浙江省杭州学军中学2024-2025学年高三下学期数学周测试卷4

试卷第 1 页，共 4 页 杭州学军中学 2024 学年高三（下）周末练（4） 命题人：詹长刚 审题人：吴昊 一、单选题 1．已知复数 z在复平面内对应的点的坐标是 (1, 2)− ，则 i =z （ ） A．1 2i+ B．1 2i− C．2 i+ D． 2 i− + 2．已知实数 x，y满足3 4 5x y+ = ，则 2 2x y+ 的最小值为（ ） A． 1 5 B． 3 5 C． 4 5 D．1 3．有四张卡片，每张卡片的一面上写着英文字母，则另外一面上写着数字.现在规定：当牌的一面写着数字 7 时，另外一面必须写着字母H .你的任务是：为了检验下面 4 张卡牌是否有违反规定的写法，你需要翻看 哪些牌？（ ） A．①② B．②③ C．②④ D．④③ 4．函数 2ln( 1 ) ( ) e ex x x x f x − + + = + 的图象大致为（ ） A． B． C． D． 5．某平台为维护消费者权益，开设维权通道，消费者可通过电话投诉专线、邮件投诉等多个渠道进行消费 维权投诉．平台将对投诉情况进行核实，为消费者提供咨询帮助．据统计，在进行维权的消费者中，选择 电话投诉专线维权和邮件投诉维权的概率分别为 1 2 和 3 10 ，且对应维权成功的概率分别为 4 5 、 9 10 ，选择其他 方式维权且成功的概率为 13 100 ，则在维权成功的条件下，选择邮件投诉的概率为（ ） A． 6 25 B． 27 80 C． 2 5 D． 4 5 6．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，此定理讲的是关于同余的问题.用m x∣ 表示整数 x 被m 整除，设 *, ,a b m Z N 且 1m  ，若 ( )m a b−∣ ，则称a 与b 对模m 同余，记为 ( )moda b m .已知 0 16 1 15 14 2 15 16 16 16 16C 5 C 5 C 5 C 5a =  −  + +  −  ，则（ ） A． ( )2030 mod7a  B． ( )2031 mod7a  C． ( )2032 mod7a  D． ( )2033 mod7a  试卷第 2 页，共 4 页 7．函数 ( ) ( ) 1 0f x x x x = −  的图象犹如两条飘逸的绸带而被称为飘带函数，也是两条优美的双曲线.在数列  nc 中， 1 1c = ， ( )( ) 1 , 2 n f n n n c =  N ，记数列 nc 的前n 项积为 nT ，数列 nT 的前n 项和为 nS ，则（ ） A． 5 2 3 nS  B． 5 1 3 nS  C． 5 7 3 4 nS  D． 7 2 4 nS  8．如图，已知半椭圆 ( ) 2 2 1 2 2 : 1 0 x y C x a b + =  与半椭圆 2 2 2 2 2 : 1( 0) y x C x b c + =  组成 的曲线称为“果圆”，其中 2 2 2 , 0a b c a b c= +    .“果圆”与 x 轴的交点分别为 1 2,A A ，与 y 轴的交点分别为 1 2,B B ，点 P 为半椭圆 2C 上一点（不与 1A 重合）， 若存在 021 =PAPA ，则半椭圆 1C 的离心率的取值范围为（ ） A． 2 0, 3       B． 1 2 , 2 3       C． 1 5 1 , 2 2  −      D． 5 1 2 , 2 3  −      二、多选题 9．已知函数 ( ) sin( )f x x = + ，其中 π 0,0 2     ，且 π π 0 6 3 f f     − = =        ．若函数 ( )f x 在区间 π π , 6 3   −    内无零点，则下列说法正确的是（ ） A． ( )f x 的图象关于 π ,0 3       对称 B． ( )f x 在 π 0, 6       上单调递增 C．直线 3 2 y x= + 是 ( )f x 的一条切线 D．若 ( )f x 在区间 (0, )m 上的图象与直线 1 2 y = 有且只有三个交点，则实数 m的取值范围为 5π 23π , 4 12      10．下列说法正确的是（ ） A．决定系数 2R 越小，模型的拟合效果越好 B．若随机变量 X 服从两点分布， 3 ( 1) 4 P X = = ，则 3 ( ) 16 D X = C．若随机变量 X 服从正态分布 ( ,4)N  ， ( 1) ( 3)P x P x =  ，则 2 = D．一组数 1 2, , , nx x x （ *Nn ）的平均数为 a ，若再插入一个数a ，则这 1n + 个数的方差变大 试卷第 3 页，共 4 页 11．如图，已知正方体 1 1 1 1ABCD A B C D− 的棱长为 2，点 M为 1CC 的中点，点 P 为底面 1111 DCBA 上的动点（包括边界），则（ ） A．满足 //MP 平面 1BDA 的点 P的轨迹长度为 2 B．满足 6MP = 的点 P的轨迹长度小于 2 C．存在点 P满足 90APM =  D．存在点 P满足 4PA PM+ = 三、填空题 12．已知向量 (2,1)a = ， ( 2 ) 7a a b + = ，则b 在 a 上的投影向量的坐标为 ． 13．某互联网公司为响应国家政策的号召，积极招聘优秀本科生人职，经统计得到近 7 个月内每月招聘的 本科生人数如下：2，4，2，3，9，5，7，则该组数据的上四分位数是 . 14．已知 ( ) lnf x x ax= − ， ( ) exg x ax= − ，若对任意 1 (0, )x  + ，都存在 2 (0, )x  + ，使得 1 2 1 2( ) ( )f x g x x x= ， 则实数 a的取值范围为 . 四、解答题 15．记 ABC 的内角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c，且 ( ) π cos cos , 3 b a B b A c B+ = = . (1)求b 的值； (2)求 ABC 周长的最大值. 16．设 nS 为数列 na 的前 n项和，已知 1 1, n n S a a   =     是公差为 1 2 的等差数列．令 2, 3 , n n n a n b a n − =   为奇数 为偶数 ， nT 为数 列 nb 的前 n项和． (1)求数列 na 的通项公式； (2)证明：当 3n  时， n nT S ． 17．如图 1 所示，在平行四边形 EBCD中，BA ED⊥ ，垂足为A ， 2EA AD AB= = = ，将 EAB 沿 AB 折到 PAB 的位置，使得二面角P AB D− − 的大小为60，如图 2 所示，点M 为棱 AB 的中点. (1)证明：PM CD⊥ ； (2)若点N 在棱PC 上，且直线PC 与平面 AMN 所成角 的正弦值为 3 4 ，求 PN PC 的值. 试卷第 4 页，共 4 页 18．已知点 (0,1)M ， (0, 1)N − 是圆 2 2 2: ( )0O x y r r+ =  与椭圆 2 2 2 2 : 1( 0) x y C a b a b + =   的公共点，且点M，N 和椭圆的一个焦点相连构成一个等腰直角三角形. (1)求 r的值和椭圆 C的方程； (2)过点M的直线 l分别交圆 O和椭圆 C于 A，B两点. （i）若3 4MB MA= ，求直线 l的方程； （ii）P是 C上一点，直线MP斜率为 m，直线 NA斜率为 n， 3 2 m n= ，求 BMP面积的最大值. 19．定义：如果函数 ( )f x 在定义域内，存在极大值 ( )1f x 和极小值 ( )2f x ，且存在一个常数 k ，使 ( )1f x − ( ) ( )2 1 2f x k x x= − 成立，则称函数 ( )f x 为极值可差比函数，常数 k 称为该函数的极值差比系数.已知函数 ( ) 1 lnf x x a x x = − − . (1)当 5 2 a = 时，判断 ( )f x 是否为极值可差比函数，并说明理由； (2)是否存在 a使 ( )f x 的极值差比系数为2 a− ？若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由； (3)若 3 2 5 2 2 a  ，求 ( )f x 的极值差比系数的取值范围.