专题03 函数的概念与性质（讲义，全国通用）数学学业水平考试合格考总复习

专题03 函数的概念与性质目录 学考要求速览 必备知识梳理 高频考点精讲 考点一：求函数值 考点二：函数的定义域 考点三：求函数的解析式 考点四：分段函数 考点五：定义法证明函数的单调性 考点六：根据解析式直接判断函数的单调性 考点七：根据函数的单调性解不等式 考点八：函数的最值 考点九：函数的奇偶性 进阶分级训练 1.理解函数值的概念，能根据函数表达式求函数值； 2.会求函数的定义域，掌握常见函数定义域的求法； 3.掌握求函数解析式的常用方法； 4.理解分段函数的概念，能进行分段函数的求值及应用； 5.掌握用定义法证明函数单调性的步骤； 6.能根据函数解析式直接判断函数的单调性； 7.能利用函数的单调性解不等式； 8.理解函数最值的概念，会求函数的最大（小）值； 9.理解函数奇偶性的概念，掌握判断函数奇偶性的方法。 知识点1 函数的概念 函数的定义 设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合中的，在集合中都有和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数，记作． 知识点2 函数三要素 （1）一般地，对于函数，则称为函数的，称集合 为函数的值域. （2）函数的三要素指：，，. （3）两个函数相同指两个函数的三要素全部相同. 知识点3 函数相等 一般地，如果两个函数表达式表示的函数相同，也相同（即对自变量的每一个值，两个函数表达式得到的函数值都相等），则称这两个函数表达式表示的就是同一个函数 知识点4 具体函数的定义域问题 ①：分式函数：定义域是，分母不为0. ②：0次幂类型：定义域是，底数不为0. ③：根式类型： ④：对数函数：真数大于0 知识点5 函数的表示方法 知识点6 分段函数 如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同，有不同的，则称其为分段函数. 知识点7 函数的单调性与单调区间 设函数的定义域是D，区间，如果对于任意的，，当时，都有 ，则称在区间I上是 ，（也称在区间I上单调递增），如图所示. 当时，都有 ，则称在区间I上是 ，（也称在区间I上单调递减）如图所示. 两种情况下，都称函数在区间I上具有 （区间I称为函数的 ，也可分别称为 和 ） 知识点8 函数的最值 最值 最大值 最小值 条件 函数的定义域为，存在实数满足： （1）对于任意的，都有 （2）存在，使 （1）对任意，都有 （2）存在，使 结论 是函数的最大值 是函数的最小值 知识点9 单调性的常见运算 （1） 单调性的运算 ①增函数（↗）增函数（↗）增函数↗ ②减函数（↘）减函数（↘）减函数↘ ③为↗，则为↘，为↘ ④增函数（↗）减函数（↘）增函数↗ ⑤减函数（↘）增函数（↗）减函数↘ ⑥增函数（↗）减函数（↘）未知（导数） （2） 复合函数的单调性 知识点10 函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，设函数的定义域为，如果对内任意一个，都有 ，且 ，则称函数是偶函数 关于 对称 奇函数 一般地，设函数的定义域为，如果对内任意一个，都有 ，且 ，则称函数是奇函数 关于 对称 考点精讲讲练 考点一：求函数值 例题1．（2025高二上·黑龙江·学业考试）已知函数，则（    ） A．1 B． C． D． 例题2．（2025高三上·广东·学业考试）已知函数，则正确的是（    ） A． B． C． D． 1．已知函数，则（   ） A．15 B．7 C．4 D．0 2．已知函数，则（    ） A． B． C．1 D． 3．已知函数，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 考点二：函数的定义域 例题1．（2025高二上·云南·学业考试）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 例题2．（2025高二下·湖南株洲·学业考试）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 1．（2025高二下·浙江·学业考试）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 3．（2025高二下·湖南娄底·学业考试）函数的定义域是（   ） A．且 B． C． D．且 4．已知函数的定义域是，则函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 考点三：求函数的解析式 例题1．（2025高二下·湖南·学业考试）一个矩形的周长是10，则矩形的长关于宽的函数解析式为（  ）（默认） A． B． C． D． 例题2．（2025高二下·湖南株洲·学业考试）已知二次函数满足，且的图象经过点. (1)求的解析式； (2)若对，不等式恒成立，求实数的取值范围. 1．已知函数满足，则（    ）． A． B． C． D． 2．已知函数，则 . 3．已知，则 4．(1)已知，求的解析式； (2)已知，求的解析式． (3)已知函数是二次函数，且满足，，求的解析式． 考点四：分段函数 例题1．（2025高二上·云南·学业考试）已知，则 . 例题2．（2025高二下·浙江·学业考试）函数，已知，则 ． 例题3．（2025高二下·天津南开·学业考试）已知函数，则 1．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 2．设函数，若实数满足，则（ ） A．或 B．或 C． D． 3．设函数，若，则（    ） A．或2 B．或3 C．2 D．或2或3 考点五：定义法证明函数的单调性 例题1．（2025高三下·四川·学业考试）已知函数. (1)判断的奇偶性； (2)若，用定义法判断在的单调性. 例题2．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）已知函数． (1)证明：函数为奇函数； (2)判断函数在R上的单调性，并用单调性定义证明； (3)若不等式恒成立，求实数m的取值范围． 1．已知函数. (1)判断函数在上的单调性，并证明； (2)求函数在上的最值. 2．（2025高二下·湖南娄底·学业考试）已知函数． (1)求m的值； (2)用定义法证明：函数在上是减函数； (3)若在上有两个不同的实根，求实数a的取值范围． 3．已知函数在区间上的最大值与最小值之和为7． (1)求a的值； (2)证明：函数是上的增函数． 考点六：根据解析式直接判断函数的单调性 例题1．（2025高二上·北京·学业考试）下列函数中，在区间上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 例题2．（2025高二上·云南·学业考试）下列函数中，在上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 例题3．（2025高二下·天津南开·学业考试）下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（    ）. A． B． C． D． 1．设，则（    ） A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减 C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递减 2．以下函数是奇函数且在单调递减的是（   ） A． B． C． D． 3．下列函数中，在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 考点七：根据函数的单调性解不等式 例题1．（2025高三上·四川·学业考试）已知函数，则满足不等式的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 1．已知为上的减函数，则满足的实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．已知函数，则满足的实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（2025高二下·陕西·学业考试）已知函数，． (1)若，解不等式； (2)函数的图象过点． （i）函数的图象与直线没有公共点，求实数的取值范围； （ii）若函数的定义域为，且．当恒成立时，实数的最大值满足．试比较与的大小． 4．设函数的定义域为，且满足条件，对于任意，有，且当时，有． (1)求的值； (2)如果，求的取值范围． 考点八：函数的最值 例题1．（2025高二下·湖南·学业考试）若奇函数在区间上是增函数，且最小值为3，则它在区间上是（    ） A．增函数且有最大值 B．增函数且有最小值 C．减函数且有最大值 D．减函数且有最小值 例题2．（2024高二上·江苏·学业考试）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 例题3．（2025高二下·湖南·学业考试）已知函数，若当时，的值域也是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．函数在区间上的最大值､最小值分别为（    ） A．最大值为，最小值为 B．最大值为，最小值为 C．最大值为1，最小值为 D．最大值为，最小值为 2．已知函数在上的最大值为，则（    ） A． B．2 C．5 D．7 3．已知函数. (1)求证：函数在上是增函数； (2)求在上的最大值和最小值. 4．已知函数． (1)试用单调性定义判断在上的单调性； (2)求函数在上的最值． 考点九：函数的奇偶性 例题1．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）下列函数中，是奇函数的是（   ） A． B． C． D． 例题2．（2025高二上·云南·学业考试）已知函数的图象关于轴对称.若，则（   ） A． B． C．0 D．2 例题3．（2025高二下·北京·学业考试）已知函数. (1)求证：是奇函数； (2)当时，求的最小值. 1．（2025高二上·黑龙江·学业考试）下列函数为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025高二下·浙江·学业考试）对于函数，下列说法正确的是（    ） A．是偶函数，且在上单调递增 B．是偶函数，且在上单调递减 C．是奇函数，且在上单调递增 D．是奇函数，且在上单调递减 3．（2025高二下·浙江·学业考试）已知函数的定义域为，且为奇函数，当时，，则（   ） A． B． C． D．4 4．（2025高二上·辽宁·学业考试）已知为定义域为的奇函数，当时，；当时， ． 5．（2025高三上·广东·学业考试）已知函数的图象经过． (1)求的解析式； (2)判断的奇偶性，并说明理由． 训练 1．设函数，则函数为（    ） A．奇函数，且在单调递增 B．奇函数，且在单调递减 C．偶函数，且在单调递增 D．偶函数，且在单调递减 2．已知定义在上的奇函数满足，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．已知函数，则 （    ） A． B． C． D． 4．下列四组函数中，同组的两个函数是相同函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 5．已知函数，若，则（    ） A． B．0 C．2 D．4 6．已知定义在上的函数满足对于任意实数x，y均有，且，则（    ） A．675 B．1350 C．2025 D．4050 7．函数 的值域为（    ） A． B． C． D． 8．函数的值域为（   ） A． B． C． D． 9．下列函数中，在上时单调递增函数的是（    ） A． B． C． D． 10．已知函数是奇函数，则实数a的值为（    ） A．0 B．1 C． D．2 11．已知为奇函数，则（    ） A．－4 B．2 C．4 D．6 12．已知函数，则关于的不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 13．已知是定义域为R的奇函数，当时，，则当时，的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 14．（多选）已知函数，则（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C．是奇函数 D．若，则 15．（多选）已知定义在上的函数，且，若，则（    ） A． B．是偶函数 C．是奇函数 D． 16．已知． (1)若，求的值； (2)是否存在实数，使函数是奇函数？请说明理由． 17．已知常数，函数的表达式为 (1)证明：函数是奇函数； (2)若函数在区间上的最大值为2，求实数a的值． 18．已知函数，其中，. (1)若，求：实数的值； (2)若时，求不等式的解集； (3)求不等式的解集； 19． 已知函数的定义域为R，，且. (1)求的值 (2)若为一次函数，且在内单调递增，求的取值范围. 20．已知定义域为R的函数是奇函数． (1)求a，b的值． (2)判断函数的单调性，并用定义证明． (3)当时，恒成立，求实数k的取值范围． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 函数的概念与性质目录 学考要求速览 必备知识梳理 高频考点精讲 考点一：求函数值 考点二：函数的定义域 考点三：求函数的解析式 考点四：分段函数 考点五：定义法证明函数的单调性 考点六：根据解析式直接判断函数的单调性 考点七：根据函数的单调性解不等式 考点八：函数的最值 考点九：函数的奇偶性 进阶分级训练 1.理解函数值的概念，能根据函数表达式求函数值； 2.会求函数的定义域，掌握常见函数定义域的求法； 3.掌握求函数解析式的常用方法； 4.理解分段函数的概念，能进行分段函数的求值及应用； 5.掌握用定义法证明函数单调性的步骤； 6.能根据函数解析式直接判断函数的单调性； 7.能利用函数的单调性解不等式； 8.理解函数最值的概念，会求函数的最大（小）值； 9.理解函数奇偶性的概念，掌握判断函数奇偶性的方法。 知识点1 函数的概念 函数的定义 设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合中的 任意一个数 ，在集合中都有 唯一确定的数 和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数，记作 ． 知识点2 函数三要素 （1）一般地，对于函数，则称为函数的 定义域 ，称集合 为函数的值域. （2）函数的三要素指： 定义域 ， 对应法则 ， 值域 . （3）两个函数相同指两个函数的三要素全部相同. 知识点3 函数相等 一般地，如果两个函数表达式表示的函数 定义域 相同， 对应关系 也相同（即对自变量的每一个值，两个函数表达式得到的函数值都相等），则称这两个函数表达式表示的就是同一个函数 知识点4 具体函数的定义域问题 ①：分式函数：定义域是，分母不为0. ②：0次幂类型：定义域是，底数不为0. ③：根式类型： ④：对数函数：真数大于0 知识点5 函数的表示方法 解析式；列出表格 知识点6 分段函数 如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同 取值区间 ，有不同的 对应方式 ，则称其为分段函数. 知识点7 函数的单调性与单调区间 设函数的定义域是D，区间，如果对于任意的，，当时，都有 ，则称在区间I上是 增函数 ，（也称在区间I上单调递增），如图所示. 当时，都有 ，则称在区间I上是 减函数 ，（也称在区间I上单调递减）如图所示. 两种情况下，都称函数在区间I上具有 单调性 （区间I称为函数的 单调区间 ，也可分别称为 单调递增区间 和 单调递减区间 ） 知识点8 函数的最值 最值 最大值 最小值 条件 函数的定义域为，存在实数满足： （1）对于任意的，都有 （2）存在，使 （1）对任意，都有 （2）存在，使 结论 是函数的最大值 是函数的最小值 知识点9 单调性的常见运算 （1） 单调性的运算 ①增函数（↗）增函数（↗）增函数↗ ②减函数（↘）减函数（↘）减函数↘ ③为↗，则为↘，为↘ ④增函数（↗）减函数（↘）增函数↗ ⑤减函数（↘）增函数（↗）减函数↘ ⑥增函数（↗）减函数（↘）未知（导数） （2） 复合函数的单调性 知识点10 函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，设函数的定义域为，如果对内任意一个，都有 ，且 ，则称函数是偶函数 关于 轴 对称 奇函数 一般地，设函数的定义域为，如果对内任意一个，都有 ，且 ，则称函数是奇函数 关于 原点 对称 考点精讲讲练 考点一：求函数值 例题1．（2025高二上·黑龙江·学业考试）已知函数，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】将直接代入解析式即可. 【详解】因为函数，所以， 故选：D 例题2．（2025高三上·广东·学业考试）已知函数，则正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别计算出、、、即可得. 【详解】对A、B：，，故A、B错误； 对C、D：，，则，故C正确、D错误. 故选：C. 1．已知函数，则（   ） A．15 B．7 C．4 D．0 【答案】B 【分析】代入运算得解. 【详解】. 故选：B. 2．已知函数，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】代入解析式求值即可. 【详解】由，得. 故选：C. 3．已知函数，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】计算可得结论. 【详解】因为，所以. 故选：C. 考点二：函数的定义域 例题1．（2025高二上·云南·学业考试）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据偶次根式有意义的条件计算可得结果. 【详解】由题意，令，解得， 所以函数的定义域是. 故选：B. 例题2．（2025高二下·湖南株洲·学业考试）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由对数函数的性质可得. 【详解】由对数函数的性质可得， 所以函数的定义域是. 故选：B. 1．（2025高二下·浙江·学业考试）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题结合区间定义，二次不等式解法可得定义域. 【详解】或，则定义域为. 故选：C 2．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】使分母不等于，及对数的真数大于即可求解. 【详解】要使有意义，则有，解得且， 所以的定义域为. 故选：D. 3．（2025高二下·湖南娄底·学业考试）函数的定义域是（   ） A．且 B． C． D．且 【答案】A 【分析】根据函数有意义求解即可. 【详解】由，解得且， 所以函数的定义域是且. 故选：A. 4．已知函数的定义域是，则函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数有意义，结合抽象函数的定义列不等式式求出定义域. 【详解】由函数的定义域是及有意义， 得，解得，且， 所以函数的定义域为. 故选：C 考点三：求函数的解析式 例题1．（2025高二下·湖南·学业考试）一个矩形的周长是10，则矩形的长关于宽的函数解析式为（  ）（默认） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据矩形的周长可列出之间的关系式，求出x的范围，即得答案. 【详解】由题意可得，则， 其中，则，则， 故矩形的长关于宽的函数解析式为. 故选：A 例题2．（2025高二下·湖南株洲·学业考试）已知二次函数满足，且的图象经过点. (1)求的解析式； (2)若对，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，利用条件等式和图象经过的点，列出方程组，确定的值，即得函数的解析式； （2）等价转化原不等式为在上的恒成立问题，结合二次函数的图象可得含参数的不等式，解之即得. 【详解】（1）设，由可得： ， 即得，解得，故得， 又的图象经过点，则， 故； （2）由可得， 依题意，对，不等式恒成立， 故，解得， 即实数的取值范围为. 1．已知函数满足，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以代x，利用解方程组法求解即可. 【详解】以代x，由①，得②， 则①②，得，则． 故选：A 2．已知函数，则 . 【答案】 【分析】令，利用换元法求解即可. 【详解】令，则， 所以，即. 故答案为： 3．已知，则 【答案】 【分析】令，换元法化简即可求出. 【详解】令，则，则， 故. 故答案为： 4．(1)已知，求的解析式； (2)已知，求的解析式． (3)已知函数是二次函数，且满足，，求的解析式． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据题意利用换元法分析运算求解； （2）根据题意利用构建方程组法运算求解； （3）根据题意利用待定系数法运算求解. 【详解】（1）已知，令 ，则， 所以， 即. （2）因为，所以， 即 ，解得. （3）函数是二次函数，设， ∵，∴， 又∵，∴， 整理，得， 由恒等式的性质知，上式中对应项的系数相等， ∴，解得，∴. 考点四：分段函数 例题1．（2025高二上·云南·学业考试）已知，则 . 【答案】2 【分析】根据分段函数解析式求函数值即可. 【详解】因为， 所以, 故答案为：2 例题2．（2025高二下·浙江·学业考试）函数，已知，则 ． 【答案】0 【分析】分别讨论，，代入求解即可. 【详解】时，，； 时，，. 综上所述，. 故答案为：0 例题3．（2025高二下·天津南开·学业考试）已知函数，则 【答案】/ 【分析】借助分段函数性质代入计算即可. 【详解】. 故答案为：. 1．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数的解析式由内到外逐层计算可得的值. 【详解】因为，则，所以. 故选：D. 2．设函数，若实数满足，则（ ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【分析】先确定的定义域，然后根据条件求解出的值，由此可计算出的值. 【详解】由条件可知的定义域为，所以， 当时，，此时无解； 当时，，解得； 所以， 故选：C. 3．设函数，若，则（    ） A．或2 B．或3 C．2 D．或2或3 【答案】A 【分析】由分段函数列方程直接求解即可. 【详解】因为函数，由， 所以或，解得：或. 故选：A. 考点五：定义法证明函数的单调性 例题1．（2025高三下·四川·学业考试）已知函数. (1)判断的奇偶性； (2)若，用定义法判断在的单调性. 【答案】(1)奇函数 (2)单调递减 【分析】(1)用函数奇偶性的定义可判断. (2)根据单调性的定义判断并证明即可. 【详解】（1）由题意知：的定义域为，定义域关于原点对称， 为定义在上的奇函数. （2）在上单调递减.证明如下： 任取， ，且 ，即. 在上单调递减.. 例题2．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）已知函数． (1)证明：函数为奇函数； (2)判断函数在R上的单调性，并用单调性定义证明； (3)若不等式恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)单调递增，证明见解析 (3)或 【分析】（1）根据题意可得函数定义域，结合奇函数的定义分析证明； （2）设且，根据单调性的定义结合指数函数性质分析证明； （3）分析可知原不等式等价于，结合函数单调性分析求解即可. 【详解】（1）由题意可知：的定义域为R， 且， 所以是奇函数． （2）因为， 设且， 则， 因为，则，可得，， 则，即， 故在R上的单调递增． （3）由（2）知在R上的单调递增，且 因为，则原不等式等价于， 即，可得且，解得或 所以实数m的取值范围为：或． 1．已知函数. (1)判断函数在上的单调性，并证明； (2)求函数在上的最值. 【答案】(1)函数在上单调递减，理由见详解 (2)， 【分析】（1）由题分析知函数在上单调递减， 利用函数单调性的定义证明即可； （2）由（1）函数的单调性，可知函数在上单调递减，从而求最值. 【详解】（1）函数在上单调递减； 理由如下： 取，规定； 则 因为， 所以 所以 所以函数在上单调递减 （2）由（1）函数在上单调递减， 所以函数在上单调递减， 所以， . 2．（2025高二下·湖南娄底·学业考试）已知函数． (1)求m的值； (2)用定义法证明：函数在上是减函数； (3)若在上有两个不同的实根，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）将代入函数解析式中即可求得的值； （2）任取，利用作差法证明即可； （3）分析函数在上的单调性和最值，发现当时，单调递减；当时，单调递增，计算的值，由此可得函数在上的图象，进而得到实数a的取值范围. 【详解】（1）因为，将代入函数，可得， 解得． （2）设，则 ， 因为，所以，则， 又，所以，即， 所以函数在上是减函数． （3）在上有两个不同的实根，等价于函数与直线在上有两个交点， 因为，由基本不等式可知，当且仅当即时取等号， 即当时，， 由对勾函数性质可知当时，单调递减；当时，单调递增， 又， 因为函数与直线在上有两个交点， 所以实数a的取值范围是. 3．已知函数在区间上的最大值与最小值之和为7． (1)求a的值； (2)证明：函数是上的增函数． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据单调性代入计算即可； （2）根据定义法证明函数为增函数即可. 【详解】（1）因为在区间上单调递增， 所以函数在区间上的最大值与最小值之和为， 所以，解得， 又因为，所以． （2）由（1）知，， 任取，且，则 ． 因为，所以，， 所以，即， 所以是上的增函数． 考点六：根据解析式直接判断函数的单调性 例题1．（2025高二上·北京·学业考试）下列函数中，在区间上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据基本初等函数的单调性直接得解. 【详解】因为，在区间上单调递增， 在区间上单调递减，在区间上不单调， 故选：B 例题2．（2025高二上·云南·学业考试）下列函数中，在上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合指数函数、对数函数单调性逐项判断. 【详解】函数、、在上都单调递减，ABC不是； 函数在上单调递增，D是. 故选：D 例题3．（2025高二下·天津南开·学业考试）下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦函数、幂函数、指数函数及对数函数的图象及性质，结合函数奇偶性、单调性的定义即可求解. 【详解】由正弦函数的性质可知：函数为上的奇函数， 且在区间上单调递增，在区间上单调递减，故选项A错误； 由幂函数的图象及性质可知：函数为上的奇函数，且在上单调递增，为增函数，故选项B正确； 由指数函数的图象与性质可知：函数为上的增函数，且为非奇非偶函数，故选项C错误； 由对数函数的图象与性质可知：函数为上的增函数，是为非奇非偶函数，故选项D错误. 故选：B. 1．设，则（    ） A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减 C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递减 【答案】A 【分析】根据正比例函数、反比例函数的单调性，结合函数单调性的性质、定义逐一判断即可. 【详解】因为函数在区间上均单调递增，所以当时，单调递增，所以A正确，B错误； 令，任取， 则， 当时，，，故在区间内单调递减； 当时，，故在上单调递增，C错误，D错误． 故选：A. 2．以下函数是奇函数且在单调递减的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由各选项奇偶性及在上的单调性可得答案. 【详解】对于A，定义域为，为非奇非偶函数，故A不满足题意； 对于B，其为偶函数，故B不满足题意； 对于C，其为奇函数，又当时，，在区间上单调递增，故C不满足题意； 对于D，其为奇函数，又当时，，在区间上单调递减，故D满足题意. 故选：D 3．下列函数中，在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据基本初等函数的性质逐项分析判断即可． 【详解】根据幂函数、反比例函数、对数函数的图像特性可知， 、、皆在上单调递增， 而，根据指数函数图像特性可知， 在单调递减，所以在上为减函数． 故选：B． 考点七：根据函数的单调性解不等式 例题1．（2025高三上·四川·学业考试）已知函数，则满足不等式的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数的单调性，结合函数单调性的判定方法，求得为单调递增函数，再由不等式转化为，进而求得实数的取值范围. 【详解】由函数，可得其定义域为， 设，且， 则， 由指数函数为单调递增函数，所以， 又因为，所以， 即，所以函数为单调递增函数， 又由，即，所以， 即，解得，即实数的取值范围为. 故选：C. 1．已知为上的减函数，则满足的实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为为上的减函数，且，所以，即，解得或． 2．已知函数，则满足的实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数性质即可得到其单调性，则得到不等式，解出即可. 【详解】因为均为上的增函数，则为上的增函数， 所以若，则，解得. 故选：D. 3．（2025高二下·陕西·学业考试）已知函数，． (1)若，解不等式； (2)函数的图象过点． （i）函数的图象与直线没有公共点，求实数的取值范围； （ii）若函数的定义域为，且．当恒成立时，实数的最大值满足．试比较与的大小． 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）根据对数型函数的单调性解不等式即可； （2）（i）由题意转化为方程无解，分离参数后，根据指数、对数函数的单调性求值域及可得参数取值范围（ii）分离参数后，由对数函数的性质及基本不等式求出的最大值为，再由推出函数的周期即可得，据此结合单调性即可比较大小. 【详解】（1）当时，，由， 得，所以， 解得， 所以不等式的解集为． （2）（i）的图象过点，，解得， 所以． 又函数的图象与直线没有公共点， 所以方程无实数解，即方程无实数解． 令，，则， ，，则，， 即函数的值域为，所以实数的取值范围为． （ii）若恒成立，则恒成立， 又， 由，得，当且仅当时取等号， 所以，则，故实数的最大值为． 由已知，得，所以，即． 所以． 又在上单调递增，， 所以，故． 4．设函数的定义域为，且满足条件，对于任意，有，且当时，有． (1)求的值； (2)如果，求的取值范围． 【答案】(1)0； (2). 【分析】（1）将代入，即可得； （2）根据已知得在上单调递增，再由已知得，则有，最后应用单调性解不等式求范围. 【详解】（1）对任意，有， 令，得， ； （2）设，由，得，即， 在上单调递增， 令，则，即． 由，得，即， ，解得， 的取值范围是 考点八：函数的最值 例题1．（2025高二下·湖南·学业考试）若奇函数在区间上是增函数，且最小值为3，则它在区间上是（    ） A．增函数且有最大值 B．增函数且有最小值 C．减函数且有最大值 D．减函数且有最小值 【答案】A 【分析】根据奇函数的特性分析在的单调性，再结合判断即可． 【详解】因为函数在区间上是增函数，且有最小值3，所以，又为奇函数，所以函数在区间上是增函数，且有最大值． 故选：A． 例题2．（2024高二上·江苏·学业考试）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二次函数的性质可得函数在上单调递增，可求值域. 【详解】二次函数的对称轴为，抛物线的开口向上， 所以函数在上单调递增，所以，， 所以函数的值域为. 故选：C. 例题3．（2025高二下·湖南·学业考试）已知函数，若当时，的值域也是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数的单调性建立方程，再利用对勾函数单调性求解. 【详解】函数在上单调递增，依题意，，而， 因此在上有两个不等的实根，即有两个不等的正根， 函数在上单调递减，函数值集合为； 在上单调递增，函数值集合为，由方程有两个不等的正根， 得直线与函数在上的图象有两个交点，则，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D 1．函数在区间上的最大值､最小值分别为（    ） A．最大值为，最小值为 B．最大值为，最小值为 C．最大值为1，最小值为 D．最大值为，最小值为 【答案】B 【分析】将函数解析式变形为，可得其在上的单调性，利用单调性求出最值. 【详解】因为， 由反比例函数性质可得在上单调递增， 当时，，当时，. 故选：B. 2．已知函数在上的最大值为，则（    ） A． B．2 C．5 D．7 【答案】C 【分析】求得二次函数的对称轴，分和两种情况讨论，求解即可. 【详解】由，可得， 所以函数的对称轴为， 当时，， 又函数在上的最大值为， 所以，解得（舍去）， 当时，，所以， 所以，所以，解得或（舍去）. 故选：C. 3．已知函数. (1)求证：函数在上是增函数； (2)求在上的最大值和最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2)最大值是，最小值是 【分析】（1）根据函数的增函数定义进行证明即可. （2）结合（1）中证明的递增函数性质直接求出最大值和最小值. 【详解】（1）证明：设是区间上的任意两个实数，且， 则， ，，，， ，即. 函数在上是增函数. （2）由（1）知函数在上是增函数， 则在上的最大值是，最小值是. 4．已知函数． (1)试用单调性定义判断在上的单调性； (2)求函数在上的最值． 【答案】(1)答案见详解； (2)最小值为，最大值为. 【分析】（1）根据函数单调性的定义进行判断； （2）利用单调性求最值. 【详解】（1）任取，且， 则 因为，且，所以，，， 所以，所以， 所以，即. 所以在上单调递减. （2）由（1）知在上单调递减， 所以， . 所以函数在上的最小值为，最大值为. 考点九：函数的奇偶性 例题1．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）下列函数中，是奇函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数解析式的形式，直接判断选项. 【详解】是偶函数，是奇函数，和是非奇非偶函数. 故选：B 例题2．（2025高二上·云南·学业考试）已知函数的图象关于轴对称.若，则（   ） A． B． C．0 D．2 【答案】A 【分析】根据偶函数定义计算求解. 【详解】函数的图象关于轴对称，所以函数是 偶函数， 因为，则. 故选：A. 例题3．（2025高二下·北京·学业考试）已知函数. (1)求证：是奇函数； (2)当时，求的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2)4 【分析】（1）根据奇函数定义即可得证； （2）利用基本不等式即可求解. 【详解】（1）因的定义域为. 对于任意，都有，且， 故是奇函数. （2）已知，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，函数取得最小值4. 1．（2025高二上·黑龙江·学业考试）下列函数为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据奇函数的定义求解即可. 【详解】选项A：令，则，所以不是奇函数； 选项B：令，则，所以不是奇函数； 选项C：令，则，且定义域为R，所以是奇函数； 选项D：令，则，所以不是奇函数； 故选：C 2．（2025高二下·浙江·学业考试）对于函数，下列说法正确的是（    ） A．是偶函数，且在上单调递增 B．是偶函数，且在上单调递减 C．是奇函数，且在上单调递增 D．是奇函数，且在上单调递减 【答案】A 【分析】由奇偶函数定义结合复合函数单调性可得答案. 【详解】因，则，即定义域关于原点对称， 又令，则为偶函数. 又， 当，， 在上单调递增，又在上单调递增，则在上单调递增. 故选：A 3．（2025高二下·浙江·学业考试）已知函数的定义域为，且为奇函数，当时，，则（   ） A． B． C． D．4 【答案】D 【分析】利用的奇偶性得到，再对进行赋值即可求解. 【详解】为奇函数，， 函数的定义域为，令，得，， 令，得， 当时，，，即， . 故选：D. 4．（2025高二上·辽宁·学业考试）已知为定义域为的奇函数，当时，；当时， ． 【答案】 【分析】设，则，代入时解析式，利用奇函数的定义，即可求得答案. 【详解】设，则，代入时解析式可得， 又为奇函数，所以，所以，即. 故答案为：. 5．（2025高三上·广东·学业考试）已知函数的图象经过． (1)求的解析式； (2)判断的奇偶性，并说明理由． 【答案】(1) (2)函数为奇函数，理由见详解 【分析】（1）把点代入解析式求出后可得答案； （2）利用奇偶性的定义判断即可. 【详解】（1）因为函数的图象经过， 所以，解得， 所以； （2）函数为上的奇函数. 由（1）可知， 由于，其定义域关于原点对称， ， 所以为奇函数. 训练 1．设函数，则函数为（    ） A．奇函数，且在单调递增 B．奇函数，且在单调递减 C．偶函数，且在单调递增 D．偶函数，且在单调递减 【答案】A 【分析】利用函数的奇偶性定义、单调性定义判断即可. 【详解】易知的定义域为，且， 所以为奇函数， 因为函数在上单调递增， 所以在上单调递增， 故选：A 2．已知定义在上的奇函数满足，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据奇函数的性质，通过赋值进行求解即可. 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以． 因为，所以． 故选：A 3．已知函数，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用等差数列的通项公式，得到的通项，即得答案. 【详解】函数在 时定义为 ， 取 得：， 令，得：， ， 则数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以， 故. 故选：D 4．下列四组函数中，同组的两个函数是相同函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】A选项，对应法则不同；BC选项，定义域不同，D选项，两函数定义域和对应法则均相同，为同一函数. 【详解】A选项，，，两函数对应法则不同，故不是同一函数，A错误； B选项，令，解得，的定义域为， 的定义域为R，两函数定义域不同，不是同一函数，B错误； C选项，的定义域为，的定义域为， 两函数定义域不同，不是同一函数，C错误； D选项，，， 两函数定义域和对应法则均相同，为同一函数，D正确. 故选：D 5．已知函数，若，则（    ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】B 【分析】结合正弦函数的奇偶性代入求解. 【详解】，所以， 则. 故选:B. 6．已知定义在上的函数满足对于任意实数x，y均有，且，则（    ） A．675 B．1350 C．2025 D．4050 【答案】D 【分析】根据赋值法，用x替换y，y替换x得到，故是常函数，设，再结合可解即可求. 【详解】用x替换y，y替换x可得，当，时，，故可知是常函数，于是知当时，，其中c为常数，故，解得，于是. 故选：D. 7．函数 的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数定义域，再利用单调性求出值域. 【详解】函数的定义域为， 又与在上均单调递增， 所以在上单调递增， ，故的值域为. 故选：D. 8．函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数在、上的值域，取并集即可得出函数的值域. 【详解】当时，，因为函数在上单调递增， 所以，此时； 当时，因为函数在上为减函数，在上为增函数， 故，即在上的值域为. 综上所述，函数的值域为. 故选：A. 9．下列函数中，在上时单调递增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由幂函数的单调性可判断AC；对求导可判断B；由正弦函数的性质可判断D. 【详解】对于A，因为，在上单调递增，故A正确； 对于B，， 当时，， 所以在上单调递减，故B错误； 对于C，的定义域为， ，所以为偶函数， 因为，所以由幂函数的性质知在上单调递增， 由偶函数的性质可得：在上单调递减，故C错误； 对于D，当时，, 由的单调性知，在不具备严格的单调性， 所以在上不具备严格的单调性，故D错误. 故选：A. 10．已知函数是奇函数，则实数a的值为（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】根据奇函数的定义及对数运算即可求解． 【详解】函数的定义域为， 因为是奇函数， 所以恒成立， 所以， 故选：A． 11．已知为奇函数，则（    ） A．－4 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【分析】根据函数是奇函数应用定义列式计算求参. 【详解】因为为奇函数，定义域为， 则， 所以，则， 此时， 则，满足题意 故. 故选：B. 12．已知函数，则关于的不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用奇函数的定义得为奇函数，再由基本初等函数的单调性可得为增函数，从而得，即可求解. 【详解】因为的定义域为，关于原点对称， 又，所以为奇函数， 易知在定义域上单调递增， 由，得到， 所以，解得， 故选：A. 13．已知是定义域为R的奇函数，当时，，则当时，的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】由奇函数性质求出当时，，再由基本不等式求解． 【详解】当时，得， 由函数是定义域为R的奇函数， 得， 即当时，，等号成立时，， 则当时，的最小值为1， 故选：A 14．（多选）已知函数，则（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C．是奇函数 D．若，则 【答案】ACD 【分析】要解决这道关于函数的题目，我们需要分别分析每个选项涉及的定义域、值域、奇偶性和单调性等知识点. 【详解】由于，分母恒不为零，因此可取任意实数， 所以的定义域为，A正确． 因为，所以是奇函数，C正确． 当时，，此时，故， 所以．因为是奇函数，所以， 即的值域为错误． 因为当时，，单调递减， 故单调递增，因为是奇函数，所以为增函数， 当时，，D正确． 故选：ACD 15．（多选）已知定义在上的函数，且，若，则（    ） A． B．是偶函数 C．是奇函数 D． 【答案】ABD 【分析】通过赋值令得到或，若，再令，，得出与矛盾，从而确定A正确；令，结合选项A的结论得到，即可判断B正确；令，得，进而得，得，由此判断C不正确；由得，由此，由此判断D正确. 【详解】令，得，所以或， 若，令，，得，即，与矛盾，所以，所以A正确； 令，得即，所以，所以B正确； 令，得，所以，所以，当时，，所以C错误； 因为，所以6是的一个周期，所以，所以D正确． 故选：ABD． 16．已知． (1)若，求的值； (2)是否存在实数，使函数是奇函数？请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在实数，使函数是奇函数. 【分析】（1）利用换元法将含有指数的方程转化为一元二次方程，再根据指数函数的性质求解. （2）利用奇函数在处的特殊性质求出的可能值，再将的值代回函数，根据奇函数的定义证明即可. 【详解】（1）由题意，， 令，则有，即，得，解得或（舍去）， 所以，则. （2）假设存在实数，使函数是奇函数， 则时，，解得. 当时，函数，定义域为. 设函数. 对任意，，故函数为奇函数. 综上，存在实数，使函数是奇函数. 17．已知常数，函数的表达式为 (1)证明：函数是奇函数； (2)若函数在区间上的最大值为2，求实数a的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）求出定义域，利用奇函数的定义判断可得答案； （2）判断出函数在区间上的单调性，根据单调性求出最值可得答案. 【详解】（1）由得， 所以函数的定义域为，关于原点对称， ， 所以函数是奇函数； （2）， 令， 则在上单调递增， 又为增函数， 所以在上单调递增， 其最大值为， 解得. 18．已知函数，其中，. (1)若，求：实数的值； (2)若时，求不等式的解集； (3)求不等式的解集； 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【分析】（1）根据解析式列方程计算即可； （2）根据一元二次不等式的解法求解即可； （3）分，两种情况讨论求解即可. 【详解】（1）由，则. （2）当时，， 由，则，解得， 所以不等式的解集为. （3）由，则，即， 当时，，解得或； 当时，，不等式无解. 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 19． 已知函数的定义域为R，，且. (1)求的值 (2)若为一次函数，且在内单调递增，求的取值范围. 【答案】(1)11 (2) 【分析】（1）利用赋值法即可求解； （2）利用待定系数法求，再利用导数研究单调性即可求解. 【详解】（1）因为，所以. （2）由为一次函数，设，由，， 所以， 所以，所以， 因为在内单调递增，所以在内恒成立， 所以在内恒成立， 所以，又在内恒有， 所以， 所以的取值范围为. 20．已知定义域为R的函数是奇函数． (1)求a，b的值． (2)判断函数的单调性，并用定义证明． (3)当时，恒成立，求实数k的取值范围． 【答案】(1)，． (2)在上为减函数，证明见解析． (3)． 【分析】（1）根据奇函数的性质，由，，建立方程，结合奇函数定义，可得答案； （2）根据单调性的定义，利用作差法进行证明，结合指数函数的单调性，可得答案； （3）利用函数奇偶性与单调性，化简不等式，根据参变分离，利用函数求最值，可得答案. 【详解】（1）因为在定义域为R上是奇函数，所以，即， ∴，又∵，即，∴． 则，由， 则当，原函数为奇函数． （2）由（1）知， 任取，设，则， 因为函数在R上是增函数，，∴．又， ∴，即，∴在上为减涵数． （3）因是奇函数，从而不等式：， 等价于， 因为减函数，由上式推得：． 即对一切有：恒成立，设， 令，则有， ∴， ∴，即k的取值范围为． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $