专题02 圆中的重要模型之圆中的翻折模型（几何模型讲义）数学沪教版五四制九年级下册

专题02 圆中的重要模型之圆中的翻折模型 圆中的翻折模型是将一个圆形的纸片沿着一条直线翻折，使得纸片的边缘与直线重合，从而形成新的圆形或圆环。翻折前后，对应边相等，对应角相等，对应点之间的连线被折痕垂直平分。这种模型可以用于创建各种不同的图形和图案，是一种非常有趣的几何模型。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 2 模型拓展 4 模型运用 4 模型1.圆中的翻折模型（弧翻折必出等腰） 2 19 阿拉伯学者系统证明圆弧翻折后，‌折痕必垂直平分对应弦‌（即垂径定理），确立了“翻折→对称→垂直关系”的逻辑链。‌中国宋代数学学者基于弦长与圆心角关系，明确“等弧翻折得等弦”的性质，强化对称构图思想。法国数学家布里昂雄发现翻折的‌对偶性质‌：圆内折痕两侧的弧、角、弦存在对称等价关系，奠定现代模型核心原理。近代形成 ‌“弧翻折必出等腰”的定性定理‌：圆内以弦为对称轴翻折圆弧，所得两弦相等（即生成等腰三角形），成为模型的核心判定条件。 圆中的翻折模型作为几何学中处理圆内对称问题的核心工具，其历史演进脉络融合了东西方数学思想。 （2025·广东惠州·二模）综合探究： (1)如图1，等圆与相交与点与点，连接，证明四边形为菱形． (2)如图2，已知的直径为10，以线段为折痕进行折叠，使得与直径相切于点，若折叠后与点重合，求此时的长度． (3)如图3，在题（2）中，改变与直径相切的切点的位置．若折叠后切点与圆心的长度，求折痕的长度． （2025·安徽淮南·一模）如图，已知，是的直径，点C为圆上一点． (1)如图①，将沿弦翻折，交于D，若点D与圆心O重合，，则的半径为　 　； (2)如图②，将沿弦翻折，交于D，把沿直径翻折，交于点E． （Ⅰ）若点E恰好是翻折后的的中点，则的度数为 　 　； （Ⅱ）如图③，连接，若，，求线段的长． 模型1）条件：如图，以圆O的一条弦BC为对称轴将弧BC折叠后与弦AB交于点D，结论：CD=CA 1）证明：如图，设折叠后的所在的圆心是G，连接AC，CD. 由题意得（折叠）：，即：，∴∠CAB=∠DCB+∠CBD， ∵∠CDA=∠DCB+∠CBD，∴∠CAB=∠CDA，∴CD=CA。 模型2）条件：特别地，弧BC折叠后过圆心，结论：CD=CA，∠CAB=60° 2）证明：如图，连接AC，CD，CO；由1）中证明知：CO=CA， ∵OA=OC，∴CO=CA=OA，∴△OAC为等边三角形，∴∠CAB=60°。 1、翻折变换的性质：翻折前后，对应边相等，对应角相等，对应点之间的连线被折痕垂直平分； 2、圆的性质：在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧、弦相等；同弧或等弧所对的圆周角相等； 3、等圆相交：如图，圆O和圆G为两个相等的圆，圆O和圆G相交，相交形成的弦为AB，则弦AB为整个图形的对称轴，圆心O和圆心G关于AB对称，弧ACB和弧ADB为等弧，且关于AB对称； 4、弧翻折（即等圆相交）：如图，以弦BC为对称轴，将弧BC翻折后交弦AB于点D，那么弧CDB所在的圆圆G与圆O是相等的圆，且两个圆关于BC对称，故圆心O、G也关于BC对称。 例1（2025·陕西西安·二模）如图，为的直径，为圆上一点，为劣弧上一点，将劣弧沿弦所在的直线翻折，翻折后点恰好与圆心重合，则的大小等于（    ） A． B． C． D． 例2（2025·江苏徐州·模拟预测）如图，是的直径，点A在上，将沿翻折交于点，连接，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 例3（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，四边形内接于，，．劣弧沿弦翻折，刚好经过圆心．当对角线最大时，弦的长为 ． 例4（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，是半径为2的的弦，将弧沿将翻折后，恰好经过圆心，点是翻折的弧上的一动点；连接并延长交于，点为的中点，连接，则的最小值为 ． 例5（2025·黑龙江绥化·二模）如图，已知是的直径，过延长线上一点P作圆的切线，D为上的一点，连接并延长交于点C，G为上的点且的延长线交于点F． (1)求证：； (2)若将弧沿翻折交半径于点M，且，，求的长度； (3)直线l是的切线向下平移5个单位长度所得到的直线，点Q为直线上的一动点，切于点C，现以为直角边作，，，当时求线段的最小值． 1．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，在中，，点是边上一点，以为直径的交于点，将沿翻折恰好经过圆心，若，，则的半径为（    ） A．1 B． C．2 D．4 2．（24-25九年级上·辽宁铁岭·阶段练习）为的弦，为的中点，将沿翻折，翻折后的弧恰好经过圆心为上一点，连接，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）折叠一张圆形纸片，是的直径，是的弦，先将沿翻折交于点D，再将沿翻折交于点E．若，则的度数为（　） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·四川南充·阶段练习）如图，是一条弦，将劣弧沿弦翻折，连结并延长交翻折后的弧于点，连接，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 5．（2024·浙江台州·三模）如图，是的直径，是弦，把沿着弦翻折交于点D，再把沿着翻折交于点．当是的中点时，的值是（    ）． A． B． C． D． 6．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在⊙中，点C为的中点，将弦下方的部分沿弦翻折，使点C与圆心O重合．点D为优弧上一点连接．若，，则（    ） A． B． C． D． 7．（2024·辽宁大连·三模）如图，在半径为2的中，为的一条弦，将所对的劣弧沿着翻折后恰好经过圆心，连接并反向延长交于一点，则如图所示的阴影面积为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，已知，是的直径，点C为圆上一点．将沿弦翻折，交于D，把沿直径翻折，交于点E．若点E恰好是翻折后的的中点，则的值为 ． 9．（2025·广东广州·二模）如图，是的直径，点在圆上．将沿翻折与交于点，若，的度数为，则 ． 10．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）在中，为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦翻折，交于点D，连接．如图，若点D与圆心O不重合，，则的度数为 ． 11．（2025·重庆·三模）如图，是的直径，点是上一点，将劣弧沿弦翻折交于点，点为弧的中点，若，，则的半径为 ；的面积为 ． 12．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图，为的直径，且，弦于点，将沿翻折后交于点，若为中点，则 ． 13．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，将沿弦翻折过圆心，交弦于点，，则长为 ． 14．（24-25九年级上·江苏淮安·期中）如图，为半圆O的直径，，为弦，若将沿弦翻折后恰好经过圆心，则图中阴影部分的面积为 ． 15．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在中，为直径，点为圆上一点，将劣弧沿弦翻折，交于点，连接．若点与圆心重合，，则半径等于 ． 16．（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）中，为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿翻折交于点D，连接． (1)如图1，若点D与圆心O重合，，则的半径______，弧的长=______． (2)如图2，若点D与圆心O不重合，， ______． (3)如图3，若点D与圆心O不重合，，求的长． 17．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）在中，为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦翻折，交于点D，连接．    (1)如图1，若点D与圆心O重合，，求的半径； (2)如图2，若点D与圆心O不重合，，请求出的度数； (3)如图2，如果，，那么的长为____________．（直接写出答案） 18．（24-25九年级上·浙江金华·期中）在中，为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦翻折交于点D，连接． (1)如图1，若点D与圆心O重合，，求的半径r； (2)如图2，若点D与圆心O不重合，，请求出的度数． (3)如图2，如果，，求的长． 19．（24-25九年级上·陕西安康·期末）在中，AB为直径，C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连接CD． (1)如图1，若点D与圆心O重合，的半径r为2，则AC的长为______； (2)如图2，若点D与圆心O不重合，连接BC，求证：； (3)如图3，琳琳家小区有一半径13米的圆形绿化区整个绿化区被ADC和弦AC分成3块区域（两块弓形区域和一块弯月形区域）分别种植有不同颜色的花卉，其中弓形ADC与弓形AEC关于分界线AC对称，为方便居民穿越绿化区，设计师决定从直径AB处铺设一条直直的步行走道（走道宽度忽略不计，D为交点）．为配合不同区域内花卉的颜色，AD段走道和DB段走道需分别用青色和黄色砖块铺设，若铺设一米青色地砖成本39元，铺设一米黄色地砖成本26元，由原设计图纸得知AC长度为24米，请求出铺设完AB走道所需地砖费用． 20．（2025·吉林·一模）【驱动背景】 在中，将劣弧沿弦所在的直线折叠，使得弧恰好过圆心O，圆心O关于直线的对称点为． 【前情感知】 （1）如图1，连接，，的度数为 ； 【问题探究】 （2）如图2，若点D是优弧上的任意一点，连接交折叠后的弧于点C，连接，． ①的度数为 ；猜想与的数量关系 ； ②如图3，若弧（翻折后）不经过圆心O．与的数量关系是否仍然成立？请说明你的理由． 【拓展生长】 （3）如图4，若为直径，将第一次折叠后的弧（弧部分）沿向下翻折交弦于点E，连接．若，，请直接写出线段的长． 21．（2025·河南郑州·模拟预测）如图是一张半圆形纸片，是其直径，C是半圆O上一点，将纸片沿直线翻折后，交直径于点．若点恰好落在点处． (1)尺规作图：在图中作出点折叠前的对应点(保留作图痕迹)； (2)分别连接、、，请判断四边形的形状，并说明理由； (3)连接，与、分别交于点F、G，则 ． 22．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）在弓形的学习中，某小组利用弓形纸片开展如下探索活动：已知，在图1所示的弓形纸片中（点为圆心），，弓高为． 【解决问题】求半径的长； 【探究思考】如图2，作弦，弦，点，分别是，的中点，连结，，记．当时，求的最大值； 【拓展研究】该小组将图1中的弓形纸片进行翻折，得到折痕（如图3）．其中，点，关于对称，连结交于点，连结，，，并延长交弧于点，交于点，使得．当点是半径的中点时，的长度为______．（直接写出答案） 23．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图1，在中，点C、D在优弧上，将弧沿折叠后，点D的对应点E刚好落在弦上，连接． (1)证明：； (2)连接，若，求的半径． (3)用圆形纸片可以折出各种不同的图形．如图2，点P为内一点，利用直尺和圆规分别作出一条符合要求的折痕，使折叠后圆弧经过点O、P（保留痕迹，给出必要的文字说明）． 24．（2025·河北张家口·二模）【情境】数学课上，同学们用圆形纸片探究折叠的性质，如图1，是的直径，，沿弦折叠，使折叠后的与相切于点． 【发现】所在圆的半径为_____； 【探究】为了找到所在圆的圆心，同学们讨论了以下两种方式． 淇淇说：取弦和弦的中垂线的交点即可． 嘉嘉说：不必画两条中垂线，如图2，只需作点关于弦的对称点，点即为所求． 淇淇说：这样看来，折叠后，切点在直径上运动，可以看成在直径上滚动． 嘉嘉说：没错，所以当点在直径上运动时，点的运动路线和直径的位置关系是_____； 【拓展】 （1）如图3，若切点为的中点，连接，交于点，连接，求弦的长； （2）若切点落在线段上（包括端点），直接写出弦的最大值和最小值． 25．（24-25九年级下·广东汕头·阶段练习）【问题背景】已知是半圆O的直径，且，C是上的一动点． 【构建联系】（1）如图1，连接，求图中阴影部分面积之和的最小值S． 【深入探究】（2）如图2，将沿折叠，折叠后的弧与直径交于点D（点D不与点A，B重合），连接． ①若，求的度数； ②设，请求出y关于x的函数表达式及自变量x的取值范围． 26．（24-25九年级上·浙江台州·阶段练习）点，，在上，将沿折叠后，与交于． (1)若，求的度数． (2)如图，点恰是翻折所得的中点，若，求的度数． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 圆中的重要模型之圆中的翻折模型 圆中的翻折模型是将一个圆形的纸片沿着一条直线翻折，使得纸片的边缘与直线重合，从而形成新的圆形或圆环。翻折前后，对应边相等，对应角相等，对应点之间的连线被折痕垂直平分。这种模型可以用于创建各种不同的图形和图案，是一种非常有趣的几何模型。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 2 模型拓展 4 模型运用 4 模型1.圆中的翻折模型（弧翻折必出等腰） 2 19 阿拉伯学者系统证明圆弧翻折后，‌折痕必垂直平分对应弦‌（即垂径定理），确立了“翻折→对称→垂直关系”的逻辑链。‌中国宋代数学学者基于弦长与圆心角关系，明确“等弧翻折得等弦”的性质，强化对称构图思想。法国数学家布里昂雄发现翻折的‌对偶性质‌：圆内折痕两侧的弧、角、弦存在对称等价关系，奠定现代模型核心原理。近代形成 ‌“弧翻折必出等腰”的定性定理‌：圆内以弦为对称轴翻折圆弧，所得两弦相等（即生成等腰三角形），成为模型的核心判定条件。 圆中的翻折模型作为几何学中处理圆内对称问题的核心工具，其历史演进脉络融合了东西方数学思想。 （2025·广东惠州·二模）综合探究： (1)如图1，等圆与相交与点与点，连接，证明四边形为菱形． (2)如图2，已知的直径为10，以线段为折痕进行折叠，使得与直径相切于点，若折叠后与点重合，求此时的长度． (3)如图3，在题（2）中，改变与直径相切的切点的位置．若折叠后切点与圆心的长度，求折痕的长度． 【答案】(1)见详解 (2) (3) 【分析】（1）根据圆的性质得，，结合等圆得，即可证明菱形； （2）连接、，过点O作，则，结合重叠得，即可求得，，利用弧长公式即可求得； （3）设折叠后的圆弧所对的圆心为，连接，，，与交于点M，由（1）知与互相垂直平分得和，进一步求得，由（1）知以点为圆心的圆半径也是5，利用勾股定理求得和，利用即可． 【详解】（1）证明：∵与相交与点与点， ∴，， ∵等圆与， ∴， ∴四边形为菱形； （2）解：连接、，过点O作，如图， ∵的直径为10， ∴， ∵直径相切于点，若折叠后与点重合， ∴， 则， ∴，， 则的长度； （3）解：设折叠后的圆弧所对的圆心为，连接，，，与交于点M，如图所示： 由（1）知与互相垂直平分， ∴，， ∵， ∴， 由（1）知以点为圆心的圆半径也是5， ∴， ∵，改变与直径相切的切点的位置， ∴， ∴， ∴， ∴， 即折痕的长为． 【点睛】本题考查了翻折的性质、圆的性质、相交圆的性质、菱形的判定、解直角三角形、弧长公式、勾股定理的运用和垂直平分线性质的运用，根据相交圆的性质求解是解题的关键． （2025·安徽淮南·一模）如图，已知，是的直径，点C为圆上一点． (1)如图①，将沿弦翻折，交于D，若点D与圆心O重合，，则的半径为　 　； (2)如图②，将沿弦翻折，交于D，把沿直径翻折，交于点E． （Ⅰ）若点E恰好是翻折后的的中点，则的度数为 　 　； （Ⅱ）如图③，连接，若，，求线段的长． 【答案】(1)2 (2)（Ⅰ）；（Ⅱ） 【分析】（1）过点作，垂足为，结合垂径定理，在中求得，再由即可求解； （2）（Ⅰ）连接、、，可以得到，进而得到，放在直角三角形中，利用互余建立的方程； （Ⅱ）连接连接、、，由（Ⅰ）知，，则，由，则，进而可证得，利用其性质求得，即为． 【详解】（1）解：如图①，过点O作，垂足为M，交圆于点N，则， ∵将沿弦翻折，交于D，点D与圆心O重合， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴的半径为2， 故答案为：2； （2）（Ⅰ）如图②，连接、、， ∵点E恰好是翻折后的的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （Ⅱ）如图③，连接连接、、， ∵，， ∴，， 由（Ⅰ）知，，则， 又∵，则， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆的性质，解直角三角形，三角形相似等知识点，（2）（Ⅰ）的关键是找到所对的三段弧都相等，进而得到几个等腰三角形；（Ⅱ）的关键是把求转化成求，再考虑相似． 模型1）条件：如图，以圆O的一条弦BC为对称轴将弧BC折叠后与弦AB交于点D，结论：CD=CA 1）证明：如图，设折叠后的所在的圆心是G，连接AC，CD. 由题意得（折叠）：，即：，∴∠CAB=∠DCB+∠CBD， ∵∠CDA=∠DCB+∠CBD，∴∠CAB=∠CDA，∴CD=CA。 模型2）条件：特别地，弧BC折叠后过圆心，结论：CD=CA，∠CAB=60° 2）证明：如图，连接AC，CD，CO；由1）中证明知：CO=CA， ∵OA=OC，∴CO=CA=OA，∴△OAC为等边三角形，∴∠CAB=60°。 1、翻折变换的性质：翻折前后，对应边相等，对应角相等，对应点之间的连线被折痕垂直平分； 2、圆的性质：在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧、弦相等；同弧或等弧所对的圆周角相等； 3、等圆相交：如图，圆O和圆G为两个相等的圆，圆O和圆G相交，相交形成的弦为AB，则弦AB为整个图形的对称轴，圆心O和圆心G关于AB对称，弧ACB和弧ADB为等弧，且关于AB对称； 4、弧翻折（即等圆相交）：如图，以弦BC为对称轴，将弧BC翻折后交弦AB于点D，那么弧CDB所在的圆圆G与圆O是相等的圆，且两个圆关于BC对称，故圆心O、G也关于BC对称。 例1（2025·陕西西安·二模）如图，为的直径，为圆上一点，为劣弧上一点，将劣弧沿弦所在的直线翻折，翻折后点恰好与圆心重合，则的大小等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了翻折的性质，圆周角定理，等边三角形的判定及性质，连接，，由等边三角形的判定方法得为等边三角形，结合圆周角定理求解即可． 【详解】解：连接，， ， ， 由翻折得：， ， 为等边三角形， ， ∴， ∴， ， 故选：C． 例2（2025·江苏徐州·模拟预测）如图，是的直径，点A在上，将沿翻折交于点，连接，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆周角定理，圆内接四边形， 设点的对称点为点，连接，进而得到，直径得到，进而求出的度数，再根据圆内接四边形的内对角互补，求出的度数即可． 【详解】解：设点的对称点为点，连接，则：， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为圆内接四边形， ∴， ∴； 故选C． 例3（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，四边形内接于，，．劣弧沿弦翻折，刚好经过圆心．当对角线最大时，弦的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆的基本性质，垂径定理，折叠的性质，勾股定理，三角函数等；过作于，连接，由垂径定理得，由翻折得，由三角函数得，当为直径时，对角线最大时，即可求解；掌握圆的基本性质，垂径定理，折叠的性质，能找出取得最大值的条件，并能熟练利用勾股定理，三角函数进行求解是解题的关键． 【详解】解：过作于，连接， ， 劣弧沿弦翻折，刚好经过圆心， ， ， ， ， ， 当为直径时，对角线最大时， ， ， ， ； 故答案为：． 例4（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，是半径为2的的弦，将弧沿将翻折后，恰好经过圆心，点是翻折的弧上的一动点；连接并延长交于，点为的中点，连接，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】连接，作，求出，并根据特殊的直角三角形性质求出边长和角度，确定为等边三角形，再连接，求出；根据三角形两边之差小于第三边的性质可得，从而可求得答案．本题考查圆的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，以及利用三角形三边关系求线段最值，作出相关辅助线是解题关键． 【详解】如图，连接，作，交M，交圆于点N， 由翻折可知：，， ∴是等边三角形， ∴， ∵ ， 为等边三角形， 连接， 点为的中点， 由三线合一性质可得：，即， 由垂径定理可得：为中点， ，当三点共线时取等号， ． 故答案为：． 例5（2025·黑龙江绥化·二模）如图，已知是的直径，过延长线上一点P作圆的切线，D为上的一点，连接并延长交于点C，G为上的点且的延长线交于点F． (1)求证：； (2)若将弧沿翻折交半径于点M，且，，求的长度； (3)直线l是的切线向下平移5个单位长度所得到的直线，点Q为直线上的一动点，切于点C，现以为直角边作，，，当时求线段的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)8 (3) 【分析】（1）连接，由切线的性质结合等边对等角证明，得到，即可得出结论； （2）连接，过E作垂足为H，设点的对称点为，连接，由翻折结合圆内接四边形可得，易证为等腰三角形，推出平分，再求出，易证，推出，求出，进而得到，即可求解； （3）连接，当直线l时，最小，此时，求出，即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵为圆O的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接，过E作垂足为H，设点的对称点为，连接， ∵四边形内接四边形， ∴， 由翻折的性质得， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∴平分， ∵是的直径，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， （3）解：连接， ∵，直线l是的切线向下平移5个单位长度所得到的直线， ∴点到直线的距离为， ∵中，，， ∴， ∴当最小值时，则有最小值， ∵切于点C，， ∴，且为定值， ∴当最小值时，则有最小值， 则当直线l时，最小，即有最小值， 此时， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了解直角三角形的相关性质，垂径定理，圆周角定理，勾股定理，切线的性质，圆内接四边形的性质，综合性强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 1．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，在中，，点是边上一点，以为直径的交于点，将沿翻折恰好经过圆心，若，，则的半径为（    ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】本题考查圆周角定理，垂径定理，折叠问题，解直角三角形，关键是由锐角的正弦定义求出的度数，由平行线分线段成比例定理推出．连接，作半径于，由垂径定理得到，由题意知：垂直平分，由，求出，由圆周角定理得到，判定，推出，得到，因此，由，求出，即可得到的半径长． 【详解】解：连接，作半径于， ， 由题意知：垂直平分， ， ， ， 是圆的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的半径长为． 故选：C． 2．（24-25九年级上·辽宁铁岭·阶段练习）为的弦，为的中点，将沿翻折，翻折后的弧恰好经过圆心为上一点，连接，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，连接交于，连接，证明，，求解，从而可得答案． 【详解】解：如图，连接交于，连接， 由对折可得：， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选：B 【点睛】本题考查的是轴对称的性质，垂径定理的应用，圆周角定理的应用，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线构建直角三角形是解本题的关键． 3．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）折叠一张圆形纸片，是的直径，是的弦，先将沿翻折交于点D，再将沿翻折交于点E．若，则的度数为（　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查翻折变换，圆周角定理等知识，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 作点D关于直线的对称点L，点E关于直线的对称点F，连接、，进而垂直平分垂直平分，结合圆周角定理推出，即可求出的度数． 【详解】解：作点D关于直线的对称点L，点E关于直线的对称点F，连接、， ∵垂直平分垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴的度数为， 故选：B． 4．（24-25九年级上·四川南充·阶段练习）如图，是一条弦，将劣弧沿弦翻折，连结并延长交翻折后的弧于点，连接，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理的推论，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握相关定理及性质是解答本题的关键．延长交于点D，过点B作于点H，连结，先根据“在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等”，得到，即，然后根据直径所对的圆周角是直角，得到，利用勾股定理求出的长，进一步求出和的长，再根据等腰三角形三线合一性质，得到，由此即得答案． 【详解】解：延长交于点D，过点B作于点H，连结， 和是圆周角所对的弧， ， ， 是直径， ， ， ， ， ， ，， ， ． 故选：C． 5．（2024·浙江台州·三模）如图，是的直径，是弦，把沿着弦翻折交于点D，再把沿着翻折交于点．当是的中点时，的值是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，过点作于点，设，首先根据是的中点，易得，进而可得，，再结合，易得，进而可得，，根据“直径（半圆）所对的圆周角为直角”可得，即可解得，设，证明为等腰直角三角形，易得，，然后在中，利用正切的定义求解即可． 【详解】解：如下图，连接，过点作于点， 设， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵在同圆或等圆中，所对的弧有，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 解得， ∴， 设， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴在中，． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了圆周角、三角形外角的定义和性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、三角函数等知识，综合性强，正确作出辅助线，熟练掌握相关知识是解题关键． 6．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在⊙中，点C为的中点，将弦下方的部分沿弦翻折，使点C与圆心O重合．点D为优弧上一点连接．若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了圆周角定理、折叠的性质、等边三角形的性质与判定、解直角三角形等知识，熟练运用圆周角定理、折叠的性质、等边三角形的性质与判定并作出合理的辅助线构建三角形是解题的关键．连接，交于点N，过点B作，先证明是等边三角形，再求得及的长即可． 【详解】如图，连接，交于点N，过点B作， 将弦下方的部分沿弦翻折，使点C与圆心O重合． ，垂直平分， ， ， ， 是等边三角形， ， ，， ， ， ， ， 故选：A 7．（2024·辽宁大连·三模）如图，在半径为2的中，为的一条弦，将所对的劣弧沿着翻折后恰好经过圆心，连接并反向延长交于一点，则如图所示的阴影面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，求不规则图形面积；作O关于的对称点D，连接交于E，连接，则得四边形是菱形，且，利用即为阴影部分面积，即可求解． 【详解】解：如图，作O关于的对称点D，连接交于E，连接， 由折叠知，，， ， ， 即是等边三角形，且； ， ，， ； ， 是等边三角形， ， 即四边形是菱形， ， ； 由于O是所在圆的圆心，由对折知，是所在圆的圆心， ； 故； 故选：B． 【点睛】本题考查了折叠的性质，菱形的判定，等边三角形的判定与性质，三角函数，求不规则图形的面积等知识．利用折叠的性质是解题的关键． 8．（25-26九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，已知，是的直径，点C为圆上一点．将沿弦翻折，交于D，把沿直径翻折，交于点E．若点E恰好是翻折后的的中点，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、折叠的性质、勾股定理，由题意可得，从而求出，连接、，作于，证明、都是等腰直角三角形，得出，设，则，求出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵、、所在的圆是等圆，、、所对的圆周角都是， ∴， ∵点E恰好是翻折后的的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图，连接、，作于， ， ∴， ∴， ∵的度数为， ∴， ∵， ∴、都是等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（2025·广东广州·二模）如图，是的直径，点在圆上．将沿翻折与交于点，若，的度数为，则 ． 【答案】 【分析】作点O关于的对称点，作点D关于的对称点， 连接，根据对称的性质，等腰三角形的性质，弧长公式解答即可． 本题考查了圆的对称性，等腰三角形的性质，弧长公式，熟练掌握对称性，弧长公式是解题的关键． 【详解】解：作点O关于的对称点，作点D关于的对称点， 连接， 根据题意，得， 故为所在圆的圆心， 又的度数为， 故， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长为：， 故答案为：． 10．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）在中，为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦翻折，交于点D，连接．如图，若点D与圆心O不重合，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查对折的性质，直径对的圆周角是直角，圆内接四边形的性质；设上点D的对应点为点E，连接，则得，；由是直径及圆内接四边形的性质可得的度数，从而求得结果． 【详解】解：设上点D的对应点为点E，连接，如图， 由折叠性质得：，； ∴， ∵是直径， ∴； ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴， 故答案为：． 11．（2025·重庆·三模）如图，是的直径，点是上一点，将劣弧沿弦翻折交于点，点为弧的中点，若，，则的半径为 ；的面积为 ． 【答案】 5 15 【分析】根据，得出，过点作，根据等腰三角形的性质得出，根据勾股定理结合，求出，根据圆周角定理得出，即可得，，从而得，求出，即可得；连接交于点，根据点为弧的中点，得出，得出，即可得，求出，，根据即可求解． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， 过点作， 则， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴； 连接交于点， ∵点为弧的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：5；15． 【点睛】该题考查了圆周角定理，垂径定理，解直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是正确做出辅助线，掌握以上知识点． 12．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图，为的直径，且，弦于点，将沿翻折后交于点，若为中点，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查垂径定理，勾股定理以及圆的性质，熟练掌握圆的性质是解题的关键．连接，求出，再根据勾股定理求出，即可得到答案． 【详解】解：连接， 为的直径，且， ， 为中点， ， 将沿翻折后交于点， 弦于点， ． 故答案为：． 13．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，将沿弦翻折过圆心，交弦于点，，则长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了折叠的性质、等边三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线是解题关键．过点作于点，过点作于点，连接，证明为等边三角形，在中根据勾股定理计算的值即可． 【详解】解：如下图，过点作于点，过点作于点，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∵， ∴， ∴． 14．（24-25九年级上·江苏淮安·期中）如图，为半圆O的直径，，为弦，若将沿弦翻折后恰好经过圆心，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】过点作的垂线交于点，交于点，连接、、．根据垂径定理得点是的中点，根据折叠的性质，得点是，从而得，故；根据垂直平分求得与的数量关系，从而求得的度数，进而求出的度数，故可求得的度数；根据扇形的面积公式计算扇形的面积，再根据菱形的面积公式计算菱形的面积，从而根据求出阴影部分的面积即可． 【详解】解：过点作的垂线交于点，交于点，连接、、． ∵， ∴点是的中点， 根据折叠的性质，得点是的中点， ∴，即，则四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴，则是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查扇形面积的计算、垂径定理、翻折变换，掌握垂径定理、折叠的性质、扇形及菱形的面积计算公式是解题的关键． 15．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在中，为直径，点为圆上一点，将劣弧沿弦翻折，交于点，连接．若点与圆心重合，，则半径等于 ． 【答案】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，折叠的性质，作点关于的对称点，连接，交于点，得到垂直平分，根据点与圆心重合，得到，，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：作点关于的对称点，连接，交于点，则：垂直平分， ∴， ∵点与圆心重合，为直径， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得： ， ∴， ∴；即半径等于； 故答案为：． 16．（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）中，为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿翻折交于点D，连接． (1)如图1，若点D与圆心O重合，，则的半径______，弧的长=______． (2)如图2，若点D与圆心O不重合，， ______． (3)如图3，若点D与圆心O不重合，，求的长． 【答案】(1)，； (2) (3) 【分析】本题主要考查了圆的综合应用、折叠的性质、勾股定理、特殊角的三角函数值等知识点，正确作出辅助线是解题的关键． （1）如图1：过点O作于E，由垂径定理可得到的长，由折叠的性质可得，根据勾股定理计算即可求得半径r，然后运用三角函数求得，再运用弧长公式求解即可； （2）如图2：连接，根据翻折的性质弧所对的圆周角为，弧所对的圆周角为，在根据角的和差求解即可； （3）如图3：过C作于G，连接、，可求得半径的长度，根据计算得，再根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图1，过点O作于E，则， ∵翻折后点D与圆心O重合， ∴， 在中，，即，解得； ∴，即， ∵， ∴， ∴弧的长为． （2）解：如图2，连接， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， 根据翻折的性质，弧所对的圆周角为，弧所对的圆周角为， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图3：过C作于G，连接、， ∵， ∴的半径为， 由（2）知：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 在中，， 在中，． 17．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）在中，为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦翻折，交于点D，连接．    (1)如图1，若点D与圆心O重合，，求的半径； (2)如图2，若点D与圆心O不重合，，请求出的度数； (3)如图2，如果，，那么的长为____________．（直接写出答案） 【答案】(1) (2)∠ACD=38° (3) 【分析】（1）设D在原来弧上的对应点为，连接、，根据折叠的地性质得出，，在根据垂径定理得出，设， 根据勾股定理得出，列出方程求解即可； （2）设D在原来弧上的对应点为，连接，易得，则，根据圆内接四边形的性质得出，再根据折叠的性质得出，最后根据三角形内角和即可求解； （3）过点C作于点H，易得，则，，通过证明，得出，则，，先根据勾股定理得出，再根据勾股定理得出，即可求解． 【详解】（1）解：设D在原来弧上的对应点为，连接、， ∵点D和点关于对称， ∴，， ∵点D与圆心O重合， ∴， 设， 在中，， 即， 解得：（舍去）， ∴求出半径为．    （2）解：设D在原来弧上的对应点为，连接， ∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵由沿折叠得到， ∴， ∴．    （3）解：过点C作于点H， ∵，， ∴，则， ∴， ∵，， ∴，则， ∵， ∴， ∴，， 在中，根据勾股定理可得：， 在中，根据勾股定理可得：， 故答案为：．    【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，折叠的性质，圆周角定理，解题的关键是熟练掌握相关知识点，正确作出辅助线，构造直角三角形，掌握折叠前后对应角相等，圆内接四边形对角互补． 18．（24-25九年级上·浙江金华·期中）在中，为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦翻折交于点D，连接． (1)如图1，若点D与圆心O重合，，求的半径r； (2)如图2，若点D与圆心O不重合，，请求出的度数． (3)如图2，如果，，求的长． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】（1）设点D关于弦的对称点为F，连接，交于点E，则，根据勾股定理，得计算即可． （2）设点D关于弦的对称点为F，连接，，得，因为为直径，所以，利用计算． （3）连接，，过点C作于点G，确定，，从而得到所以，计算，，． 【详解】（1）设点D关于弦的对称点为F，连接，交于点E， 则， 因为， 所以， 设， 则， 根据勾股定理，得， 解得， 故圆的半径r为1． （2）设点D关于弦的对称点为F，连接，， 根据题意，得，， 所以， 所以； 因为为直径， 所以， 所以． （3）如图，连接，，过点C作于点G， 根据（2）得到， 所以， 因为，， 所以，， 所以， 所以，， 所以，， 所以． 【点睛】本题考查了圆的性质，勾股定理，垂径定理，等腰三角形三线合一性质，熟练掌握圆的性质，勾股定理是解题的关键． 19．（24-25九年级上·陕西安康·期末）在中，AB为直径，C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连接CD． (1)如图1，若点D与圆心O重合，的半径r为2，则AC的长为______； (2)如图2，若点D与圆心O不重合，连接BC，求证：； (3)如图3，琳琳家小区有一半径13米的圆形绿化区整个绿化区被ADC和弦AC分成3块区域（两块弓形区域和一块弯月形区域）分别种植有不同颜色的花卉，其中弓形ADC与弓形AEC关于分界线AC对称，为方便居民穿越绿化区，设计师决定从直径AB处铺设一条直直的步行走道（走道宽度忽略不计，D为交点）．为配合不同区域内花卉的颜色，AD段走道和DB段走道需分别用青色和黄色砖块铺设，若铺设一米青色地砖成本39元，铺设一米黄色地砖成本26元，由原设计图纸得知AC长度为24米，请求出铺设完AB走道所需地砖费用． 【答案】(1) (2)见解析 (3)铺设完AB走道所需地砖费用是914元 【分析】（1）作点D关于AC的对称点E，连接DE交AC于F，由对称可知：AC垂直平分DE，可得OF＝1，进而可求得结果； （2）因为圆周角∠CAD＝∠BAC，故，进而命题得证； （3）作点O关于AC的对称点O′，连接OO′，交AC于I，以O′为圆心，半径13作圆⊙O′，作于F，连接O′A，先求出OO′，可证得△AOI∽△O′OF，从而可求得O′F，进一步求得结果． 【详解】（1）解：如图1， 作点D关于AC的对称点E，连接DE交AC于F， ∴，， ∵， ∴， 故答案是：； （2）证明：∵， ∴， ∴； （3）解：如图2， 作点O关于AC的对称点，连接，交AC于I，则与AC互相垂直平分，以为圆心，半径13作圆，作于F，连接， 在中，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴铺设完AB走道所需地砖费用为：39AD＋26BD＝39AD＋26（AB－AD）＝， ∴铺设完AB走道所需地砖费用是914元． 【点睛】本题考查了圆周角、弧、弦之间的关系、垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定和性质，轴对称性质等知识，解决问题的关键是作出对称图形，找出数量关系． 20．（2025·吉林·一模）【驱动背景】 在中，将劣弧沿弦所在的直线折叠，使得弧恰好过圆心O，圆心O关于直线的对称点为． 【前情感知】 （1）如图1，连接，，的度数为 ； 【问题探究】 （2）如图2，若点D是优弧上的任意一点，连接交折叠后的弧于点C，连接，． ①的度数为 ；猜想与的数量关系 ； ②如图3，若弧（翻折后）不经过圆心O．与的数量关系是否仍然成立？请说明你的理由． 【拓展生长】 （3）如图4，若为直径，将第一次折叠后的弧（弧部分）沿向下翻折交弦于点E，连接．若，，请直接写出线段的长． 【答案】（1）；（2）①；； ②成立；理由见解析；（3） 【分析】（1）如图，连接，交于点N，则则，则，即可求解； （2）①因为，且，即，结合，得到，即可求解； ②结合四边形是的圆内接四边形，，而，即可求解； （3）证明，得到，由，则，证明，即可求解． 【详解】解：（1）如图，连接，交于点N， 则 则， ∴， 故答案为：； （2）①如图2，， 设翻折前点C对应的点为T，连接、， ∵折叠， ∴， ∵， 即， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴， 即； 故答案为：，； ②成立，理由如下： 设折叠前点C的对应点为点，连接，． 由折叠可知，， ∵四边形是的圆内接四边形，， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）补出第一次折叠后上面的弧所在圆，补出第二次折叠后从A到E到C的N所在圆， 由题意得：上述两个圆和圆O是等圆，圆O的之间， 故设圆直径均为10，半径均为5，过B作于H， 由（2）知， ∴， ∴，， 则，， 则，， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 则（负值已舍去）， ∴， 则（负值已舍去）， 作圆的直径，则， 在圆中，， 则， ∵， 则， 则． 【点睛】本题为圆的综合题，涉及到相似三角形的判定与性质和全等三角形的判定与性质、图形的翻折等，正确确定三角形相似是解题的关键． 21．（2025·河南郑州·模拟预测）如图是一张半圆形纸片，是其直径，C是半圆O上一点，将纸片沿直线翻折后，交直径于点．若点恰好落在点处． (1)尺规作图：在图中作出点折叠前的对应点(保留作图痕迹)； (2)分别连接、、，请判断四边形的形状，并说明理由； (3)连接，与、分别交于点F、G，则 ． 【答案】(1)见解析 (2)四边形ADCE是菱形，见解析 (3) 【分析】本题考查了轴对称的性质，相似三角形的判定与性质，菱形的判定和性质． （1）在上取一点，使，根据菱形的性质即可求解． （2）利用轴对称性得出，，结合半径，得出，即可得证； （3）证明，求出，同理得出，，则可求，即可求解． 【详解】（1）解：如图，以点为圆心，以为半径画弧交于点，连接， ∵， ∴是等边三角形，， ∵折叠，， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴点即为折叠前点的对应点； （2）证明：∵E是点关于直线的对称点， ，， ∵，      ∴， ∴四边形是菱形 （3）∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 同理， ∵， ∴ ∴， ∴． 22．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）在弓形的学习中，某小组利用弓形纸片开展如下探索活动：已知，在图1所示的弓形纸片中（点为圆心），，弓高为． 【解决问题】求半径的长； 【探究思考】如图2，作弦，弦，点，分别是，的中点，连结，，记．当时，求的最大值； 【拓展研究】该小组将图1中的弓形纸片进行翻折，得到折痕（如图3）．其中，点，关于对称，连结交于点，连结，，，并延长交弧于点，交于点，使得．当点是半径的中点时，的长度为______．（直接写出答案） 【答案】（1）；（2）的最大值为；（3） 【分析】（1）如图所示，过点作，垂足为，交于点，设，则，在中，，建立方程，解方程，即可求解； （2）如图所示，连接，根据勾股定理表示出，设，则，进而根据二次函数的性质求最值，即可求解； （3）过点作于点，连接，，先证明在上；证明，得出，，进而证明，进而得出，在，中，勾股定理得出方程组，得出,进而证明，得出，即可求解． 【详解】解：（1）如图所示，过点作，垂足为，交于点 ∴， 设，则 在中， ∴ 解得：， ∴ （2）如图所示，连接， ∵点，分别是，的中点， ∴， ∴，， ∴ ∵ 设，则 ∴ ∴的最大值为； （3）如图所示，过点作于点，连接，， ∵点，关于对称， ∴， ∵ ∴ ∵ ∴， ∴， ∴， ∴在上； ∵点，关于对称， ∴，， ∴ ∴， ∵点是半径的中点，即 ∴， ∴，， ∵ ∴， 又 ∴， 又∵ ∴ ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，，则，， 在中，，即①， 在中，，即②； 联立①②解得：（负值舍去） ∴, ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，二次函数的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 23．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图1，在中，点C、D在优弧上，将弧沿折叠后，点D的对应点E刚好落在弦上，连接． (1)证明：； (2)连接，若，求的半径． (3)用圆形纸片可以折出各种不同的图形．如图2，点P为内一点，利用直尺和圆规分别作出一条符合要求的折痕，使折叠后圆弧经过点O、P（保留痕迹，给出必要的文字说明）． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)见解析． 【分析】本题考查了翻折变换的性质、圆周角定理、垂径定理、勾股定理等知识，熟练掌握翻折变换的性质和勾股定理、圆周角定理是解题的关键． （1）先由折叠的性质得，垂直平分，再由圆周角定理得，则，得，即可得出结论； （2）解连接交于，连接，设的半径为，由（1）得，，则，由垂径定理得，再由勾股定理求出，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可； （3）连接，作线段的垂直平分线交于点，连接，作线段的垂直平分线交于点，以为圆心作即可． 【详解】（1）证明：由折叠的性质得：，垂直平分， ， ， ， ； （2）解：连接交于，连接，如图： 设的半径为， 由（1）得：，， ， ，， ， ， 在中，由勾股定理得：， 解得：， 即的半径为； （3）解：如图，折痕，即为所求， 24．（2025·河北张家口·二模）【情境】数学课上，同学们用圆形纸片探究折叠的性质，如图1，是的直径，，沿弦折叠，使折叠后的与相切于点． 【发现】所在圆的半径为_____； 【探究】为了找到所在圆的圆心，同学们讨论了以下两种方式． 淇淇说：取弦和弦的中垂线的交点即可． 嘉嘉说：不必画两条中垂线，如图2，只需作点关于弦的对称点，点即为所求． 淇淇说：这样看来，折叠后，切点在直径上运动，可以看成在直径上滚动． 嘉嘉说：没错，所以当点在直径上运动时，点的运动路线和直径的位置关系是_____； 【拓展】 （1）如图3，若切点为的中点，连接，交于点，连接，求弦的长； （2）若切点落在线段上（包括端点），直接写出弦的最大值和最小值． 【答案】【发现】2；【探究】平行；【拓展】（1）；（2）弦的最大值为，最小值为． 【分析】发现：由折叠的性质可得，折叠前后圆的半径不变，所在圆的半径为的半径，即； 探究：根据切点在直径上运动，与相切于点，可得折叠后圆的半径为定值，即可得出点的运动路线与直径平行； 拓展：（1）连接，根据直径所对的圆周角为直角和切线的性质，可得，，再结合勾股定理即可求解弦的长； （2）设，与交于点，连接，根据勾股定理，垂径定理可得，再结合的取值范围为，即可求解． 【详解】发现：解：由折叠的性质可得，折叠前后圆的半径不变， ∴所在圆的半径为的半径，即， 故答案为：； 探究：解：∵切点在直径上运动，与相切于点， ∴即点到直径的距离为半径，即为定值， ∴点的运动路线与直径平行． 故答案为：平行； 拓展：（1）解：如图1，连接， ∵点在上，对应的弦为的直径， ∴． 又∵点是的切点， ∴． 在和中，，， ∴， ∴． ∵点为的中点，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴； （2）最大值为，最小值为． 如图2，设，与交于点，连接． ∴． ∵点是的中点， ∴． 由垂径定理得点为的中点， ∴， ∴． ∵点在线段上， ∴的取值范围为， ∴． ∴弦的最大值为，最小值为． 【点睛】本题主要考查了直径所对的圆周角为直角，切线的性质，折叠的性质，垂径定理，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 25．（24-25九年级下·广东汕头·阶段练习）【问题背景】已知是半圆O的直径，且，C是上的一动点． 【构建联系】（1）如图1，连接，求图中阴影部分面积之和的最小值S． 【深入探究】（2）如图2，将沿折叠，折叠后的弧与直径交于点D（点D不与点A，B重合），连接． ①若，求的度数； ②设，请求出y关于x的函数表达式及自变量x的取值范围． 【答案】（1）（2）①② 【分析】本题考查圆的综合，解直角三角形，折叠的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． （1）设，，根据可求出，利用求出，然后利用不等式的性质求解即可； （2）①设点D在上的对应点为，连接，利用三角形内角和定理求出，利用圆内接四边形的性质求出，利用折叠的性质求出，然后利用三角形内角和定理求解即可； ②记的中点为E，连接，求出，由题意得当点C在上时，折叠后的弧和直径有交点，可得，再分当点D在点O左侧和点D在点O右侧两种情况讨论求解即可． 【详解】解：（1）设，， ∵是半圆O的直径， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴，即， ∴， ∴ 即， ∴阴影部分面积和的最小值为； （2）①如图，设点D在弧上的对应点为，连接， ∵， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴； ②如图1，记的中点为E，连接， ∵点E是的中点，为半圆O的直径， ∴ 又， ∴ ∴ 由题意得当点C在上时，折叠后的弧和直径有交点， ∴， 又， 如图2，当点D与点O重合时，设D在上的对应点为，连接与交于点M， 由折叠的性质，得 在中，， ∴， ∵ ∴ ∴是等边三角形． ∴ 如图，当点D在点O左侧时，，过点C作于点F， ∴， 在中， 在中， ∴， ∴， ∴； 如图，当点D在点O右侧时，，过点C作于点G， 同理易证， ∴； 综上所述， 26．（24-25九年级上·浙江台州·阶段练习）点，，在上，将沿折叠后，与交于． (1)若，求的度数． (2)如图，点恰是翻折所得的中点，若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题是圆的综合题目，考查了圆内接四边形的性质，圆心角、弧、弦之间的关系，折叠的性质，等腰三角形的判定与性质，本题综合性强，熟练掌握圆内接四边形的性质、等腰三角形的判定与性质是解题的关键． （1）将还原后点的对应点为，连接、，则，，求出，由三角形的外角性质即可得出答案； （2）由（1）得，证出，由等腰三角形的性质得出，，设，则，在中，由三角形内角和定理得出方程，解方程即可； 【详解】（1）解：将还原后点的对应点为，连接、，如图所示： 则，， ， ； （2）（2）由（1）得， ，， ， 点是翻折所得的中点， ， ， ， ， ， 设，则， 在中，由三角形内角和定理得：， 解得， 即． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $