．理由如下： ∵正方形和正方形，∴∴； 设正方形的边长为a，正方形的边长为b，根据题意，得； ∵H是中点，∴，∴． 故答案为：． （2）结论仍然成立．理由如下， 延长到点P，使得，连接，延长二线交于点Q， ∵H是中点，∴，，∴， ∵正方形和正方形，∴，，， ∴，∵∴， ∴，∴，， ∴，，故． （3）如图，延长到点Q，使得，连接，根据三角形中位线定理，得到， ∵矩形和矩形，∴，∴， ∵，∴，∴，∴，∴， ∵，，∴，∴， 取的中点O，连接，∵是中点，∴， 根据圆的定义，判定点H在以点O为圆心，以为半径的圆上，∴其周长为． 例6（2025·吉林白城·模拟预测）一次小组合作探究课上，老师将两个正方形按如图①所示的位置摆放（点，，在同一条直线上），发现且． 小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答：(1)将正方形绕点按逆时针方向旋转（如图②），还能得到吗？若能，请给出证明，请说明理由；(2)把背景中的正方形分别改成菱形和菱形，将菱形绕点按顺时针方向旋转（如图③），试问当与的大小满足怎样的关系时，；(3)如图④，把背景中的正方形分别改写成矩形和矩形，且，请直接写出与满足的数量关系． 【答案】(1)能得到，证明见解析(2)，理由见解析(3) 【详解】（1）解：能得到．证明：∵四边形为正方形，∴，， 又∵四边形为正方形，∴，， ∴，∴， 在和中，，∴，∴； （2）解：当时，． 理由：∵，∴，∴， 又∵四边形和四边形均为菱形，∴，， 在和中，，∴，∴； （3）解：∵四边形和四边形都是矩形，∴， ∴，∴， ∵，∴，∴． 1．（24-25·北京顺义·九年级校考期中）如图，和都是等腰直角三角形，．连接BD，CE．则的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【详解】解：∵和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∴，，∴，∴．故选B． 2．（2024·广东深圳·二模）如图，在等腰直角中，，D为上一点，E为延长线上一点，且，，则 ． 【答案】 【详解】过点E作，交的延长线于点H， ，，，， ，，，，， ，，，， ，，， ．故答案为：． 3．（2023·湖南常德·中考真题）如图1，在中，，，，D是上一点，且，过点D作交于E，将绕A点顺时针旋转到图2的位置．则图2中的值为 ．    【答案】/0.8 【详解】∵在中，，，，∴ ∵∴，∴∴∴ ∵∴∴ ∴∴．故答案为：． 4．（2022·四川达州·中考真题）某校一数学兴趣小组在一次合作探究活动中，将两块大小不同的等腰直角三角形和等腰直角三角形，按如图1的方式摆放，，随后保持不动，将绕点C按逆时针方向旋转（），连接，，延长交于点F，连接．该数学兴趣小组进行如下探究，请你帮忙解答： (1)【初步探究】如图2，当时，则_____； (2)【初步探究】如图3，当点E，F重合时，请直接写出，，之间的数量关系：_________； (3)【深入探究】如图4，当点E，F不重合时，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出推理过程；若不成立，请说明理由．(4)【拓展延伸】如图5，在与中，，若，（m为常数）．保持不动，将绕点C按逆时针方向旋转（），连接，，延长交于点F，连接，如图6．试探究，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)(2)(3)仍然成立，理由见解析(4) 【解析】(1)等腰直角三角形和等腰直角三角形，， 故答案为： (2) 在与中， 又 重合，故答案为： (3)同（2）可得， 过点，作，交于点， 则，， 在与中，，， ，是等腰直角三角形，，， ，， 在与中，，， ，，即， (4)过点作，交于点， ，，，， ，，， ， ，，， ，，中，， ，即． 5．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）综合与实践 数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．    (1)发现问题：如图1，在和中，，，，连接，，延长交于点．则与的数量关系：______，______； (2)类比探究：如图2，在和中，，，，连接，，延长，交于点．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由； (3)拓展延伸：如图3，和均为等腰直角三角形，，连接，，且点，，在一条直线上，过点作，垂足为点．则，，之间的数量关系：______； (4)实践应用：正方形中，，若平面内存在点满足，，则______． 【答案】(1)，(2)，，证明见解析(3)(4)或 【详解】（1）解：∵，∴， 又∵，，∴，∴， 设交于点，          ∵∴，故答案为：，． （2）结论：，； 证明：∵，∴，即， 又∵，，∴∴， ∵，，∴， ∴， （3），理由如下， ∵，∴，即， 又∵和均为等腰直角三角形∴，∴，∴， 在中，，∴，∴； （4）解：如图所示， 连接，以为直径,的中点为圆心作圆，以点为圆心，为半径作圆，两圆交于点， 延长至，使得，则是等腰直角三角形， ∵,∴， ∵，∴∴，∴， ∵，在中，， ∴∴ 过点作于点，设，则， 在中，，在中， ∴∴解得：，则， 设交于点，则是等腰直角三角形，∴ 在中，∴∴ 又，∴∴ ∴，∴∴， 在中， ∴， 综上所述，或故答案为：或． 6．（24-25八年级下·四川成都·期中）如图1，在直角中，，，将绕点顺时针旋转得到，连接，，直线与直线相交于点． (1)如图1，若P点为射线与线段交点时，①求证；②知识背景：如果过三角形一边中点的线段平行三角形的另一边，那么这条线段平分三角形的第三边，如图2：中，点D是中点，且，则点E是中点． 知识应用：证明：；(2)当时，求PD的长． 【答案】(1)①见解析；②见解析(2)的长为或． 【详解】（1）证明：①如图，设交于点O， 由旋转知，，∴； ∵，∴； ∵，，∴； ②如图，延长至H，使，连接． ∵，∴，∴，， 由旋转知：，∴，∴； 设，，∴， ∴，∴， ∴；由（1）知得， ∴， ∴，∴，∵，∴． （2）解：当D点在上方时，如图，过A作． ∵，，∴， ∴，∴． ∴为等腰直角三角形，∴， 由旋转，∴为等腰直角三角形． ∴∴； 由（1）②知，，∴． ∴； 当D点在下方时，如图，过点E作，交延长线于点M，过点P作交于N点， ∵，，∴． ∵，∴； ∵，∴， ∴，∴； ∵，，∴，∴， 即，解得．∵， ∴，∴，∴； ∵，，，∴， ∴，∴，解得，∴， ∴；综上所述：的长为或． 7．（2025·江西宜春·模拟预测）在综合实践课上，同学们以“图形的旋转与位似”为主题开展数学活动． (1)如图，已知点E在矩形的对角线上，，将绕点A顺时针旋转后，以点A为位似中心放大两倍得到，连接．①证明：；②求，，的数量关系． (2)如图，点E是直角三角形外一点，连接，，，，，求的长． 【答案】(1)①证明见解析；② (2) 【详解】（1）证明：①∵将绕点A顺时针旋转后，以点A为位似中心放大两倍得到， ∴，∴，，，， ∵，即，而，，∴； ②∵，∴∴， ∵四边形为矩形，∴， ∵，∴， ∴，∴，∵， ∴，，∴，∴； （2）解：如图，过作的垂线交的延长线于，连接， ∵，∴， ∴，而，∴，， ∵，∴， ∵，∴，∴，∴， ∴， ，∴，而， ∴，∴. 8．（2025·山东聊城·三模）问题情境：借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，数学小组对此进行了研究．如图1，在中，，，分别取，的中点D，E，作．如图2所示，将绕点A逆时针旋转，连接，． 【探究发现】旋转过程中，的值不变，这个比值为_______．那么，猜想线段和的数量关系，并加以证明； 【类比应用】如图3，当所在直线首次经过点B时，求的长； 【延伸思考】如图4，，，分别取，的中点D，E，作，将绕点B逆时针旋转，连接，．当首次与平行时，求点E到的距离． 【答案】[探究发现]，，理由见解析；[类比应用]；[延伸思考] 【详解】解：[探究发现] ， 理由如下：∵点和点为分别为中点， ∴， ，∴，，， ，根据旋转的性质可得：， ，，即．故答案为：， [类比应用]由图1可知 ∵点和点为分别为中点， ，，， ∴当所在直线经过点时，，根据勾股定理可得：， 由[探究发现]可得：，，解得：； [延伸思考]过点作于点， 根据题意可得：，， ，， ∵，，根据旋转的性质可得：， ，，， 9．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）已知，均为等腰直角三角形， 【观察发现】（1）如图①，点，分别在线段，上，请直接写出与的数量关系； 【类比探究】（2）如图②，将绕点顺时针旋转，连接，，且与所在的直线交于点．（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请写出新的数量关系并证明； 【联系拓广】（3）若，，在旋转的过程中，当直线时，则________． 【答案】（1）（2）结论还成立，理由见详解（3）或． 【详解】（1）解：． 理由如下：∵，均为等腰直角三角形，， ∴，∴，∴ ． （2）（1）中的结论还成立． 理由如下：∵，均为等腰直角三角形，， ∴，， ∴，，∴，∴，∴． (3)当点在点右侧时，如图，设与直线的交点为， ∵，是等腰直角三角形，∴， ∵直线，∴，∴， ∴，∴，∴； 当点在点左侧时，如图，设与直线的交点为， 同理可求，∴，∴，综上所述：或． 10．（2025·河南商丘·模拟预测）综合与实践 初步探究：(1)如图1，在等腰中，，，，是边上一点（不与点重合），连接，将绕点逆时针旋转，得到．连接，则______． 类比探究：(2)如图2，在中，，．是斜边的中点，，是线段上一点（不与点重合），连接，将绕点逆时针旋转，得到，连接，求的值．（用含的式子表示） 拓展延伸:(3)如图3，已知等边的边长为10，是边的中点，是边上一点，，将绕点旋转，得到，连接，请直接写出的长． 【答案】(1)(2)(3)3或 【详解】（1）解：由旋转的性质得，，， ，，，，， ，，，，即， ，．故答案为：． （2）解：，是斜边的中点，，， 由旋转的性质得，，，，，， ，，，， ，，即， ，． （3）解：①若将绕点逆时针旋转，得到，取的中点，连接、，如图： 由旋转的性质得，，， 是等边三角形，，， 等边边长为10，，， 分别是的中点，，， ，是等边三角形，，， ，，即， ，， ，，，； ②若将绕点顺时针旋转，得到， 以为边在左侧构造等边，作交延长线于点，连接、，如图： 由旋转的性质得，，，是等边三角形，，， 等边边长为10，，， 是边的中点，，等边， ，，， ，即，，， ，，， 在中，，， ，， ，，， ，； 综上所述，的长为3或． 12．（2025·湖北武汉·模拟预测）【问题背景】：（1）如图（1），．求证：； 【变式迁移】：（2）如图（2），，，AE与DC相交于点F，点D在CB的延长线上，．求的值； 【问题拓展】：（3）如图（3），若，当CD的值最大时，直接写出的值． 【答案】（1）见解析 （2）（3） 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，∴，∴， ∴，故． （2）解：∵，，∴， ∴点A，D，E，C四点共圆，且为圆的直径，连接，∴； ∵，设，∴， ∵，∴， ∵，，∴， ∴，∴，∴，∴， ∵，∴，∴． （3）解：如图，作，的交点为E， 则，， ∵，∴，， ∴，，∴，∴， ∵,∴,∴, ∵,∴当D，E，C三点共线时，的值最大，且最大值为 ∴，∴，， ∴，, ∴，故． 13．（2025·陕西榆林·三模）综合与实践 【特例感知】（1）在学习了“平行四边形”后，奋发数学兴趣小组的同学发现：如图1，已知点是正方形的对角线上的动点（点不与点重合），以为直角边在的右侧构造，连接，通过观察图形，可得与之间的位置关系是___________，数量关系是___________； 【类比迁移】（2）奋进数学兴趣小组的同学发现：如图2，已知点是矩形的对角线上的动点（点不与点重合），以为直角边在的右侧构造，，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想； 【拓展应用】（3）在（2）的条件下，若，点在矩形的对角线上运动（点不与点重合），当四边形为轴对称图形时，请直接写出线段的长度． 【答案】（1），（2），证明见解析（3）的长为或 【详解】解：（1）四边形为正方形，． ，． 又， ，． 故答案为：，； （2）．证明：四边形为矩形，． 在中，，，即． 又．．． ，．； （3）或．．分两种情况讨论： ①如图1，当四边形为矩形时，四边形为轴对称图形． 由（2）得在矩形中，． 在中，，解得． ②如图2，当四边形关于所在的直线对称时，． 在中，． ．由（2）得．综上所述，的长为或 14．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图1，在中，，，，点F在边上，，交于点E．(1)求的长．(2)将图1中的绕点B顺时针旋转得到，点E，F的对应点分别为M，N，连接．①如图2，连接，求的值；②在绕点B旋转的过程中，C，M，N三点第一次共线时，求的长；③连接，P是线段的中点，当点M，N都在的外部，且时，求的面积． 【答案】(1)(2)①；②；③的面积为或 【详解】（1）解：∵，，∴， ∵，，∴， ∵，∴，∴，即，∴． （2）解：①由（1）知，∴， ∵由旋转得来，∴，，， ∴，，∴，∴，∴， 在中，，∴． ②当C、M、N三点第一次共线时，∵，∴， ∴在中，由勾股定理，得．由①知，∴； ③在中，， 由旋转知：，∴，∴，∵，∴． 如图1，当在直线的上方时，过点M作交的延长线于点Q． ∴，∵，， ∴．∴，∴． ∴，，∴， 过点P作于点G，于点H， ∵，∴四边形是矩形，∴， ∵P是线段CM的中点，，∴，， ∴，∴， 如图2，当在直线的下方时，过点M作于点Q，过点P作交的延长线于点G，于点H． ∴四边形是矩形．∴．同理可得，，∴， ∵P是线段CM的中点，，∴，，∴， ∴；综上所述，的面积为或． 15．（2025·广东茂名·模拟预测）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知等腰直角三角形纸片和中，，，． 【初步感知】（1）如图1，纸片绕点逆时针旋转，连接，，证明：平分； 【深入探究】（2）在（1）条件下，如图2，延长交于，求的长； 【拓展延伸】（3）在纸片绕点旋转过程中，试探究，，三点能否构成直角三角形．若能，直接写出所有直角三角形的面积；若不能，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）能，2或或或 【详解】（1）证明：由旋转性质得，， ∴为等边三角形，∴，， 又∵，，∴， ∴，∴平分； （2）延长交于点， ∵是等边三角形，平分，∴，， ∴，在中，，∴， ∵，∴，， ∴，， ∴，∴， 过点作于，则是等腰直角三角形，∴，∴， 在中，，∴， 在中， ，∴，∴； （3）①当时，如图3-1所示，则， ∴此时三点共线，∴ ，∴； 如图3-2所示，当点D在延长线上时，此时满足， ∴，∴； ②如图所示，当时，则， ∴，∴， 又∵，∴四边形是平行四边形， 又∵，∴四边形是正方形， ∴，∴，∴此时C、B、E三点共线， ∴，∴； ③当时，过点A作于Q，交于N， ∵，，∴，∵，，∴， ∵，∴，∴， ∴，， ∵，，∴， ∴，∴，∴，∴， ∵，∴，解得， ∴，，∴，∴． 综上所述，直角三角形的面积为2或或或． 16．（2025·江西宜春·模拟预测）在综合实践课上，同学们以“图形的旋转与位似”为主题开展数学活动． (1)如图，已知点E在矩形的对角线上，，将绕点A顺时针旋转后，以点A为位似中心放大两倍得到，连接．①证明：；②求，，的数量关系． (2)如图，点E是直角三角形外一点，连接，，，，，求的长． 【答案】(1)①证明见解析；②(2) 【详解】（1）证明：①∵将绕点A顺时针旋转后，以点A为位似中心放大两倍得到， ∴，∴，，，， ∵，即，而，，∴； ②∵，∴∴， ∵四边形为矩形，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵，∴，，∴，∴； （2）解：如图，过作的垂线交的延长线于，连接，∵，∴， ∴，而，∴，， ∵，∴，∵，∴， ∴，∴，∴， ， ∴，而，∴，∴. 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 相似三角形重要模型之手拉手模型 相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。手拉手模型相似是手拉手模型当中相对于手拉手全等模型较难的一种模型，在实际的应用和解题当中出现时，对于同学们来说，都比较困难。而深入理解模型内涵，灵活运用相关结论可以显著提高解题效率，本专题重点讲解相似三角形的“手拉手”模型（旋转模型）。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型拓展 4 模型运用 4 模型1.手拉手（旋转）模型 4 14 “手拉手”模型名称源于几何图形的动态特征：当两个具有‌公共顶点‌的相似三角形通过旋转或缩放后，连接对应顶点形成的图形如同两人“手拉手”。民间数学爱好者根据此特征命名，使其成为几何解题中的通用术语。虽模型归类为现代教学成果，但其数学思想早有体现：7世纪印度数学家‌婆罗摩笈多‌研究的圆内接四边形定理中，对角线交点与边的垂足关系隐含手拉手结构。 “手拉手”模型有以下特点：1）两个三角形相似；2）这两个三角形有公共顶点，且绕顶点旋转并缩放后2个三角形可以重合；3）图形是任意三角形(只要这两个三角形是相似的)。 （2025·广东东莞·二模）点C为和的公共顶点，将绕点C顺时针旋转，连接， (1)【问题发现】如图1所示，若和均为等边三角形，求证：； (2)【类比探究】如图2所示，若，，其他条件不变，请写出线段与线段的数量关系是______； (3)【拓展应用】如图3所示，若，，，，当点B，D，E三点共线时，求的长． 1.手拉手相似模型（任意三角形） 图1 图2 条件:如图1，∠BAC=∠DAE=，； 结论：△ADE∽△ABC，△ABD∽△ACE；；∠BFC=∠BAC. 证明：∵，∴，∵∠BAC=∠DAE=，∴△ADE∽△ABC， ∵∠BAC=∠DAE=，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE， ∵，∴△ABD∽△ACE，∴，∠ABD=∠ACE，∴∠BFC=∠BAC=∠DAE=， 2.手拉手相似模型（直角三角形） 条件:如图2，，； 结论：△AOC∽△BOD；，AC⊥BD，. 证明：∵，∴∠AOB-∠BOC=∠COD-∠BOC，∴∠AOC=∠BOD， ∵，∴△AOC∽△BOD，∴，∠OAB=∠OBD， ∴∠AEB=∠AOB=90°，∴AC⊥BD，∴. 3.手拉手相似模型（特殊的等边三角形与等腰直角三角形） 图3 图4 条件:M为等边三角形ABC和DEF的边AC和DF的中点； 结论：△BME∽△CMF；. 证明：∵M为等边三角形ABC和DEF的边AC和DF的中点，∴，∠BMC=∠EMF=90°， ∴∠BMC-∠EMC=∠EMF-∠EMC，∴∠BME=∠CMF，∴△BME∽△CMF，∴， 条件:△ABC和ADE是等腰直角三角形； 结论：△ABD∽△ACE；∠ACE=90°；. 证明：∵△ABC和ADE是等腰直角三角形，∴，∠BAC=∠DAE=45°， ∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE，∴△ABD∽△ACE， ∴，∠ACE=∠ABD=90° 手拉手相似证明题一般思路方法: ①由线段乘积相等转化成线段比例式相等； ②分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形； ③第②步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等； ④第②步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第③步。 模型1.“手拉手”模型（旋转模型） 例1（2025·山东枣庄·模拟预测）【综合与实践】 如图，在中，点是斜边上的动点（点与点不重合），连接，以为直角边在的右侧构造，，连接，． 【特例感知】（1）如图1，当时，与之间的位置关系是_____，数量关系是__________． 【类比迁移】（2）如图2，当时，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想． 【拓展应用】（3）在（1）的条件下，点与点关于对称，连接，EF，，如图3．已知，，设，求的长度． 例2（24-25·浙江·九年级期中）问题情境：如图1，在△ABC中，AB＝6，AC＝5，点D，E分别在边AB，AC上，且．数学思考： (1)在图1中，的值为 　 ；(2)图1中△ABC保持不动，将△ADE绕点A按逆时针方向旋转到图2的位置，其它条件不变，连接BD，CE，则（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由；(3)拓展探究：在图2中，延长BD，分别交AC，CE于点F，P，连接AP，得到图3，探究∠APE与∠ABC之间有何数量关系，并说明理由；(4)若将△ADE绕点A按逆时针方向旋转到图4的位置，连接BD，CE，延长BD交CE的延长线于点P，BP交AC于点F，则（3）中的结论是否仍然成立，若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出∠APE与∠ABC之间的数量关系． 例3（24-25九年级上·四川成都·期末）已知，，直线与直线相交于点． (1)如图1，点在内部，当且点，重合时，请证明：； (2)如图2，点在内部． ①当时，探究线段，，之间的数量关系； ②当时，直接写出一个等式，表示线段，，之间的数量关系； (3)当，，且为直角三角形时，直接写出表示线段与的比值． 例4（2024·山西·模拟预测）综合与实践 问题背景：在数学活动课上，老师带领同学们进行三角形旋转的探究，已知和均为等边三角形，O是和的中点，将绕点O顺时针旋转． 猜想证明：(1)如图①，在旋转的过程中，当点E恰好在的延长线上时，交于点H，试判断的形状，并说明理由；(2)如图②，在旋转的过程中，当点E恰好落在边上时，连接，试猜想线段与线段的数量关系，并加以证明；(3)如图③，若，连接，设所在直线与所在直线交于点M，在旋转的过程中，当点B，F，E在同一直线上时，在M，O两点中的其中一点恰好是另一点与点C构成的线段的中点，请直接写出此时的长． 例5（2024·江苏扬州·三模）（1）观察猜想：如图1，已知三点在一条直线上（），正方形和正方形在线段同侧，H是中点，线段与的数量关系是______，位置关系是______；（2）猜想证明：在（1）的基础上，将正方形绕点D旋转度（），试判断（1）中结论是否仍成立？若成立，仅用图2进行证明；若不成立，请说明理由． （3）拓展延伸：如图3，矩形和矩形中，，将矩形绕点旋转任意角度，连接是中点，若，求点运动的路径长． 例6（2025·吉林白城·模拟预测）一次小组合作探究课上，老师将两个正方形按如图①所示的位置摆放（点，，在同一条直线上），发现且． 小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答：(1)将正方形绕点按逆时针方向旋转（如图②），还能得到吗？若能，请给出证明，请说明理由；(2)把背景中的正方形分别改成菱形和菱形，将菱形绕点按顺时针方向旋转（如图③），试问当与的大小满足怎样的关系时，；(3)如图④，把背景中的正方形分别改写成矩形和矩形，且，请直接写出与满足的数量关系． 1．（24-25·北京顺义·九年级校考期中）如图，和都是等腰直角三角形，．连接BD，CE．则的值为（    ） A． B． C． D．2 2．（2024·广东深圳·二模）如图，在等腰直角中，，D为上一点，E为延长线上一点，且，，则 ． 3．（2023·湖南常德·中考真题）如图1，在中，，，，D是上一点，且，过点D作交于E，将绕A点顺时针旋转到图2的位置．则图2中的值为 ．    4．（2022·四川达州·中考真题）某校一数学兴趣小组在一次合作探究活动中，将两块大小不同的等腰直角三角形和等腰直角三角形，按如图1的方式摆放，，随后保持不动，将绕点C按逆时针方向旋转（），连接，，延长交于点F，连接．该数学兴趣小组进行如下探究，请你帮忙解答： (1)【初步探究】如图2，当时，则_____； (2)【初步探究】如图3，当点E，F重合时，请直接写出，，之间的数量关系：_________； (3)【深入探究】如图4，当点E，F不重合时，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出推理过程；若不成立，请说明理由．(4)【拓展延伸】如图5，在与中，，若，（m为常数）．保持不动，将绕点C按逆时针方向旋转（），连接，，延长交于点F，连接，如图6．试探究，，之间的数量关系，并说明理由． 5．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）综合与实践 数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地． (1)发现问题：如图1，在和中，，，，连接，，延长交于点．则与的数量关系：______，______； (2)类比探究：如图2，在和中，，，，连接，，延长，交于点．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由； (3)拓展延伸：如图3，和均为等腰直角三角形，，连接，，且点，，在一条直线上，过点作，垂足为点．则，，之间的数量关系：______； (4)实践应用：正方形中，，若平面内存在点满足，，则______．    6．（24-25八年级下·四川成都·期中）如图1，在直角中，，，将绕点顺时针旋转得到，连接，，直线与直线相交于点． (1)如图1，若P点为射线与线段交点时，①求证；②知识背景：如果过三角形一边中点的线段平行三角形的另一边，那么这条线段平分三角形的第三边，如图2：中，点D是中点，且，则点E是中点． 知识应用：证明：；(2)当时，求PD的长． 7．（2025·江西宜春·模拟预测）在综合实践课上，同学们以“图形的旋转与位似”为主题开展数学活动． (1)如图，已知点E在矩形的对角线上，，将绕点A顺时针旋转后，以点A为位似中心放大两倍得到，连接．①证明：；②求，，的数量关系． (2)如图，点E是直角三角形外一点，连接，，，，，求的长． 8．（2025·山东聊城·三模）问题情境：借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，数学小组对此进行了研究．如图1，在中，，，分别取，的中点D，E，作．如图2所示，将绕点A逆时针旋转，连接，． 【探究发现】旋转过程中，的值不变，这个比值为_______．那么，猜想线段和的数量关系，并加以证明； 【类比应用】如图3，当所在直线首次经过点B时，求的长； 【延伸思考】如图4，，，分别取，的中点D，E，作，将绕点B逆时针旋转，连接，．当首次与平行时，求点E到的距离． 9．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）已知，均为等腰直角三角形， 【观察发现】（1）如图①，点，分别在线段，上，请直接写出与的数量关系； 【类比探究】（2）如图②，将绕点顺时针旋转，连接，，且与所在的直线交于点．（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请写出新的数量关系并证明； 【联系拓广】（3）若，，在旋转的过程中，当直线时，则________． 10．（2025·河南商丘·模拟预测）综合与实践 初步探究：(1)如图1，在等腰中，，，，是边上一点（不与点重合），连接，将绕点逆时针旋转，得到．连接，则______． 类比探究：(2)如图2，在中，，．是斜边的中点，，是线段上一点（不与点重合），连接，将绕点逆时针旋转，得到，连接，求的值．（用含的式子表示） 拓展延伸:(3)如图3，已知等边的边长为10，是边的中点，是边上一点，，将绕点旋转，得到，连接，请直接写出的长． 12．（2025·湖北武汉·模拟预测）【问题背景】：（1）如图（1），．求证：； 【变式迁移】：（2）如图（2），，，AE与DC相交于点F，点D在CB的延长线上，．求的值； 【问题拓展】：（3）如图（3），若，当CD的值最大时，直接写出的值． 13．（2025·陕西榆林·三模）综合与实践 【特例感知】（1）在学习了“平行四边形”后，奋发数学兴趣小组的同学发现：如图1，已知点是正方形的对角线上的动点（点不与点重合），以为直角边在的右侧构造，连接，通过观察图形，可得与之间的位置关系是___________，数量关系是___________； 【类比迁移】（2）奋进数学兴趣小组的同学发现：如图2，已知点是矩形的对角线上的动点（点不与点重合），以为直角边在的右侧构造，，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想； 【拓展应用】（3）在（2）的条件下，若，点在矩形的对角线上运动（点不与点重合），当四边形为轴对称图形时，请直接写出线段的长度． 14．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图1，在中，，，，点F在边上，，交于点E．(1)求的长．(2)将图1中的绕点B顺时针旋转得到，点E，F的对应点分别为M，N，连接．①如图2，连接，求的值；②在绕点B旋转的过程中，C，M，N三点第一次共线时，求的长；③连接，P是线段的中点，当点M，N都在的外部，且时，求的面积． 15．（2025·广东茂名·模拟预测）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知等腰直角三角形纸片和中，，，． 【初步感知】（1）如图1，纸片绕点逆时针旋转，连接，，证明：平分； 【深入探究】（2）在（1）条件下，如图2，延长交于，求的长； 【拓展延伸】（3）在纸片绕点旋转过程中，试探究，，三点能否构成直角三角形．若能，直接写出所有直角三角形的面积；若不能，请说明理由． 16．（2025·江西宜春·模拟预测）在综合实践课上，同学们以“图形的旋转与位似”为主题开展数学活动． (1)如图，已知点E在矩形的对角线上，，将绕点A顺时针旋转后，以点A为位似中心放大两倍得到，连接．①证明：；②求，，的数量关系． (2)如图，点E是直角三角形外一点，连接，，，，，求的长． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $