周测2 空间向量在立体几何中的应用(一)-【蓝海启航·启航金卷周周测】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教B版）

(3)证明：由(1)中建立的坐标系得C,(0,0,2),N(1,0,1), M(合e Gi-(分号o）.C-1o,-0.-a,-1 1 C,i,B成-×1+立×(-1+0x1-0, C,N,BN-1×1+0×(-1)+(-1)×1-0, C,MLBN.C,N⊥BN. ,.BN⊥C,M,BN⊥C,N 又C,MnC,N=C,C,MC平面C,MN,C,NC平面C,MN, .BN⊥平面C,MN. 周测2空间向量在立体几何中的应用（一） 1.B解桥由已知A成-(-4,0，-1)，AC-(1.-4,-2) 设平面位的法向量为程一（士，y,工），由 ·道=0可 1m,AC-0. 得厂r--0, x-4y2e-0, 取x一4，y得8一一16,3y一9， 所以平面g的一个法向量为n一(4,9，一16).故选B. 2.C解析：建立如因所示空间直角坐标系，设正方依的检长为2， A(2,0.0),M(0.0.1),0(1.1,0),N(2.1.2),.N0-(-1. 0,-2),AM-(-2,0,1).NO·AM-0,.直线NO与AM的 位置关系是并面垂直。 3.A解析：母为∠AOD-2∠BOD,且∠AOD十∠BOD-x 所以∠B0D-子 因为(C)⊥平面ABD,以点O为坐标原点，OB,(OC所在直线分 利为y轴，：轴，以过点O叠直于AB的直线为工黏，建立如图所 示的空间直角坐标系， 设图0的率径为2，题A(0,一2,0)， B(0.2,0),C(0,0,23).D(3,1,0) AD=(3.3.0),BC-(0.-2,25) 设并面直线AD与BC所成的角为日， 剥cs0-cos(A花，Bd1-Ai·C IA5LIBCI 1-6LE D 25×41 以异面直线AD与BC所成扇的余孩值为 4.A解析：如图，授上底面圆心为O1,下成面周心为O,连接 OO,OC,OB,O,C,O1B· 以O为坐标原点，(OC,OB,O)1所在直线分别为x仙，y格 :铅，建立空间直角坐标系，如图所示， 则B(0.1,0)A1(0,2,2).B(0,1,2),D1(2,0,2). A, 则A,D=(2,-2,0),B4=(0,1.2).BB =(0,0,2), 设平面A,BD1的法向黄为H=(上，y,, 则：A-2-2y-0取=2 n·BA,-y十2：=0. 得n-(2.2,-1), 0om,B-"·E -21 1nBB3X2--3 设直线BB,与平面A,BD,所成角为， 则m0=了， 直线BB,与平面A,BD,所成角的正营值为了，故选A ·2 5.ABC解析，以D为原点，建立如图所示的空间克扇坐标系Dx炫， 设AD-2,A(2,0,0),B(2.2,0),C(0,2,0),E(2,2,1),F(1,0,0), G(2,0.1),B1(2.2.2),D1(0.0.2).D,F=(1.0.-2.BC (-2,0,-2,F元-(1,0,1).DE-(2.2,-1).D,A-(2,0,-2). B萨-(-1.-2.0)，周为D,市.B,亡=(1,0，-2)·(-2,0. -2)=2≠0，故D,F⊥B,C不成正，故A绮误：图为立≠交 1 0 所以FG∥D,E不成立，故B培溪：围为F武·D,E-(10,1)· (2,2,一1)=1≠0，故FG⊥平面AD,E不成主，故C错误：设平 面AD,E的法向量为n一(r,y·:)·群 a·D有=0种 ln·D,E=0, 12x-2g=0, 2xr+2y-:-0, 取x=2,则：=2，y=一1，得n=(2,-1.2. BF·n=(-1.-2,0)·(2,-1,2)=0,又BF￠平面AD,E,故 BF∥平面AD,E,故D正确.故这ABC 6.AC解析：如图，连接AE,BE,因为BE⊥CD。 AE⊥CD,BE∩AE一E,所以CD⊥平面 ABE,斯以AB⊥CD,故A正骗： 取AD的中点F,连接EF,BF,设正四面体 ABCD的校长为2，则BE=BF=√尽，EF=1, 且EF∥AC,所以∠BEF为直线AC与直线BE 所成的角，故B错误： 因为∠ABE为直线AB与平面BCD新成的 商.cos∠ABE-1-E 后京，故C正确： 母为∠BEA为直线BE与平面ACD所成的角，cos∠BEA一 3 厅一言故D错溪。故进AC 31 7.T 解析：a-(一2,1,5)，b-(1,-3,m),且a⊥b, 则一2一3十5加一0，解得m一1. 故b=(1,-3,1),即b|=/个+(-3)+1F=/T 敢答案为：Π 8.2② 解析：以E为原点，EA,EC所在直线分割为 F,y轴，平面BC,B,内过点E垂壶于BC 的直线为：轴建立空间直角坐标系，如图，则 E00.0.F停72小B0.-1.0n 设D(0,4,2)(-1r≤1). 时成-（停号2）励-0+12 说直线BD与EF所成的扇为0， EF.BD /10 EF11BDB·√1+1)+4 37 解符一1煮1一一2安舍去 所以1BD1-√/2+2-22. 敢答案为：2瓦， 答案全解全析 9.解：(1)证明：以DA,DC,DD,所在直线分刷为r物，y轴x轴， 建立如田所示的室问直商坐标系，则根据题念可得， D E(0,0,1),F(1,1,0),B(2,2,2),C(0,2,0) Ei-(1,1.-10,BC-(-20,-2). E求.B,C-1×(-2)+0+(-1)×(-2)=0,即E1B,C. ,EF⊥B,C: (2由知.G(0.号o）-(0-号0) eosE.C花 E萨， 0+1×(-)+0 EFIICG 又EF与CG所成商的范调为(0，受] 小所来角的余获值为侣 10.解：因为PA=PD,且O为AD的中点， 所以PO⊥AD, 又平面PAD⊥平面ABCD,平而PAD∩平面ABCD=AD, POC平面PAD, 所以PO⊥平面ABCD, 以O为坐标原点，建主如周所示的空间直角坐标系， 则O(0,0,0),P(0,0,3),B(1.3,0). C(-1,3,0),A(1,0,0). (1)周为PB=(1,3,一3). 所以PB=+9+酒=丽 (2)0i-(0,0.3).0元-(-1.3.0)， 设平面PC的法向量为n一(x,y,e), 1O币.n-0. 则文a-0 *y- 令y=1,荆x=3,之=0，所以n=(8,1,0), 设PE-aP官-a(1.3,-3)(06≤1)，则E(a,3,3-3), 所以AE-(元-上，3A,3-3), 因为AE∥平面PC,所以A正·n=0, 事30-+以-0：解得A-子 所以主-（侵，号） CE·n 设直线CE与平面POC斯成角为d,划in8= ICElIn /30 15 散直线E与年面POC所成角的正被值为 15 11,解：(1)如周所示，以C为原点，分别以C4 CBCC,所在直线为ry:袖建立空网直简 坐标系，则A(2,0.0),B(0,2.0),C1(0,0,1) A,(2,0.1D,B.(0.2,1).C(0.0.0). 因为F,为A,C,的中点， 所以F,(1,0,1). 周周测数学选择性必修第一册B版 ·2 所以CB,-(0,2,1),AF-(-1.0.1).设直线AF,与CB,所 成的角为0， 则os0=1cos(CB.AF1 ICB AF 110 CB,AF,5×反10 中异南直我A,与(B,片成角的会张佳为巴。 (2)圆为在直三棱柱ABCA,B,C,中， BB,⊥平面ABC,ACC平南ABC, 所以BB,⊥AC. 因为∠BCA-90°， 所以BC⊥AC, 图为BC∩BB,=B,BC,BB,C平面BC,B:, 所以AC⊥平面BCC,B, 所以CA-(2,0,0)是平面BCC,B,的一个法向量 设直线AF,与平面BCC,B,所成的角为日， am.-方-专片a-于 所以直线AF,与平面BCC,B,所成的角为下 周测3空间向量在立体几何中的应用（二） 1.C解析，由已知可得引m,1-2E,m:1-2E,n,·m:一一2× 2+0×2+(-2)×0--4. n1·n2 1 所以0m,m,》-,m2E×2万-一乞 设0为平面a与平面3的夹角.则0∈[0°，90门， 又cos0-c0s《mm:)l一交， 所以0一60.故送C. 2.B解析：直线1的方向向黄为m一(10，一1)，且/过点A(1,1,1D, 又点P(-1,2,1), 则A-(-2,1,0), 则A户-5， :产上1+g*@-E 2 “点P(-1,2,1)到1的距离为√5)-(2)7-尽，故选B. 3。A解析：连接OB,OD,国为菱形纸片ABCD沿对角线AC折成 直二面角，所以平面ADC⊥平面ABC,因为原四边形ABCD是 菱彩，O是AC的中点，所以OD⊥AC,OB⊥AC,而平面ADC∩ 平面ABC一AC,ODC平面ADC,所以(OD⊥平面ABC,而 OBC平面ABC,所以()D⊥OB.以O为原点，OB,OC,OD所在 直线分别为工轴y轴，：精，建立如田所示的空间直角些标系 设AB-2,时D00.E(0.）F(侵号.成- (0,）亦-（合号）小说个西0EF的法角量为” 1 (r·y,g),则 m0=0·即 n.0F-0, 取y一1，则 1 2r+2y=0. 工-一尽，e-5,则n-(-尽，15)，易得平面ABC的一个法 向量为O方-(00,1)，所以折后平面OEF与平面ABC夹角的余 按值为 n.o0心1 DI 7故选A周测2空间向量在立体几何中的应用（一） (时闻：40分什满分，8知分) 一，选择是本恩其4个小题，每题百分，共的分.在母小觅给出的四个选项中，只有一项是符合愿 目要求的》 1.已知半崔x上三点A(3,2,1》:B一1,2,0》，C4,一2，一1)，期平面a的-个法向量为() 4,-9.-16》 且4.9，-16) G,(-16.9.-41 16.9.-4 2.如图所示，在正方体ACD-A:B,CD,中，O是属面正方形ACD的中白：M是D,D的中点， N是A,在：的中点，刚直线NO与A的位置关系是 A.平行 B相定 C.异前垂直 D异在不垂直 区3.如图，已知溪锥)的殿面△AC是正三角B,AB是底面属O的直径，点D在AB上，且 ∠D=2∠拟D,则异面直线AD与BC所成角的余弦值为 B c 4,中国古代数学著作（九章算术）中，记绕了一种称为由道”的几展体，该几问体的上下底面平行 且均为扇乐形（扇环是指帽环被扇形藏得的部分），观有一个如图所示的曲法，它的高为2，LA,一 BB,,℃：，DD,均与由滤的底面手直，花面聘环对应的两个医的半轻分群为】和2，对的圆C 角为0，剧直线B,与平面A:D,而成角的正弦值为 八青 我3g 3 DE 经板二，多项选择蓝《本题共2个小题，每题6分，共1？分，在每小整给出的四个选项中，有多顷是转合 短目要求的，全部选对得6分，部分滋对得部分分，植选成多远得0分》 5在知图断示的正方体ACD-AB,C,D,中，E.F.G分别是棱BB·AD. AA,的中点，国下列说法情虞的是 A.D,F⊥BC B.FG/D,E C.G⊥平面AD,E D.BF平面AD,E 6,已知正四面体A以D,E为D的中点，则 A.直线AB与CD所成的角为0 民直线AC与BE断战的角为0 C直线A出与平面D所减%的余装植为 山直线E与平面AD所成角的余统值为号 选择题答驱栏 塑号 苦案 三，填空量（本题共2个小题，每整5分，共10分） 7.已知向量a=(一2,1,5)，b=.一3.w),若g1b,期1b1= 8如图.在正三控住A风A,B,C,中，AB=C=M,=名，E,F分调是BC,AC 的中点.设D是线段B,,(包括两个端点》上的动点，若直线BD与EF所成角 的余搭值为平螞线段山的长为 四，解答题《本题共子个小题，共38分.解苦应写出文字说明，证明过程和演草多型) 生.（木小题调分1母分》 如离，在能长为2的正方体中，E,F分别为DDBD的中点，点G在CD上.且CG-CD 1)求证：EF上B,C, 2)求E下与CG质成角的余弦值. 圈测2室同网量在立体几间中的亿用：) 10,(本小避满分13分1 1L,「本小题横分15分》 图，四棱■P-ABCD的底面为矩形，AD一2，AB=多，PA=PD=√10，平面PAD平面 如周乐示.在直兰校柱ABCA:B,C,中，∠BCA一0，点F,是A:C,的中点，BC一CM-2, A以D.O是D的中点，E是PB上一点，且E平国P风C, C■1. (1)求PB的抗1 1求异面直线AF,与B,所混角的余弦值： ()求直线CE与平面C质成角的正蕊值 (2)求直线AF,与平面CB,所成的箱. 每 州倒测数学，及择性必餐第一青B版