第16章 整式的乘法能力提升测试卷-2025-2026学年八年级数学上册《知识解读•题型专练》（人教版新教材）

第16章 整式的乘法能力提升测试卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 1、 单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．已知，那么的值是（   ） A．48 B．24 C．72 D．36 【答案】C 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算，幂的乘方计算. 先根据幂的乘方计算法则求出，再由同底数幂乘法的逆运算法则得到，据此代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴ ． 故选：C. 2．下列运算中，计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，以及单项式与单项式的乘法等知识． 根据运算规则逐项判断即可． 【详解】A．与指数不同，不是同类项，不能合并，故 A错误； B．，故 B错误； C．，故 C错误； D．，故D正确． 故选D． 3．下列不能用平方差公式运算的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式，熟记是解题关键．根据平方差公式的特点：两个二项式中有一项相同，另一项互为相反数，逐一判断即可． 【详解】解：A、中，相同，和互为相反数，可以用平方差公式，不符合题意； B、中，和两项都相同，不可以用平方差公式，符合题意； C、中，相同，和互为相反数，可以用平方差公式，不符合题意； D、中，相同，和互为相反数，可以用平方差公式，不符合题意； 故选：B． 4．若，，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式的公式变换，熟练应用是关键． 利用完全平方公式展开 ，并代入已知条件求解 ． 【详解】∵ ， 又 ∵ ， ∴ ， 即 ， ∴ ． 故答案选：A． 5．如图，在边长为的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（），把余下的部分剪拼成一个长方形，通过计算两个图形阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，分别表示出两个图形阴影部分的面积，进而根据两个图形阴影部分面积相等即可得出等式，正确识图是解题的关键． 【详解】解：由图可知，第一个图形阴影部分的面积为，第二个图形阴影部分的面积为， ∵两个图形阴影部分面积相等， ∴等式为， 故选：． 6．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查积的乘方的逆运算，熟练掌握积的乘方是解题的关键． 根据积的乘方的逆运算进行求解即可． 【详解】解：； 故选：A． 7．已知多项式与的乘积展开式中不含x的一次项，则a的值为（    ） A．0 B． C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查了多项式乘多项式，，根据题意得到，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， ∵多项式与的乘积展开式中不含x的一次项， ∴， 解得：， 故选：C． 8．如图，有三种规格的卡片共张，其中边长为的正方形卡片张，边长为的正方形卡片张，长，宽分别为，的长方形卡片张．现使用这张卡片拼成一个大的正方形，则这个大正方形的边长为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用完全平方公式分解因式，根据拼成大正方形的卡片的边长，可知拼成的大正方形的面积为，利用完全平方公式分解因式可得：，根据正方形的面积是边长的平方可知大正方形的边长为． 【详解】解：由题意可知， 拼成的大正方形的面积为， 分解因式可得：， 大正方形的边长为． 故选：C． 9．若，，那么的值是（   ） A．－11 B．13 C．37 D．61 【答案】B 【分析】本题重点考查​完全平方公式的变形应用​​，​​灵活运用完全平方公式将已知条件转化为目标表达式是解题的关键​​． 根据完全平方公式化简，代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：B． 10．南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中用“杨辉三角”揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的规律：                  1               1    1           1     2    1       1     3     3    1    1     4    6      4   1 1     5    10    10    5   1             …… …… 则的展开式中所有项的系数和是（   ） A．64 B．128 C．256 D．512 【答案】B 【分析】本题考查了“杨辉三角”展开式中所有项的系数和的求法，通过观察展开式中所有项的系数和，得到规律是解题的关键． 根据“杨辉三角”展开式中所有项的系数和规律确定出（n为非负整数）展开式的项系数和为，求出系数之和即可． 【详解】解：当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为， 由此可知展开式的各项系数之和为， 则展开式中所有项的系数和是， 故选：B． 2、 填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 11．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查的是利用平方差公式，完全平方公式计算，先利用平方差公式，再利用完全平方公式计算即可． 【详解】解： ． 故答案为： 12．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式除以单项式，先计算乘方，再计算同底数幂的除法． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 13．若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式，掌握相关知识是解决问题的关键．因为，将已知代数式的值代入计算即可． 【详解】解：∵， 代入，得， ， 故答案为：． 14．已知，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了完全平方公式和非负数的性质，解题关键是抓住完全平方公式的特点分析原式，将原式转化成完全平方的形式． 根据完全平方公式把原式变形，根据非负数的性质分别求出m、n后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：2． 3、 解答题（本题共7小题，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（8分）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了代数式的混合运算，熟练掌握代数式的混合运算的法则是解题的关键． （1）先计算积的平方和单项式与单项式的乘积，再计算减法即可； （2）利用乘法分配律计算单项式乘多项式，再计算加减法即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 16．（8分）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题考查了非负数的性质，整式乘法及求代数式的值，正确计算是解题的关键；由非负数的性质可求得x与y的值，再利用乘法公式及单项式乘多项式的法则展开，合并同类项，最后代值求解即可． 【详解】解：， ，， 原式 当，， 原式 ． 17．（8分）如图，将一个长为，宽为的长方形沿图中虚线平均分成个长方形，然后按图的形状拼成一个正方形． (1)图中阴影部分的边长是________（用含，的式子表示）． (2)若，且，求图中阴影部分的面积． (3)用等式表示出，，之间的数量关系是________． 【答案】(1)； (2)阴影部分的面积为； (3)． 【分析】本题考查的知识点是列代数式、代数式求值、完全平方公式在几何图形中的应用等知识，解题关键是通过观察图形找出各图形之间的面积关系． （1）观察由已知图形，得到四个小长方形的长为，宽为，那么图中的阴影部分的正方形的边长是小长方形的长减去小长方形的宽； （2）通过观察图形，大正方形的边长为小长方形的长和宽的和，图中阴影部分的正方形的面积为大正方形的面积减去四个小长方形的面积； （3）通过观察图形知，、、分别表示的是大正方形、阴影部分的正方形及个小长方形的面积． 【详解】（1）解：依题意得，分成长方形后，每个小长方形的长为，宽为， 则图的阴影部分的边长是， 故答案为：； （2）解：由图可知，阴影部分的面积大正方形的面积个小长方形的面积， 大正方形的边长， 大正方形的面积， 又个小长方形的面积之和大长方形的面积， 阴影部分的面积为； （3）解：由图可以看出，大正方形面积阴影部分的正方形的面积四个小长方形的面积， 即， 故答案为：． 18．（8分）我们在应用完全平方公式解题时，经常会对公式进行变形．比如：已知，则． 根据以上变形，回答下列问题： (1)若，求； (2)已知，则______； (3)已知长和宽分别为的长方形，它的周长为，面积为，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了完全平方公式和数形结合思想，灵活变形完全平方公式成为解答本题的关键． （1）根据，代入数值即可求解； （2）对进行平方可得，在对原式变形，可得，开平方即可求解； （3）根据题意可得，，进而得出，代入，即可得． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即． （2）解：∵， ∴， ∴， 即． ∴． （3）解：∵长和宽分别为的长方形，它的周长为，面积为， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 19．（8分）所谓完全平方式，就是对于一个整式 A ，如果存在另一个整式 B ，使 ，则称 A 是完全平方式，例如：，，所以就是完全平方式． 请解决下列问题： (1)已知 ，则________； (2)如图，在长方形中，，点 E，F 分别是上的点，且 ，分别以为边在长方形 外侧作正方形和． ①________， ________；（用含 x 的式子表示） ②若长方形的面积为32 ，求图中阴影部分的面积和． 【答案】(1)6 (2)①；；② 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，完全平方公式在几何图形中的应用，列代数式，熟知完全平方公式是解题的关键． （1）根据列式求解即可； （2）①根据题意结合图形即可得到答案；②设，则；再根据求出的值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵ ， ∴， ∴； （2）解：①由题意得，； ②设， ∴； ∵长方形的面积为32， ∴， ∴， ∴， ∴ 20．（8分）如图1，正方形是由长为a，宽为b的4个完全相同的小长方形拼摆而成的，我们可以利用该正方形面积的不同表示方法验证一个与完全平方公式相关的等量关系． (1)由图1得到的等量关系为________． (2)根据上述关系，已知，，求的值． (3)如图2，用5个长为a，宽为b的长方形按照图2方式不重叠地放在大长方形内；大长方形中未被覆盖的两个部分，左上角的面积为，右下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是多项式乘以多项式，以及完全平方公式，解题的关键是熟练掌握多项式乘多项式法则，以及完全平方公式的特点． （1）利用正方形面积的两种不同表示方式即可得出结论； （2）根据（1）的结论求出，再根据 ，进而利用整体代入法计算求解． （3）根据已知求得两部分的面积，根据题意作差，进而求得，关系式． 【详解】（1）解：由图可知：大正方形边长为，面积为：， 又因为正方形是由长为a，宽为b的4个完全相同的小长方形拼摆而成的，中间正方形面积为：， ∴ 故答案为：； （2）解：由（1）得：， ∵，， ∴， ∴ ； （3）解：设， ，， ， 当时，不变， 即． 21．（10分）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是______． (2)应用你（1）中得出的等式，完成下列各题： ①已知，，求的值． ②计算：． 【答案】(1) (2)①3；② 【分析】本题考查平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键． （1）分别用代数式表示图1、图2中阴影部分的面积即可； （2）①利用平方差公式得，再代入计算即可； ②将原式化为，再连续利用平方差公式即可． 【详解】（1）解：图1阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的图2是长为，宽为的长方形， 面积为， ， 故答案为：； （2）解：① ； ② ． 42．数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释．如下用几个小的长方形、正方形拼成一个大的正方形，然后利用两种不同的方法计算这个大的正方形的面积，可以得到一个等式，利用这些等式也可以求一些不规则图形的面积． (1)如图1所示的大正方形，是由两个正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成的．用两种不同的方法计算图中阴影部分的面积，可以得到的数学等式________； (2)如图2，由几个面积不等的小正方形和几个小长方形拼成一个边长为的大正方形，用不同形式表示这个大正方形的面积，从中你能发现的等式可表示为________； (3)利用（2）中的结论解决以下问题：已知，，可得的值为________； (4)如图3，由两个边长分别为，的正方形拼在一起，点，，在同一直线上，连接、，若，，请利用（1）中的结论，求图3中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) (3)21 (4)36 【分析】此题主要考查了几何背景下的完全平方公式及其应用，理解题意，准确识图，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解答此题的关键． （1）根据大正方形的边长为，而大正方形由两个边长为a，b的正方形和两个长为b，宽为a的长方形组成即可得出答案； （2）分别表示出大正方形中每一个小正方形的面积及长方形的面积，然后根据这些小正方形的面积及长方形的面积等于大正方形的面积即可得出答案； （3）由（2）得结论可得，然后将代入进行计算即可得出结论； （4）分别求出，，，再根据得，然后由（1）可知：，从而得，再将进行计算即可得出答案． 【详解】（1）解：依题意得：； 故答案为：； （2）解：依题意得：； 故答案为：； （3）解：由（2）可知：， ∴， 即：， 又∵ ∴； 故答案为：21； （4）解： ． 当，时， 原式． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第16章 整式的乘法能力提升测试卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 1、 单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．已知，那么的值是（   ） A．48 B．24 C．72 D．36 2．下列运算中，计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 3．下列不能用平方差公式运算的是（  ） A． B． C． D． 4．若，，则的值为（  ） A． B． C． D． 5．如图，在边长为的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（），把余下的部分剪拼成一个长方形，通过计算两个图形阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等式是（   ） A． B． C． D． 6．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 7．已知多项式与的乘积展开式中不含x的一次项，则a的值为（    ） A．0 B． C． D．3 8．如图，有三种规格的卡片共张，其中边长为的正方形卡片张，边长为的正方形卡片张，长，宽分别为，的长方形卡片张．现使用这张卡片拼成一个大的正方形，则这个大正方形的边长为（  ） A． B． C． D． 9．若，，那么的值是（   ） A．－11 B．13 C．37 D．61 10．南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中用“杨辉三角”揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的规律：                  1               1    1           1     2    1       1     3     3    1    1     4    6      4   1 1     5    10    10    5   1             …… …… 则的展开式中所有项的系数和是（   ） A．64 B．128 C．256 D．512 2、 填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 11．计算： ． 12．计算： ． 13．若，，则 ． 14．已知，则 ． 3、 解答题（本题共7小题，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（8分）计算： (1) (2) 16．（8分）先化简，再求值：，其中． 17．（8分）如图，将一个长为，宽为的长方形沿图中虚线平均分成个长方形，然后按图的形状拼成一个正方形． (1)图中阴影部分的边长是________（用含，的式子表示）． (2)若，且，求图中阴影部分的面积． (3)用等式表示出，，之间的数量关系是________． 18．（8分）我们在应用完全平方公式解题时，经常会对公式进行变形．比如：已知，则． 根据以上变形，回答下列问题： (1)若，求； (2)已知，则______； (3)已知长和宽分别为的长方形，它的周长为，面积为，求的值． 19．（8分）所谓完全平方式，就是对于一个整式 A ，如果存在另一个整式 B ，使 ，则称 A 是完全平方式，例如：，，所以就是完全平方式． 请解决下列问题： (1)已知 ，则________； (2)如图，在长方形中，，点 E，F 分别是上的点，且 ，分别以为边在长方形 外侧作正方形和． ①________， ________；（用含 x 的式子表示） ②若长方形的面积为32 ，求图中阴影部分的面积和． 20．（8分）如图1，正方形是由长为a，宽为b的4个完全相同的小长方形拼摆而成的，我们可以利用该正方形面积的不同表示方法验证一个与完全平方公式相关的等量关系． (1)由图1得到的等量关系为________． (2)根据上述关系，已知，，求的值． (3)如图2，用5个长为a，宽为b的长方形按照图2方式不重叠地放在大长方形内；大长方形中未被覆盖的两个部分，左上角的面积为，右下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的数量关系． 21．（10分）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是______． (2)应用你（1）中得出的等式，完成下列各题： ①已知，，求的值． ②计算：． 42．数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释．如下用几个小的长方形、正方形拼成一个大的正方形，然后利用两种不同的方法计算这个大的正方形的面积，可以得到一个等式，利用这些等式也可以求一些不规则图形的面积． (1)如图1所示的大正方形，是由两个正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成的．用两种不同的方法计算图中阴影部分的面积，可以得到的数学等式________； (2)如图2，由几个面积不等的小正方形和几个小长方形拼成一个边长为的大正方形，用不同形式表示这个大正方形的面积，从中你能发现的等式可表示为________； (3)利用（2）中的结论解决以下问题：已知，，可得的值为________； (4)如图3，由两个边长分别为，的正方形拼在一起，点，，在同一直线上，连接、，若，，请利用（1）中的结论，求图3中阴影部分的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $