专题01 圆中的重要模型之四点共圆模型（几何模型讲义）数学沪教版五四制九年级下册

专题01 圆中的重要模型之四点共圆模型 四点共圆是初中数学的常考知识点，近年来，特别是四点共圆判定的题目出现频率较高。相对四点共圆性质的应用，四点共圆的判定往往难度较大，往往是填空题或选择题的压轴题，而计算题或选择中四点共圆模型的应用（特别是最值问题），通常能简化运算或证明的步骤，使问题变得简单。本文主要介绍四点共圆的四种重要模型。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 6 模型1.定点定长共圆模型（圆的定义） 6 模型2.定边对双直角共圆模型 8 模型3.定边对定角共圆模型 11 模型4.对角互补共圆模型 14 16 汉代数学家张丘建在《九章算术》中首次提出四点共圆的理论雏形，宋代数学家基于《九章算术》进一步研究，明确“对角互补的四边形必共圆”的判定条件，与阿拉伯研究形成互补。托勒密在《天文学大成》中提出‌托勒密定理‌：若凸四边形内接于圆，则两对角线乘积等于两组对边乘积之和，并给出严谨证明。该定理首次将四点共圆与定量关系结合，成为后世判定核心依据之一。四点共圆模型从东西方独立的定性认知起步，历经托勒密的定量跨越，最终在近现代整合为系统化工具，成为解决圆相关几何问题的通用模型。其发展体现了数学思想从经验到逻辑、从孤立到互联的演进本质。初中几何体系将四点共圆判定归纳为四大核心模型。 （2025·四川泸州·模拟预测）在平面直角坐标系中，半径为的与轴负半轴交于点，点在上，将点绕点顺时针旋转得到点点为轴上一动点（不与重合），将点绕点顺时针旋转得到点与轴所夹锐角为． (1)如图，若点的横坐标为，点与点重合，则______； (2)若点、点的位置如图所示，请在轴上任取一点，画出直线，并求的度数； (3)当直线与相切时，点的坐标为______． 【答案】(1)60 (2)的度数为 (3)或 【分析】如图，根据圆周角定理可求出、，再根据可依次求出，； 连接，交轴于，连接，交轴于，连接，如图，由题可得：和均为等边三角形，由此可证到≌，则有，根据三角形外角的性质可得到，从而可得到即； 连接，交轴于，连接，交轴于，连接，，，过点作轴于，设与相切于点，连接，如图、图，则有，由可得，由此可得、、、四点共圆，根据圆周角定理可得，在中运用三角函数可求得，在中运用三角函数可得，设，则，，在中运用勾股定理可求出，从而可得，，就可得到点的坐标． 【详解】（1） ， ． ， ． 是的直径， ， ，即． 故答案为； （2）连接，交轴于，连接，交轴于，连接，如图． 由题可得：和均为等边三角形， ，，， ． 在和中， ， ≌， ． ，， ， 的度数为； （3）连接，交轴于，连接，交轴于，连接，，， 过点作轴于，设与相切于点，连接，如图、图． 则有． 由可得， A、、、四点共圆， ． 在中，． 在中，， ， ． 设，则，． 在中， 由勾股定理可得：， 解得， ，， 点的坐标为或 故答案为或 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、切线的性质、四点共圆的判定、等边三角形的判定与性质、特殊角的三角函数值、勾股定理等知识，在中求出及是解决第小题的关键． （2025·辽宁葫芦岛·一模）射线AB与直线CD交于点E，∠AED＝60°，点F在直线CD上运动，连接AF，线段AF绕点A顺时针旋转60°得到AG，连接FG，EG，过点G作于点H． (1)如图1，点F和点G都在射线AB的同侧时，EG与GH的数量关系是______； (2)如图2，点F和点G在射线AB的两侧时，线段EF，AE，GH之间有怎么样的数量关系？并证明你的结论； (3)若点F和点G都在射线AB的同侧，，，请直接写出HG的长． 【答案】(1)； (2)，证明见解析； (3)或 【分析】（1）先证明是等边三角形得，再证明点A、E、G、F四点共圆，得，从而计算得到，最后在直角三角形GEH中，求出即可得到答案； （2）在射线ED上截取，连接AN，如图3，先证是等边三角形，得，，再证，从而得到，进而得，从而求得结论； （3）分两种情况讨论求解GH的长，当点F和点G都在射线AB的右侧时，在射线ED上取一点M，使得EM=EG，连接MG，如图4；当点F和点G都在射线AB的左侧时，在线段GE上取一点N，使得NE=EF，如图5，通过构造三角形全等，利用三角函数求解即可． 【详解】（1）解： 线段AF绕点A顺时针旋转60°得到AG， ，， 是等边三角形， ，， ∠AED＝60°， ， 点A、E、G、F四点共圆， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：在射线ED上截取，连接AN，如图3， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴， ， ∵ ∴， ∴， ∴； （3）当点F和点G都在射线AB的右侧时，在射线ED上取一点M，使得EM=EG，连接MG，如图4， 线段AF绕点A顺时针旋转60°得到AG， ，， 是等边三角形， ，， ∠AED＝60°， ， 点A、E、G、F四点共圆， ，， EM=EG， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， 当点F和点G都在射线AB的左侧时，在线段GE上取一点N，使得NE=EF，如图5， ， 点A、E、G、F四点共圆， ，，， NE=EF， 是等边三角形， NE=EF=NF=1，， ， ， ， ， ， ，， ， 综上所述，GH的长为或． 【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定及性质以及旋转图形的性质，熟练掌握这些性质和判定是解题的关键. 1.定点定长共圆模型（圆的定义） 若四个点到一定点的距离相等，则这四个点共圆。这也是圆的基本定义，到定点的距离等于定长点的集合。 条件：如图1，平面内有五个点O、A、B、C、D，使得OA=OB=OC=OD。 结论：A、B、C、D四点共圆（其中圆心为O）。 证明：∵OA=OB=OC=OD ∴根据圆的定义：到定点的距离等于定长点的集合为圆，确定A、B、C、D四点共圆。 图1 图2（同侧型） 图3（ 异侧型） 2.定边对双直角共圆模型 定边对双直角模型：一定边所对的角为两个直角，分同侧型和异侧型两种情况进行讨论。 1）定边对双直角模型（同侧型） 条件：如图2，若平面上A、B、C、D四个点满足， 结论：A、B、C、D四点共圆，其中AD为直径。 2）定边对双直角模型（异侧型） 条件：如图3，若平面上A、B、C、D四个点满足， 结论：A、B、C、D四点共圆，其中AD为直径。 注意：由于同侧型与异侧型证明相同，故下面证明一次即可。 证明：取AD的中点为E，连结BE，CE。 ∵，BE=CE=AD=AE=ED， ∴根据圆的定义：到定点的距离等于定长点的集合为圆，确定A、B、C、D四点共圆。 3.定边对定角共圆模型 定边对定角模型：一定边同侧所对的角为两个相等（为定值）。 图1 图2 图3 图4 条件：如图1，平面上A、B、C、D四个点满足，结论：A、B、C、D四点共圆。 条件：如图2，AC、BD交于H，，结论：四点共圆。 证明：∵，∴， 又∵，。∴，∴A、B、C、D四点共圆。 4.对角互补共圆模型 条件：如图3，平面上A、B、C、D四个点满足，结论：A、B、C、D四点共圆． 条件：如图4，BA、CD的延长线交于P，， 结论：A、B、C、D四点共圆. 证明：∵，∴，又∵，。∴， ∵，∴，∴A、B、C、D四点共圆。 模型1.定点定长共圆模型（圆的定义） 例1如图，在中，，AB=AC=5，点在上，且，点E是AB上的动点，连结，点，G分别是BC，DE的中点，连接，，当AG=FG时，线段长为（      ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】连接DF，EF，过点F作FN⊥AC，FM⊥AB，结合直角三角形斜边中线等于斜边的一半求得点A，D，F，E四点共圆，∠DFE=90°，然后根据勾股定理及正方形的判定和性质求得AE的长度，从而求解． 【详解】解：连接DF，EF，过点F作FN⊥AC，FM⊥AB ∵在中，，点G是DE的中点， ∴AG=DG=EG 又∵AG=FG ∴点A，D，F，E四点共圆，且DE是圆的直径 ∴∠DFE=90° ∵在Rt△ABC中，AB=AC=5，点是BC的中点， ∴CF=BF=，FN=FM= 又∵FN⊥AC，FM⊥AB， ∴四边形NAMF是正方形 ∴AN=AM=FN= 又∵， ∴ ∴△NFD≌△MFE ∴ME=DN=AN-AD= ∴AE=AM+ME=3 ∴在Rt△DAE中，DE= 故选：A． 【点睛】本题考查直径所对的圆周角是90°，四点共圆及正方形的判定和性质和用勾股定理解直角三角形，掌握相关性质定理正确推理计算是解题关键． 例2（24-25·江西赣州·九年级校联考期中）如图，点O为线段AB的中点，点B，C，D到点O的距离相等，连接AC，BD．则下面结论不一定成立的是（   ） A．∠ACB=90° B．∠BDC=∠BAC C．AC平分∠BAD D．∠BCD+∠BAD=180° 【答案】C 【详解】如图，以点O为圆心，OA长为半径作圆．由题意可知： OA=OB=OC=OD．即点A、B、C、D都在圆O上． A ．由图可知AB为经过圆心O的直径，根据圆周角定理推论可知．故A不符合题意． B．，所以根据圆周角定理可知．故B不符合题意． C．当时，，所以此时AC不平分．故C符合题意． D．根据圆周角定理推论可知，．故D不符合题意．故选：C． 例3（24-25.九年级·湖北·专题练习）问题背景：如图1，等腰中，，作于点D，则D为的中点，，于是； 迁移应用：如图2，和都是等腰三角形，，D，E，C三点在同一条直线上，连接．①求证：；②请直接写出线段之间的等量关系式； 拓展延伸：如图3，在菱形中，，在内作射线，作点C关于的对称点E，连接并延长交于点F，连接，．①证明是等边三角形；②若，求． 【答案】迁移应用：①详见解析；②结论：；拓展延伸：①详见解析；② 【详解】迁移应用：①证明：如图2 ∵，∴， 在和中，，∴， ②解：结论：．理由：如图中，作于． ∵，∴，在中，， ∵，，∴，∴； 拓展延伸：①证明：如图3中，连接， ∵四边形是菱形，，∴是等边三角形，∴， ∵E、C关于对称，∴，∴A、D、E、C四点共圆， ∴，∴，∴是等边三角形； ②解：作于H，∵，∴， 在中，∵，∴，∴． 模型2.定边对双直角共圆模型 例1（2025·陕西榆林·三模）（1）如图1，等腰直角三角形，，点在斜边上，且，将线段绕点顺时针旋转，得到，连接，，则的长为 ． （2）如图2，某城市有一块矩形空地，米，米，现计划将此矩形空地改造为花园广场，出入口在边上，且米，出入口为边的中点，处为一个出入口．根据规划要求，计划在矩形空地内建造一绿化区和一活动区，使，再修建两条互相垂直的观光路和，使．若沿修一条笔直的小路，当小路最短时，求的长度和此时到的距离． 【答案】（1）；（2）当小路最短时，的长度是米，此时到的距离为米 【分析】（1）由勾股定理可得，求出，证明，再由全等三角形的性质即可得解； （2）过点作，取米，连接．证明，得出．连接，交于点．证明，得出米，从而可得米，由得出当，，三点共线时最小，再求出的最小值，最后利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：（1）∵等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴， 由题意可得：为等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）如图，过点作，取米，连接． ∵，， ∴， ∴，即． 又∵，米，米，， ∴， ∴， ∴，即． 如图，连接，交于点． ∵，，米， ∴， ∴（米）， ∴（米）， ∴（米）． ∵， ∴当，，三点共线时最小，最小值为（米）， ∴当小路最短时，（米）． 当，，三点共线时，此时点位置为图中，米， ∴（米）． 如图，过点作， ∴， ∴， ∴，即， ∴（米）． 综上所述，当小路最短时，的长度是米，此时到的距离为米． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 例2（2024·陕西西安·模拟预测）如图，线段，以为斜边构造等腰直角和直角，、在两侧，平分交于点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【详解】解：以为斜边构造等腰直角和直角， ，，，，，，共圆， ，，，平分， 平分，为的内心，， ，， ，，当为该圆直径时，最大， 的最小值为，故答案为：． 例3（24-25·广东梅州·九年级校考阶段练习）如图，在四边形 中，， 是 的中点， 是 的中点，若 ，，，则 的长为（     ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】连接，，如图，∵且为中点，∴，，∴，        ∵为中点，∴，∵∠，∴，，，四点共圆， ∵，，∴，∴， ∴，∴，在中，，， ∴，∴，由勾股定理得：， ∴，∴，故选：． 模型3.定边对定角共圆模型 例1（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）【推理证明】 （1）如图①，在四边形中，，求证：、、、四点共圆．小明认为：连接，取的中点，连接、即可证明，请你按照小明思路完成证明过程． 【尝试应用】 （2）如图②，在正方形中，点是边上任意一点，连接，交于点，请利用无刻度的直尺与圆规在线段上确定点，使．（不写作法，保留作图痕迹） 【拓展延伸】 （3）在（2）的基础上，若，，直接写出线段的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）． 【分析】（1）根据直角三角形斜边中线等于斜边一半证明，即可得出结论； （2）以为直径作圆，交于点P，由直径所对圆周角等于，即可得出； （3）由正方形性质和勾股定理求出，再证明得是等腰直角三角形，由此求出． 【详解】（1）证明：连接，取的中点，连接、， ∵， ∴， ∴、、、四点在以点O为圆心，以为半径的圆上． （2）如图，； （3）∵在正方形中，，， ∴，，， ， ∴， ∵， ∴， 又∵是直角三角形，， ∴， ∴ 又∵， ∴即 ∴． 【点睛】本题考查了证明四点共圆以及圆周角定理，正方形性质、直角三角形性质、勾股定理等知识，添加合适的辅助线是解题的关键． 例2（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在四边形中，，对角线平分，，且．(1)证明：；(2)若，，求的长．    【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证：∵，∴， ∵，∴， ∴、、、四点共圆，∴； （2）解：∵，∴， ∵，平分，∴， ∴在中，， ∵，∴，， ∵、、、四点共圆，∴， ∴在中，，∴． 例3（2024·湖南·模拟预测）综合与实践：“乐思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究． 提出问题：如图1，在线段同侧有两点B，D，连接如果，那么A，B，C，D四点在同一个圆上． 探究展示：如图2，作经过点A，C，D的，在劣弧上取一点E（不与A，C重合），连接，则（依据1） ∵，∴． ∴点A，B，C，E四点在同一个圆上．（对角互补的四边形四个顶点共圆） ∴点B，D在点A，C，E所确定的上．（依据2）∴点A，B，C，D四点在同一个圆上． 反思归纳：(1)上述探究过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么？ 依据1：________________．依据2：________________． (2)如图3，在四边形中，，则的度数为________． 拓展探究：(3)如图4，已知是等腰三角形，，点D在上（不与的中点重合），连接．作点C关于的对称点E，连接并延长交的延长线于点F，连接．求证：A，D，B，E四点共圆． 【答案】(1)圆内接四边形对角互补；过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆(2)(3)见解析 【详解】（1）解：依题意，结合上下证明过程得： 依据1：圆内接四边形对角互补；依据2：过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆； 故答案为：圆内接四边形对角互补；过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆； （2）解：，点，，，四点在同一个圆上，， ，，故答案为：； （3）证明：，， 点与点关于的对称，，， ，，， ，，，，四点共圆． 模型4.对角互补共圆模型 例1（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）数学小组在学完“圆内接四边形的对角互补”这个结论后进行了如下的探究活动： (1)如图1，点A、B、C在上，点D在外，线段与交于点E、F，试猜想_____（请填“>”、“<”或“=”），并证明你的猜想； (2)如图2，点A、B、C在上，点D在内，此时（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，请予以证明；若不成立，请写出你的结论并予以证明； (3)如图3，四边形是的内接四边形，，，，，求的长度． 【答案】(1)＜；证明见解析 (2)不成立；；证明见解析 (3) 【分析】（1）四边形为圆O的内接四边形，则，在中，，即可求解； （2）延长交圆O于点E，则，在中，，即可求解； （3）延长交于E，求得，在和中，利用直角三角形的性质结合勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：连接， ∵四边形为圆O的内接四边形， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：； （2）解：（1）的结论不成立，，理由： 延长交圆O于点E，连接， 则， 在中，， ∴， 即； （3）解：延长交于E， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， 在中，，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆的有关知识，直角三角形的性质，勾股定理，圆内接四边形的对角互补等知识，理解准圆内接四边形的定义是本题的关键，添加恰当辅助线是本题的难点． 例2（24-25·河南·校考一模）在中，，M是外一动点，满足，若，，，则的长度为 ． 【答案】/ 【详解】解析：过点B作交的延长线于点H，过点D作于点E，过点D作于点F，如图所示：∵∴点A,M,B,C四点共圆 ∵∴∴， ∴，∴， ∵，∴， ∴，∴ 例3（24-25九年级上·云南·期中）综合与实践：“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究． 提出问题：如图1所示，在线段同侧有两点，，连接，，，，如果，那么，，，四点在同一个圆上．          探究展示：如图2所示，作经过点，，的，在劣弧上取一点（不与，重合）， 连接，，则，（依据 ，， 点，，，四点在同一个圆上，（对角互补的四边形四个顶点共圆） 点，在点，，所确定的上，（依据 点，，，四点在同一个圆上； 反思归纳：（1）上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？ 依据1：______；（从右边框内选一个选项，直接填序号） 依据2：______．（从右边框内选一个选项，直接填序号） ①圆内接四边形对角互补；②对角互补的四边形四个顶点共圆；③过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆；④经过两点的圆的圆心在这两点所连线段的垂直平分线上； （2）如图3所示，在四边形中，，，则的度数为______． 【答案】（1）①，③（2） 【详解】解：（1）由探究展示过程可知，的依据是：①圆内接四边形对角互补； 点，在点，，所确定的上的依据是：③过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆； 故答案为：①，③； （2）作过，，的，在劣弧上取点，连接，，如图：    ，，，， ，，，共圆，即在过，，的上， 在过，，的上，，，，，共圆， ，，故答案为：． 1．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在正方形中，连接，点H和点Q分别在线段上，若点B、H、Q、C四点共圆，若，设为x，三角形的面积为y，则y与x的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了求函数解析式、圆周角定理、解直角三角形等知识，过点H作于点M，过点H作于点N，则，证明四边形是矩形，是四边形的外接圆的直径，求出，，，得到，进一步得到，即可得到三角形的面积． 【详解】解：过点H作于点M，过点H作于点N，则， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴四边形是矩形，是四边形的外接圆的直径， ∴，，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴三角形的面积， 故选：A． 2．（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图①，若BC是Rt△ABC和Rt△DBC的公共斜边，则A、B、C、D在以BC为直径的圆上，则叫它们“四点共圆”．如图②，△ABC的三条高AD、BE、CF相交于点H，则图②中“四点共圆”的组数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【分析】根据两个直角三角形公共斜边时，四个顶点共圆，结合图形求解可得． 【详解】解：如图， 以AH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、F、H、E）， 以BH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（B、F、H、D）， 以CH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（C、D、H、E）， 以AB为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、E、D、B）， 以BC为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（B、F、E、C）， 以AC为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、F、D、C）， 共6组． 故选D． 【点睛】本题考查四点共圆的判断方法．解题的关键是明确有公共斜边的两个直角三角形的四个顶点共圆． 3．（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，点为线段的中点，为直线上方的一动点，且满足，连接，以为腰，A为直角顶点在直线上方作等腰直角三角形，连接，当最大时，下列结论：①D、A、C、E四点共圆；②；③平分；④．其中正确的是 ． 【答案】①③④ 【分析】将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，，证明，得到当D，C，H共线时，最大，再根据四点共圆的性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质即可依次判断． 【详解】解：如图，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，， ∵， ∴，即， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴当D，C，H共线时，最大，如下图所示 ∵，，，， ∴、是等腰直角三角形 ∴ ∴， ∵ ∴， ∴， ∴D、A、C、E四点共圆，故①正确； ∵ ∴， ∵点C为线段的中点， ∴， ∴， ∵， ∴，故②错误； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分，故③正确； ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，故④正确． 综上所述，结论正确的是①③④． 故答案为：①③④ 【点睛】此题主要考查旋转的性质综合，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解题的关键是根据题意将线段绕点A逆时针旋转得到线段，找到最大的情况，再进行求解． 4．（2025九年级·全国·专题练习）如图①，若是和的公共斜边，则A、B、C、D在以为直径的圆上，则叫它们“四点共圆”．如图②，的三条高、、相交于点H，则图②中“四点共圆”的组数为 ．    【答案】6 【分析】根据两个直角三角形公共斜边时，四个顶点共圆，结合图形求解可得． 【详解】解：如图，    以为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆， 以为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆， 以为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆， 以为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆， 以为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆， 以为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆， 综上分析可知，共6组． 故答案为：6． 【点睛】本题考查四点共圆的判断方法．解题的关键是明确有公共斜边的两个直角三角形的四个顶点共圆． 5．（24-25九年级下·浙江宁波·阶段练习）如图，矩形中，，点E在AB上，且，，点F在边上运动，以线段为斜边在点B的异侧作等腰，使B、E、G、F四点共圆．连接、．    （1） ； （2）当最小时， ． 【答案】 /45度 / 【分析】本题考查了矩形的性质，四点共圆，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，垂线段最短，含30度角的直角三角形．如图1，取的中点O，连接，作射线，证明B，E，G，F在以O为圆心的圆上，得点G在的平分线上，当时，最小，此时，画出图2，根据是以为斜边的等腰直角三角形，证明，可得，根据含30度角的直角三角形可得，进而可得结论． 【详解】解：（1）如图1，    ∵B、E、G、F四点共圆， ， ∵等腰， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）由（1）得平分， ∴点G在的平分线上， ∴当时，最小， 此时，如图2，   ， 是以为斜边的等腰直角三角形，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ∵四边形是矩形， ， ∵，， ∴， 在中，， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 6．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）从圆的知识拓展学习，我们知道以下两个命题都正确，现在可在下面的答题中直接运用． A命题：若两个三角形有一条公共边，且在公共边的同侧所对的两角相等，则这两个三角形的顶点在同一个圆上． B命题：在圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边的乘积之和． (1)根据以上两个命题．结合下面的图①填空： 因为______，所以A，B，C，D四点共圆，此时______． (2)如图②，是等边的外接圆，点P在上运动不与B，C重合，连结，求证： (3)如图③，在扇形中，，点A在上，，求扇形的半径的长． (4)如图④，是等边三角形，点D在的延长线上，连接，点E在边上，连接，且，，，那么的长为______． 【答案】(1)， (2)见解析 (3) (4)7 【分析】（1）由圆周角定理和题意即可得解； （2）在上取点D，使，连接，证明是等边三角形，得，再证明得，从而可得出结论； （3）构造圆内接四边形，延长交圆O于点D，连接，利用B命题建立关于半径的方程求解即可； （4）条件中有2倍角，故构造一个外角等于二倍角从而得到等腰三角形，在线段上截取作，连接，证，可得，从而证明，再过点E作于点G，设，将都用x表示，最后利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知因为， 所以A，B，C，D四点共圆， 此时； 故答案为：，； （2）证明：在上取点D，使，连接，如图， ∵是等边三角形， ∴，， ∵点P在上运动不与B，C重合， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴ 又， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：延长交圆O于点D，连接，，，如图3， 设半径为r，则， ， ， 为直径， ， 在中，， ，， ， ， 即， ， 解得负值舍去， 即扇形的半径的长； （4）解：如图4，在线段上截取，连接， 是等边三角形， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 过点E作于点G， 设，则，， ， ，， ， 在中，， ， 解得， ， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、圆内接四边形、勾股定理、全等三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 7．（24-25九年级上·福建南平·期末）综合与实践：数学活动课上，兴趣小组开展“探究四点共圆的条件”活动． 【提出问题】如图1，在线段同侧有两点，，连接，，，，如果，那么，，，四点在同一个圆上． 探究展示： 设是的外接圆 如图2，假设点在内，延长交于点，连接 点在上， ∴（_____） 在中， 这与已知条件矛盾 点不在内 如图3，假设点在外，； 综上所述，作的外接圆，点在上，即，，，四点共圆． 【归纳结论】 （1）上述探究过程中的括号内填的依据是_____； （2）如图3，请你帮助小聪按照上面的思路，写出该证明的省略部分； 【结论运用】 （3）如图4，已知四边形中，，若，平分，记，的值是否会发生改变，如果不发生改变，请求出其值，如果发生改变，请求出的取值范围． 【答案】（1）同弧所对的圆周角相等；（2）见解析；（3） 【分析】（1）根据圆周角定理的推论作答即可； （2）假设点在外，设交于点，连接，利用反正法，根据圆周角定理及三角形的外角性质即可得解； （3）延长至点，使得，过点作于，证明得，再利用勾股定理及 30 度直角三角形的性质得，从而得，进而即可得解． 【详解】解：（1）同弧所对的圆周角相等； （2）证明：如图3，假设点在外，设交于点，连接， 点在上， ， 在中，， ， 这与已知条件矛盾， 点不在外； （3）解：的值不会发生改变；理由如下： 已知四边形中，，若，平分，记，延长至点，使得，过点作于， ，，，四点在同一个圆上， 平分， ， ， ； ，，，四点在同一个圆上， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ，， ， 平分，， ， ， ， ， ， ∴． 【点睛】本题主要考查了勾股定理， 30 度直角三角形的性质，圆周角定理，反证法，等腰三角形的三线合一，角平分线的定义，熟练掌握勾股定理， 30 度直角三角形的性质，圆周角定理是解题的关键． 8．（24-25九年级上·内蒙古通辽·期末）请阅读下列材料，完成相应任务． 我们知道，过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆，那么过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？李雷经过实践探究发现了如下结论： 如果线段同侧两点（与线段在同一平面内）分别与线段两端点的连线所组成的夹角相等，那么这两点和线段两端点四点共圆．下面是李雷证明上述命题的过程（不完整）． 已知：如图①，是线段同侧两点，且． 求证：四点共圆． 证明：作的外接圆，假设点在外或在内． 如图②，若点在外，设与交于点，连接， 则（依据） 又，（依据） 所以， 所以， 这与已知条件“”矛盾，故点在外不成立． 如图③，若点在内， …… 综上所述，作的外接圆，点在上，即四点共圆． 任务： (1)上述证明过程中的“依据”“依据”分别指什么？ 依据：______；  依据：______． (2)请按照材料中的证明思路，写出该证明的剩余部分． (3)如图④，在四边形中，，，，，则的大小为______ 【答案】(1)同弧所对的圆周角相等；三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 (2)证明见解析 (3) 【分析】（）由圆周角定理和三角形的外角性质即可得出结论； （）若点在内，延长与交于点，连接，利用三角形外角及圆周角定理可知，，进而得，已知不符，所以假设不成立； （）由可得四点共圆，即得，为直径，进而得，得到，再由得到，最后根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）解：依据：同弧所对的圆周角相等；依据：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和； 故答案为：同弧所对的圆周角相等；三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和； （2）解：如图③，若点在内，延长与交于点，连接， 则， 又∵， ∴， ∴， 这与已知条件“”矛盾，故点在圆内不成立； （3）解：∵在四边形中，，点在的同侧， ∴四点共圆， ∴， ∵， ∴为直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形外角性质，点和圆的位置关系，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握以上知识点是解题的关键． 9．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）探究与实践：“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆． 该小组继续利用上述结论进行探究． 【提出问题】如图， 在线段同侧有两点，，连接，，，， 如果，那么，，，四点在同一个圆上． 【探究展示】如图，作经过点，，的，在劣弧上取一点（不与， 重合），连接，， 则（依据） ∵， ∴， ∴点，，，四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆） ∴点， 都在点，，所确定的上（依据） ∴点，，，四点在同一个圆上； 【反思归纳】 圆内接四边形对角互补； 对角互补的四边形四个顶点共圆； 过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆； 同圆中，同弧所对的圆周角相等； （）上述探究过程中的“依据”、“依据”分别是指什么？依据： ；依据： ．（从框内选一个选项，直接填序号） （） 如图，在四边形中，，，则的度数为 ； 【拓展探究】 （）如图4， 已知 是等腰三角形，，点在上（不与的中点重合），连接．作点关于的对称点，连接并延长交的延长线于， 连接，． 求证：，，，四点共圆； 若，的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由． 【答案】（），；（）；（）证明见解析；． 【分析】（）根据圆内接四边形对角互补；过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆作答即可； （）根据同弧所对的圆周角相等即可求解； （）根据（）中的结论证明即可得证； 证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（）解：如图，作经过点，，的，在劣弧上取一点（不与，重合），连接，则（圆内接四边形对角互补） ∵， ∴， ∴点，，，四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆） ∴点，在点，，所确定的上（过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆） ∴点，，，四点在同一个圆上， 故答案为：，； （）解：∵在线段同侧有两点，，， ∴，，，四点共圆， ∵， ∴， 故答案为：； （）证明：∵， ∴， ∵点与点关于对称， ∴， ∴， ∴，，，四点共圆； 解：，理由如下， 如图，∵，，，四点共圆， ∴， ∵，关于对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了圆内接四边形对角互补，同弧所对的圆周角相等，轴对称的性质，相似三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键． 10．（2024·湖南·模拟预测）综合与实践 “乐思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究． 提出问题： 如图1，在线段同侧有两点B，D，连接如果，那么A，B，C，D四点在同一个圆上． 探究展示： 如图2，作经过点A，C，D的，在劣弧上取一点E（不与A，C重合），连接，则（依据1） ∵， ∴． ∴点A，B，C，E四点在同一个圆上．（对角互补的四边形四个顶点共圆） ∴点B，D在点A，C，E所确定的上．（依据2） ∴点A，B，C，D四点在同一个圆上． 反思归纳： (1)上述探究过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么？ 依据1：________________． 依据2：________________． 如图3，在四边形中，，则的度数为________． (2)拓展探究： (3)如图4，已知是等腰三角形，，点D在上（不与的中点重合），连接．作点C关于的对称点E，连接并延长交的延长线于点F，连接．求证：A，D，B，E四点共圆． 【答案】(1)圆内接四边形对角互补；过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆 (2) (3)见解析 【分析】（1）根据圆内接四边形的性质、过三点的圆解答即可； （2）根据四点共圆、圆周角定理解答； （3）根据轴对称的性质得到，，，，进而得到，即可证明结论． 【详解】（1）解：依题意，结合上下证明过程得： 依据1：圆内接四边形对角互补； 依据2：过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆； 故答案为：圆内接四边形对角互补；过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆； （2）解：， 点，，，四点在同一个圆上， ， ， ， 故答案为：； （3）证明：， ， 点与点关于的对称， ，， ，， ， ， ，，，四点共圆． 【点睛】本题考查的是圆内接四边形，圆周角定理，等腰三角形的定义、轴对称的性质，正确理解四点共圆的条件是解题的关键． 11．（24-25九年级上·内蒙古赤峰·期末）实践与探究 探究课题：四点共圆的条件 课题背景：过任意一个三角形的三个顶点都能作一个圆 (1)发现问题：某数学小组在课堂上经过测量四边形各个内角的度数，发现：如果过某个四边形的四个顶点能作一个圆，那么其相对的两个内角之和等于，结合图1，你认为这个小组发现的结论正确吗？如果该结论正确，请你说明理由． (2)如果过某个四边形的四个顶点不能作一个圆，那么其相对的两个内角之间有上述关系吗？试结合图2和图3说明其中的道理． (3)由上面的探究，请你归纳出判定过某个四边形的四个顶点能作一个圆的条件是什么？ 【答案】(1)这个结论正确，理由见解析； (2)没有上述关系，理由见解析； (3)这个四边形相对的两个内角互补． 【分析】本题主要考查了圆周角定理、三角形外角的性质等知识点，掌握圆周角定理是解题的关键． （1）根据圆周角定理可得的度数等于度数的一半，的度数等于度数的一半，再结合与的度数和为即可解答； （2）根据圆周角定理和三角形外角的性质即可解答； （3）根据（1）（2）归纳即可解答． 【详解】（1）解：这个结论正确，理由如下： ∵如图1，经过四边形的四个顶点A、B、C、D， ∴的度数等于度数的一半，的度数等于度数的一半， ∵与的度数和为， ∴， ∴如果过某个四边形的四个顶点不能作一个圆，那么其相对的两个内角互补． （2）解：没有上述关系，理由如下： 图2：连接，∵，， ∴； ∴如果过某个四边形的四个顶点不能作一个圆，那么其相对的两个内角之间不具备上述关系． 图5：连接，∵，， ∴． ∴如果过某个四边形的四个顶点不能作一个圆，那么其相对的两个内角之间不具备上述关系． （3）解：根据（1）（2）可得： 如图2：判定过某个四边形的四个顶点能作一个圆的条件是这个四边形相对的两个内角互补． 12．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）综合与实践 数学活动课上，小聪在老师的指导下开展“探究四点共圆的条件”活动． 【提出问题】如图，在线段同侧有两点，连接，，如果，那么四点在同一个圆上． 探究展示： 设是的外接圆 如图，假设点在内，延长交于点，连接 点在上，（    ） 在中， 这与已知条件矛盾 ∴点不在内如图，假设点在外，……； 综上所述，作的外接圆，点在上，即，，，四点共圆． 【归纳结论】 （1）上述探究过程中的括号内填的依据是______； （2）如图，请你帮助小聪按照上面的思路，写出该证明的省略部分； 【结论运用】 （3）已知四边形中， ①如图，点和点在同侧，交于点的延长线交于点，若，请判断与的数量关系，并说明理由； ②如图，若平分，记的值是否会发生改变，如果不发生改变，请求出其值，如果发生改变，请求出的取值范围． 【答案】归纳结论（1）同弧所对的圆周角相等；（2）见解析；结论运用（3） ①，理由见解析；②． 【分析】归纳结论（1）根据圆周角定理的推论作答即可； （2）假设点在外，设交于点，连接，利用反正法，根据圆周角定理及三角形的外角性质即可得解； 结论运用（3）①由得，，，四点在同一个圆上，记为，设，，先证，又，，从而，即可得；②延长至点，使得，过点作于，证明（）得，再利用勾股定理及度直角三角形的性质得，从而得，进而即可得解． 【详解】解：归纳结论（1）如图，假设点在内，延长交于点，连接 点在上， （同弧所对的圆周角相等）， 在中，， ， 这与已知条件矛盾； ∴点不在内； 故答案为：同弧所对的圆周角相等； （2）如图，假设点在外，设交于点，连接， ∵点在上， ∴， ∵在中，， ∴， ∴这与已知条件矛盾； ∴点不在外； ①∵， ∴，，，四点在同一个圆上，记为， 设，， ∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴ ； ∵，， ∴， ∴； ②的大小不会发生变化 理由∶延长至点，使得，过点作于， ∵， ∴，，，四点在同一个圆上， ∵平分， ∴， ∴； ∵，，，四点在同一个圆上， ∴， ∵， ∴； 在和中， ， ∴（）， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，度直角三角形的性质，圆周角定理，反证法，等腰三角形的三线合一，角平分线的定义，熟练掌握勾股定理，度直角三角形的性质，圆周角定理是解题的关键． 13．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在四边形中，且，垂足为，延长线交于，交的延长线于．求证：A，，，四点共圆． 【答案】见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，四点共圆的条件，解决本题的关键是熟练掌握四点共圆的条件，根据等腰三角形的性质得出为中点，求出，证明，得出为等腰三角形，得出，求出，即可证明结论； 【详解】解：如图，连接， ， 为等腰三角形，， 又∵， ∴为中点， ∴垂直平分， ， ∴， ， 又， 为等腰三角形， ， ∴， ∴A，，，四点共圆． 14．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，中，，，在边上，延长，与的外接圆分别交于，两点．求证：D，E，Q，P四点共圆； 【答案】见解析 【分析】本题考查同弧所对圆周角相等，四点共圆，等腰三角形的性质，连接，根据同弧所对圆周角相等可得，，由 结合等腰三角形性质可证，最后得证即可． 【详解】证明：连接，如图， ∵所对的圆周角是,所对的圆周角是， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，，，四点共圆； 15．（2024·陕西西安·模拟预测）“乐思”小组开展探究四点共圆的条件活动时，得到结论：对角互补的四边形的四个顶点共圆，该小组继续利用上述结论进行探究． (1)问题探究：如图，四边形为矩形，平分，交于点F，． ①判断A、B、C、E四点是否共圆？填（“是”或“不是”）__________ ②__________ (2)问题解决：如图，某公园内有一个五边形人工湖，已知，米，，点是上一点，且，点是直线上一点，夏季来临，为了增加游客的安全性，欲在其中央建造一个以为斜边的等腰直角型救助站，如图所示，已知湖岸米，点是上的中点，是湖岸通向救助站的唯一通道，若修筑通道的造价为每米300元，求当造价最低时，四边形的面积为多少？并求出通道的最低造价． 【答案】(1)①是；② (2)，元 【分析】（1）①由四边形为矩形，得，故，因此A、B、C、E四点共圆； ②由角平分线可求，而A、B、C、E四点共圆，则得到，故； （2）延长交于点H，连接，过点M作于点R，过点M作于点J，连接并延长交于点K，过点H作于点Q，可证，则，故平分，则，由点N为中点，，则，故点N在以点H为圆心，为半径的上运动，由，得当点M与点Q重合，点N与点T重合时，最小即为，可求，故，因此最低造价为：元，当点M与点Q重合时，可得到，而，因此． 【详解】（1）解：①：∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴A、B、C、E四点共圆， 故答案为：是； ②∵，平分， ∴， ∵A、B、C、E四点共圆， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：延长交于点H，连接，过点M作于点R，过点M作于点J，连接并延长交于点K，过点H作于点Q， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平分， ∴， ∵点N为中点，， ∴， ∴点N在以点H为圆心，为半径的上运动， ∵， ∴当点M与点Q重合，点N与点T重合时，最小即为， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴最低造价为：元， 当点M与点Q重合时，如图： ∵，，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，解直角三角形，矩形的判定与性质，全等数学的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解决本题的关键． 16．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）定义：若在同一平面内，有四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，简称“四点共圆”．以下是“四点共圆”的几个结论，你能证明并运用它们吗? I．若两个直角三角形有公共斜边，则这两个三角形的个顶点共圆（图1、2）； II．若四边形的一组对角互补，则这个四边形的个顶点共圆（图3）； III．若线段同侧两点与线段两端点连线的夹角相等，则这两点和线段两端点共圆（图4）． 【结论证明】（1）在图1、2中，取的中点，根据______得，即，，，共圆； （2）在图3中，画经过点，，（图5）．假设点落在外，交于点，连接，可得___，与已知条件___得出矛盾；同理点也不会落在内，即，，，共圆．结论III同理可证． 【理解应用】利用四点共圆解决下述两个问题： （3）证明锐角三角形的三条高交于一点． 已知：如图6，锐角三角形的高，相交于点，射线交于点．求证：是的高． （4）如图7，若二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，为第二象限上的点，在直线上，且；若为轴上方抛物线上的一动点，令点横坐标为，当为何值时，的面积最大，求出此时点坐标和最大面积． 【答案】（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（2）；；（3）见解析；（4）时，有最大值为，此时 【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可证明； （2）根据结论II可得：，根据得出，根据三角形的外角大于与它不相邻的任一个内角得出，相互矛盾，即可证明点在上； （3）以，，，四点作圆，以，，，四点作圆，连接，根据同圆中，等弧所对的圆周角相等得出，，推得，根据对顶角相等可得，根据三角形内角和定理得出，即可证明； （4）连接，作中点，连接，过作轴交于，先求出点、、的坐标，根据勾股定理求出，根据中点坐标的公式求出点的坐标，根据等腰直角三角形的定义可推得，根据结论III可得，，，，共圆，即在的外接圆上，推得点为的外接圆圆心，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，根据待定系数法求出直线的解析式为，根据坐标系中两点间的距离公式列出方程，求出的值，得出点的坐标；根据待定系数法求出直线的解析式为，根据点的横坐标得出，，求出，根据三角形的面积公式可得，根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：连接、，如图： 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得，， ∴， 故答案为：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． （2）解：假设点落在外，交于点，连接， 根据结论II可得：， ∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴，相互矛盾， 故点在上； 故答案为：；． （3）证明：以，，，四点作圆，以，，，四点作圆，连接， ∵，，，四点共圆， ∴， ∵以，，，四点共圆， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是的边上的高． （4）解：连接，作中点，连接，过作轴交于，如图： ∵的图象与轴交于、两点，与轴交于点， ∴，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴，，，，共圆，即在的外接圆上， ∵， ∴点为的外接圆圆心， ∴， 设直线为，将点和点的坐标代入得：， 解得：， 直线为， 设，， 解得：或（舍去）， ∴， 设直线为，将点和点的坐标代入得：， 解得：， 直线为， ∵点横坐标为， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值为， 此时． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，三角形外角性质，圆与四边形的综合应用，待定系数法求一次函数的解析式，两点间的距离，中点坐标，二次函数的综合应用等，解题的关键是用含字母的代数式表示相关的点坐标、线段长度及三角形面积． 17．（24-25九年级下·浙江宁波·自主招生）如图，在中，，是垂心，是外心，延长交于，于． (1)求证：． (2)证明：，，，四点共圆． (3)若，求． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）以为圆心，为半径作圆，连接，延长交圆于点，连接，，，，，延长交于点，延长交于点N，由垂心，得到垂直关系，得到证明四边形是平行四边形，根据中位线性质得出，从而得到结果； （2）先求出，再结合，证明，得到四点共圆； （3）以为圆心，为半径作圆，连接，延长交圆于点，连接，，，，，延长交于点，延长交于点N，设，用表示出的各边，利用勾股定理，得到一元二次方程，利用求根公式求方程的根，得到结果． 【详解】（1）解：以为圆心，为半径作圆，连接，延长交圆于点，连接，，，，，延长交于点，延长交于点N，如图所示： 是直径， ∴， ，， 为垂心， ，，， ，， 是平行四边形， ， ∵，O为外心， ∴， ∵， ∴为的中位线， ∴， ∴， 即； （2）解：连接，，，，延长交于点，延长交于点N，如图所示： ， ∴， 为垂心， ，，， ∴， ∴， ∴， ， 、、、四点共圆； （3）解：以为圆心，为半径作圆，连接，延长交圆于点，连接，，，，，延长交于点，延长交于点N，如图所示： 设， ， ， ∵，， ， 在直角中，， ，， 根据解析（1）可知：四边形为平行四边形， ∴，， 在直角中，， 即：， 在直角中，， 即：， ， ， 在中，， 即：， ， 或（舍去）， ． 【点睛】本题考查了圆的综合应用，涉及到直角三角形勾股定理的应用，圆周角、圆心角、平行四边形的性质的应用，四点共圆的判定，解直角三角形，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 18．（2025·湖南湘潭·模拟预测）阅读理解： 如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”．证明“四点共圆”判定定理有：1、若线段同侧两点到线段两端点连线夹角相等，那么这两点和线段两端点四点共圆；2、若平面上四点连成的四边形对角互补，那么这四点共圆．例：如图1，若，则四点共圆；或若，则四点共圆． (1)如图1，已知，，则_____； (2)如图2，若为等腰的边上一点，且，求的长； (3)如图3，正方形的边长为4，等边内接于此正方形，且，，分别在边，，上，若，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由，得出A，B，C，D四点共圆，则，即可得出结果； （2）在线段取一点，使得，推出， 得出，证出，则，再证出，由证得得出是等腰直角三角形，即可得出结果； （3）作于，则是的中点，连接，，则，得出E、K、G、B和E、K、F、A分别四点共圆，则，，得出是等边三角形，，作，则M为的中点，得出，，由勾股定理求出即可得出结果． 【详解】（1）解：， 四点共圆， ． 故答案为： （2）在线段取一点，使得，如图2所示： ， ， ， ， ， ， ，， ， 在和中， ， （）， ， ， 是等腰直角三角形， ； （3）作于，则是的中点，连接，，如图3所示： ， 、、、和、、、分别四点共圆， ，， 是等边三角形， ， 作，则为的中点， ， ， ， ． 【点睛】本题是四点共圆综合题目，考查了四点共圆的判定、圆周角定理、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度． 19．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）【阅读材料】克罗狄斯·托勒密（约90-168年）是希腊著名的数学家、天文学家和地理学家，托勒密定理是欧几里得几何中的重要定理，定理内容如下：任意一个凸四边形，两组对边乘积的和不小于两条对角线的乘积，当且仅当四边形四个顶点共圆时，等号成立，即：四边形中，有，当四点共圆时，有． 【尝试证明】（1）如图1，四边形内接于，求证：． 证明：在上取点，连接，使． ∵， ∴__________， ∴， ∴①， ∵， ∴，即， 又∵， ∴△∽△， ∴， ∴___________②，①+②得，即__________． 【直接应用】 （2）如图2，为的直径，，求的长． 【灵活运用】 （3）如图3，在等腰三角形中，，点在底边上，且，将三角形沿着所在的直线翻折，使得点落在点处，连接，求的长． 【答案】（1）见解析（2）（3）2 【分析】（1）在上取点E，连接，使，证明和，利用相似三角形的性质列式计算即可证明结论成立； （2）连接和，由圆周角定理结合勾股定理求得，，利用（1）的结论求解即可； （3）先证明，求得，再证明，可求出、，再由（1）中结论即可解决问题． 【详解】解：（1）证明：在上取点E，连接，使． ∵， ∴， ∴， ∴①， ∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∴②， 得， 即； （2）连接和， ∵为的直径， ∴， ∵，，， ∴，， ∵由（1）得， 即， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ， ∴，， ∵，， ∴， ，即， ∴，， ∵， ∴、、、四点共圆， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2． 【点睛】本题考查翻折变换、圆周角定理、等腰三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是充分利用相似三角形的性质解决问题，本题需要多次相似解决问题，题目比较难． 20．（24-25九年级下·福建莆田·阶段练习）在学习《圆》这章时，我们学习了圆周角定理的推论：圆内接四边形的对角互补；事实上，它的逆命题：对角互补的四边形的四个顶点共圆，也是一个真命题．在图形旋转的综合问题中经常会出现对角互补的四边形，那么，我们就可以借助“对角互补的四边形的四个顶点共圆”，然后借助圆的相关知识来解决问题，例如： 已知：如图，是等腰直角三角形，，点是内一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，并延长交直线于点．请解答下列问题： (1)当点在如图所示的位置时， ①求的度数； ②利用题干中的结论，证明：四点共圆； (2)连接，点在内部运动的过程中，若，直接写出线段的长． 【答案】(1)①；②证明见解析 (2) 【分析】 （1）①根据全等三角形的性质可得，根据，进而得出，即可得出； ②根据四边形对角互补，可得四点共圆； （2）连接，过点D作于点H，勾股定理求得，进而得出，根据四点共圆，得出是等腰直角三角形，进而即可求解． 【详解】（1）解：①∵是等腰直角三角形， ∴， ∵线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴ ， ， ， ， ； ②证明： ， ， ， 四点共圆； （2）解：如图，连接，过点D作于点H， ， ， ，， ，， 四点共圆， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，圆内接四边形对角互补，等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 21．（2024·河南安阳·三模）数学综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的旋转”为主题开展数学活动． 模型感知： 小明同学善于观察思考，如图，在和中，，他发现当两个直角三角形共斜边时，取斜边中点，根据斜边中线等于斜边的一半，易知，由圆的定义可知，四点共圆，则有，其依据是______． 操作判断： 小明同学把等腰直角三角板的直角顶点绕着直角三角板的斜边中点旋转，其中，直线与相交于点，边与相交于点． （）如图，当时，线段与的数量关系是______． 深入探究： （）将图中的旋转到图所示的位置，请判断与的数量关系是否发生变化，并说明理由． 应用： （）如图，已知，若等腰直角三角板绕点继续旋转，边与的交点始终在线段上，当点为的三等分点时，直接写出的面积． 【答案】模型感知：同弧所对的圆周角相等；（1）；（2）仍有，证明见解析；（3） 【分析】模型感知：根据圆周角定理即可求解； （）连接，可得四边形是矩形，得到，由直角三角形的性质可得，即得，又由得到，即可得到； （）与的数量不会发生变化．如图，连接，由，，可得四点共圆，即得，进而可得，利用直角三角形的性质即可求证； （）如图，过点作于，解直角三角形求出，进而得到，，即得，利用勾股定理求得，再根据（）的结论得到，再根据勾股定理得到，最后根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：模型感知：由题意可知，其依据是同弧所对的圆周角相等， 故答案为：同弧所对的圆周角相等； （）如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵点为斜边的中点， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴； （）与的数量不会发生变化，理由如下： 如图，连接， ∵，， ∴四点共圆， ∴， ∵点是斜边的中点， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 即； （）解：如图，过点作于， ∵， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵点为的三等分点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，矩形的判定和性质，直角三角形的性质，四点共圆，解直角三角形，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 22．（2025·山西·二模）阅读与思考 阅读下面的材料，并完成相应的任务． 探究四点共圆的条件我们知道，过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆．过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？ 下面给出了一些圆内接四边形． 分别用量角器测量上面各四边形的内角，得出结论： ① 180°．（填“＞”“＜”或“＝”） ∵四边形内角和为， ∴ ② ．（填“＞”“＜”或“＝”） 如果四边形的四个顶点不在同一个圆上，那么与之间还有上面的关系吗？试结合下图中的两种情况进行证明． …… 任务： (1)填空：①________，②________．（填“＞”“＜”或“＝”） (2)请你在图4与图5中选择其中一个图，探究与180°之间的关系． (3)如图6，点E在四边形ABCD的边AB的延长线上，，，，请在图6中作一个过A，B，D三点的（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），并直接写出的度数． 【答案】(1)=，= (2)图4：点C在圆的内部时，，证明见解析；图5：点C在圆的外部时，，证明见解析； (3)作图见解析， 【分析】1）根据测量结果以及四边形的内角和解答即可； （2）图4：点C在圆的内部时，如图：连接，然后三角形外角的性质可得，再结合可得，最后结合四边形内角和为即可解答；图5：点C在圆的外部时，同理可解； （3）如图：连接，作、的垂直平分线，其交点O为圆心，然后画出圆即可完成作图；先说明，再说明A、B、C、D四点在上，再根据同圆中等弧所对的圆周角相等即可解答． 【详解】（1）解：经测量：； ∵， ∴． 故答案为：，． （2）解：图4：点C在圆的内部时，，证明如下： 如图：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 图5：点C在圆的外部时，，证明如下： 如图：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （3）解：如图：即为所求； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵A，B，D三点在上， ∴A，B，C、D四点在上， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了四边形的内角和定理、圆的内接四边形、三角形外角的性质、圆周角定理、外接圆的作法等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 23．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）【材料阅读】如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，简称“四点共圆”．在《2.4圆周角》这一课中，我们学习了“圆的内接四边形的对角互补”这条性质，学习小组在探究“四点共圆的条件”的数学活动课上得出“对角互补的四边形四个顶点共圆”也是正确的． 请同学们在此基础上继续展开后续探究： 【提出问题】 如图1所示，在线段同侧有两点，，连接，，，． 试探究：如果，那么、、、四点在同一圆上． 证明：如图2所示，作经过点、、的，在劣弧上取一点（不与、重合），连接，， ，（①______________） ， ②___________， 点、、、四点在同一个圆上，（对角互补的四边形四个顶点共圆） 点、在点、、所确定的上， 点、、、四点在同一个圆上． 结论：在线段同侧有两点、，连接，，，， 如果，那么、、、四点共圆．    补全上述说理过程： ①______________；②______________． 【结论应用】 （2）如图3，在四边形中，，，则的度数为________． （3）如图4，已知是等腰三角形，，点在上（不与的中点重合），连接，作点关于的对称点，连接并延长交的延长线于，连接，． 求证：、、、四点共圆；    【拓展延伸】 （4）如图5，在四边形中，连接，，，则四边形周长的最大值为__________．（直接写出答案）    【答案】（1）①圆的内接四边形的对角互补；②；（2）；（3）证明过程见详解；（4） 【分析】（1）根据探究展示过程和圆的性质，确定圆的条件填空即可； （2）由【提出问题】可知A，B，C，D共圆，从而． （3）①根据轴对称的性质得到，，，，进而得到即可证明结论； （4）在上取一点M，使得，连接，证明、是等边三角形，再证明即可求出． 【详解】解：（1）由探究展示过程可知，的依据是：①圆的内接四边形的对角互补； ②，（①___圆的内接四边形的对角互补） ， ， 故答案为：①圆的内接四边形的对角互补；②； （2）由【提出问题】可知，且在线段同侧， ∴A，B，C，D共圆， ∵是同弧所对的圆周角， ， 故答案为：． （3）证明：， ， ∵点E与点C关于的对称， ， ， ， ， ∴A，D，B，E四点共圆； （4）如图，连接，在上取一点M，使得． ， 是等边三角形，   ，， 是等边三角形， ， ， A、B、C、D四点共圆， ， ， ， ， 四边形的周长， ， 当最大时，四边形的周长最大， 当为的外接圆的直径时，四边形的周长最大， 为的外接圆的直径， ， ， ， 四边形的周长． 【点睛】本题考查四点共圆，解题的关键是读懂【材料阅读】，掌握圆的相关性质并能灵活运用． 24．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）【材料阅读】如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，简称“四点共圆”．在教材中学习了定理“圆内接四边形的对角互补”后，学习小组继续探究，提出猜想“对角互补的四边形四个顶点共圆”并尝试用反证法进行验证． 【验证猜想】 已知：四边形中， 求证：A、B、C、D四点共圆 证明：过点A、B、D作，假设点C不在上，则点C在外或内 若点C在外，如图1，设交于，连接，则． 四边形是的内接四边形， ． ， 与矛盾，故点C不可能在圆外； 若点C在圆内， …… （1）在图2中，用直尺和圆规作出过点A，B，D的圆，参考以上思路补全图形并完成后续证明； 【深入探究】 得出“对角互补的四边形四个顶点共圆”是真命题后，继续思考，四点共圆还可以有其他的条件吗？请你在此基础上展开探究： （2）如图3，在线段同侧有两点C，D，连接，，，．如果，那么A、B、C、D四点共圆，请完成证明（如需辅助圆，画出示意图即可）； 【结论应用】 应用以上结论，解决下列问题： （3）如图4，在四边形中，，，则________； （4）如图5，中，点E在上，连接，作点B关于的对称点，连接，，求的度数； 【拓展延伸】 （5）如图6，，，点D为平面内一动点，连接、，若始终有，当四边形周长最大时，与的数量关系是多少？（直接写出答案）． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）30；（4）；（5） 【分析】（1）由圆的内接四边形可得，即可求解； （2）通过点A、B、C、E四点在同一个圆上，可得点C在点A、B、D所确定的上，即可求解； （3）通过证明点A，点B，点C，点D四点共圆，可得； （4）通过证明点A、、E、C四点共圆，可得，由三角形内角和定理可求解； （5）通过证明点A，点B，点C，点D四点共圆，可得，当是直径时，有最大值，即四边形的周长有最大值，即可求解． 【详解】解：（1）若点C在内，如图，延长设交于， 连接，则． 四边形是的内接四边形， ， ， 与矛盾，故点C不可能在圆内， ∴点C在圆上， ∴点A、B、C、E四点在同一个圆上； （2）如图，作经过点A、B、D的， 在劣弧上取一点E（不与A、B重合），连接，， 则， ， ． 点A、B、C、E四点在同一个圆上，（对角互补的四边形四个顶点共圆） 点C在点A、B、E所确定的上，也就是在点A、B、D所确定的上， 点A、B、C、D四点共圆； （3）∵， ∴点A，点B，点C，点D四点共圆， ∴， 故答案为：30； （4）由对称可知，， ， ， 由（2）可知，点A、、E、C四点共圆． ， 中，， ； （5）如图，连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴点A，点B，点C，点D四点共圆， ∴，弦最大值是直径长， 以为边在上方作等边三角形，连接， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴A，E，D三点共线， ∴， ∵四边形周长， ∴当是直径时，四边形的周长有最大值， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了四点共圆，圆周角定理，圆内接四边形的性质，反证法，等边三角形的判定与性质等知识点． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 圆中的重要模型之四点共圆模型 四点共圆是初中数学的常考知识点，近年来，特别是四点共圆判定的题目出现频率较高。相对四点共圆性质的应用，四点共圆的判定往往难度较大，往往是填空题或选择题的压轴题，而计算题或选择中四点共圆模型的应用（特别是最值问题），通常能简化运算或证明的步骤，使问题变得简单。本文主要介绍四点共圆的四种重要模型。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 6 模型1.定点定长共圆模型（圆的定义） 6 模型2.定边对双直角共圆模型 8 模型3.定边对定角共圆模型 11 模型4.对角互补共圆模型 14 16 汉代数学家张丘建在《九章算术》中首次提出四点共圆的理论雏形，宋代数学家基于《九章算术》进一步研究，明确“对角互补的四边形必共圆”的判定条件，与阿拉伯研究形成互补。托勒密在《天文学大成》中提出‌托勒密定理‌：若凸四边形内接于圆，则两对角线乘积等于两组对边乘积之和，并给出严谨证明。该定理首次将四点共圆与定量关系结合，成为后世判定核心依据之一。四点共圆模型从东西方独立的定性认知起步，历经托勒密的定量跨越，最终在近现代整合为系统化工具，成为解决圆相关几何问题的通用模型。其发展体现了数学思想从经验到逻辑、从孤立到互联的演进本质。初中几何体系将四点共圆判定归纳为四大核心模型。 （2025·四川泸州·模拟预测）在平面直角坐标系中，半径为的与轴负半轴交于点，点在上，将点绕点顺时针旋转得到点点为轴上一动点（不与重合），将点绕点顺时针旋转得到点与轴所夹锐角为． (1)如图，若点的横坐标为，点与点重合，则______； (2)若点、点的位置如图所示，请在轴上任取一点，画出直线，并求的度数； (3)当直线与相切时，点的坐标为______． （2025·辽宁葫芦岛·一模）射线AB与直线CD交于点E，∠AED＝60°，点F在直线CD上运动，连接AF，线段AF绕点A顺时针旋转60°得到AG，连接FG，EG，过点G作于点H． (1)如图1，点F和点G都在射线AB的同侧时，EG与GH的数量关系是______； (2)如图2，点F和点G在射线AB的两侧时，线段EF，AE，GH之间有怎么样的数量关系？并证明你的结论； (3)若点F和点G都在射线AB的同侧，，，请直接写出HG的长． 1.定点定长共圆模型（圆的定义） 若四个点到一定点的距离相等，则这四个点共圆。这也是圆的基本定义，到定点的距离等于定长点的集合。 条件：如图1，平面内有五个点O、A、B、C、D，使得OA=OB=OC=OD。 结论：A、B、C、D四点共圆（其中圆心为O）。 证明：∵OA=OB=OC=OD ∴根据圆的定义：到定点的距离等于定长点的集合为圆，确定A、B、C、D四点共圆。 图1 图2（同侧型） 图3（ 异侧型） 2.定边对双直角共圆模型 定边对双直角模型：一定边所对的角为两个直角，分同侧型和异侧型两种情况进行讨论。 1）定边对双直角模型（同侧型） 条件：如图2，若平面上A、B、C、D四个点满足， 结论：A、B、C、D四点共圆，其中AD为直径。 2）定边对双直角模型（异侧型） 条件：如图3，若平面上A、B、C、D四个点满足， 结论：A、B、C、D四点共圆，其中AD为直径。 注意：由于同侧型与异侧型证明相同，故下面证明一次即可。 证明：取AD的中点为E，连结BE，CE。 ∵，BE=CE=AD=AE=ED， ∴根据圆的定义：到定点的距离等于定长点的集合为圆，确定A、B、C、D四点共圆。 3.定边对定角共圆模型 定边对定角模型：一定边同侧所对的角为两个相等（为定值）。 图1 图2 图3 图4 条件：如图1，平面上A、B、C、D四个点满足，结论：A、B、C、D四点共圆。 条件：如图2，AC、BD交于H，，结论：四点共圆。 证明：∵，∴， 又∵，。∴，∴A、B、C、D四点共圆。 4.对角互补共圆模型 条件：如图3，平面上A、B、C、D四个点满足，结论：A、B、C、D四点共圆． 条件：如图4，BA、CD的延长线交于P，， 结论：A、B、C、D四点共圆. 证明：∵，∴，又∵，。∴， ∵，∴，∴A、B、C、D四点共圆。 模型1.定点定长共圆模型（圆的定义） 例1如图，在中，，AB=AC=5，点在上，且，点E是AB上的动点，连结，点，G分别是BC，DE的中点，连接，，当AG=FG时，线段长为（      ） A． B． C． D．4 例2（24-25·江西赣州·九年级校联考期中）如图，点O为线段AB的中点，点B，C，D到点O的距离相等，连接AC，BD．则下面结论不一定成立的是（   ） A．∠ACB=90° B．∠BDC=∠BAC C．AC平分∠BAD D．∠BCD+∠BAD=180° 例3（24-25.九年级·湖北·专题练习）问题背景：如图1，等腰中，，作于点D，则D为的中点，，于是； 迁移应用：如图2，和都是等腰三角形，，D，E，C三点在同一条直线上，连接．①求证：；②请直接写出线段之间的等量关系式； 拓展延伸：如图3，在菱形中，，在内作射线，作点C关于的对称点E，连接并延长交于点F，连接，．①证明是等边三角形；②若，求． 模型2.定边对双直角共圆模型 例1（2025·陕西榆林·三模）（1）如图1，等腰直角三角形，，点在斜边上，且，将线段绕点顺时针旋转，得到，连接，，则的长为 ． （2）如图2，某城市有一块矩形空地，米，米，现计划将此矩形空地改造为花园广场，出入口在边上，且米，出入口为边的中点，处为一个出入口．根据规划要求，计划在矩形空地内建造一绿化区和一活动区，使，再修建两条互相垂直的观光路和，使．若沿修一条笔直的小路，当小路最短时，求的长度和此时到的距离． 例2（2024·陕西西安·模拟预测）如图，线段，以为斜边构造等腰直角和直角，、在两侧，平分交于点，则的最小值为 ． 例3（24-25·广东梅州·九年级校考阶段练习）如图，在四边形 中，， 是 的中点， 是 的中点，若 ，，，则 的长为（     ）    A． B． C． D． 模型3.定边对定角共圆模型 例1（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）【推理证明】 （1）如图①，在四边形中，，求证：、、、四点共圆．小明认为：连接，取的中点，连接、即可证明，请你按照小明思路完成证明过程． 【尝试应用】 （2）如图②，在正方形中，点是边上任意一点，连接，交于点，请利用无刻度的直尺与圆规在线段上确定点，使．（不写作法，保留作图痕迹） 【拓展延伸】 （3）在（2）的基础上，若，，直接写出线段的长． 例2（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在四边形中，，对角线平分，，且．(1)证明：；(2)若，，求的长．    例3（2024·湖南·模拟预测）综合与实践：“乐思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究． 提出问题：如图1，在线段同侧有两点B，D，连接如果，那么A，B，C，D四点在同一个圆上． 探究展示：如图2，作经过点A，C，D的，在劣弧上取一点E（不与A，C重合），连接，则（依据1） ∵，∴． ∴点A，B，C，E四点在同一个圆上．（对角互补的四边形四个顶点共圆） ∴点B，D在点A，C，E所确定的上．（依据2）∴点A，B，C，D四点在同一个圆上． 反思归纳：(1)上述探究过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么？ 依据1：________________．依据2：________________． (2)如图3，在四边形中，，则的度数为________． 拓展探究：(3)如图4，已知是等腰三角形，，点D在上（不与的中点重合），连接．作点C关于的对称点E，连接并延长交的延长线于点F，连接．求证：A，D，B，E四点共圆． 模型4.对角互补共圆模型 例1（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）数学小组在学完“圆内接四边形的对角互补”这个结论后进行了如下的探究活动： (1)如图1，点A、B、C在上，点D在外，线段与交于点E、F，试猜想_____（请填“>”、“<”或“=”），并证明你的猜想； (2)如图2，点A、B、C在上，点D在内，此时（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，请予以证明；若不成立，请写出你的结论并予以证明； (3)如图3，四边形是的内接四边形，，，，，求的长度． 例2（24-25·河南·校考一模）在中，，M是外一动点，满足，若，，，则的长度为 ． 例3（24-25九年级上·云南·期中）综合与实践：“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究． 提出问题：如图1所示，在线段同侧有两点，，连接，，，，如果，那么，，，四点在同一个圆上．          探究展示：如图2所示，作经过点，，的，在劣弧上取一点（不与，重合）， 连接，，则，（依据 ，， 点，，，四点在同一个圆上，（对角互补的四边形四个顶点共圆） 点，在点，，所确定的上，（依据 点，，，四点在同一个圆上； 反思归纳：（1）上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？ 依据1：______；（从右边框内选一个选项，直接填序号） 依据2：______．（从右边框内选一个选项，直接填序号） ①圆内接四边形对角互补；②对角互补的四边形四个顶点共圆；③过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆；④经过两点的圆的圆心在这两点所连线段的垂直平分线上； （2）如图3所示，在四边形中，，，则的度数为______． 1．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在正方形中，连接，点H和点Q分别在线段上，若点B、H、Q、C四点共圆，若，设为x，三角形的面积为y，则y与x的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图①，若BC是Rt△ABC和Rt△DBC的公共斜边，则A、B、C、D在以BC为直径的圆上，则叫它们“四点共圆”．如图②，△ABC的三条高AD、BE、CF相交于点H，则图②中“四点共圆”的组数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 3．（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，点为线段的中点，为直线上方的一动点，且满足，连接，以为腰，A为直角顶点在直线上方作等腰直角三角形，连接，当最大时，下列结论：①D、A、C、E四点共圆；②；③平分；④．其中正确的是 ． 4．（2025九年级·全国·专题练习）如图①，若是和的公共斜边，则A、B、C、D在以为直径的圆上，则叫它们“四点共圆”．如图②，的三条高、、相交于点H，则图②中“四点共圆”的组数为 ．    5．（24-25九年级下·浙江宁波·阶段练习）如图，矩形中，，点E在AB上，且，，点F在边上运动，以线段为斜边在点B的异侧作等腰，使B、E、G、F四点共圆．连接、．    （1） ； （2）当最小时， ． 6．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）从圆的知识拓展学习，我们知道以下两个命题都正确，现在可在下面的答题中直接运用． A命题：若两个三角形有一条公共边，且在公共边的同侧所对的两角相等，则这两个三角形的顶点在同一个圆上． B命题：在圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边的乘积之和． (1)根据以上两个命题．结合下面的图①填空： 因为______，所以A，B，C，D四点共圆，此时______． (2)如图②，是等边的外接圆，点P在上运动不与B，C重合，连结，求证： (3)如图③，在扇形中，，点A在上，，求扇形的半径的长． (4)如图④，是等边三角形，点D在的延长线上，连接，点E在边上，连接，且，，，那么的长为______． 7．（24-25九年级上·福建南平·期末）综合与实践：数学活动课上，兴趣小组开展“探究四点共圆的条件”活动． 【提出问题】如图1，在线段同侧有两点，，连接，，，，如果，那么，，，四点在同一个圆上． 探究展示： 设是的外接圆 如图2，假设点在内，延长交于点，连接 点在上， ∴（_____） 在中， 这与已知条件矛盾 点不在内 如图3，假设点在外，； 综上所述，作的外接圆，点在上，即，，，四点共圆． 【归纳结论】 （1）上述探究过程中的括号内填的依据是_____； （2）如图3，请你帮助小聪按照上面的思路，写出该证明的省略部分； 【结论运用】 （3）如图4，已知四边形中，，若，平分，记，的值是否会发生改变，如果不发生改变，请求出其值，如果发生改变，请求出的取值范围． 8．（24-25九年级上·内蒙古通辽·期末）请阅读下列材料，完成相应任务． 我们知道，过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆，那么过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？李雷经过实践探究发现了如下结论： 如果线段同侧两点（与线段在同一平面内）分别与线段两端点的连线所组成的夹角相等，那么这两点和线段两端点四点共圆．下面是李雷证明上述命题的过程（不完整）． 已知：如图①，是线段同侧两点，且． 求证：四点共圆． 证明：作的外接圆，假设点在外或在内． 如图②，若点在外，设与交于点，连接， 则（依据） 又，（依据） 所以， 所以， 这与已知条件“”矛盾，故点在外不成立． 如图③，若点在内， …… 综上所述，作的外接圆，点在上，即四点共圆． 任务： (1)上述证明过程中的“依据”“依据”分别指什么？ 依据：______；  依据：______． (2)请按照材料中的证明思路，写出该证明的剩余部分． (3)如图④，在四边形中，，，，，则的大小为______ 9．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）探究与实践：“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆． 该小组继续利用上述结论进行探究． 【提出问题】如图， 在线段同侧有两点，，连接，，，， 如果，那么，，，四点在同一个圆上． 【探究展示】如图，作经过点，，的，在劣弧上取一点（不与， 重合），连接，， 则（依据） ∵， ∴， ∴点，，，四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆） ∴点， 都在点，，所确定的上（依据） ∴点，，，四点在同一个圆上； 【反思归纳】 圆内接四边形对角互补； 对角互补的四边形四个顶点共圆； 过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆； 同圆中，同弧所对的圆周角相等； （）上述探究过程中的“依据”、“依据”分别是指什么？依据： ；依据： ．（从框内选一个选项，直接填序号） （） 如图，在四边形中，，，则的度数为 ； 【拓展探究】 （）如图4， 已知 是等腰三角形，，点在上（不与的中点重合），连接．作点关于的对称点，连接并延长交的延长线于， 连接，． 求证：，，，四点共圆； 若，的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由． 10．（2024·湖南·模拟预测）综合与实践 “乐思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究． 提出问题： 如图1，在线段同侧有两点B，D，连接如果，那么A，B，C，D四点在同一个圆上． 探究展示： 如图2，作经过点A，C，D的，在劣弧上取一点E（不与A，C重合），连接，则（依据1） ∵， ∴． ∴点A，B，C，E四点在同一个圆上．（对角互补的四边形四个顶点共圆） ∴点B，D在点A，C，E所确定的上．（依据2） ∴点A，B，C，D四点在同一个圆上． 反思归纳： (1)上述探究过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么？ 依据1：________________． 依据2：________________． 如图3，在四边形中，，则的度数为________． (2)拓展探究： (3)如图4，已知是等腰三角形，，点D在上（不与的中点重合），连接．作点C关于的对称点E，连接并延长交的延长线于点F，连接．求证：A，D，B，E四点共圆． 11．（24-25九年级上·内蒙古赤峰·期末）实践与探究 探究课题：四点共圆的条件 课题背景：过任意一个三角形的三个顶点都能作一个圆 (1)发现问题：某数学小组在课堂上经过测量四边形各个内角的度数，发现：如果过某个四边形的四个顶点能作一个圆，那么其相对的两个内角之和等于，结合图1，你认为这个小组发现的结论正确吗？如果该结论正确，请你说明理由． (2)如果过某个四边形的四个顶点不能作一个圆，那么其相对的两个内角之间有上述关系吗？试结合图2和图3说明其中的道理． (3)由上面的探究，请你归纳出判定过某个四边形的四个顶点能作一个圆的条件是什么？ 12．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）综合与实践 数学活动课上，小聪在老师的指导下开展“探究四点共圆的条件”活动． 【提出问题】如图，在线段同侧有两点，连接，，如果，那么四点在同一个圆上． 探究展示： 设是的外接圆 如图，假设点在内，延长交于点，连接 点在上，（    ） 在中， 这与已知条件矛盾 ∴点不在内如图，假设点在外，……； 综上所述，作的外接圆，点在上，即，，，四点共圆． 【归纳结论】 （1）上述探究过程中的括号内填的依据是______； （2）如图，请你帮助小聪按照上面的思路，写出该证明的省略部分； 【结论运用】 （3）已知四边形中， ①如图，点和点在同侧，交于点的延长线交于点，若，请判断与的数量关系，并说明理由； ②如图，若平分，记的值是否会发生改变，如果不发生改变，请求出其值，如果发生改变，请求出的取值范围． 13．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在四边形中，且，垂足为，延长线交于，交的延长线于．求证：A，，，四点共圆． 14．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，中，，，在边上，延长，与的外接圆分别交于，两点．求证：D，E，Q，P四点共圆； 15．（2024·陕西西安·模拟预测）“乐思”小组开展探究四点共圆的条件活动时，得到结论：对角互补的四边形的四个顶点共圆，该小组继续利用上述结论进行探究． (1)问题探究：如图，四边形为矩形，平分，交于点F，． ①判断A、B、C、E四点是否共圆？填（“是”或“不是”）__________ ②__________ (2)问题解决：如图，某公园内有一个五边形人工湖，已知，米，，点是上一点，且，点是直线上一点，夏季来临，为了增加游客的安全性，欲在其中央建造一个以为斜边的等腰直角型救助站，如图所示，已知湖岸米，点是上的中点，是湖岸通向救助站的唯一通道，若修筑通道的造价为每米300元，求当造价最低时，四边形的面积为多少？并求出通道的最低造价． 16．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）定义：若在同一平面内，有四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，简称“四点共圆”．以下是“四点共圆”的几个结论，你能证明并运用它们吗? I．若两个直角三角形有公共斜边，则这两个三角形的个顶点共圆（图1、2）； II．若四边形的一组对角互补，则这个四边形的个顶点共圆（图3）； III．若线段同侧两点与线段两端点连线的夹角相等，则这两点和线段两端点共圆（图4）． 【结论证明】（1）在图1、2中，取的中点，根据______得，即，，，共圆； （2）在图3中，画经过点，，（图5）．假设点落在外，交于点，连接，可得___，与已知条件___得出矛盾；同理点也不会落在内，即，，，共圆．结论III同理可证． 【理解应用】利用四点共圆解决下述两个问题： （3）证明锐角三角形的三条高交于一点． 已知：如图6，锐角三角形的高，相交于点，射线交于点．求证：是的高． （4）如图7，若二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，为第二象限上的点，在直线上，且；若为轴上方抛物线上的一动点，令点横坐标为，当为何值时，的面积最大，求出此时点坐标和最大面积． 17．（24-25九年级下·浙江宁波·自主招生）如图，在中，，是垂心，是外心，延长交于，于． (1)求证：． (2)证明：，，，四点共圆． (3)若，求． 18．（2025·湖南湘潭·模拟预测）阅读理解： 如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”．证明“四点共圆”判定定理有：1、若线段同侧两点到线段两端点连线夹角相等，那么这两点和线段两端点四点共圆；2、若平面上四点连成的四边形对角互补，那么这四点共圆．例：如图1，若，则四点共圆；或若，则四点共圆． (1)如图1，已知，，则_____； (2)如图2，若为等腰的边上一点，且，求的长； (3)如图3，正方形的边长为4，等边内接于此正方形，且，，分别在边，，上，若，求的长． 19．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）【阅读材料】克罗狄斯·托勒密（约90-168年）是希腊著名的数学家、天文学家和地理学家，托勒密定理是欧几里得几何中的重要定理，定理内容如下：任意一个凸四边形，两组对边乘积的和不小于两条对角线的乘积，当且仅当四边形四个顶点共圆时，等号成立，即：四边形中，有，当四点共圆时，有． 【尝试证明】（1）如图1，四边形内接于，求证：． 证明：在上取点，连接，使． ∵， ∴__________， ∴， ∴①， ∵， ∴，即， 又∵， ∴△∽△， ∴， ∴___________②，①+②得，即__________． 【直接应用】 （2）如图2，为的直径，，求的长． 【灵活运用】 （3）如图3，在等腰三角形中，，点在底边上，且，将三角形沿着所在的直线翻折，使得点落在点处，连接，求的长． 20．（24-25九年级下·福建莆田·阶段练习）在学习《圆》这章时，我们学习了圆周角定理的推论：圆内接四边形的对角互补；事实上，它的逆命题：对角互补的四边形的四个顶点共圆，也是一个真命题．在图形旋转的综合问题中经常会出现对角互补的四边形，那么，我们就可以借助“对角互补的四边形的四个顶点共圆”，然后借助圆的相关知识来解决问题，例如： 已知：如图，是等腰直角三角形，，点是内一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，并延长交直线于点．请解答下列问题： (1)当点在如图所示的位置时， ①求的度数； ②利用题干中的结论，证明：四点共圆； (2)连接，点在内部运动的过程中，若，直接写出线段的长． 21．（2024·河南安阳·三模）数学综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的旋转”为主题开展数学活动． 模型感知： 小明同学善于观察思考，如图，在和中，，他发现当两个直角三角形共斜边时，取斜边中点，根据斜边中线等于斜边的一半，易知，由圆的定义可知，四点共圆，则有，其依据是______． 操作判断： 小明同学把等腰直角三角板的直角顶点绕着直角三角板的斜边中点旋转，其中，直线与相交于点，边与相交于点． （）如图，当时，线段与的数量关系是______． 深入探究： （）将图中的旋转到图所示的位置，请判断与的数量关系是否发生变化，并说明理由． 应用： （）如图，已知，若等腰直角三角板绕点继续旋转，边与的交点始终在线段上，当点为的三等分点时，直接写出的面积． 22．（2025·山西·二模）阅读与思考 阅读下面的材料，并完成相应的任务． 探究四点共圆的条件我们知道，过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆．过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？ 下面给出了一些圆内接四边形． 分别用量角器测量上面各四边形的内角，得出结论： ① 180°．（填“＞”“＜”或“＝”） ∵四边形内角和为， ∴ ② ．（填“＞”“＜”或“＝”） 如果四边形的四个顶点不在同一个圆上，那么与之间还有上面的关系吗？试结合下图中的两种情况进行证明． …… 任务： (1)填空：①________，②________．（填“＞”“＜”或“＝”） (2)请你在图4与图5中选择其中一个图，探究与180°之间的关系． (3)如图6，点E在四边形ABCD的边AB的延长线上，，，，请在图6中作一个过A，B，D三点的（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），并直接写出的度数． 23．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）【材料阅读】如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，简称“四点共圆”．在《2.4圆周角》这一课中，我们学习了“圆的内接四边形的对角互补”这条性质，学习小组在探究“四点共圆的条件”的数学活动课上得出“对角互补的四边形四个顶点共圆”也是正确的． 请同学们在此基础上继续展开后续探究： 【提出问题】 如图1所示，在线段同侧有两点，，连接，，，． 试探究：如果，那么、、、四点在同一圆上． 证明：如图2所示，作经过点、、的，在劣弧上取一点（不与、重合），连接，， ，（①______________） ， ②___________， 点、、、四点在同一个圆上，（对角互补的四边形四个顶点共圆） 点、在点、、所确定的上， 点、、、四点在同一个圆上． 结论：在线段同侧有两点、，连接，，，， 如果，那么、、、四点共圆．    补全上述说理过程： ①______________；②______________． 【结论应用】 （2）如图3，在四边形中，，，则的度数为________． （3）如图4，已知是等腰三角形，，点在上（不与的中点重合），连接，作点关于的对称点，连接并延长交的延长线于，连接，． 求证：、、、四点共圆；    【拓展延伸】 （4）如图5，在四边形中，连接，，，则四边形周长的最大值为__________．（直接写出答案）    24．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）【材料阅读】如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，简称“四点共圆”．在教材中学习了定理“圆内接四边形的对角互补”后，学习小组继续探究，提出猜想“对角互补的四边形四个顶点共圆”并尝试用反证法进行验证． 【验证猜想】 已知：四边形中， 求证：A、B、C、D四点共圆 证明：过点A、B、D作，假设点C不在上，则点C在外或内 若点C在外，如图1，设交于，连接，则． 四边形是的内接四边形， ． ， 与矛盾，故点C不可能在圆外； 若点C在圆内， …… （1）在图2中，用直尺和圆规作出过点A，B，D的圆，参考以上思路补全图形并完成后续证明； 【深入探究】 得出“对角互补的四边形四个顶点共圆”是真命题后，继续思考，四点共圆还可以有其他的条件吗？请你在此基础上展开探究： （2）如图3，在线段同侧有两点C，D，连接，，，．如果，那么A、B、C、D四点共圆，请完成证明（如需辅助圆，画出示意图即可）； 【结论应用】 应用以上结论，解决下列问题： （3）如图4，在四边形中，，，则________； （4）如图5，中，点E在上，连接，作点B关于的对称点，连接，，求的度数； 【拓展延伸】 （5）如图6，，，点D为平面内一动点，连接、，若始终有，当四边形周长最大时，与的数量关系是多少？（直接写出答案）． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $