精品解析：湖南省长沙市一中集团联考2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025—2026学年度第一学期九年级期中考试 数学试题卷 考试时间∶2025年11月5日14∶00-16∶00 注意事项： 1．答题前，请先将自己的姓名、班级、考场号、座位号填写清楚； 2．必须在答卷上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题号后面的答题提示； 4．请注意卷面，保持字体工整、笔迹清晰、卷面清洁； 5．答卷上不准使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本试卷时量120分钟，满分 120分． 一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项) 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 本题考查了中心对称图形，轴对称图形的甄别，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：A．是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B．是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项符合题意； C．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 2. 长沙作为网红城市，今年五一迎来了全国各地大批游客，据统计，5月1日长沙地铁客运量首次突破4000000人次，创历史新高，将数据4000000用科学记数法表示为（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．n的值由小数点移动的位数决定，当原数的绝对值时，向左移动几位，n就是几．据此即可解答． 【详解】解：数据4000000用科学记数法表示为． 故选：B． 3. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据顶点式的顶点公式，进行求解即可． 【详解】解：二次函数的顶点坐标是； 故选：C． 4. 如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当时，（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用平行线的性质解答． 根据平行线的性质，可以得到和 的关系，从而可以得到 的度数，然后根据，即可得到的度数． 【详解】解：如图： 由题意得：， ， ， ， 故选：C． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查基本运算，包括乘方、平方差公式、同底数幂除法、二次根式的乘法和零次幂的性质．根据相关运算法则计算即可． 【详解】解： A、，∴ A错误． B、，∴ B正确． C、，∴ C错误． D、任何非零数的零次幂等于1，，∴ D错误． 故选：B． 6. 如图，在中，，，， 于点， 是 的中点，则的长为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查含的直角三角形的基本性质，直角三角形斜边上的中线的性质，熟记并灵活运用与直角三角形相关的性质是解题关键．首先求出 ，然后利用三角形的外角性质求出，从而在中，利用“角所对的直角边为斜边的一半”求解即可． 【详解】解：∵E是中斜边 的中点，， ∴， ∴， ∴， ∵ ， ∴ ， ∴， ∴在中，． 故选：A． 7. 在下列结论中，不属于矩形性质的是（ ） A. 两组对边分别相等 B. 两条对角线相等 C. 两条对角线互相垂直 D. 邻边互相垂直 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是矩形的性质，比较简单，熟记矩形的各种性质是解题关键．根据矩形的各种性质解答即可． 【详解】解：由矩形的性质可知：矩形的两组对边分别相等，两条对角线相等，邻边互相垂直．但矩形的两条对角线不一定互相垂直， 所以选项A、B、D不符合题意，选项C符合题意． 故选：C． 8. 受国际油价影响，2025年我国汽油价格总体呈先涨后跌再震荡的趋势．部分地区一季度92号汽油价格出现“四连涨”达到元/升，三季度跌至元/升．设这些地区92号汽油价格这两个季度平均每季度的降低率为，根据题意列出方程，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握该知识点是解题的关键．设这些地区92号汽油价格这两个季度平均每季度的降低率为，根据“部分地区一季度92号汽油价格出现“四连涨”达到元/升，三季度跌至元/升”，用初始价格乘以等于最终价格，列出方程即可． 【详解】解：设这些地区92号汽油价格这两个季度平均每季度的降低率为， 故选：A． 9. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心 为圆心的圆，如图2，已知圆心 在水面上方，且被水面截得的弦 长为6米，半径长为4米．若点为运行轨道的最低点，则点到弦 所在直线的距离是（ ） A. 1米 B. 米 C. 2米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】连接OC交AB于D，根据圆的性质和垂径定理可知OC⊥AB，AD=BD=3，根据勾股定理求得OD的长，由CD=OC﹣OD即可求解． 【详解】解：根据题意和圆的性质知点C为的中点， 连接OC交AB于D，则OC⊥AB，AD=BD=AB=3， 在Rt△OAD中，OA=4，AD=3， ∴OD===， ∴CD=OC﹣OD=4﹣， 即点到弦 所在直线的距离是（4﹣）米， 故选：B． 【点睛】本题考查圆的性质、垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解答的关键． 10. 二次函数的图象如图所示，那么一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的图像，确定a，b，c的符号，后根据一次函数k,b的符号性质确定图像的分布即可． 【详解】∵抛物线的开口向下， ∴a＜0； ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴c＞0， ∵抛物线的对称轴在原点的左边， ∴＜0，且a＜0， ∴b＜0， ∴bc＜0； ∴的图像分布在第二，第三，第四象限， 故选B． 【点睛】本题考查了二次函数的图像，一次函数的图像，熟练掌握二次函数的图像与各系数之间的关系，一次函数中k，b与图像分布之间的关系是解题的关键． 二、填空题：(本题共6 小题，每小题3分，共18分．) 11. 分解因式：______． 【答案】## 【解析】 【分析】原式提取2，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解： =2（m2-9） =2（m+3）（m-3）． 故答案为：2（m+3）（m-3）． 【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 12. 已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值是______． 【答案】1 【解析】 【分析】由一元二次方程根的判别式列方程可得答案． 【详解】解：一元二次方程有两个相等的实数根， 可得判别式， ∴， 解得： ． 故答案为： 【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式的含义是解题的关键． 13. 若点在抛物线上，则的值为________________ 【答案】2025 【解析】 【分析】本题考查点在二次函数的图象上，代数式求值．根据点在二次函数图象上的性质，将点坐标代入函数解析式，得到m与n的关系式，再代入求解即可． 【详解】解：∵点在抛物线上， ∴， ∴． 故答案为：2025． 14. 某班42名同学一周参加体育锻炼时间统计如表所示： 时间/h 6 7 8 9 人数 2 18 14 8 那么该班42名同学一周参加体育锻炼时间的众数是_______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了众数，众数是指一组数据中出现次数最多的数据．根据统计表，比较各时间对应的人数，即可确定众数． 【详解】解：由统计表可知，参加体育锻炼时间为的人数为2人，的人数为18人， 的人数为14人， 的人数为8人，其中对应的人数18人最多，因此众数为， 故答案为：． 15. 如图，若菱形ABCD的顶点A．B的坐标分别为（6，0），（﹣4，0），点D在y轴正半轴上，则点C的坐标是_____． 【答案】（﹣10，8） 【解析】 【分析】由菱形的性质可求AB＝AD＝10，OA＝6，由勾股定理可得OD＝8，即可求点C坐标． 【详解】解：∵菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（6，0），（﹣4，0）， ∴AB＝AD＝10，OA＝6， ∴， ∴点D（0，8）， ∵CD∥AB， ∴CD＝10， ∴点C（﹣10，8）， 故答案为：（﹣10，8）． 【点睛】本题考查菱形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 16. 如图，正方形 的边长为4，E为正方形内的一个动点，连接且满足 ，线段的最小值为__________________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理、两点之间线段最短等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．取中点F，连接，先由四边形 是正方形得，而，则，再由勾股定理求得，再根据两点之间线段最短得到不等式，变形为，即可得答案． 【详解】解：如图，取中点F，连接， ∵四边形 是正方形， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 三、解答题(本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21、题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17. 计算： ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了乘方运算、零指数幂、负整数指数幂及绝对值的运算．依次计算乘方、零指数幂、负整数指数幂和绝对值后将每个计算结果代入原式即可得出答案． 【详解】解：原式 ． 18. 先化简，再求值：，其中 ． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式化简求值，分母有理化，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先通分括号内，再把除法化为乘法，再化简得，然后把 代入进行计算，即可作答． 【详解】解： ， 当 时， 原式． 19. 如图，在平面直角坐标系中； 的顶点B 的坐标为． （1）画出 关于x轴对称的并写出点的坐标； （2）将 绕逆时针旋转90度得到画出 【答案】（1），见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据点，，确定对称点坐标后，画图即可． （2）根据旋转的性质画图解答即可； 本题考查了轴对称作图，旋转作图，熟练掌握变换的基本特征是解题的关键． 【小问1详解】 解：根据点，，，则它们关于x轴的对称点坐标为，画图如下： 则即为所求，此时． 【小问2详解】 解：由， 根据旋转性质，得，画图如下： 则即为所求． 20. 为了加强学生的垃圾分类意识，某校对学生进行了一次系统全面的垃圾分类宣传．为了解这次宣传的效果，从全校学生中随机抽取部分学生进行了一次测试，测试结果共分为四个等级：A．优秀；B．良好；C．及格；D．不及格．根据调查统计结果，绘制了如图所示的不完整的统计表． 垃圾分类知识测试成绩统计表 测试等级 百分比 人数 A．优秀 5% 10 B．良好 30 C．及格 45% m D．不及格 n 请结合统计表，回答下列问题： （1）求本次参与调查的学生人数及m，n的值； （2）如果测试结果为“良好”及以上即为对垃圾分类知识比较了解，已知该校学生总数为3600人，请根据本次抽样调查的数据估计全校比较了解垃圾分类知识的学生人数； （3）为了进一步在学生中普及垃圾分类知识，学校准备再开展一次关于垃圾分类的知识竞赛，要求每班派一人参加．某班要从在这次测试成绩为优秀的小明和小亮中选一人参加．班长设计了如下游戏来确定人选，具体规则是：把四个完全相同的乒乓球分别标上数字1，2，3，4．然后放到一个不透明的袋中充分摇匀，两人同时从袋中各摸出一个球．若摸出的两个球上的数字和为奇数，则小明参加，否则小亮参加．请用树状图或列表法说明这个游戏规则是否公平． 【答案】（1）200人，， （2）720人 （3）不公平，说明见详解 【解析】 【分析】本题考查了统计中的百分比应用，用样本估计总体及概率的计算与游戏公平性判断． （1）先根据A等级的人数和百分比求出总人数，再利用总人数分别计算C等级的人数m和D等级的百分比n的值； （2）先确定“良好及以上”在样本中的比例，再用全校总人数乘以该比例得到估计人数； （3）通过画树状图法分析两人摸球的所有可能结果，计算数字和为奇数的概率和数字和为偶数的概率，若两概率相等则公平，否则不公平． 【小问1详解】 解：本次参加调查的学生人数为（人）， ，． 【小问2详解】 解：（人）， 即估计全校比较了解垃圾分类知识的学生人数为720人． 【小问3详解】 解：画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中和为奇数的结果有8种， ∴，， ∵， ∴这个游戏规则不公平． 21. 如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，点F在BC的延长线上，且 ． 求证：（1） ； （2）四边形AEFD是平行四边形． 【答案】 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=DC，∠B=∠DCB=90°， ∴∠DCF=90°， 在△ABE和△DCF中， ， ∴ （SAS）． （2）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，AD=BC， 即AD=BE+EC， ∵BE=CF， ∴AD=CF+EC， 即AD=EF， ∵点F在BC的延长线上， ∴AD∥EF， ∴四边形AEFD是平行四边形． 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质可得AB=DC，∠B=∠DCF=90°，根据全等三角形的判定即可得到 ； （2）根据矩形的性质可得AD∥BC，AD=BC，根据 可得AD=EF，根据平行四边形的判定即可得到四边形AEFD是平行四边形． 【详解】证明：（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定，平行四边形的判定．熟记各个图形的性质和判定是解题的关键． 22. 民族要复兴，乡村必振兴．乡村振兴战略是践行“共同富裕”理念的重大战略，是我党心系人民的深刻体现，更是全面建设社会主义现代化国家的全局性、历史性任务．某村在乡村振兴行动中，村办企业以A，B两种农作物为原料开发了一种有机产品．A原料的单价是B 原料单价的 倍，若用1000 元收购A原料会比用1000元收购B原料少．生产该产品每盒需要A 原料和B原料，每盒还需其他成本16元．市场调查发现：该产品每盒的售价是80 元时，每天可以销售600盒；每涨价1元，每天少销售10盒． （1）求A，B两种原料的单价； （2）求每盒产品的成本(成本原料费其他成本)； （3）设每盒产品的售价是x元(x是整数)，每天的利润是w元，求每盒产品的售价为多少元时，每天的利润最大？ 【答案】（1）A原料的单价为元，B原料的单价为3元 （2）每盒产品的成本为40元 （3）当每盒产品的售价为90元时，每天利润最大，最大利润为25000 元 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用、二次函数的应用等知识点，正确理解题意、列出分式方程和函数解析式成为解答本题的关键． （1）设 原料单价为元，则原料单价为元，然后再根据题意列分式方程求解即可； （2）根据（1）中原料和 原料单价，结合生产该产品每盒需要A 原料和B原料，每盒还需其他成本16元，即可解答． （3）直接根据“总利润单件利润销售数量”列出解析式即可，解析式形式为二次函数，先确定拋物线的开口方向，然后再根据二次函数的性质求最值即可． 【小问1详解】 解：设 原料单价为元，A原料单价为元， 根据题意，得， 解得， 经检验是方程的解， ∴， 答：A原料单价为元， 原料单价为元． 【小问2详解】 解：∵A原料单价为元， 原料单价为元， ∴每盒产品的成本是：（元）， 答：每盒产品的成本为40 元． 【小问3详解】 解：设每盒产品的售价是x元(x是整数)，每天的利润是w元， 根据题意，得， ， ， ∴抛物线开口向下， ∴当每盒产品的售价为90元时，每天利润最大，最大利润为25000元． 23. 如图所示， 为的直径，直线与相切于点 D，过点 B作 ，垂足为点 E， 交于点 C． （1）求证：平分； （2）若，求的面积； （3）在(2)的条件下，求 的长． 【答案】（1）见解析 （2）5 （3）4 【解析】 【分析】（1）连接 ，因是的切线，故 ，已知，所以，则，又因为，所以，因此，即平分． （2）过点 D 作 于 F，由（1）知平分，且，得．因 是的直径，故，则面积可求． （3）因为，在中，由勾股定理，故，由可证，则 ． 【小问1详解】 证明：连接 ， ∵是的切线， ∴ ， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即平分； 【小问2详解】 解：过点 D 作 于 F， 由（1）知即平分，且， ∴． ∵ 是的直径， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：连接 ∵， ∴， 在中，由勾股定理： ∴， 在 和中， ∴， ∴． 【点睛】本题考查切线性质，平行线判定与性质，等腰三角形性质，角平分线性质定理，勾股定理， 全等三角形的判定和性质，掌握相关知识是解决问题的关键． 24. “两重”“两新”领域是国家为推动经济高质量发展、促进产业升级和消费升级而提出的重要政策方向，在数学上，我们不妨约定：若函数图象上存在横坐标与纵坐标的绝对值相等的点，则称这个点为“两重两新点”，这个函数为“两重两新函数” （1）下列函数是“两重两新函数”的有 ； ；； （2）直线上只存在两个不同的“两重两新点”，请求出m，n满足的条件； （3）抛物线 )上是否存在四个不同的“两重两新点”其中 ，且使得若存在，请求出b的范围；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）①③ （2） （3） 【解析】 【分析】（1）若对应的函数图象上有点满足横纵坐标相同或横纵坐标互为相反数，则该函数是“两重两新函数”，据此求解即可； （2）根据直线上只存在两个不同的“两重两新点”，可推出关于x的方程和都有解，且二者的解不相同，据此求解即可； （3）根据题意可得点A和点B是直线 与抛物线的两个交点，点C和点D是直线与抛物线的两个交点；联立得，则，同理可得，据此可求出；可求出，，则可得到，进而推出，则，可解得． 【小问1详解】 解：在中，当时，则，解得， ∴点在函数的图象上， ∵， ∴点 是“两重两新点”，函数为“两重两新函数”； 在中，当时，则，即， ∵， ∴方程无实数根， ∴在函数的图象上不存在横纵坐标相等的点； 在中，当时，则，即， ∵， ∴方程无实数根， ∴在函数的图象上不存在横纵坐标互为相反数的点， ∴在函数的图象上不存在横纵坐标的绝对值相等的点， ∴函数不是“两重两新函数”； 在中，当时，则，即， ∵， ∴方程有实数根， ∴在函数的图象上存在横纵坐标相等的点， ∴在函数的图象上存在横纵坐标的绝对值相等的点， ∴函数是“两重两新函数”； 故答案为：①③； 【小问2详解】 解：在中，当时，， ∴； 在中，当时，， ∴； ∵方程和方程都最多只有一个解，而直线上只存在两个不同的“两重两新点”， ∴方程和都有解，且二者的解不能相同， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵函数图象上存在横坐标与纵坐标的绝对值相等的点，则称这个点为“两重两新点”， ∴所有的“两重两新点”都在直线 和直线上， ∵抛物线上存在四个不同的“两重两新点” ∴直线 和直线都与抛物线有两个不同的交点， ∵抛物线开口向下，且 ∴点A和点B是直线 与抛物线的两个交点，点C和点D是直线与抛物线的两个交点； 联立得， ∴， ∴； 联立得， ∴， ∴； ∴； ∵，且， ∴； ∵，且， ∴， ∴， ； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了二次函数与x轴的交点问题，一次函数与一元一次方程之间的关系，正确理解题意是解题的关键． 25. 如图， 为圆O的直径，且点E是弧 上的一个动点(不与点 A，D重合)，于点 F， 于点G，连接 分别交于点M，N； （1）如图1，若，则 _______， ； （2）如图2，连接交 于点H，当四边形的面积最大时，试判断线段和的数量关系，并说明理由； （3）在（1）的条件下，设，记 的面积为以线段为边构成的三角形的外接圆的面积为试求y与x的函数关系，并求出 y的最小值． 【答案】（1）； （2）当四边形的面积最大时，，理由见解析 （3），y的最小值为 【解析】 【分析】（1），连接，取的中点H，连接，可求出，由垂径定理可得，则可推出，由直角三角形的性质可得，再导角可证明，据此利用勾股定理可得答案； （2）分别过点A和点D作线段的垂线，垂足分别为P、Q，则；可证明，则当三点重合时，有最大值，即此时四边形的面积有最大值，此时 ，可得；证明，即可得到； （3）将 绕点O逆时针旋转度得到，连接，可证明，得到；可导角证明；则以线段为边构成的三角形为直角三角形，即可得到；再求出，则；设，则，由勾股定理得，可得，即可得到；可证明，据此可得答案． 【小问1详解】 解：如图所示，连接，取的中点H，连接； ∵ 为圆O的直径，且 ∴； ∵， ∴， ， ∴； ∵H为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：当四边形的面积最大时，，理由如下： 如图所示，分别过点A和点D作线段的垂线，垂足分别为P、Q， ∴； ∵， ∴， ∴当三点重合时，有最大值，即此时四边形的面积有最大值， ∴此时 ， ∴； ∵ ， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图所示，将 绕点O逆时针旋转度得到，连接， ∴，； 由（1）可得 ， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴以线段为边构成的三角形为直角三角形， ∴； ∵， ∴， ∴点O到 的距离为， ∴， ∴； 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， ∴； 设， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当时，有最小值，最小值为， ∴当（不符合题意）时有最小值，最小值为，即此时y有最小值，最小值为． 【点睛】本题主要考查了圆的性质，勾股定理，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质等等，正确作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期九年级期中考试 数学试题卷 考试时间∶2025年11月5日14∶00-16∶00 注意事项： 1．答题前，请先将自己的姓名、班级、考场号、座位号填写清楚； 2．必须在答卷上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题号后面的答题提示； 4．请注意卷面，保持字体工整、笔迹清晰、卷面清洁； 5．答卷上不准使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本试卷时量120分钟，满分 120分． 一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项) 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 长沙作为网红城市，今年五一迎来了全国各地大批游客，据统计，5月1日长沙地铁客运量首次突破4000000人次，创历史新高，将数据4000000用科学记数法表示为（） A. B. C. D. 3. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当时，（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，， 于点，是的中点，则的长为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 7. 在下列结论中，不属于矩形性质的是（ ） A. 两组对边分别相等 B. 两条对角线相等 C. 两条对角线互相垂直 D. 邻边互相垂直 8. 受国际油价影响，2025年我国汽油价格总体呈先涨后跌再震荡的趋势．部分地区一季度92号汽油价格出现“四连涨”达到元/升，三季度跌至元/升．设这些地区92号汽油价格这两个季度平均每季度的降低率为，根据题意列出方程，正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心 为圆心的圆，如图2，已知圆心 在水面上方，且被水面截得的弦长为6米，半径长为4米．若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是（ ） A. 1米 B. 米 C. 2米 D. 米 10. 二次函数的图象如图所示，那么一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：(本题共6 小题，每小题3分，共18分．) 11. 分解因式：______． 12. 已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值是______． 13. 若点在抛物线上，则的值为________________ 14. 某班42名同学一周参加体育锻炼时间统计如表所示： 时间/h 6 7 8 9 人数 2 18 14 8 那么该班42名同学一周参加体育锻炼时间的众数是_______________． 15. 如图，若菱形ABCD的顶点A．B的坐标分别为（6，0），（﹣4，0），点D在y轴正半轴上，则点C的坐标是_____． 16. 如图，正方形的边长为4，E为正方形内的一个动点，连接且满足 ，线段的最小值为__________________． 三、解答题(本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21、题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17. 计算： ． 18. 先化简，再求值：，其中 ． 19. 如图，在平面直角坐标系中； 的顶点B 的坐标为． （1）画出关于x轴对称的并写出点的坐标； （2）将 绕逆时针旋转90度得到画出 20. 为了加强学生的垃圾分类意识，某校对学生进行了一次系统全面的垃圾分类宣传．为了解这次宣传的效果，从全校学生中随机抽取部分学生进行了一次测试，测试结果共分为四个等级：A．优秀；B．良好；C．及格；D．不及格．根据调查统计结果，绘制了如图所示的不完整的统计表． 垃圾分类知识测试成绩统计表 测试等级 百分比 人数 A．优秀 5% 10 B．良好 30 C．及格 45% m D．不及格 n 请结合统计表，回答下列问题： （1）求本次参与调查的学生人数及m，n的值； （2）如果测试结果为“良好”及以上即为对垃圾分类知识比较了解，已知该校学生总数为3600人，请根据本次抽样调查的数据估计全校比较了解垃圾分类知识的学生人数； （3）为了进一步在学生中普及垃圾分类知识，学校准备再开展一次关于垃圾分类的知识竞赛，要求每班派一人参加．某班要从在这次测试成绩为优秀的小明和小亮中选一人参加．班长设计了如下游戏来确定人选，具体规则是：把四个完全相同的乒乓球分别标上数字1，2，3，4．然后放到一个不透明的袋中充分摇匀，两人同时从袋中各摸出一个球．若摸出的两个球上的数字和为奇数，则小明参加，否则小亮参加．请用树状图或列表法说明这个游戏规则是否公平． 21. 如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，点F在BC的延长线上，且 ． 求证：（1） ； （2）四边形AEFD是平行四边形． 22. 民族要复兴，乡村必振兴．乡村振兴战略是践行“共同富裕”理念的重大战略，是我党心系人民的深刻体现，更是全面建设社会主义现代化国家的全局性、历史性任务．某村在乡村振兴行动中，村办企业以A，B两种农作物为原料开发了一种有机产品．A原料的单价是B 原料单价的 倍，若用1000 元收购A原料会比用1000元收购B原料少．生产该产品每盒需要A 原料和B原料，每盒还需其他成本16元．市场调查发现：该产品每盒的售价是80 元时，每天可以销售600盒；每涨价1元，每天少销售10盒． （1）求A，B两种原料的单价； （2）求每盒产品的成本(成本原料费其他成本)； （3）设每盒产品的售价是x元(x是整数)，每天的利润是w元，求每盒产品的售价为多少元时，每天的利润最大？ 23. 如图所示，为的直径，直线与相切于点 D，过点 B作 ，垂足为点 E，交于点 C． （1）求证：平分； （2）若，求的面积； （3）在(2)的条件下，求的长． 24. “两重”“两新”领域是国家为推动经济高质量发展、促进产业升级和消费升级而提出的重要政策方向，在数学上，我们不妨约定：若函数图象上存在横坐标与纵坐标的绝对值相等的点，则称这个点为“两重两新点”，这个函数为“两重两新函数” （1）下列函数是“两重两新函数”的有 ； ；； （2）直线上只存在两个不同的“两重两新点”，请求出m，n满足的条件； （3）抛物线 )上是否存在四个不同的“两重两新点”其中 ，且使得若存在，请求出b的范围；若不存在，请说明理由． 25. 如图， 为圆O的直径，且点E是弧上的一个动点(不与点 A，D重合)，于点 F， 于点G，连接分别交于点M，N； （1）如图1，若，则 _______， ； （2）如图2，连接交于点H，当四边形的面积最大时，试判断线段和的数量关系，并说明理由； （3）在（1）的条件下，设，记 的面积为以线段为边构成的三角形的外接圆的面积为试求y与x的函数关系，并求出 y的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $