湖北省黄梅县第一中学2025-2026学年高二上学期实验班周测数学试题（11.4）

绝密★启用前 黄梅一中高二实验班数学周测2025.11.04 第I卷（选择题） 1、 单选题 1. 函数f(x)＝(x2－2x)ex的图象大致是（ ） A．B．C．D． 2. 已知a＝ln ，b＝，c＝e，则（ ） A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．a＜c＜b 3. 已知函数f(x)的定义域为R，且f(x)＞f′ (x)＋1，f(0)＝3，则不等式f(x)＞2ex＋1的解集为（ ） A．（－∞，0） B．（0，＋∞） C．（－∞，1） D．（1，＋∞） 4. 已知函数f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e1－x)有唯一零点，则a＝（ ） A．－ B． C． D．1 5. 已知a∈R，设函数f(x)＝．若关于x的不等式f(x)≥0在R上恒成立，则a的取值范围为（ ） A．［0，1］ B．［0，2］ C．［0，e］ D．［1，e］ 6. 设函数f(x)＝，若关于x的方程[f(x)]2＋mf(x)－1－m＝0恰好有4个不相等的实数解，则实数m的取值范围是（ ） A．（－1，－1） B．（－1－， －1） C．（1，＋1） D．（0，） 7. 已知对任意的m，n∈（0，＋∞），不等式e＋4ne≤m2＋eln (4ne)恒成立，则（ ） A．m2＋n＞ B．m2－n＜1 C．m2－n2＜2 D．m2n2＞1 8. 设函数f(x)＝ex(2x－1)－ax＋a，其中a＜1，若有唯一的整数x0使得f(x0)＜0，则a的取值范围是（ ） A．［－，1） B．［－，） C．［，） D．［，1） 2、 多选题 9. 有甲、乙、丙、丁、戊五名同学，下列说法正确的是（ ） A．5名同学参加学校内的社团活动，已知有3个社团供学生选择，则不同的选择方法有243种 B．5名同学排成一排，甲乙相邻且丙丁不相邻，则不同的排法有24种 C．5名同学排成一排，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有54种 D．若将5名同学分配到3个班进行宣讲，每班至少1名同学，且每名同学只去1个班，则有150种不同的分配方案 10. 已知函数f(x)＝x3－6x2＋9x，若f(x1)＝f(x2)＝f(x3)，其中x1＜x2＜x3，则（ ） A．1＜x1＜2 B．x1＋x2＞2 C．2x2＋x3＞6 D．0＜x1x2x3＜4 11. 已知函数f(x)＝x2＋4x－(4x＋1)ln x，则下列叙述正确的是（ ） A．f(x)有四个单调区间 B．f(x)存在最小值 C．f(x)有三个极值点，从小到大依次为a，b，c，则a，b，c成等差数列 D．f(x)有三个极值点，从小到大依次为a，b，c，则a，b，c成等比数列 第II卷（非选择题） 3、 填空题 12. 如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有        种．（以数字作答） 13. 已知函数f(x)＝＋2x2，g(x)＝2m－ln x，若关于x的不等式f(x)≤xg(x)有解，则m的最小值是         ． 14. 已知函数f(x)＝(x－1)ex，且关于x的不等式f(x)＞ax－3在（1，＋∞）上恒成立，则整数a的最大值为        ． 4、 解答题 15. 已知函数f(x)＝ln x＋，a∈R． （1）当a＝1时，求函数f(x)的单调区间； （2）当x≥1时，若关于x的不等式f(x)≤x－2a恒成立，试求a的取值范围． 16. 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面为直角梯形，∠ADC＝∠BCD＝90°，BC＝2，CD＝，PD＝2，∠PDA＝60°，∠PAD＝30°，且平面PAD⊥平面ABCD，在平面ABCD内过B作BO⊥AD，交AD于O，连PO． （1）求证：PO⊥平面ABCD； （2）求二面角A－PB－C的 正弦值； （3）在线段PA上存在一点M，使直线BM与平面PAD所成的角的正弦值为，求PM的长． 17. 已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）上的点到其右焦点F（1，0）的最大距离为3． （1）求椭圆C的方程; （2）设椭圆的左、右顶点分别为A，B，过点F的直线l与椭圆交于M，N两点（不与A，B两点重合）．若△AMN的面积为，求直线l的方程； （3）在（2）的条件下，若直线AN与直线BM交于点P，证明：点P在一条定直线上． 18. 已知函数f(x)＝ln x－mx，g(x)＝x2－． （1）讨论f(x)的单调性； （2）若m＝0，求曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)的公切线； （3）已知h(x)＝f(x)＋g(x)，若h(x)的两个极值点为x1，x2（x2＜x1＜e2x2），求h(x1)－h(x2)的取值范围． 19. 已知a为实数，函数f(x)＝(x－a)ex． （1）讨论f(x)的单调性； （2）当x≥0时，若f(x)＋x＋a≥0恒成立，求a的取值范围； （3）证明：1＋＋…＋＜ln ． 答案和解析 1.【答案】A  【解析】【分析】 本题主要考查利用导数研究函数的单调性，以及函数的图象等基础知识，考查了排除法，属于基础题． 本题可采用排除法进行逐一排除，根据可知图象经过原点，以及根据导函数大于0时原函数单调递增，求出单调增区间，从而可以进行判定． 【解答】 解：由，排除C； 因为，解，得或， 所以在和上单调递增，排除B， 故选 2.【答案】D  【解析】【分析】 本题考查了利用导数比较大小，属于中档题. 首先由得a最小，构造函数，，利用导数研究的单调性即可比较b与c的大小关系. 【解答】解：因为，，， 令，， ， 所以在单调递减， 所以， 即， 所以，即， 所以， 所以，即， 故 3.【答案】A  【解析】【分析】 本题考查利用导数研究函数的单调性，解不等式，属于中档题. 构造函数，利用导数研究的单调性，将，等价转化为，即可求解. 【解答】 解：令， 求导得， 因为， 所以在R上恒成立， 所以在R上单调递减， 又因为， 所以， 即， 所以， 所以不等式的解集为 故选： 4.【答案】C  【解析】【分析】 本题考查函数的零点问题，考查函数的单调性，考查运算求解能力，属于较难题. 根据题意，函数有唯一零点，等价于：函数的图象与的图象只有一个交点；分、、三种情况，结合函数的单调性和图象性质分析可得结论． 【解答】解：， 函数有唯一零点，等价于方程有唯一解， 等价于：函数的图象与的图象只有一个交点， ①当时，，此时，令，函数有两个零点，不满足题意； ②当时，由于在上递增，在上递减， 令，则， 令，得；令，得， 所以在上递增，在上递减，在处取到极大值为2a， 所以函数的图象的最高点为，的图象的最高点为， 由于，此时函数的图象与的图象不可能有唯一零点，矛盾； ③当时，由于在上递增，在上递减， 且由②知在上递减，在上递增， 所以函数的图象的最高点为，的图象的最低点为， 由题可知，点A与点B重合时满足条件，即，即； 综上所述， 故选： 5.【答案】C  【解析】【分析】 本题考查了函数恒成立问题，属中档题． 不等式在R上恒成立，分成两段函数分别恒成立，分离参数a，再构造函数求最值可得． 【解答】 解：当时，恒成立； 当时，，恒成立， 令， 当且仅当时取等号， ， 当时，恒成立， 令，则， 当时，，递增， 当时，，递减， 时，取得最小值， ， 综上a的取值范围是 故选： 6.【答案】B  【解析】【分析】 本题考查考查函数零点与方程根的关系，利用导数研究函数的单调性，属于较难题. 由题意可得恰好有4个不相等的实数解，所以或共有4个解，作出函数的图象，结合图象即可得解. 【解答】 解：因为恰好有4个不相等的实数解， 所以恰好有4个不相等的实数解， 所以或共有4个解， 设，，则， 所以时，，单调递增，  时，，单调递减， 且，， 当时，，所以 设，， 则，为单调减函数， 且时，，， 作出函数的图象如图所示： 由图可知只有一解， 要恰好有4个不相等的实数解， 即要恰有3解， 所以， 即， 故选： 7.【答案】C  【解析】【分析】 本题考查了利用导数研究不等式的恒成立问题，属于中档题. 对所要证明的不等式进行整理，然后利用切线不等式的结论即可证明. 【解答】 解：， 由基本切线不等式可得：，，故，， 即， 由式得，当且仅当成立. 故答案为： 8.【答案】D  【解析】【分析】 本题考查利用导数研究存在性问题，涉及利用导数研究函数的单调性及最值、函数图象的应用，属于中档题． 设，，将问题转化为存在唯一的整数使得在直线的下方，研究的单调性及最值，在同一坐标系画出两个函数图象，数形结合可得限制条件，列出关于a的不等式求解可得．  【解答】 解：设，， 由题意知存在唯一的整数使得在直线的下方， ， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 当时，取最小值， 当时，，当时，， 直线恒过定点且斜率为a， 如图，在同一平面直角坐标系中画出函数，的图象： 若存在唯一的整数使得在直线的下方， 由图可知需要：， 且，解得，即a的取值范围为 故选： 9.【答案】ABD  【解析】解：对于A，，故A正确， 对于B，，故B正确， 对于C，最左端排甲时，有种不同的排法，最左端排乙时，最右端不能排甲， 则有种不同的排法，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲， 则不同的排法共有种，故C不正确， 对于D，将5名同学分为3，1，1或2，2，1三组，然后分配到三个班， 所以分配方案有种，D正确. 故选： 10.【答案】BCD  【解析】【分析】 本题考查利用导数研究函数的零点与方程的根，属于较难题. 分析函数的单调性与极值，画出函数的图象，结合图象求出，，的范围，令对应的解为，，，则，且，化简整理得，即可逐一判断. 【解答】 解：， 则， 结合导数符号易知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 又，画出函数的图象如下图示： 由得， 解得或，即， 若，其中， 则，故A错误； 令对应的解为，，，则， 则 ， 所以 所以，故B正确； ，故C正确； ，故D正确. 故选： 11.【答案】ABD  【解析】解：定义域为， 求导得，令函数， 则，令，解得， 当时，；当时，；当时，， 所以函数在区间上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增，且，其大致图象如下， ，使， 所以函数在区间上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 有四个单调区间，且存在最小值，故A，B正确； 又函数存在三个零点，其中， 且因为， 所以由，可得，即，则成等比数列，故C错误，D正确. 故选： 12.【答案】72  【解析】【分析】 本题考查分类加法计数原理和分步乘法计数原理. 按照颜色的种数进行分为用了3种颜色和四种颜色依次讨论，最后再相加即可. 【解答】 解：按照使用颜色的种类分类， 第一类：使用了4种颜色，2，4同色，或3，5同色，则共有种， 第二类：使用了三种颜色，2，4同色且3，5同色，则共有种 所以共有种 故答案为： 13.【答案】  【解析】【分析】 本题考查利用参变分离求解参数范围，考查导数求解函数最值，属于中档题. 参变分离可得有解，令，，利用导数求出，即可求出参数的取值范围，从而得解. 关键点点睛：本题的关键是参变分离得到有解，再构造函数，利用导数求出 【解答】 解：由得，显然， 所以有解， 令，则， 令，则， 所以当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，即， 所以，则，即m的最小值是 故答案为： 14.【答案】2  【解析】解：因为，所以原不等式可化为在上恒成立. 令，则， 有 令，则， 因为，所以，即单调递增. 又因为，，所以存在，使得 当时，，，单调递减；当时，，，单调递增. 所以， 因为，所以，所以，所以整数a的最大值为 故答案为： 15.【答案】解：当时，，， ， ，解得；，解得 可得函数在上单调递减，在上单调递增． 当时，关于x的不等式恒成立在上恒成立， 令， ， 令，得， 易知在上，恒成立， 则在上单调递增，， ， 函数在上单调递增， 的取值范围是  【解析】本题考查了利用导数研究函数的单调性与最值，利用导数研究不等式的恒成立问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 当时，，，利用导数运算法则可得，进而得出函数的单调性． 当时，关于x的不等式恒成立在上恒成立，令，利用导数研究其单调性与最值即可得出a的取值范围． 16.【答案】解：证明：因为，因为，， 所以四边形BODC为矩形， 在中，，，， 则， ，， 且平面平面ABCD，平面PAD 平面平面， 平面ABCD； 以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系， ，，可得， 则，，，，， 设平面APB的法向量为，，， 由，取 设平面CPB的法向量为，， 由，取， 二面角是钝二面角， 二面角的正弦值为 设，则， 又平面PAD的法向量为， 直线BM与平面PAD所成的角的正弦值为： ， 解得，   【解析】本题考查线面角和面面角，平面与平面所成角的向量求法，直线与平面所成角的向量求法，属于较难题. 由已知四边形BODC为矩形，证明，由条件根据面面垂直性质定理证明平面ABCD； 建立空间直角坐标系，求平面APB，平面CPB的法向量，利用向量法求出二面角的余弦值，再求其正弦值； 设，求，利用向量方法求直线BM与平面PAD所成的角的正弦值，列方程求 17.【答案】解：由题意可知，，，所以 又，所以椭圆C的方程为 设过点的直线方程为，点，， 联立，得， 则，， 则， 又因为点到直线l的距离， 令，解得， 所以直线l的方程为 证明：因为直线，直线AN：， 由，整理得， 由知，，得， 所以， 即，解得，所以点P在直线上．  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 18.【答案】解：， 当时，在时恒成立， 此时在单调递增， 当时，令， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 综上，当时，在单调递增， 当时，在单调递增，在单调递减； ，，， 设公切线在上的切点坐标为， 则切线的斜率为，， 此时切线方程为， 设公切线在上的切点坐标为， 则切线的斜率为， 此时切线方程为， 所以， 所以，， 令，， ， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 又， 所以方程的解为， 所以公切线方程为； ， 令，即， 因为的两个极值点为，， 所以有两个不同的正数解， 所以，， 又，代入解得， ，， 令，， ， 所以在单调递减， ， 故的取值范围为   【解析】详细解答和解析过程见【答案】 19.【答案】解：由， 令，得， 令，得， 所以在上单调递减，在单调递增； 设，， 则，，令， ①当即时，令，故在上单调递增， 故，所以在上单调递增，故，符合题意； ②当即时， 当时，，即单调递减，，单调递减， 故，不符合题意； 综上，； 由，当时，，当且仅当时，等号成立， 令，则， 整理得， 所以， 即 即   【解析】详细解答和解析过程见【答案】 学科网（北京）股份有限公司 $