精品解析：黑龙江省哈尔滨市2025-2026学年九年级上学期期中数学试题

黑龙江省哈尔滨市2025-2026学年九年级上学期期中数学试题 考生须知： 1．本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2．答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”书写（填涂）在答题卡正面和背面的规定位置，将“条形码”准确粘贴在条形码区域内． 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答．超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题纸上答题无效． 4．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，字迹清楚． 5．保持卡面整治，不要折叠、不要弄脏、不要弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列四个关系式中，是的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列事件中，不可能事件的是（ ） A. 射击运动员射击一次，命中靶心 B. 买一张彩票，中奖500万 C. 任意画一个三角形，其内角和为 D. 明天太阳从西方升起 5. 某种商品原来每件售价为150元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为96元，设平均每次降价的百分率为x，根据随意，所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 关于反比例函数，下列结论正确的是（ ） A. 图象经过点 B. 函数图象关于轴对称 C. 其图象位于第二、第四象限 D. 当时，随的增大而减小 7. 如图，、、都是的半径，，的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 已知甲、乙两地相距s（单位：km），汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间t（单位：h）关于行驶速度v（单位：km/h）的函数图象是（　　） A. B. C. D. 9. 在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机摸出一个小球然后放回，再随机摸出一个小球，则两次取出的小球标号相同的概率为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，与都是等边三角形（锐角），连接交于点，交于点，交于点，给出下列结论：①；②；③连接，则平分；④．上述结论中正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 在函数中，自变量的取值范围是_____． 12. 把多项式分解因式的结果是________． 13. 某学校开设了劳动教育课程．小明从感兴趣的“种植”“烹饪”“陶艺”“木工”4门课程中随机选择一门学习，每门课程被选中的可能性相等，小明恰好选中“烹饪”的概率为_____． 14. 如图，，在射线上取一点，以点为圆心，长为半径作，交对线于点，以点为圆心，长为半径画弧，交于点E，连接，则的度数为________． 15. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是______． 16. 如图，的直径，是的弦，，垂足为M，，则的长为___________． 17. 已知蓄电池两端电压（单位：V）为定值，电流（单位：A）与（单位：）成反比例函数关系．当时，，则当时，的值为_______． 18. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转到的位置，边交于点，则的度数为_______． 19. 四边形是的内接四边形，连接、，，则___________． 20. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，矩形的顶点C在双曲线上，已知点A坐标．点坐标，点为双曲线上一点，且点的横坐标大于1，轴于点轴于点F，有如下结论：①；②；③；④若，点为轴上一点，当取最小值时，则点坐标为．上述结论中，所有正确结论的序号是_______． 三、解答题（其中21－22题各7分，23－24题各8分，25－27题各10分，共计60分） 21. 先化简，再求代数式的值，其中． 22. 如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点的坐标为． （1）画出点关于原点的对称点，连接，并直接写出点的坐标； （2）在（1）的条件下，将线段绕点逆时针旋转得到线段（点与点对应），画出线段，并直接写出经过点的反比例函数解析式． 23. 民海中学开展以“我最喜欢的健身活动”为主题的调查活动，围绕“在跑步类、球类、武术类、操舞类四类健身活动中，你最喜欢哪一类？（必选且只选一类）”的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的条形统计图，其中最喜欢操舞类的学生人数占所调查人数的25%．请你根据图中提供的信息解答下列问题： （1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？ （2）请通过计算补全条形统计图； （3）若民海中学共有1600名学生，请你估计该中学最喜欢球类的学生共有多少名． 24. 定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形． （1）如图1，在四边形ABCD中，，对角线平分．求证：四边形为邻等四边形； （2）如图2，方格纸中每个小正方形的边长为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，点E，F，G均放在格点上，若点在格点上，且四边形是邻等四边形．请直接写出所有满足要求的线段的长． 25. 敏衣中学计划为绘画小组购买A、B两种型号的颜料．购买1盒A型颜料和2盒B型颜料需用56元．购买2盒A型颜料和1盒B型颜料需用64元． （1）求1盒A型颜料和1盒B型颜料的售价各是多少元； （2）敏衣中学如果决定购买以上两种型号的颜料共200盒，总费用不超过3912元，那么该中学最多可以购买多少盒A型颜料？ 26. 已知：是直径，为的弦，平分． （1）如图1，求证：； （2）如图2，点E为上一点，连接，点G为上一点，连接交于点F，若，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，于点H，连接，若，．求线段的长． 27. 在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线与轴交于点，与轴交于点，点坐标为，点坐标为． （1）如图1，求直线的解析式； （2）如图2，点在线段上（点不与点、重合），连接，点在第一象限内，连接，求证：点D在的垂直平分线上； （3）如图3，在（2）的条件下，，点在第二象限内，轴，，直线DE交轴于点，点在线段的延长线上，连接．点为的中点，连接，，交过点且与轴垂直的直线于点，若，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 黑龙江省哈尔滨市2025-2026学年九年级上学期期中数学试题 考生须知： 1．本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2．答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”书写（填涂）在答题卡正面和背面的规定位置，将“条形码”准确粘贴在条形码区域内． 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答．超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题纸上答题无效． 4．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，字迹清楚． 5．保持卡面整治，不要折叠、不要弄脏、不要弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由互为倒数的两数之积为1，即可求解． 【详解】解：∵， ∴的倒数是. 故选C 2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐项判断即可． 【详解】解：A、选项图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； B、选项图形不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意； C、选项图形是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意； D、选项图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意． 故选：C． 3. 下列四个关系式中，是的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数解析式的形式为是解题的关键．根据反比例函数的一般形式逐项判断即可． 【详解】解：A． ，x的指数为2，不是反比例函数，故该选项不符合题意； B． 是反比例函数，故该选项符合题意； C． 是一次函数，不是反比例函数，故该选项不符合题意； D． ，x的指数不为1，不是反比例函数，故该选项不符合题意； 故选：B． 4. 下列事件中，不可能事件的是（ ） A. 射击运动员射击一次，命中靶心 B. 买一张彩票，中奖500万 C. 任意画一个三角形，其内角和为 D. 明天太阳从西方升起 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查事件类型的区分，需熟记不可能事件、必然事件和随机事件的概念．根据不可能事件的定义（一定不会发生的事件），判断各选项：A、B为随机事件，C为必然事件，D为不可能事件． 【详解】解：A、射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件，故本选项不符合题意； B、买一张彩票，中奖500万，是随机事件，故本选项不符合题意； C、任意画一个三角形，其内角和为，是必然事件，故本选项不符合题意； D、明天太阳从西方升起，是不可能事件，故本选项符合题意； 故选：D． 5. 某种商品原来每件售价为150元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为96元，设平均每次降价的百分率为x，根据随意，所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合题意分析：第一次降价后的价格=原价×（1-降低的百分率），第二次降价后的价格=第一次降价后的价格×（1-降低的百分率），把相关数值代入即可． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程150（1-x）2=96， 故选：C． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，解题的关键是能够分别表示出两次降价后的售价． 6. 关于反比例函数，下列结论正确的是（ ） A. 图象经过点 B. 函数图象关于轴对称 C. 其图象位于第二、第四象限 D. 当时，随的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质．利用反比例函数的图象和性质进行分析得出答案． 【详解】解：反比例函数，当时，， A、图象经过点，故该选项不正确，不符合题意； B、函数图象关于原点对称，故该选项不正确，不符合题意； C、图象位于第一、第三象限，故该选项不正确，不符合题意； D、当时，随的增大而减小，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 7. 如图，、、都是的半径，，的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是圆周角定理的应用，同弧所对的圆心角是所对的圆周角的两倍是解题关键． 利用圆周角定理，先由求出，再结合与的关系求出，最后由圆周角定理求出． 【详解】解：， ， ， ， 故选：B． 8. 已知甲、乙两地相距s（单位：km），汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间t（单位：h）关于行驶速度v（单位：km/h）的函数图象是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据实际意义，写出函数的解析式，根据函数的类型，以及自变量的取值范围即可进行判断． 【详解】解：根据题意有：v•t＝s， ∴， 故t与v之间的函数图象为反比例函数图象， 且根据实际意义v＞0、t＞0， ∴其图像在第一象限，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的应用，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限． 9. 在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机摸出一个小球然后放回，再随机摸出一个小球，则两次取出的小球标号相同的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过画树状图找到所有等可能的结果数，再找出两次取出的小球标号相同的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：画树状图为： 共有16种等可能的结果数，其中两次取出的小球标号相同的结果数为4， 所以两次取出的小球标号相同的概率=． 故选：A． 【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率，熟练画出树状图或列出表格找到所有等可能事件数是解题的关键． 10. 如图，与都是等边三角形（锐角），连接交于点，交于点，交于点，给出下列结论：①；②；③连接，则平分；④．上述结论中正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的知识点是等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及角平分线的判定，解题的关键是通过证明三角形全等，结合等边三角形的角度和边长关系，逐一分析每个结论的正确性． 【详解】和是等边三角形 即 在和中， ，故①正确； ， ， ， 是的外角 ，所以②正确； 过作于，于 ， 平分，故③正确； ， 不全等， ，故④错误， 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 在函数中，自变量的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，分式有意义的条件，根据分母不能为零，可得 ，即可求解． 【详解】解：根据题意，得， 解得， 故答案为：． 12. 把多项式分解因式的结果是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了提公因式法和公式法的综合运用．提取公因式，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 13. 某学校开设了劳动教育课程．小明从感兴趣的“种植”“烹饪”“陶艺”“木工”4门课程中随机选择一门学习，每门课程被选中的可能性相等，小明恰好选中“烹饪”的概率为_____． 【答案】##0.25 【解析】 【分析】直接利用概率公式可得答案． 【详解】解：共有“种植”“烹饪”“陶艺”“木工”4门兴趣课程， 小明恰好选中“烹饪”的概率为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了概率公式：随机事件的概率（A）事件可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数． 14. 如图，，在射线上取一点，以点为圆心，长为半径作，交对线于点，以点为圆心，长为半径画弧，交于点E，连接，则的度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图以及等弧或等弦所对的圆心角相等．连接，根据作图，，推出，即可得到，据此即可求解． 【详解】解：如图，连接，由作图可知：， 由作图可知：， ∴， ， ∴， 故答案为：． 15. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程判别式的知识．此题比较简单，注意掌握一元二次方程有两个不相等的实数根，即可得． 由关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，即可得判别式，继而可求得的范围． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得：． 故答案为：． 16. 如图，的直径，是的弦，，垂足为M，，则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理和垂径定理等知识．连接，先利用勾股定理求出的长，再由垂径定理即可得的长． 【详解】解：如图，连接， 的直径， ， ， ， ， ， ； 故答案为：． 17. 已知蓄电池两端电压（单位：V）为定值，电流（单位：A）与（单位：）成反比例函数关系．当时，，则当时，的值为_______． 【答案】 8 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数．根据题意利用待定系数法求得该反比例函数的表达式，由此即可解答． 【详解】解：∵蓄电池两端电压U为定值，电流I与R成反比例函数关系， ∴电流I与R的函数关系为， ∵当时，， ∴，解得， ∴电流I与R的函数关系为， 当时，即， 解得． 故答案为：8． 18. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转到的位置，边交于点，则的度数为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，过点D作于点G，根据直角三角形的性质可得，推出，利用证明，推出，即可解答． 【详解】解：过点D作于点G， 则， ∵， ∴，， ∵，即， ∴， 在与中， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 19. 四边形是的内接四边形，连接、，，则___________． 【答案】或##或 【解析】 【分析】分两种情况，当在劣弧上时，当在优弧上时，再根据圆周角定理以及圆内接四边形的性质即可解决问题． 【详解】解：如图，当在劣弧上时， ∵四边形内接于， ∵， ∴， ∴， 当在优弧上时，如图 ∴， 故答案为：或． 【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 20. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，矩形的顶点C在双曲线上，已知点A坐标．点坐标，点为双曲线上一点，且点的横坐标大于1，轴于点轴于点F，有如下结论：①；②；③；④若，点为轴上一点，当取最小值时，则点坐标为．上述结论中，所有正确结论的序号是_______． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质、矩形的性质、三角形全等的判定与性质以及轴对称的性质．需要根据矩形的性质求出点C的坐标，进而确定反比例函数的表达式，再结合反比例函数的性质、三角形全等的判定与性质以及轴对称的性质来逐一分析各个结论． 【详解】解：①∵四边形是矩形，点A坐标，点坐标， ∴点C的坐标为． 又∵点C在双曲线上， 所以，结论①正确； ②∵点C的坐标为， ∴是固定的大小， ∵点为双曲线上一点，不是固定的， ∴的大小也不是固定的， ∴与不一定相等，所以结论②错误； ③由①知双曲线表达式为， ∵四边形是矩形， ∴， ∵点C和点都是双曲线上的点， ∴， ∴， ∵ ，结论③正确； ④∵，点C的坐标为， 设点D的坐标为， ∴， 整理得， 设， 则原式整理得， 解得（舍去），， ∴（负值舍去）， ∴点D的坐标为， 作点C关于x轴的对称点，连接，与x轴的交点即为点P，此时取最小值． ·设直线的表达式为， 将，代入可得， 解得， 所以直线的表达式为． 令，则，解得， 所以点坐标为． ∴结论④正确； 综上，①③④正确， 故答案为：①③④． 三、解答题（其中21－22题各7分，23－24题各8分，25－27题各10分，共计60分） 21. 先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】 ， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值、二次根式的混合运算及负整数指数幂，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，再利用二次根式的混合运算法则及负整数指数幂的意义求出的值，然后将a的值代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】解：原式 ， ∵， ∴原式． 22. 如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点的坐标为． （1）画出点关于原点的对称点，连接，并直接写出点的坐标； （2）在（1）的条件下，将线段绕点逆时针旋转得到线段（点与点对应），画出线段，并直接写出经过点的反比例函数解析式． 【答案】（1） 如图所示： （2） 如图所示： ， 【解析】 【分析】（1）根据平面直角坐标系中关于原点对称的点的坐标特征作图即可得到答案； （2）根据平面直角坐标系中旋转的点的坐标特征作图，再利用待定系数法求函数解析式即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设反比例函数解析式为， 将代入解析式得， 则经过点的反比例函数解析式． 【点睛】本题考查作图，涉及坐标与图形、关于原点对称作图、旋转作图、求反比例函数解析式等知识，数形结合是解决问题的关键． 23. 民海中学开展以“我最喜欢的健身活动”为主题的调查活动，围绕“在跑步类、球类、武术类、操舞类四类健身活动中，你最喜欢哪一类？（必选且只选一类）”的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的条形统计图，其中最喜欢操舞类的学生人数占所调查人数的25%．请你根据图中提供的信息解答下列问题： （1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？ （2）请通过计算补全条形统计图； （3）若民海中学共有1600名学生，请你估计该中学最喜欢球类的学生共有多少名． 【答案】（1）80 （2） 补全统计图如图 （3）480 【解析】 【分析】（1）利用操舞类的人数以及操舞类学生所占调查人数的比例，可求出抽取的总人数． （2）根据总人数以及其他类学生的人数可计算出武术类学生人数，进而将统计图补充完整即可． （3）利用样本估计总体，先算出样本中喜欢球类学生所占的比例，再乘以总人数即可． 【小问1详解】 解：（名） ∴在这次调查中，一共抽取了80名学生． 【小问2详解】 解：（名） 【小问3详解】 解：（名） ∴估计该中学最喜欢球类的学生共有480名． 【点睛】本题主要考查了条形统计图以及用样本估计总体，能够利用统计图获取重要信息是解决问题的关键． 24. 定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形． （1）如图1，在四边形ABCD中，，对角线平分．求证：四边形为邻等四边形； （2）如图2，方格纸中每个小正方形的边长为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，点E，F，G均放在格点上，若点在格点上，且四边形是邻等四边形．请直接写出所有满足要求的线段的长． 【答案】（1） 证明：∵， ． ， ． 平分， ， ， ， 四边形为邻等四边形； （2） 如图，点，，即为符合条件的点． 线段的长为1或或5． 【解析】 【分析】本题考查邻等四边形的定义与性质，勾股定理等知识． （1）利用平行线的性质和角平分线的定义，证明，从而判定四边形为邻等四边形； （2）在方格纸中，根据邻等四边形的定义，找出符合条件的点，再利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：； ，； ，，； 综上，线段的长为1或或5． 25. 敏衣中学计划为绘画小组购买A、B两种型号的颜料．购买1盒A型颜料和2盒B型颜料需用56元．购买2盒A型颜料和1盒B型颜料需用64元． （1）求1盒A型颜料和1盒B型颜料的售价各是多少元； （2）敏衣中学如果决定购买以上两种型号的颜料共200盒，总费用不超过3912元，那么该中学最多可以购买多少盒A型颜料？ 【答案】（1）每盒A型颜料24元，每盒B型颜料16元 （2）该中学最多可以购买89盒A型颜料 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组及一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意； （1）设1盒A型颜料和1盒B型颜料的售价各为x、y元，由题意可得方程组为，进而求解即可； （2）设该中学可以购买m盒A型颜料，则购买B型颜料为盒，由题意易得，进而求解即可． 【小问1详解】 解：设1盒A型颜料和1盒B型颜料的售价各为x、y元，由题意得： ， 解得：； 答：1盒A型颜料和1盒B型颜料的售价各为24、16元． 【小问2详解】 解：设该中学可以购买m盒A型颜料，则购买B型颜料为盒，由题意得： ， 解得：； 答：该中学最多可以购买89盒A型颜料． 26. 已知：是直径，为的弦，平分． （1）如图1，求证：； （2）如图2，点E为上一点，连接，点G为上一点，连接交于点F，若，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，于点H，连接，若，．求线段的长． 【答案】（1） 证明：连接，交于点Q，如图所示： ∵平分， ∴， ∴，即点B为的中点， ∵是直径， ∴，， ∴垂直平分线段， ∴； （2） 证明：连接，如图所示： ∵是直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）连接，交于点Q，由题意易得，然后根据垂径定理的推论可得垂直平分线段，进而问题可求证； （2）连接，由题意易得，，然后可得，进而问题可求证； （3）连接，由（2）可知：，，即，由题意易得四边形是矩形，则有，然后可得，，根据角的和差关系可得，设，则，进而根据勾股定理可建立方程进行求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接，如图所示： 由（2）可知：，，即， ∵是直径， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， ∴，， ∵， ∴， 由可设，则， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理可得：， 解得：（负根舍去）， ∴． 【点睛】本题主要考查垂径定理的推论、全等三角形的性质与判定、勾股定理及弧、弦、圆周角的相关性质，熟练掌握垂径定理的推论、全等三角形的性质与判定、勾股定理及弧、弦、圆周角的相关性质是解题的关键． 27. 在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线与轴交于点，与轴交于点，点坐标为，点坐标为． （1）如图1，求直线的解析式； （2）如图2，点在线段上（点不与点、重合），连接，点在第一象限内，连接，求证：点D在的垂直平分线上； （3）如图3，在（2）的条件下，，点在第二象限内，轴，，直线DE交轴于点，点在线段的延长线上，连接．点为的中点，连接，，交过点且与轴垂直的直线于点，若，求点的坐标． 【答案】（1） （2） 证明：过点D作于点G，如图所示： ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 取的中点N，连接，如图， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴，即点G为线段的中点， ∵， ∴点D在的垂直平分线上； （3）点P的坐标为 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法可求解； （2）过点D作于点G，取的中点N，连接，由题意易得，通过证明可进行求解； （3）过点C作于点H，设与x的交点为M，由题意易得，则有，，由可设：，则，然后可得，由点P在直线上可设，据此表示出点Q、T的坐标，进而根据直线与直线的斜率之积为，建立方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：设直线的解析式为，由题意得： ，解得：， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：过点C作于点H，设与x的交点为M，如图所示： 由（2）可知：，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由可设：，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵轴， ∴轴， 由点P在直线上可设，且根据点E在第二象限可知点P也在第二象限，所以，则， ∵， ∴， ∴， ∵点Q为的中点， ∴根据中点坐标公式可得：， 设直线的解析式为，则有： ， 解得：，即直线的斜率为 同理可得：直线的斜率为， ∵， ∴直线与直线的斜率之积为， 即，整理得：， 解得：， 当时，此时分母，故舍去， ∴， ∴点P的坐标为． 【点睛】本题主要考查一次函数与几何的综合、全等三角形的性质与判定、等边三角形的判定及勾股定理，熟练掌握一次函数与几何的综合、全等三角形的性质与判定、等边三角形的判定及勾股定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $