福建省东山第二中学2025-2026学年高二上学期11月期中数学试题

2025-2026学年度东山二中高二期中考试卷 数学 考试范围：数列及平面解析几何初步：考试时间：120分钟： 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题 1.在等比数列{a}中，4+a=2,4-a=-2,则{a}的前6项和为() 1 6 B.27 6 C.7 D.2 2.数列{a}满足，a=1,a1=(21+1)a,(n∈N+),则a的值为（). A.13 B.14 C.15 D.16 3.已知集合A={《,)子=，集合B=(x,yx+y-2-a=,AnB=O,则a的取值范围是（) A.a∈R且a≠1且a≠-1B.a∈R且a≠-1 C.a∈R且a≠1 D.a=-1 4.若复数三=1-i+i2-i3++i2022-i223+i2024,则=() A.1 B.√2 C.0 D.2 5.在平面直角坐标系x©中，已知点4Q3),且动点P(化，)满足-2，则动点P的轨迹与圆(x-1+-2)-1 的位置关系是() A.相交 B.外切 C.外离 D.内切 6.己知圆M:x2+y2+2y-2=0,点P(a,b)是圆M上的动点，则（) Aa6的最大值为6+1B.a6+1的最大佰为3C.d+公的最小佰为V5-】D.号的最大值为后 7设数列和}的前：项和为8，a=4,且=十)口，若28+122红恒或立，则质的最大值是() A.210+1 B.22 D.8 3 8.阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深 刻且系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的 是：已知动点M与两定点A,B的距离之比为(2>0，元≠1)，那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆.如动点M与两 定点A(?0,B(5,0)的距离之比为时的阿波罗尼斯圆为2+少2=9.下面，我们来研究与此相关的一个问题： 已知圆O:x2+y2=4上的动点M和定点A(-1,0),B(1,),则2MA+MB的最小值为（) A.2+V10 B.√2i C.√26 D.√29 试卷第1页，共4页 二、多选题 9.过点A(4,-3)作圆(x-3)2+(y-1)2=1的切线，所得切线方程为（) A.x=4 B.15x+8y-36=0C.y=-3 D.8x-15y-3=0 10.已知数列{a}的前n项和为Sn,若a=20,an1=a-4,(n∈N),则() A.4是数列{an}中的项 B.当Sn最大时，n的值只能取5 C.数列 是等差数列 D.S=S, n 11.“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼-闵可夫斯基所创词汇，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，其 定义如下：在直角坐标平面上任意两点A(x,y),B(x2,y2)的曼哈顿距离d(A,B)=:1-x2+y-y2,则下列结论正 确的是() A.若点P(2,4),Q(-2,1),则d(P,2)=7 B.若点M(-1,0),N(1,O),则在x轴上存在点P,使得d(P,M)+d(P,N)=1 C.若点M(2,1),点P在直线x-2y+6=0上，则d(P,M)的最小值是3 D.若点M在y=x2上，点N在直线2x-y+8=0上，则d(M,N)的值可能是4 第II卷（非选择题） 三、填空题 12.已知点A(-1,0)在圆x2+y2+2x+3y+m=0外，则实数m的取值范围是」 13.数列{a}的前n项和Sn=n+n-3,则an=」 14.已知曲线C的方程是K-+-斗：=8，给出下列四个结论：所有正确结论的序号是一 ①曲线C与两坐标轴有公共点； ②曲线C既是中心对称图形，又是轴对称图形： ③若点P,Q在曲线C上，则Pg的最大值是6√2； ④曲线C围成图形的面积大小在区间(40,44)内. 四、解答题 15.己知△ABC的顶点B的坐标为(5,1)，AB边上的高所在的直线方程为x-2y-5=0,BC边上的中线所在的直线 方程为2x-y-5=0. (1)求点A的坐标： (2)求直线BC的方程. 试卷第2页，共4页 16.已知数列{a}的前n项和为S.,且a=4,Sn1=3Sn+4n+4. (1)证明：{a,+2}是等比数列. ②洁6=g号，求数列D的前项和z。 Bb) 17.己知直线1：x+y+1=0,l2:3x+(a+2)y+2=0. (1)若Z2,求a的值： (2)若l1⊥12，求a的值： (3)若直线l,l与x轴的交点分别为AB,与y轴的交点分别为C,D,若AB=CD,求a的值. 试卷第3页，共4页 18.如图，正方形ABCD的边长为a,取正方形ABCD各边的中点E,F,G、H,作第2个正方形EFGH,其边长 记为4：然后再取正方形EFGH各边的中点I,J,K,L,作第3个正方形JL,其边长记为a4;依此方法一直继 续下去，则记第nneN)个正方形的边长为a.已知a=5,b,=-loga. H 2 (1)求an,bn: (2)若cn=(2b-1)a,求数列{cn}的前n项和Tn; 2 (3)记第n个正方形区域未被第n+1个正方形区域覆盖的面积为Sn,求使得S+S2+…+Sn≥ 成立的n的最小值， 19.己知二次曲线Ax2+By+Cy2+Dx+y+F=0表示圆的充要条件为A=C≠0，B=0且D2+E2>4AF.关于二 次曲线，有以下结论：若l:f=0,12:,=0,13:=0,为平面内三条直线，且⌒山2=A,12⌒l=B,1⌒=C, 则过A,B,C三点的二次曲线系方程为ff+元f∫+f=0(,为参数).若l:f=0,12:方=0,13：=0， 14:f=0为平面内四条直线，且Ol2=A,12⌒=B,,∩l4=C,14∩4=D,则过A,B,C,D四点的二次曲线系 方程为ff+几ff=0（1为参数). (1)若三角形三边所在直线方程分别为：x-3y+2=0,x+2y+2=0,3x+y-4=0.求该三角形的外接圆方程 (2)记(1)中所求的外接圆为⊙，直线y=kx(飞>0)与ω交于A,B两点(A在第一象限)，直线y=kx(k2<O)与o 交于C,D两点(C在第二象限)，直线BC交x轴于点M,直线AD交x轴于点N,直线BC与直线AD交于点P. (i)求证：lOM=oW: (ii)求OP的最小值 试卷第4页，共4页 《2025-2026学年度东山二中高二期中考试卷》参考答案 题号 1 3 3 4 5 6 8 9 10 11 答案 D D 6 AB AC ABD 1.D【详解】设等比数列a,}的公比为9，由条件可知马-4上￠：-1，（由思意知4≠0，q≠-1) 4+491+q ±a2:得4亿+8☑=2，解得a故a的前6项和为6 1-2 2 2.C【知识点】根据数列递推公式写出数列的项【分析】根据数列递推关系式，依次写出42，a即可. 【详解】由题意，42=(2×1+1)a4=3a=3,4=(2×2+1)a,=54=15.故选：C. 3.B【详解】集合A表示直线y-2=x-1上去掉点(1,2)所构成的两条射线， 在方程a(x-1)+y-2=0中，令 x-1=0m「x=1 y-2=0可 得=2，集合8表示过定点1,2)且斜率存在的直线， 由A∩B=0得两直线斜率不同，则-a≠1，解得a≠-1.故选：B. AA-四四上iD,所以口蓝：A 1-(-i) 1+i 5.C【详解】 2-2,得1P4=2P0,则2+-3)=2+少，整理得+0+y=4, PO 表示圆心为(0，-1)，半径为R=2的圆，圆(x-1)2+(y-2)=1的圆心为(1,2)，半径r=1, 两圆的圆心距为√(0-1)2+(-1-22=而，满足2+1<10，所以两个圆外离故选：C 6.D【分析】对于A,转化问题为求直线：y=-x+z的最大截距，由几何法即可得解：对于B,利用基本不等式 即可得解；对于C,转化问题为求O(0,0)到圆M上的点的距离d的平方的最小值，由几何法即可得解；对于D, 转化问题为求点Q(2,-1)到圆M上的点的连线m的斜率k的最大值，由几何法即可得解. 【详解】由圆M:x2+y2+2y-2=0得x2+(y+1)2=3,则M(0,-1),r=√3， 因为点P(a,b)是圆M上的动点，所以a2+(b+1)2=3, 对于A,令z=a+b,则b=-a+z,故问题转化为直线：y=-x+z与圆M相交时，求直线！截距的最大值， 显然，当直线l与圆M相切于N点时，1截距最大，连结MN,则MW⊥PN,如图1， 因为直线斜率为-1，放倾斜角为子，故AMPV-子 4 故在Rt△PMN中，PM=√2MN=√2r=√6，故PO=PM-OM=√6-1， 即1截距的最大值为√6-1，故a+b的最大值为√6-1，故A错误；· 图1 答案第1页，共7页 对于B,因为d+6+1-3,所以2a6+≤a+b+1-3,即a(6+1) 当且仅当a=b+1=5时，等号成立，故a(6+)的最大值为}，故B错误： 2 对于C,将d+b看作是O(0,0)到圆M上的点的距离d的平方，如图1，又因为OM=1, 所以dm=I-OM=V5-1,故(a+b）n=n=(V5-1刂°=4-25，故c错误； ,将十，看作是点Q2-山到圆M上的点的连线m的斜率k,则直线m的方程为y+平 即x-2k-y-1=0,如图2， 由题意可知，圆心M到直线m的距离d≤r,即 -2+1-≤=5，解得-5≤k≤5 V22+1 故k的最大值为，5，即？号的最大值为5，敢DE确故选：D 7.B【知识点】构造法求数列通项、数列不等式恒成立问题 图2 【分折】根据递推公式构达数列，导}，结合4-一4可得数列口}的通项公式，然后参变分离，利用对勾图数性质可解 +,所以品所以数列 1 【详解】因为a1=1+ a 是常数列， n+1 又4=4，所以8=4=1，从而a=n+1, n+13+1 所以数列a}是以2为首项，1为公差的等差数列，故5=川+3” 2 因为2S.+12≥a恒成立，所以㎡+3+12≥k0+1)恒成立，即k≤r+3n+12恒成立. n+1 设1=n+1,则n=1-1,从而心+3n+12--)+3-)+12=1+10+1. n+1 t 记0=1++1，由对勾函数性质可知，心在@O)上单调递减，在瓜网上单调道增， 又1eN2,10)=3+号+1=号0=4+1货，且号号所以19+1的最小值是号，所以≤号 3 4 3 8.C【知识点】轨迹问题一圆、定点到圆上点的最值（范围） 【分析】取点N(-4,O),推理证明得MN=2MA,把问题转化为求点M到定点B,N距离和的最小值作答. 【详解】如图，点M在圆O:x2+y2=4上，取点N(-4,0),连接MO,N,有ON=2|OM=4, 当点OMN不类线时，OAOM2,又乙A0M=∠MoN,因此aAOM~AMON,M了 0X-OM=2,当点O,M,N共线时，有=2，则N2M, B 则有 MAIQA MI 因此2MA+MB=MNI+|BBN-4-1)2+=√26， 当且仅当点M是线段BN与圆O的交点时取等号，所以2MA+MB的最小值为√26.故选：C 答案第2页，共7页 【点睛】方法点睛：圆及圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： (1)几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决： (2)代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围. 9.AB【详解】由圆心为(3,1)，半径为1，过点A(4,-3)斜率存在时，设切线为y=k(x-4)-3 则a=-1,可得太=冬所以=5-小-3.即15+8y-6=0: V1+k2 01234 5 斜率不存在时，x=4,显然与圆相切， -2 综上，切线方程为：15x+8y-36=0或x=4.故选：AB. -3 10.AC【知识点】判断等差数列验证是否为等差数列中的项、求等差数列前n项和、求等差数列前n项和的最值 【分析】由等差数列的基本量法求出通项，令4=24-4n可得A正确：由a=0可得B错误：求出3，再表达出 器作去可得c正确：求出S心可得D正将： 【详解】因为d=aH-a=-4,(n∈N),a=20,所以数列{a}是公差为-4，首项是20的等差数列， 即a.=a+(n-1)d=20-4(n-1)=24-4n, 对于A,4=24-4n→n=5,所以4是数列{a}中的项，故A正确： 对于B,令24-4=0三n=6,即a。=0,前五项大于零，所以当Sn最大时，n的值可以取5或6，故B错误： 对于C,-4a+a-a20+24-40=2n-2n2,所以8-2n-2=2-2,-2a+2a+0-2-20+l 2 2 n n+1 n+1 月=2”-20+小-(2-2训=-2.所以数列侣}是等茶数列、放c正确： n+l n 对于D,岛=20x5+号4)=60,8=207+7生(-4到=56，所以S8,放D信误：放迹：AC 11.ABD【知识点】由标准方程确定圆心和半径、圆的一般方程与标准方程之间的互化、切线长 【分析】首先将圆的方程配成标准式，即可求出圆心坐标与半径，再利用勾股定理求出切线上，利用锐角三角函数的 性质求出∠CPB,以及A,B点的横坐标，即可判断CD:依题意可得D(3,)到P,A,C,B四点的距离相等，即可判断B; 【详解】如图所示，因为C:x2+y2-2x-2y-2=0,即(x-1)2+(y-1)=4,可知圆心C(1,1),半径r=2, 对于选项A:因为PG=V5-1)°+1-1=4，所以P4=P=PC-产=-2z=25,故A正确： 于选项C、D:在RtABCP中，因为PC=4,BC=2,则sim∠CPB=),即∠CPB=30 则∠APB=2∠CPB=60°，∠BCP=ACP=60°， 可知A,B点在直线P℃上的投影长为2×cos60°=1，则A,B点的横坐标为2， 答案第3页，共7页 所以直线AB的方程为x=2,故C错误、D正确： 对于选项B:直线PC与圆C相交于点D(3,1),显然DC=DB=DP=AD=2,故P,A,C,B四点共圆，故B正确. 12. 【r解】自++2+3-m=0得：(《+旷-(+-m,数m号 因为点A(-1,0)在圆x2+y2+2x+3y+m=0外，所以(-1)+02+2×(-1)+3×0+m>0,所以m>1. 所以实数m的取值范围是： 所以答案为) 13 14》 -1,n=1 13.an= 2n,n≥ .【详解】Sn=+-3,.S1=(n-1)2+(n-1)-3m2-n-3,.an=Sn-Sn,=2n(n≥2) -1,n=1 当n=1时，a41=S1=-1≠2×1=2，不满足条件。.4n= 2n,n≥2 14.②③【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围、由方程研究曲线的性质 【分析】根据题意，对绝对值里面的正负分类讨论求出方程，作出图象，由此分析4个结论，即可得答案. 【详解】根据题意，曲线c的方程是《-凶+0w-=8,必有≠0且y≠0， 12 当x>0,y>0时，方程为(x-1)2+(y-1)2=8, 当x>0,y<0时，方程为(x-1)2+(y+1)2=8, 当x<0,y>0时，方程为(x+1)2+(y-1)2=8, 当x<0,y<0时，方程为(x+1)2+(y+1)2=8, 作出图象：依次分析4个结论： 对于①，由于x≠0，y≠0，曲线C与坐标轴没有交点，故①错误： 对于②，由图可知，曲线C既是中心对称图形，又是轴对称图形，故②正确： 对于③，若点P,Q在曲线C上，则当且仅当P、Q与圆弧所在的圆心共线时取得最大值， 故PQ的最大值是圆心距加两个半径，为2√2+4√2=6√2，故③正确： 对于④，当x>0,y>0时，方程为(x-)2+(y-1)2=8与坐标轴的交点(V7+1,0),(0,V7+1, 则第一象限面积为S>×(W厅+x(厅+)+寻×2×，故总的面积大于16+4万+8r>4,故④错误. 15(6+7).1)(4,3)(2)2x-3y-7=0 【详解】(1)由AB边上的高所在的直线方程为x-2y-5=0, 可得AB边上的高所在的直线的斜率为：，则k=-2. 答案第4页，共7页 又B(5,1),所以直线AB的方程为y-1=-2(x-5),即2x+y-11=0. 「2x+y-11=0, X=4 又BC边上的中线所在的直线方程为2-y-5=0,由2X-y-5=0解得)=3所以点A的坐标为4,3) (2)设点C6,y,则边BC的中点在直线2x-y-5=0上，所以2x5_当15=0，即2xy-1=0. 22 又点C在直线x-2y-5=0上，则有x-2y-5=0, 解得 =-1 y=-3 即C(-1-3).所以直线BC的方程是y-1=1+3x-5)即2x-3y-7=0 5+1 16(748).)证明见解折QZ=片 【详解】(1)当n=1时S2=3S+8,因为a=4,所以a2=16. 当n≥2时S。=3Sn1+4n,且S41=3Sn+4+4,则4+1=3an+4,即a1+2=3(a.+2）. 又a2+2=3(4+2),所以{a+2是以6为首项，3为公比的等比数列. 2)由(1)知a+2=2-3,则b=log,82 -=n, 1111 所必6bn放工号}+是1” nn+1n+1n+1 17(45463.a=1或a=-3,2a=号：国a=1或a= 5 【分析】(1)直线方程联立即得；(2)当α≠0或a≠-2时利用两直线垂直斜率之积为-1计算即可： (3)令y=0和x=0分别解出A,B,C,D四点坐标，然后由AB=CD得到关于a的方程，分a的取值解出即可； a=1或a=-3 【10以号中3分第用a ,所以a=1或a=-3 ≠ 2 3 (2)当a=0或a=-2时，显然直线l与l2不垂直，所以：，=-a,k,=- 2所以长=91，解得a=分 1 a+2 (3)依题意可知直线l1,l2的斜率存在且不为0，即α≠0或a≠-2， 令-0，得41-aa2r+2-0,解00-》.n02小以em-1ab 又4-c0,所以222-3c+=, 当a<-2时，(2a-3)(a+2)=3a2,无解： 当-2<a<0或0<a<号时，-(2a-3)(a+2)=3a2,解得a=1或a=- 3 2 答案第5页，共7页 当a>3时，(2a-3)(a+2)=32,无解 综上所述，a=1或a=兮 6 18(46+7八.0a-(,A=nneN:(国=3-223；③5 2 【分析】(1)先根据条件列出{a,}的递推公式，判断{a}是等比数列，根据等比数列的通项公式求解a。,进而可得b,: (2)将a,和b代入Cn，得到{cn}的通项，利用错位相减法求{cn}的前n项和I.: 3)先用累加法得到S+S++S,列出不等式，设了而=2+（日”利用数列的单调性解不等式即 【详解】D由影意，子+受P=G,即a4-。 20, 得出数列风为等比数列，公比为号，日9，即2（马。 2 可得a=(分”，b,=-log,4=,neN. (2)a=分，6，=n,c,=(26-1)4,∴c.=(2m-)(, ,1H=C+C2+C3+Cn Z-1x分+3x+5x分++2m-0x9@ T= +3x++(2n-3列xr+2m-0x”@ 0E两时-台e写a3mwg,时之0安e白。 时款-，即z=3--@a-0-3, 2 《3)血题意，8=G-公=-，则有8+8+…+8=G-在+店-a店++公-云子分， 22 'n 221 设侧-子分”号则间为单调运说数列，且网=女。0,0=立0， n21 又nef,则f(m)≤0→n25,即n的最小值是5. 19(5”+12').【分析】(1)由题意，根据三条直线方程设出二次曲线系方程，通过方程表示圆的充要条件待定系数可得； (2)由四条直线方程设出二次曲线系方程，再由己知圆的一般方程，对比两方程寻找系数的等量关系，由关系 什4=0可证得OMON,由关系式心2（即）可得交点P在定直线上y=4上，进而求解最值 【详解】(1)则由题意，可设所求三角形的外接圆方程为： (x-3y+2)x+2y+2)+(x+2y+2)3x+y-4)+u(3x+y-4)x-3y+2)=0(2,L为参数)， 答案第6页，共7页