专题11 全等三角形模型之角平分线模型（全等）（几何模型讲义）数学浙教版2024八年级上册

专题11 全等三角形模型之角平分线模型（全等） 角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各类模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，本专题就角平分线的几类全等模型作相应的总结，需学生反复掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 5 模型运用 7 模型1.角平分线垂两边（角平分线+外垂直） 7 模型2.角平分线垂中间（角平分线+内垂直） 10 模型3.角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等） 13 18 角平分线的概念最早可追溯至古希腊数学家欧几里得的《几何原本》，其中详细描述了角平分线的尺规作图方法。欧几里得通过构造全等三角形证明了角平分线的性质，奠定了现代几何学的基础‌。现代数学教育工作者根据角平分线的对称轴总结三类辅助线的添加方法，即：1）角平分线垂两边（角平分线+外垂直）；2）角平分线垂中间（角平分线+内垂直）；3）角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等）。 （24-25七年级下·山东青岛·期末） 【模型解读】角平分线在数学中都占据着重要的地位，需要掌握其各类模型及相应的辅助线作法． 【模型证明】常见模型1 条件：如图，为的角平分线，，垂足为点A，，垂足为点B．结论：，． 常见模型2 条件：如图，在中，，为的角平分线，过点，垂足为点E． 结论：，且（当是等腰直角三角形时，有）． 常见模型3 条件：如图，是的角平分线，． 结论：． 根据模型3的条件，请证明上述结论． 【模型运用】如图，，分别为和的平分线，，则，，的数量关系是 ． 【解决问题】如图，是一个四边形人工湖，，米，米，甲、乙两人同时从点C出发，甲沿方向以2米/秒的速度前进，乙沿方向以1米/秒的速度前进，30秒后，甲、乙分别到达E，F处，此时测得，，此时甲、乙两人的距离为 米． （24-25七年级下·山东泰安·期末）利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分，点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，可证得，则．(1)上述情境中证明三角形全等的依据是__________； (2)如图2，已知点为内一点，平分，，求证：． (3)如图3，一块肥沃的土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，他进行了如下操作：①作的平分线；②再过点作交于点．已知米，米，面积为20平方米，求划出的的面积． 1)角平分线垂两边（角平分线+外垂直）模型 图1 图2 图3 条件：如图1，为的角平分线，于点A，于点B. 结论：、≌. 证明：∵为的角平分线，，， ∴，∠CBO=∠CAO=90°，∵，∴≌（HL） 常见模型1（直角三角形型） 条件：如图2，在中，，为的角平分线，过点D作. 结论：、≌.（当是等腰直角三角形时，还有.） 证明：∵，为的角平分线，， ∴，∠AED=∠ACD=90°，∵，∴≌（HL） 常见模型2（邻等对补型） 条件：如图3，OC是∠AOB的角平分线，AC=BC，过点C作CD⊥OA、CE⊥OB。 结论：①；②；③. 证明：∵OC是∠AOB的角平分线，CD⊥OA、CE⊥OB， ∴，∠CDA=∠CEB=90°，AC=BC，∴≌（HL），∴，∠CAD=∠CBE； ∵，∴，∴， 同图1中的证法易得：≌（HL），∴， ∴， 2）角平分线垂中间（角平分线+内垂直）模型 图1 图2 图3 条件：如图1，为的角平分线，， 结论：△AOC≌△BOC，是等腰三角形，是三线合一等。 证明：∵为的角平分线，∴∠COA=∠COB， ∵，∠BCO=∠ACO=90°，∵，∴△AOC≌△BOC（ASA）， ∴，∴是等腰三角形，∵，∴是三线合一。 条件：如图2，为的角平分线，，延长BA，CE交于点F. 结论：△BEC≌△BEF，是等腰三角形、BE是三线合一等。 证明：同图1的证法， 3）角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等）模型 图1 图2 条件：如图1，为的角平分线，A为任意一点，在上截取，连结. 结论：≌，CB=CA。 证明：∵为的角平分线，∴∠COA=∠COB， ∵，，∴△AOC≌△BOC（SAS），∴CB=CA。 条件：如图2，BE、CE分别为和的平分线，，在上截取，连结。 结论：≌，≌，AB+CD=BC。 证明：∵BE为的平分线，∴∠ABE=∠FBE=， ∵，，∴≌（SAS），∴∠AEB=∠FEB， ∵，∴∠ABC+∠BCD=180°，∵CE为的平分线，∴∠FCE=∠DCE=， ∴∠EBC+∠BCE=+=90°，∴∠FEC+∠FEB=90°，∠AEB+∠CED=90°， ∴∠FEC=∠CED，∵EC=EC，∴≌，∴FC=DC，∴AB+CD=BF+FC=BC。 模型1.角平分线垂两边（角平分线+外垂直） 例1（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·期中）已知：，是的角平分线，点P是上一点，与和交于点D和点E．求证：． 例2（25-26八年级上·甘肃金昌·期中）如图，是的平分线，是上一点，于，于，是上的另外一点，连接，．求证：． 例3（24-25八年级上·福建福州·阶段练习）如图，在中，，平分，于E，F在上，．求证： (1)． (2)． 例4（25-26八年级上·福建厦门·阶段练习）已知：如图，在中，，，是角平分线，与相交于点F，，，垂足分别为M，N． (1)求证：F在的角平分线上； (2)求证：． 例5（25-26九年级上·浙江绍兴·阶段练习）已知：平分，点A，B分别在边上，且． (1)如图1，当时，求证：； (2)如图2，当时，作于点C．求证： ①； ②请直接写出之间的数量关系为___． 模型2.角平分线垂中间（角平分线+内垂直） 例1（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，的面积为，平分，且于点，则的面积是（    ） A． B． C． D． 例2（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，四边形，平分，，，，则面积的最大值为（    ） A．8 B．9 C． D．10 例3（25-26八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，是的平分线，，垂足为点．若，则的度数为 ． 例4（24-25八年级下·甘肃·开学考试）如图，在四边形中，，的平分线交于点，，若，，则四边形的周长为 ． 例5（25-26八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，是的角平分线，过点B作于点E，连接．若，△ABC的面积为24，则图中阴影部分的面积为    模型3.角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等） 例1（24-25山东·八年级专题练习）如图，在中，，和的平分线、相交于点，交于点，交于点，若已知周长为，，，则长为（   ） A． B． C． D．4 例2（24-25四川广元·八年级校考阶段练习）如图，AD是△ABC的角平分线，H，G分别在AC，AB上，且HD＝BD．（1）求证：∠B与∠AHD互补；（2）若∠B+2∠DGA＝180°，请探究线段AG与线段AH、HD之间满足的等量关系，并加以证明． 例3（24-25八年级下·四川绵阳·开学考试）在四边形中，是钝角，，对角线平分．(1)如图1，求证：；(2)如图2，若，求的度数； (3)如图3，当时，请判断、与之间的数量关系？并加以证明． 例4（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）（1）如图1，射线平分，在射线，上分别截取线段．；使；在射线上任取一点D，连接，．则与的数量关系为______． （2）如图2，在中，，平分，求证：； （3）如图3，在四边形中，，，，C为边中点，若平分，平分，，求的值． 1．（25-26八年级上·天津滨海新·阶段练习）如图，，M是的中点，DM平分，若，则（    ）． A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·浙江金华·阶段练习）如图，已知平分，于，若，，，则的面积为（    ） A．8 B．6 C．5 D．4 3．（25-26八年级上·广西南宁·阶段练习）如图，在中，是边上的中线，是边上的高，平分交于点，，，，则阴影部分的面积是（   ） A．8 B． C． D． 4．（25-26八年级上·山东滨州·阶段练习）如图，的外角的平分线与内角平分线交于点，若，则（    ）． A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·辽宁盘锦·开学考试）如图，，的平分线与的平分线相交于点，作于点，若，则点到与的距离之和为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．（25-26八年级上·北京西城·期中）如图，是的角平分线，是边上的中线，若的面积是，，，则的面积是 ． 7．（25-26八年级上·全国·期中）如图，任意画一个的，再分别作的两条角平分线和，和相交于点P，连接，有以下结论：①；②平分；③；④，其中正确的是 ． 8．（25-26八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在的边上取点，连接，平分，平分，若，的面积是，的面积是，则的长是 ． 9．（25-26八年级上·重庆·阶段练习）如图，在中，其内角和外角的角平分线，交于点，点是的延长线上一点，连接，若，则的度数为 ． 10．如图，在中，为中点，，，交于，，，那么 ． 11．（24-25八年级上·浙江·期中）如图，中，平分，于点，，，则 ． 12．（2024·安徽蚌埠·一模）如图，在中，，是的角平分线，于点E，若，则（1） ；（2）的周长是 ． 13．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在四边形中，，且平分．若，则的度数为 ． 14．（25-26八年级上·河南信阳·阶段练习）如图，四边形中，，点E为的中点，且平分． (1)求证：平分； (2)求证：． 15．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，角平分线、相交于点O，过点O作于点D． (1)求证：． (2)若，求的面积（用含a，b的代数式表示）． (3)当时，探究与之间的数量关系，并说明理由． 16．（25-26八年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，是的角平分线，点在延长线上，点在边上，，，交于点， (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，求证：平分； (3)如图3，过点作，垂足为，若，，，求的长． 17．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，已知在中，，，平分，平分． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，连接，作，，，求的面积． 18．（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图，在中，，，，，，，动点E以的速度从A点向F点运动，动点G以的速度从C点向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t． (1)求； (2)求证：在运动过程中，无论t取何值，都有； (3)当t取何值时，与全等； (4)若，求． 19．（24-25八年级上·陕西安康·阶段练习）如图所示，平分，平分，和相交于上一点，如果，证明： (1)； (2)． 20．（24-25八年级下·山东青岛·期末）探索新知：如图①，是的角平分线，与之间有怎样的关系呢？过点D作，垂足分别为E，F，过点A作，垂足为H． 平分 ， 即． 新知应用： (1)如图②，是的角平分线，若，则_________； (2)如图②，是的角平分线，若，则_________； (3)如图③，平分，平分，若，，则_________（用含m的式子表示）． 21．（25-26八年级上·江苏·阶段练习）如图，，，于点E，于点 F． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 22．（25-26八年级上·全国·阶段练习）如图，中，点D在BC边上，的平分线交AC于点E，AE平分，过点E作，垂足为F，且，连接AD，DE． (1)求证：DE平分． (2)若，求的面积． 23．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，中，点D在BC边上， 的平分线交AC于点E，过点E作 垂足为F，且 连接DE． (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，且 求 的面积． 24．（25-26八年级上·全国·阶段练习）如下图，四边形中，，对角线平分． (1)求证：． (2)过点作于点．若的面积为，求的面积． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 全等三角形模型之角平分线模型（全等） 角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各类模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，本专题就角平分线的几类全等模型作相应的总结，需学生反复掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 5 模型运用 7 模型1.角平分线垂两边（角平分线+外垂直） 7 模型2.角平分线垂中间（角平分线+内垂直） 10 模型3.角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等） 13 18 角平分线的概念最早可追溯至古希腊数学家欧几里得的《几何原本》，其中详细描述了角平分线的尺规作图方法。欧几里得通过构造全等三角形证明了角平分线的性质，奠定了现代几何学的基础‌。现代数学教育工作者根据角平分线的对称轴总结三类辅助线的添加方法，即：1）角平分线垂两边（角平分线+外垂直）；2）角平分线垂中间（角平分线+内垂直）；3）角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等）。 （24-25七年级下·山东青岛·期末） 【模型解读】角平分线在数学中都占据着重要的地位，需要掌握其各类模型及相应的辅助线作法． 【模型证明】常见模型1 条件：如图，为的角平分线，，垂足为点A，，垂足为点B．结论：，． 常见模型2 条件：如图，在中，，为的角平分线，过点，垂足为点E． 结论：，且（当是等腰直角三角形时，有）． 常见模型3 条件：如图，是的角平分线，． 结论：． 根据模型3的条件，请证明上述结论． 【模型运用】如图，，分别为和的平分线，，则，，的数量关系是 ． 【解决问题】如图，是一个四边形人工湖，，米，米，甲、乙两人同时从点C出发，甲沿方向以2米/秒的速度前进，乙沿方向以1米/秒的速度前进，30秒后，甲、乙分别到达E，F处，此时测得，，此时甲、乙两人的距离为 米． 【答案】模型证明：见解析；模型运用：；解决问题：50 【详解】模型证明：证明：如图，作于，于，则， ∵是的角平分线，∴，∵，∴，∴； 模型运用：如图，在上截取点，使得，连接， ∵平分，∴，∵，，∴，∴， ∵，∴，∵，∴， ∵平分，∴，∵，∴，∴， ∵，∴；故答案为：； 解决问题：由题意可得：米，米，米，米， ∴米，米， 如图，延长至点，使得，连接， ∵，，∴， ∵，，∴，∴米，，， ∵，， ∴，∴，∴， ∴米，即此时甲、乙两人的距离为米．故答案为：50． （24-25七年级下·山东泰安·期末）利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分，点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，可证得，则．(1)上述情境中证明三角形全等的依据是__________； (2)如图2，已知点为内一点，平分，，求证：． (3)如图3，一块肥沃的土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，他进行了如下操作：①作的平分线；②再过点作交于点．已知米，米，面积为20平方米，求划出的的面积． 【答案】(1)(2)见解析；(3)平方米． 【详解】（1）解：平分，，， 又，，故答案为：； （2）解：如图，延长交于点， 平分，，，， 又，，，，， ，，； （3）解：①如图，延长交于点， 同理可证，，，米， 和是等高三角形，米，， 面积为20平方米，平方米，平方米， 答：划出的的面积为平方米． 1)角平分线垂两边（角平分线+外垂直）模型 图1 图2 图3 条件：如图1，为的角平分线，于点A，于点B. 结论：、≌. 证明：∵为的角平分线，，， ∴，∠CBO=∠CAO=90°，∵，∴≌（HL） 常见模型1（直角三角形型） 条件：如图2，在中，，为的角平分线，过点D作. 结论：、≌.（当是等腰直角三角形时，还有.） 证明：∵，为的角平分线，， ∴，∠AED=∠ACD=90°，∵，∴≌（HL） 常见模型2（邻等对补型） 条件：如图3，OC是∠AOB的角平分线，AC=BC，过点C作CD⊥OA、CE⊥OB。 结论：①；②；③. 证明：∵OC是∠AOB的角平分线，CD⊥OA、CE⊥OB， ∴，∠CDA=∠CEB=90°，AC=BC，∴≌（HL），∴，∠CAD=∠CBE； ∵，∴，∴， 同图1中的证法易得：≌（HL），∴， ∴， 2）角平分线垂中间（角平分线+内垂直）模型 图1 图2 图3 条件：如图1，为的角平分线，， 结论：△AOC≌△BOC，是等腰三角形，是三线合一等。 证明：∵为的角平分线，∴∠COA=∠COB， ∵，∠BCO=∠ACO=90°，∵，∴△AOC≌△BOC（ASA）， ∴，∴是等腰三角形，∵，∴是三线合一。 条件：如图2，为的角平分线，，延长BA，CE交于点F. 结论：△BEC≌△BEF，是等腰三角形、BE是三线合一等。 证明：同图1的证法， 3）角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等）模型 图1 图2 条件：如图1，为的角平分线，A为任意一点，在上截取，连结. 结论：≌，CB=CA。 证明：∵为的角平分线，∴∠COA=∠COB， ∵，，∴△AOC≌△BOC（SAS），∴CB=CA。 条件：如图2，BE、CE分别为和的平分线，，在上截取，连结。 结论：≌，≌，AB+CD=BC。 证明：∵BE为的平分线，∴∠ABE=∠FBE=， ∵，，∴≌（SAS），∴∠AEB=∠FEB， ∵，∴∠ABC+∠BCD=180°，∵CE为的平分线，∴∠FCE=∠DCE=， ∴∠EBC+∠BCE=+=90°，∴∠FEC+∠FEB=90°，∠AEB+∠CED=90°， ∴∠FEC=∠CED，∵EC=EC，∴≌，∴FC=DC，∴AB+CD=BF+FC=BC。 模型1.角平分线垂两边（角平分线+外垂直） 例1（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·期中）已知：，是的角平分线，点P是上一点，与和交于点D和点E．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，三角形全等的判定和性质，过点P作于点M，作于点N，根据角平分线的性质定理得到，再证明即可得出结论． 【详解】证明：过点P作于点M，作于点N， 则， 是的角平分线， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． 例2（25-26八年级上·甘肃金昌·期中）如图，是的平分线，是上一点，于，于，是上的另外一点，连接，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据角平分线的定义得到，证明，推出，证明，即可推出． 【详解】证明：是的平分线， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 例3（24-25八年级上·福建福州·阶段练习）如图，在中，，平分，于E，F在上，．求证： (1)． (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定． （1）先证明得到，再证明即可证明； （2）由全等三角形的性质可得，再由线段的和差关系证明即可． 【详解】（1）证明：∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 例4（25-26八年级上·福建厦门·阶段练习）已知：如图，在中，，，是角平分线，与相交于点F，，，垂足分别为M，N． (1)求证：F在的角平分线上； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查角平分线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）作于点，根据角平分线的性质，推出，即可得证； （2）证明，即可得证． 【详解】（1）证明：连接，作于点， ∵是角平分线，与相交于点F，，， ∴， ∴， ∴F在的角平分线上； （2）∵， ∴， ∵是角平分线， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴． 例5（25-26九年级上·浙江绍兴·阶段练习）已知：平分，点A，B分别在边上，且． (1)如图1，当时，求证：； (2)如图2，当时，作于点C．求证： ①； ②请直接写出之间的数量关系为___． 【答案】(1)详见解析 (2)①详见解析；② 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义和性质，补角的性质，线段的和与差等知识点，解题的关键是掌握以上性质． （1）根据角的和差得出，根据角平分线定义得出，证明，即可得出结论； （2）①过点作于点，根据角平分线的性质和同角的补角相等，证明，即可得出结论； ②根据得出的相等线段，利用线段的和差即可表示出数量关系． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①如图，过点作于点， ∵平分，且，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵，， ∴， 由①得，且， ∴， ∴， ∴， ∴． 模型2.角平分线垂中间（角平分线+内垂直） 例1（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，的面积为，平分，且于点，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．延长交于点，根据角平分线和垂直可得到，然后利用全等三角形的性质可得，从而可得，，进而可得，最后进行计算即可解答． 【详解】解：如图，延长交于点， 平分，， ，， 在和中， ， ， ，， ， ． 故选：B． 例2（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，四边形，平分，，，，则面积的最大值为（    ） A．8 B．9 C． D．10 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义以及三角形的面积公式等知识，构造辅助线，并判断出当A点与H点重合时达到最大，是解答本题的关键．延长，交于点G，过G点作，交的延长线于点H，证明，即有，进而有，根据，有△AGC的面积为，当A点与H点重合时，即时，可得，此时达到最大，则的最大面积为：；根据，可得，则的最大面积可求． 【详解】解：延长，交于点G，过G点作，交的延长线于点H，如图，    ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵在中，， ∴的面积， ∵， ∴， ∵在中，， ∴，是直角三角形，斜边为， ∴， ∵， ∴， 当A点与H点重合时，即时，可得， 此时达到最大， ∴则的最大值为3， ∴的最大面积为：， ∵， ∴D点为中点， ∴， ∴的最大面积为：， 故选：C． 例3（25-26八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，是的平分线，，垂足为点．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定； 根据角平分线的性质可得，再根据证明，根据其性质进而即可求解． 【详解】解：延长交于点F， ∵是的平分线，，垂足为点E， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数是． 故答案为：． 例4（24-25八年级下·甘肃·开学考试）如图，在四边形中，，的平分线交于点，，若，，则四边形的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形、平行线和角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 延长、相交于点，根据得到，，再证明得到，从而推算出四边形的周长等于； 【详解】解：延长、相交于点， 的平分线交于点， ， ， 又∵， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形的周长为； 故答案为： 例5（25-26八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，是的角平分线，过点B作于点E，连接．若，△ABC的面积为24，则图中阴影部分的面积为    【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质以及三角形面积的比例计算，解题的关键是通过构造辅助线（延长交于F，作、，利用全等关系和面积与底的比例关系推导阴影部分面积． 延长交于F，作于M、于N；由是角平分线和，结合公共边，用证，得、；设，则、，算出，进而得面积为的，即8；因面积为的，即4；利用角平分线性质，得与面积比为，结合同高三角形面积比等于底之比，得，即；因与同高（点E到的距离），故面积为的，计算得，即阴影部分面积． 【详解】解：延长交于F，过D作于M于N，    ∵是的角平分线，， ∴，又， ∴， ∴， 设，因，则， ，则， ， ， ， 由是的角平分线得，， ， 设点A到边的距离为h，则， ∴．则， 即，， 因与的高均为点E到的距离， ． 故答案为：． 模型3.角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等） 例1（24-25山东·八年级专题练习）如图，在中，，和的平分线、相交于点，交于点，交于点，若已知周长为，，，则长为（   ） A． B． C． D．4 【答案】B 【详解】解：如图，在上截取，连接 平分，平分，， ，，，，， 在和中，，， ，，， 在和中，，， ，， 周长为，，， ，．故选：B． 例2（24-25四川广元·八年级校考阶段练习）如图，AD是△ABC的角平分线，H，G分别在AC，AB上，且HD＝BD．（1）求证：∠B与∠AHD互补；（2）若∠B+2∠DGA＝180°，请探究线段AG与线段AH、HD之间满足的等量关系，并加以证明． 【答案】（1）见解析；（2）AG＝AH+HD，证明见解析 【详解】证明：（1）在上取一点，使得，连接 ∵ ∴∴， ∵∴∴ ∵∴ 即与互补． （2）由（1） ∵ ∴ 又∵ ∴即 ∴∴∵∴． 例3（24-25八年级下·四川绵阳·开学考试）在四边形中，是钝角，，对角线平分．(1)如图1，求证：；(2)如图2，若，求的度数； (3)如图3，当时，请判断、与之间的数量关系？并加以证明． 【答案】(1)证明见解析(2)(3)，证明见解析 【详解】（1）证明：如图，在上取点，使得，连接， ∵对角线平分，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，，∴，∴，∴． （2）解：如图，延长至点，使得，连接， ∵，，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，，∴，∴，∴是等边三角形， ∴，∴． （3）解：，证明如下：如图，延长至点，使得，连接， 由（2）已证：，∴， ∵对角线平分，，∴， ∴是等边三角形，∴，又∵，，∴． 例4（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）（1）如图1，射线平分，在射线，上分别截取线段．；使；在射线上任取一点D，连接，．则与的数量关系为______． （2）如图2，在中，，平分，求证：； （3）如图3，在四边形中，，，，C为边中点，若平分，平分，，求的值． 【答案】（1）（2）详见解析（3） 【详解】（1）证明：射线平分，， 又，，，，故答案为：； （2）证明：在上截取，连接，如图2所示： 平分，，又，， ，，，，，， 又，，，，， ，； （3）解：在上取点，使，连接，在上取点，使，连接，如图3所示： 是边的中点，，， 平分，，又，， ，，．同理可证：， ，，，，， ，，， ，是等边三角形，，． 1．（25-26八年级上·天津滨海新·阶段练习）如图，，M是的中点，DM平分，若，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的判定与性质，平行线的性质，作于，由角平分线的性质定理可得，结合题意可得，从而可得平分，再由平行线的性质求出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，作于， ∵，平分，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴平分， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 2．（25-26八年级上·浙江金华·阶段练习）如图，已知平分，于，若，，，则的面积为（    ） A．8 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【分析】本题考查角平分线的性质，作，垂足为，根据角平分线的性质，得到，根据三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：作，垂足为， ∵平分，于， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选D． 3．（25-26八年级上·广西南宁·阶段练习）如图，在中，是边上的中线，是边上的高，平分交于点，，，，则阴影部分的面积是（   ） A．8 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的面积，三角形中线的性质，角平分线的性质，理解掌握角平分线的性质是解题的关键． 根据三角形的面积公式求出的面积，再根据三角形中线的性质得到的面积，过点F作于点M，作于点N，根据角平分线的性质得到，根据求出，再由三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵是边上的高， ，， ∴， ∵是边上的中线， ∴， ． 过点F作于点M，作于点N， ∵平分，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选∶B． 4．（25-26八年级上·山东滨州·阶段练习）如图，的外角的平分线与内角平分线交于点，若，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质，根据外角与内角性质得出的度数，再利用角平分线的性质和判定，得出即可得出答案．掌握三角形外角的性质及角平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：过P点作 于F，于N，于M， 设， ∵平分， ∴，， ∵平分， ∴，， ∴， 又∵于F，于M， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选B． 5．（24-25八年级下·辽宁盘锦·开学考试）如图，，的平分线与的平分线相交于点，作于点，若，则点到与的距离之和为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的性质，平行线间的距离等等，掌握角平分线的性质是解题的关键．如图所示，过点P作于F，延长交于G，先证明，由角平分线的性质得到，，则，由此即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点P作于F，延长交于G， ∵，， ∴， 又∵， ∴， 又∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴点P到与的距离之和为， 故选：D． 6．（25-26八年级上·北京西城·期中）如图，是的角平分线，是边上的中线，若的面积是，，，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，中线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．过点作于，过点作于，利用角平分线的性质可得，然后利用三角形的面积公式可得 ， 从而可得，求得的面积，最后利用三角形的中线定义可得，进行计算即可解答． 【详解】解：如图所示，过点作于，过点作于， 是的角平分线， ， ，， ， 的面积是， ， 是边上的中线， ． 故答案为： ． 7．（25-26八年级上·全国·期中）如图，任意画一个的，再分别作的两条角平分线和，和相交于点P，连接，有以下结论：①；②平分；③；④，其中正确的是 ． 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，由角平分线的定义并结合三角形内角和定理求出，再由三角形内角和定理计算即可判断①；过点作于，于，于，由角平分线的性质定理可得，从而可得平分，即可判断②；证明，得出，再证明，同理可得，得出，，即可判断④；没有条件得出，即可判断③；从而得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵、分别是与的角平分线，， ∴，， ∴， ∴， ∴，故①正确； 过点作于，于，于， ， ∵、分别是与的角平分线， ∴，， ∴， ∴平分，故②正确； ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， 同理可得：， ∴，， 两式相加可得：， ∵， ∴，故④正确； 没有条件得出，故③错误； 综上所述，正确的有①②④， 故答案为：①②④ 8．（25-26八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在的边上取点，连接，平分，平分，若，的面积是，的面积是，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积，过点作于，于，于，连接，由角平分线的性质可得，进而由三角形的面积得到，再根据解答即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于，于，于，连接， ∵平分，，， ∴， 同理可得， ∴， ∵，的面积是， ∴， ∴， ∴， ∵的面积是， ∴， 即， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（25-26八年级上·重庆·阶段练习）如图，在中，其内角和外角的角平分线，交于点，点是的延长线上一点，连接，若，则的度数为 ． 【答案】/25度 【分析】本题主要考查角平分线的判定与性质、三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质等知识点，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等并据此作辅助线是解题的关键． 如图，过点O作于点M，过点O作于点N，过点O作于点H，设，根据角平分线的定义及性质得，、，，继而得到、，，进一步证明平分，得，最后根据三角形外角的性质得． 【详解】解：如图，过点O作于点M，过点O作于点N，过点O作于点H，设， ∵平分，， ∴，， ∴， ∵平分， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴点O在的角平分线上，即平分， ∴， ∴． 故答案为：． 10．如图，在中，为中点，，，交于，，，那么 ． 【答案】10 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识，数形结合分析是解题的关键． 如图所示，连接，过点作延长线于点，由垂直平分线的性质，角平分的性质定理得到，，可证，得到，再证，得到，则有，解得，，再根据，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，过点作延长线于点， ∵为中点，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 解得，， ∴， 故答案为：10 ． 11．（24-25八年级上·浙江·期中）如图，中，平分，于点，，，则 ． 【答案】 【分析】延长交于点，利用角平分线的性质，垂直易得到，进而得到，，结合图形可知和是分别以和为底边，高相等的两个三角形，进而得到，然后利用来求解． 【详解】解：延长交于点，如图 平分，， ，． 在和中 ， ， ， ． 和是分别以和为底边，高相等的两个三角形， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，三角形面积，作出辅助线，构建三角形全等是解答关键． 12．（2024·安徽蚌埠·一模）如图，在中，，是的角平分线，于点E，若，则（1） ；（2）的周长是 ． 【答案】 【分析】（1）由角平分线的性质得点D到的距离相等，然后利用三角形的面积公式求解即可； （2）延长交于，根据ASA证明，根据全等三角形的性质得到，进而得到，证明得到，然后根据得到，然后根据三角形周长公式求解即可． 【详解】解：（1）是的角平分线， ∴点D到的距离相等， ； （2）延长交于 平分 在和中， ， ， ∴， ∴， ． 故答案为：（1）；（2）． 【点睛】本题考查了三角形全等判定和性质，三角形外角的性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握各部分知识点是本题的关键． 13．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在四边形中，，且平分．若，则的度数为 ． 【答案】/18度 【分析】本题考查了三角形的外角的性质和角平分线的性质．分别延长，，过点作，，，然后根据三角形的外角的性质和角平分线的性质进行解答即可． 【详解】解：分别延长，，过点作，，， ，， ， ， ，， 又平分， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 14．（25-26八年级上·河南信阳·阶段练习）如图，四边形中，，点E为的中点，且平分． (1)求证：平分； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等和到角的两边距离相等的点在角的平分线上，全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线． （1）过点E作于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，再求出，然后根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明； （2）证明和，得，，进而可得出结论． 【详解】（1）证明：如图，过点E作于F， ∵，平分， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， 又∵，， ∴是的平分线， 即平分； （2）证明：∵平分，平分， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 15．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，角平分线、相交于点O，过点O作于点D． (1)求证：． (2)若，求的面积（用含a，b的代数式表示）． (3)当时，探究与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质，三角形的内角和，解题的关键是掌握角平分线的性质，正确作出辅助线构造全等三角形． （1）根据角平分线的定义和三角形的内角和即可得证； （2）连接，作于H，于M，根据即可得解； （3）先求出，再依次证明，，可得，即可得解． 【详解】（1）证明：∵的角平分线、相交于点O， ， ． （2）解：连接，作于H，于M， ∵的角平分线、相交于点O，，， ， ， ． （3）解：，理由见解析， ， ， ∵的角平分线、相交于点O， ， ， ， 在上取一点H，使， ∵是的平分线， ， ，， ， ， ， ， ∵是的平分线， ， ， ， ， ． 16．（25-26八年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，是的角平分线，点在延长线上，点在边上，，，交于点， (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，求证：平分； (3)如图3，过点作，垂足为，若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)． 【分析】（1）利用三角形的外角性质结合已知求得，再利用可证明，即可推出； （2）由，推出，，得到，再根据可证明，推出，然后证明，推出，即可证明平分； （3）作于点，利用角平分线的性质求得，再求得，，然后利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即平分； （3）解：作于点， ∵是的角平分线，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，则， ∴，即． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，三角形面积公式，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 17．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，已知在中，，，平分，平分． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，连接，作，，，求的面积． 【答案】(1)的度数为 (2)的面积为4 【分析】本题考查了角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，三角形内角和，掌握这些知识是解题的关键． （1）根据角平分线的定义得到，，根据三角形内角和即得； （2）过点作，，垂足为分别为F,，根据角平分线性质得到， ，，即得的面积． 【详解】（1）解：平分， ， 平分， ， ， 的度数为； （2）解：过点作，垂足为，过点作，垂足为， 平分，，， ， 平分，，， ， 的面积 ， 故的面积为4． 18．（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图，在中，，，，，，，动点E以的速度从A点向F点运动，动点G以的速度从C点向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t． (1)求； (2)求证：在运动过程中，无论t取何值，都有； (3)当t取何值时，与全等； (4)若，求． 【答案】(1) (2)见解析 (3)当或时，与全等 (4) 【分析】本题考查了角平分线的性质定理、全等三角形的性质、一元一次方程的应用、三角形面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由于是角平分线，则，； （2）由于，所以与之比就等于与之比，而与之比为2； （3）根据全等三角形的性质得到，得到，．，再分两种情况，利用全等三角形的性质求解即可； （4）过点A作交于N，如图，由（1）得，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵，， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∵动点E以的速度从A点向F点运动，动点G以的速度从C点向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动， ∴，． ∴， ∴， ∴在运动过程中，不管t取何值，都有； （3）解：∵，，， ∴， ∴， ∵点E以的速度从A点向F点运动，动点G以的速度从C点向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，运动时间为t， ∴，． ∴， ∴， ①当M在线段上时，， 当时与全等时， ∴， 解得； ②当M在线段延长线上时，， 当时与全等时， ∴， 解得：， ∴当或时，与全等． （4）解：过点A作交于N，如图， 由（1）得， 又∵，， ∴； ∴． 19．（24-25八年级上·陕西安康·阶段练习）如图所示，平分，平分，和相交于上一点，如果，证明： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用角平分线的性质得出角的关系，再结合三角形内角和定理推出同旁内角互补，从而证明两直线平行，最后根据平行线的性质得到角的关系． （2）通过作辅助线，利用角平分线的性质得到线段相等，进而证明三角形全等，再根据全等三角形的性质得出线段相等，最终得到结论． 【详解】（1）证明：平分，平分 ， （2）解：过作于，于，于 平分，， 同理 ， 在和中 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质、平行线的判定与性质以及直角三角形的性质，熟练掌握这些性质定理是解题的关键． 20．（24-25八年级下·山东青岛·期末）探索新知：如图①，是的角平分线，与之间有怎样的关系呢？过点D作，垂足分别为E，F，过点A作，垂足为H． 平分 ， 即． 新知应用： (1)如图②，是的角平分线，若，则_________； (2)如图②，是的角平分线，若，则_________； (3)如图③，平分，平分，若，，则_________（用含m的式子表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查角平分线性质（角平分线分对边的比等于邻边比、角平分线关联三角形面积比与邻边比），解题关键是运用探索新知得出的角平分线性质，建立边与面积的比例关系． （1）依据探索新知结论，代入、得；设、，由，推出． （2）根据探索新知中，结合已知，直接得． （3）用平分的性质，结合，及，算；同理，由平分，结合，算．连接，因点到三边距离相等，结合，得，算出 由，代入计算得结果． 【详解】（1）解：过点D作，垂足分别为E，F，过点A作，垂足为H 由探索新知，是的角平分线时， ， ∵，， ∴． 设，， ∴， ∴． （2）解：过点D作，垂足分别为E，F，过点A作，垂足为H 由探索新知可知，对于，是角平分线时： ， ， ∵ ∴． ∵， ∴． 故答案为； （3）∵平分， ∴点D到，的距离相等， ∴， ∵， ∴，， 同理平分， ∴， ∴，， 连接，过点F作,，分别垂直于，，， ∵平分，平分， ∴，， ∴ ∴平分， ∴点F到，，三边的距离相等， ∴， ∵ ∴，，， ∴ ． 故答案为． 21．（25-26八年级上·江苏·阶段练习）如图，，，于点E，于点 F． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)证明见详解 (2)4 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质． （1）连接，证明，得出两角相等，再利用角平分线的性质得出； （2）连接，证明，分析四边形的面积，根据面积公式列出等式，再计算出的值，最终求得的值． 【详解】（1）证明：如图，连接， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴． （2）解：∵，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 22．（25-26八年级上·全国·阶段练习）如图，中，点D在BC边上，的平分线交AC于点E，AE平分，过点E作，垂足为F，且，连接AD，DE． (1)求证：DE平分． (2)若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）过点作于点于点，再结合角平分线的性质求解可得； （2）根据角平分线性质推得，即可求面积． 【详解】（1）证明：如图，过点作于点于点． ∵平分， ∴． ∵平分， ∴， ∴． ∵， ∴平分． （2）解：∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了角平分线的判定与性质，熟练掌握：角平分线上的点到角的两边距离相等，到角两边距离相等的点在角的平分线上是解题的关键． 23．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，中，点D在BC边上， 的平分线交AC于点E，过点E作 垂足为F，且 连接DE． (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，且 求 的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了角平分线的性质和判定定理和三角形的面积计算，由角的平分线上的点到角的两边的距离相等，得出是解题的关键． （1）根据直角三角形的性质求出，根据补角的定义计算，得到答案； （2）过点E作，垂足分别为G，H，根据角平分线的性质得到，，等量代换得到，根据角平分线的判定定理证明结论； （3）根据三角形的面积公式求出，再根据三角形的面积公式计算，得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵， ； （2）证明：如图，过点E作，垂足分别为G，H． ∵， ∴． ∵平分，， ∴． ∴． ∵， ∴平分． （3）解：， 即 ， 解得 ， ∴的面积． 24．（25-26八年级上·全国·阶段练习）如下图，四边形中，，对角线平分． (1)求证：． (2)过点作于点．若的面积为，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，三角形面积公式；（1）过点C分别作交的延长线于点F，于点G，根据角平分线和等角对等边即可得到，根据四边形对角和为和为平角即可得到，即可推出则得证；（2）延长交于点H，推出根据角平分线得到进而推出得到边相等，进而根据面积公式即可求得. 【详解】（1）证明：如图，过点分别作交的延长线于点，于点． 对角线平分， ． ， ． ， ． （2）解：如图，延长交于点， 则． 平分， ． ， ，即是的中点， ， ． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $