精品解析：湖南省长沙市一中教育集团2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试卷

2025—2026学年度第一学期八年级期中考试 数学试题卷 注意事项： 1．答题前，请先将自己的姓名、班级、考场号、座位号填写清楚； 2．必须在答卷上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题号后面的答题提示； 4．请注意卷面，保持字体工整、笔迹清晰、卷面清洁； 5．答卷上不准使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本试卷时量120分钟，满分120分． 一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项) 1. 当前，科技与人工智能的迅猛发展，正引领社会生活方式的深度变革，以下科技公司的图标中是轴对称图形的为（ ） A. B. C. D. 2. 年月日，为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利周年，北京天安门广场举行了盛大的阅兵仪式．在阅兵仪式上，最后登场的是护国重器DF—5C洲际弹道导弹，这款导弹射程超过公里，可以覆盖全球任意角落，展示了中国战略核力量的全新高度．用科学记数法将数据表示为（ ） A. B. C. D. 3. 已知三角形两边的长分别是1和6，则这个三角形第三边的长可能为（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 4. 如图，一个三角形纸板破损了一个角，如果把它补成完整的三角形纸板，需要补的角的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，线段为某景区缆车的缆绳，是缆绳与水平面的夹角．已知米，，则缆车从位置到位置，垂直上升的高度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 6. 长沙市兴联路大桥是目前湖南省单体投资最大的市政斜拉桥，这座大桥的开通，不仅为市民出行带来了便利，也为长沙的经济发展注入了新的活力．如图，兴联路大桥采用斜拉设计的结构，使得桥梁更加稳固，其蕴含的数学道理是（ ） A. 三角形具有稳定性 B. 直角三角形两锐角互余 C. 三角形两边之和大于第三边 D. 三角形内角和等于 7. 如图，有两根长度相等的木棍和分别靠在垂直于地面的墙的两侧，已知，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 8. 长沙杜甫江阁的屋顶设计采用了等腰三角形结构，如图，工程师在检修时发现，阁楼顶部中线恰好也是高线，若，则下列结论：①；②是直角三角形；③；④．其中正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 9. 如图，已知，且点A，D在直线的两侧，要根据“”证明，则还需要添加的条件是（ ） A B. C. D. 10. 如图，在等边中，，点P是边上的动点，点D，E分别在边上，且．当的值最小时，的长为（ ） A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 3.5 二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分) 11. 等腰三角形的周长为，腰长为，则底边的长为_________． 12. 如图，在中，延长至点D，，若，则_________°． 13. 如图，已知，且点D在边上，，，则_________°． 14. 如图，在中，点D在边上，且是边的垂直平分线，若，的周长为，则的周长是_________． 15. 如图，在中，，根据图中尺规作图的痕迹，可得__________ 16. 如图，为中边上的一点，，是边上的一点，，若的面积为，则的面积为________． 三、解答题(本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17. 计算： 18. 先化简，再求值：其中． 19. 已知的各顶点坐标分别为． （1）画出向右平移5个单位长度后的图形； （2）画出关于x轴对称的图形； （3）求的面积． 20. 某校为帮助学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质、预防近视，促进学生身心全面发展，开设了多种体育特色课：A．篮球，B．足球，C．排球，D．羽毛球，E．其他．为了解学生最喜欢以上哪种体育特色课，要求每位学生必须参加且限报一项，该校从全体学生中随机抽取部分学生进行调查，将收集的数据整理后，绘制了如下两幅统计图： 根据统计图提供信息，解答下列问题： （1）本次共调查了 名学生，在扇形统计图中，m的值是 ，扇形统计图中E所对圆心角的度数为 ； （2）请补全条形统计图； （3）若该校共有3600名学生，根据抽样调查的结果，请你估计该校最喜欢特色课D的学生人数． 21. 如图，中， （1）求证∶为直角三角形； （2）若的平分线交于点E，于点D，，求的度数． 22. “湘超”联赛(湖南省足球超级联赛)的成功举办，在全省范围内极大地促进了校园足球运动的开展．为响应此热潮，某中学举办了足球联赛，为表彰优秀参赛队伍，学校决定采购，两类足球作为比赛奖品．已知采购信息如下：购买个类足球与个类足球，花费元；购买个类足球与个类足球，花费元． （1）类足球和类足球的单价分别为多少元? （2）若学校计划采购，两类足球的总数量为个，并要求同时满足以下两个条件：采购类足球的数量不超过个；采购、两类足球的总费用不超过元．问：学校共有哪几种可行的购买方案? 23. 如图，在四边形中，，E是边上的一点，且和分别是和的角平分线，的延长线和的延长线交于点F． （1）求证：； （2）若，，求线段的长度． 24. 在平面直角坐标系中，我们将点P关于x轴的对称点记作点，再将点关于y轴的对称点记作点则称点为点P关于x轴和y轴的“一中对称点”．例如：点关于x轴的对称点为点，点关于y轴的对称点为点，所以点关于x轴和y轴的“一中对称点”为点 （1）点关于x轴和y轴“一中对称点”的坐标是 ； （2）点关于x轴和y轴的“一中对称点”的坐标是，求a和b的值； （3）若点关于x轴和y轴的“一中对称点”在第三象限，且满足条件的x的整数解恰有两个，求m的取值范围． 25. 如图，与均为等腰三角形，，，，为线段上一个动点，与相交于点． （1）求证：； （2）将分和两部分，记；将分为和两部分，记求证： （3）若，且，，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期八年级期中考试 数学试题卷 注意事项： 1．答题前，请先将自己的姓名、班级、考场号、座位号填写清楚； 2．必须在答卷上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题号后面的答题提示； 4．请注意卷面，保持字体工整、笔迹清晰、卷面清洁； 5．答卷上不准使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本试卷时量120分钟，满分120分． 一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项) 1. 当前，科技与人工智能的迅猛发展，正引领社会生活方式的深度变革，以下科技公司的图标中是轴对称图形的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形概念，正确理解相关内容是解题关键．根据“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴”进行分析即可．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 【详解】解：A，B，C选项中的图标都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； D项中的图标能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：D． 2. 年月日，为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利周年，北京天安门广场举行了盛大的阅兵仪式．在阅兵仪式上，最后登场的是护国重器DF—5C洲际弹道导弹，这款导弹射程超过公里，可以覆盖全球任意角落，展示了中国战略核力量的全新高度．用科学记数法将数据表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法的形式是做题的关键．根据科学记数法要求形式为 ，其中 ， 为整数即可表示出 20000 的科学记数法． 【详解】解：∵ ，且 满足 ， ∴科学记数法为： ． 故选：A． 3. 已知三角形两边的长分别是1和6，则这个三角形第三边的长可能为（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，解题的关键是掌握三角形的三边关系． 根据三角形三边关系定理，第三边必须满足两边之和大于第三边，两边之差小于第三边进行求解即可． 【详解】解：设第三边的长为x，根据三角形三边关系得， ∵， ∴， ∴ x可能为6， 故选：B． 4. 如图，一个三角形纸板破损了一个角，如果把它补成完整的三角形纸板，需要补的角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，根据三角形内角和为即可求解，掌握三角形内角和为是解题的关键． 【详解】解：根据题意，需要补的角的度数是． 故选：B． 5. 如图，线段为某景区缆车的缆绳，是缆绳与水平面的夹角．已知米，，则缆车从位置到位置，垂直上升的高度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，关键是熟练应用知识点解题． 根据直角三角形的角所对的直角边等于斜边的一半即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：C． 6. 长沙市兴联路大桥是目前湖南省单体投资最大的市政斜拉桥，这座大桥的开通，不仅为市民出行带来了便利，也为长沙的经济发展注入了新的活力．如图，兴联路大桥采用斜拉设计的结构，使得桥梁更加稳固，其蕴含的数学道理是（ ） A. 三角形具有稳定性 B. 直角三角形两锐角互余 C. 三角形两边之和大于第三边 D. 三角形内角和等于 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形的稳定性解答即可． 本题考查了三角形稳定性的应用，熟练掌握三角形的稳定性是解题的关键． 【详解】解：兴联路大桥采用斜拉设计的结构，使得桥梁更加稳固，其蕴含的数学道理是三角形具有稳定性， 故选：A． 7. 如图，有两根长度相等的木棍和分别靠在垂直于地面的墙的两侧，已知，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的应用，直角三角形两锐角互余的性质，准确识图判断出全等三角形是解题的关键．利用证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，再根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解． 【详解】解：根据题意得，， ∴， 在和中，， ∴，故D选项正确； ∴，故A、C选项正确； ，， ，故B选项错误． 故选：B． 8. 长沙杜甫江阁的屋顶设计采用了等腰三角形结构，如图，工程师在检修时发现，阁楼顶部中线恰好也是高线，若，则下列结论：①；②是直角三角形；③；④．其中正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和直角三角形的性质，能熟记等腰三角形的性质，直角三角形中，所对的直角边是斜边的一半是解此题的关键．根据等腰三角形的性质（三线合一）和直角三角形的性质作答． 【详解】解：∵，是等腰三角形，， ∴，，都是直角三角形，，故①②③正确； ∴， ∴，即，故④正确； 综上，正确的结论有4个． 故选：D． 9. 如图，已知，且点A，D在直线的两侧，要根据“”证明，则还需要添加的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定．由题意可得，根据的条件补充即可． 【详解】解：在和中，， 要利用“”判定它们全等， 则只需补充条件． 故选：A． 10. 如图，在等边中，，点P是边上的动点，点D，E分别在边上，且．当的值最小时，的长为（ ） A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 3.5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，两点之间线段最短，全等三角形的性质和判定等知识，学会构造全等三角形解决问题是解题的关键．作点E关于的对称点，连接′交于点P，此时最小．连接，由对称性可知：，连接，易证，进而证明是等边三角形，即可解答． 【详解】解：作点E关于的对称点，连接′交于点P，此时最小．连接， 由对称性可知：， ∴， ∵等边， ∴，即， ∴， 连接， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 故选：C． 二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分) 11. 等腰三角形的周长为，腰长为，则底边的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，关键是明确等腰三角形两腰相等； 根据等腰三角形的性质，两腰相等，周长为两腰与底边之和，代入已知数据计算底边长度，并验证是否满足三角形三边关系． 【详解】解：∵等腰三角形的腰长为，周长为， ∴两腰之和为，底边长为， ∵， ∴满足三角形三边关系． 故答案为：． 12. 如图，在中，延长至点D，，若，则_________°． 【答案】100 【解析】 【分析】本题考查了三角形外角性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角．熟练掌握三角形外角的性质是解答本题的关键． 直接根据三角形外角的性质计算即可． 详解】解：∵， ∴， 故答案为： 100． 13. 如图，已知，且点D在边上，，，则_________°． 【答案】60 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，由全等三角形的性质得到，再由角的和差即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：60． 14. 如图，在中，点D在边上，且是边的垂直平分线，若，的周长为，则的周长是_________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质和定义，根据线段垂直平分线的性质和定义得到，再由三角形周长公式推出，据此可得答案． 【详解】解：∵是边的垂直平分线，， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴，即， ∴的周长， 故答案为：． 15. 如图，在中，，根据图中尺规作图的痕迹，可得__________ 【答案】50 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作图，直角三角形的两锐角互余，能根据作图痕迹知道是解题的关键．根据作图痕迹知，再利用直角三角形的两锐角互余求角度即可． 【详解】解：根据作图痕迹知， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：50． 16. 如图，为中边上的一点，，是边上的一点，，若的面积为，则的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的面积之间的关系，解决本题的关键是根据高相等的两个三角形的面积比等于底边长度之比，根据，的面积为，可以求出，可知，根据，可得． 【详解】解：，的面积为， ， ， ， . 故答案为：． 三、解答题(本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键；按顺序注意计算的准确性即可； 【详解】解：原式 ． 18. 先化简，再求值：其中． 【答案】， 【解析】 【分析】此题主要考查了整式的加减化简求值，正确合并同类项是解题关键．去括号后合并同类项，最后把已知的数值代入求解即可． 【详解】解：原式 ； 当时， 原式． 19. 已知的各顶点坐标分别为． （1）画出向右平移5个单位长度后的图形； （2）画出关于x轴对称的图形； （3）求的面积． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）4 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变换—平移和轴对称，熟练掌握平移的性质，轴对称的性质，是解题的关键： （1）根据平移规则，画出即可； （2）根据轴对称的性质，画出即可； （3）利用网格求面积即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 如图，即为所求； 【小问3详解】 ． 20. 某校为帮助学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质、预防近视，促进学生身心全面发展，开设了多种体育特色课：A．篮球，B．足球，C．排球，D．羽毛球，E．其他．为了解学生最喜欢以上哪种体育特色课，要求每位学生必须参加且限报一项，该校从全体学生中随机抽取部分学生进行调查，将收集的数据整理后，绘制了如下两幅统计图： 根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）本次共调查了 名学生，在扇形统计图中，m的值是 ，扇形统计图中E所对圆心角的度数为 ； （2）请补全条形统计图； （3）若该校共有3600名学生，根据抽样调查的结果，请你估计该校最喜欢特色课D的学生人数． 【答案】（1）100；24；36 （2）见解析 （3）864名 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，用样本估计总体，正确读懂统计图是解题的关键． （1）用A项目的人数除以其人数占比可求出参与调查的人数，再用D项目的人数除以参与调查的人数并乘以百分之一百可求出m的值；用360度乘以E项目的人数占比可求出对应的圆心角度数； （2）求出C项目的人数，并补全统计图即可； （3）用3600乘以样本中D项目的人数占比即可得到答案． 【小问1详解】 解：名， ∴本次共调查了100名学生， ∴． ∴； 扇形统计图中E所对圆心角的度数为； 【小问2详解】 解：C．排球的人数为名， 补全统计图如下所示： 【小问3详解】 解：名． 答：估计该校最喜欢特色课D的学生有864名． 21. 如图，在中， （1）求证∶为直角三角形； （2）若的平分线交于点E，于点D，，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是： （1）在中，根据三角形内角和定理并结合已知求出，即可得证； （2）先根据垂直的定义以及三角形的内角和定理求出，然后根据角平分线的定义求出，最后根据角的和差关系求解即可． 【小问1详解】 证明：∵在中，，， 且， ∴， ∴， ∴， ∴为直角三角形； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 又， ∴ 又∵平分，且由（1）得：， ∴， ∴. 22. “湘超”联赛(湖南省足球超级联赛)的成功举办，在全省范围内极大地促进了校园足球运动的开展．为响应此热潮，某中学举办了足球联赛，为表彰优秀参赛队伍，学校决定采购，两类足球作为比赛奖品．已知采购信息如下：购买个类足球与个类足球，花费元；购买个类足球与个类足球，花费元． （1）类足球和类足球的单价分别为多少元? （2）若学校计划采购，两类足球的总数量为个，并要求同时满足以下两个条件：采购类足球的数量不超过个；采购、两类足球的总费用不超过元．问：学校共有哪几种可行的购买方案? 【答案】（1）类足球的单价为元，类足球的单价为元； （2）方案：个类足球，个类足球．方案：个类足球，个类足球．方案：个类足球，个类足球． 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确地列出方程组，不等式是解题关键． 设，两类足球的单价分别为元、元，根据两种购买方案需要的钱数列方程组求解即可； 设采购类足球个，则采购类足球个，根据购买足球的费用不超过元，列不等式求出的取值范围，再根据购买类足球的数量不超过个确定购买方案． 【小问1详解】 解：设、两类足球的单价分别为元、元， 根据题意得：， 解得：， 答：类足球的单价为元，类足球的单价为元； 【小问2详解】 解：设采购类足球个，则采购类足球个， 根据题意可得：， 解得：， 且取正整数， 或或， 答：共有三种购买方案： 方案：个类足球，个类足球， 方案：个类足球，个类足球， 方案：个类足球，个类足球． 23. 如图，在四边形中，，E是边上的一点，且和分别是和的角平分线，的延长线和的延长线交于点F． （1）求证：； （2）若，，求线段的长度． 【答案】（1）见解析 （2）5 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的证明及性质，能够证得三角形全等是解题关键； （1）通过角平分线性质得到，，再通过，得到，进而可得到，再通过即可证得全等； （2）过点E 作于点G，先证得，再通过全等三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 证明：∵和分别是和的角平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴在和中， ∴． 【小问2详解】 解：过点E 作于点G，如图所示： ∵， ∴， ∵且和分别是和的角平分线， ∴． ∵， ∴， ∴在和中， ∴， ∴， ∴． ∵由（1）得：， ∴， ∴． 24. 在平面直角坐标系中，我们将点P关于x轴的对称点记作点，再将点关于y轴的对称点记作点则称点为点P关于x轴和y轴的“一中对称点”．例如：点关于x轴的对称点为点，点关于y轴的对称点为点，所以点关于x轴和y轴的“一中对称点”为点 （1）点关于x轴和y轴的“一中对称点”的坐标是 ； （2）点关于x轴和y轴的“一中对称点”的坐标是，求a和b的值； （3）若点关于x轴和y轴的“一中对称点”在第三象限，且满足条件的x的整数解恰有两个，求m的取值范围． 【答案】（1） （2）， （3）或或 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，根据不等式组的解集情况求参数，正确理解题意是解题的关键． （1）根据“一中对称点”的定义求解即可； （2）根据“一中对称点”的定义可得的坐标是，则可得方程组，解方程组即可得到答案； （3）根据“一中对称点”的定义可得的坐标是，则根据第三象限内的点的横纵坐标都为负得到，解不等式组得到，则一定存在一个整数k满足，据此求出k的整数解，进而求出m的取值范围即可． 【小问1详解】 解：点关于x轴对称的点的坐标为， 点关于y轴对称的点的坐标为， ∴点关于x轴和y轴的“一中对称点”的坐标是； 【小问2详解】 解：点关于x轴对称的点的坐标为， 点关于y轴对称的点的坐标为， ∴点关于x轴和y轴的“一中对称点”的坐标是； 又∵的坐标是， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：点关于x轴对称的点的坐标为， 点关于y轴对称的点的坐标为， ∴点关于x轴和y轴的“一中对称点”的坐标是； ∵点在第三象限， ∴， 解不等式①得， 解不等式②得， ∵满足条件的x的整数解恰有两个， ∴不等式组的解集为． ∵x恰有2个整数解， ∴存在这样的整数k满足 ∴ ∵不等式组有解， ∴ 解得． ∴k取或0或1， 当时，可得，解得； 当时，可得，解得； 当时，可得，解得． 综上所述：或或． 25. 如图，与均为等腰三角形，，，，为线段上一个动点，与相交于点． （1）求证：； （2）将分为和两部分，记；将分为和两部分，记求证： （3）若，且，，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题是三角形综合题目，主要考查全等三角形的判定与性质以及三角形的面积的灵活运用，熟练掌握全等三角形的判定与性质是做题的关键． （1）根据角的关系，判定即可； （2）过点作于，过点作于，作出适当的辅助线是关键，通过倒角得出，得到关键结论，最后证出和即可； （2）延长，作交的延长线于点，在延长线上截取，连接，交的延长线于点，作出适当的辅助线是关键，仍需通过复杂严谨的推理求证出和，最后求得，即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， 在和中， ∴， ∴． 【小问2详解】 如图， 过点作于，过点作于， 由（1）知，， ∴，． ∵和同高， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴和等高， ∴． ∵和也可以看成同高的两个三角形， ∴， ∴， ∵和同高， ∴， ∴． 【小问3详解】 如图， 延长，作交的延长线于点，在延长线上截取，连接，交的延长线于点． ∵，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∵，， ∴， ∴． 答：面积为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $