第十六章 整式的乘法 章末能力达标题-2025-2026学年初中数学人教版八年级上册

第16章 整式的乘法 一、单选题 1．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．若，则a的取值范围是（  ） A． B． C． D． 3．若，，则等于（    ） A．5 B．6 C．8 D．9 4．计算的值是（   ） A． B． C． D． 5．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 6．下列各式中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 7．下列四个算式中正确的有（   ） ①；②；③；④． A．个 B．个 C．个 D．个 8．计算的结果为（   ） A．1 B． C．2 D． 9．如图，分割正方形，拼接成长方形方案中，可以验证（   ） A． B． C． D． 10．已知是完全平方式，则的值是（   ） A．45 B． C．20 D． 11．已知a，b是等腰三角形的两条边，且a，b满足等式，则此等腰三角形的周长是（    ）． A．8或10 B．8 C．10 D．18 12．如图，两个正方形边长分别为a、b，如果，，则图中阴影部分的面积为（      ） A．144 B．72 C．68 D．3 二、填空题 13．计算： ． 14．若多项式是完全平方式，则 ． 15．已知n是正整数，且，则 ． 16．若（其中），则的大小关系为 ． 17．定义一种新的运算，如．则 ． 18．如图，两个正方形放置于长方形内（正方形的两边在长方形的边上），长方形是两正方形的重叠部分，已知阴影部分①与阴影部分②的周长之差为m，面积之差为n，则 （用含m、n的代数式表示）． 三、解答题 19．计算： (1)； (2)． 20．先化简，再求值： ，其中，． 21．已知，，求下列代数式的值： (1) (2) 22．已知多项式与的乘积的展开式中不含项和项（m，为常数）． (1)求m，n的值； (2)在（1）的基础上计算． 23．某中学为了帮助在校师生妥善安放篮球，在一块长为米、宽为米的小篮球场的边缘修建长方形的篮筐和一个正方形的安全督察岗，其余面积（阴影面积）进行塑胶场地的修复． (1)请用m、n表示阴影面积．（结果化为最简） (2)如果修复费用为200元/平方米，已知米，米，那么修复完毕的塑胶场地需要费用多少元？ 24．若（，，都是正整数），则，利用上面结论解决问题： (1)如果，求的值； (2)如果，求x的值； (3)若，，用含的代数式表示． 25．请观察下列算式，并解答下列问题． ①；②；③； (1)请结合上述三个算式的规律，写出第④个算式：______； (2)设两个连续奇数为，（其中为正整数），写出它们的平方差，并说明结果是的倍数． 26．将边长为的正方形的左上角剪掉一个边长为的正方形（如图1），将剩下部分按照虚线分割成①和②两部分，将①和②两部分拼成一个长方形（如图2）． (1)设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为，请用含、的式子表示和； (2)用上面的结果可以验证哪个乘法公式？ (3)利用（2）中得到的公式，解答下列问题： ①已知，，求的值； ②计算：． 27．我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到，基于此，请解答下列问题： (1)若，求的值； (2)填空： ①若，则 ； ②若，则 ； (3)两块全等的特制直角三角板（）如图2所示放置，当A，O，D在同一直线上时，连接．若，求的面积． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D B B D D C A D B 题号 11 12 答案 C B 1．C 本题主要考查同底数幂的乘法、合并同类项、同底数幂的除法及幂的乘方，熟练掌握各个运算是解题的关键；因此此题可根据同底数幂的乘法、合并同类项、同底数幂的除法及幂的乘方进行求解即可． 解：A、，原计算错误，故不符合题意； B、与不是同类项，不能合并，故不符合题意； C、，原计算正确，故符合题意； D、，原计算错误，故不符合题意； 故选C． 2．D 本题考查了零次幂，根据进行分析，即可作答． 解：∵， ∴， ∴， 故选：D 3．B 本题考查了同底数幂乘法的逆运算，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解答本题的关键，特别注意运算过程中指数的变化规律，灵活运用法则的逆运算进行计算，培养学生的逆向思维意识． 根据同底数幂的乘法法则的逆运算变形后，把，代入即可求值． 解：∵，， ∴． 故选B． 4．B 本题考查了积的乘方的逆运算，利用积的乘方的逆运算法则计算即可，熟练掌握知识点是解题的关键． 解：， 故选：． 5．D 本题考查了幂的乘方、积的乘方及同底数幂的除法运算法则，解题的关键是熟练掌握各法则并将乘方与除法运算整合连贯计算． 直接根据积的乘方、幂的乘方先计算原式中的乘方部分，再结合同底数幂的除法（）完成整体运算，最终匹配选项． 解：； 对比选项，结果为，对应选项D． 故选：D． 6．D 本题考查平方差公式，多项式的乘法．利用平方差公式或多项式乘法法则逐项计算即可得到答案． 解：A：，故A错误； B：，故B错误； C：，故C错误； D：，故D正确． 故选：D． 7．C 本题考查了幂的乘方，解答本题的关键是熟练掌握幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘．根据幂的乘方法则依次分析即可得到结果． 解：①，故该选项错误； ②，故该选项正确； ③，故该选项正确； ④，故该选项错误； 正确的有②③，共个， 故选：C． 8．A 本题考查了平方差公式的应用，先将变形为，再利用平方差公式计算即可． 解： ． 故选：A． 9．D 本题主要考查了平方差公式在几何图形中的应用．根据题意可得拼接成长方形的面积大正方形的面积小正方形的面积， 解：根据题意得：拼接成长方形的面积大正方形的面积小正方形的面积， ∴． 故选：D 10．B 本题主要考查完全平方式以及整式的混合运算，首先根据完全平方式的意义求得，再计算出，最后把代入计算即可． 解：是完全平方式， ∴； 又 ； 当时，原式； 当时，原式； 所以，的值是， 故选：B． 11．C 本题考查了完全平方公式、绝对值和偶次方的非负性、等腰三角形的定义、三角形的三边关系，熟练掌握完全平方公式是解题关键．先利用完全平方公式可得，则可得，再根据等腰三角形的定义、三角形的三边关系分两种情况，据此求解即可得． 解：∵， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∵是等腰三角形的两条边， ∴①当这个等腰三角形的三边长为时，，满足三角形的三边关系， 则这个等腰三角形的周长是； ②当这个等腰三角形的三边长为时，，不满足三角形的三边关系，舍去； 综上，这个等腰三角形的周长是10， 故选：C． 12．B 本题考查了完全平方公式的应用，图形的面积公式，熟练掌握相关知识点是解题的关键．通过对完全平方公式变形可得，再利用阴影部分的面积即可求解． 解：∵，， ∴， ∴阴影部分的面积 ． 故选：B． 13． 本题考查了积的乘方运算以及同底数幂的乘法运算，熟练掌握运算是解决本题的关键． 先由积的乘方运算求解，再根据同底数幂的乘法运算进行求解即可． 解：． 故答案为： ． 14． 本题考查了完全平方式，先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的二倍乘积项即可确定的值，掌握相关知识是解题的关键． 解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 15．184 本题考查幂的运算，根据积的乘方对式子化简，再逆用幂的乘方进行运算即可． 解：∵， ∴． 故答案为： 16． 本题考查了数的大小比较，整式的混合运算，平方的非负性，掌握相关运算法则是解题关键．利用作差法比较大小，根据整式的混合运算法则，求出，再利用平方的非负性得出，即可得解． 解：由题可知， ， ， ， ，即． 17． 本题考查的是多项式乘以多项式，完全平方公式的应用，先利用多项式乘以多项式，完全平方公式计算，再合并同类项即可． 解：∵， ∴ ． 故答案为：． 18． 本题主要考查了平方差公式的应用，通过设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，根据阴影部分周长和面积的关系列出等式，，再利用平方差公式求出的值，进而得到的值． 解：设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b， ∵阴影部分①与阴影部分②的周长之差为m，面积之差为n， ∴，， 即，， ∴ 故答案为∶ 19．(1) (2) （1）先求出负指数，零指数，偶次幂，再计算即可． （2）先计算积的乘方，再进行单项式的乘除运算即可． （1）解：， ， ； （2）， ， ， ． 20．， 本题主要考查了整式的化简求值，解题的关键是熟练掌握整式混合运算的运算顺序和运算法则，完全平方公式和平方差公式． 先根据整式混合运算的运算顺序和运算法则进行化简，再将x和y的值代入进行计算即可． 解： ， 当，时，原式． 21．(1) (2) 本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）根据完全平方公式展开得出，，两式相加即可求出的值． （2）两式相减即可求出的值． （1）解：，， ，， 两式相加得：， ． （2）解：，， 两式相减得：， ． 22．(1) (2) （1）解：将多项式相乘并展开： ∵展开式中不含项和x项，故这两项的系数为0． 对于项：解得 对于x项：将代入得解得． ∴． （2）解：将代入式子： 23．(1)平方米 (2)修复完毕的塑胶场地需要费用66000元 本题考查多项式乘多项式的实际应用，理解题意并列出正确的算式是解题的关键． （1）利用大长方形的面积减去2块空白部分的面积即可； （2）将已知数值代入（1）中所得代数式中计算，然后再与200相乘即可． （1）解： （平方米）， 即阴影面积为平方米； （2）解：当，时， ， 则（元）， 答：修复完毕的塑胶场地需要费用66000元． 24．(1) (2) (3) 本题考查了同底数幂的乘、除法运算法则、幂的乘方的逆运算等知识，熟练的掌握公式及其它的逆向变形是解决此类问题的关键． （1）将看成，然后再使用同底数幂相乘，指数不变，底数相加即可得到答案； （2）将和分别看成和，然后再使用同底数幂的乘法运算法则即可得到答案； （3）对第一个等式移项得到，再将第二个等式中的看成是，再利用幂的乘法运算法则即可得到答案． （1）解：∵ ； （2）， ， 即，则， 解得：； （3）， ， ． 25．(1) (2)；理由见解析 本题考查算式规律问题，平方差公式，理解题意并总结出正确的规律是解题的关键． （1）根据题干中的等式写出第④个算式即可； （2）根据题意写出平方差，然后根据已知等式写出等式，再根据已知条件进行说明即可． （1）解：由题干中的等式可得第④个算式为， 故答案为：； （2）解：设两个连续奇数为，其中为正整数， 则， 为正整数， 是的倍数，即结果是的倍数． 26．(1)， (2) (3)①4；②750000 本题考查平方差公式的应用，代数式求值，掌握平方差公式是解题的关键． （1）根据图像利用长方形与正方形的面积公式进行列式即可； （2）根据和的面积相等可以验证平方差公式； （3）利用平方差公式进行变形，再进行计算即可． （1）解：根据图形以及正方形和长方形的面积计算公式可得： ，． （2）以上结果可以验证的乘法公式是． （3）①，， ． ② ． 27．(1) (2)①11②2 (3)30 本题考查的是完全平方公式及其变形的应用，全等三角形的性质，熟练的运用完全平方公式的几个变形是解本题的关键． （1）利用完全平方公式进行计算即可； （2）利用完全平方公式的变形式进行求解即可； （3）先证明 三点共线， 可得 结合已知条件可得 再利用 ，求解，从而可得答案． （1）解：∵，， ∴， ∴； （2）解：①∵，， ∴， ∴； 故答案为：11； ②，， ∴ 即， ∴； 故答案为：2； （3）解：三点共线，且 三点共线， ，， ， ； ． 学科网（北京）股份有限公司 $