13.2 勾股定理的应用 同步练习 2025-2026学年华东师大版八年级数学上册

13.2勾股定理的应用 一、单选题 1．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为7米，顶端距离地面米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面米．则小巷的宽度为（　　）米 A．7 B． C． D． 2．如图，湖的两岸有A，C两点，在与成直角的方向上的点C处测得米，米，则A，C两点间的距离为（　　） A．3米 B．6米 C．9米 D．10米 3．某校“灯谜节”的奖品是一个底面为等边三角形的灯笼（如图），在灯笼的侧面上，从顶点A到顶点缠绕一圈彩带．已知此灯笼的高为50，底面边长为40，则这圈彩带的长度至少为（　　） A．50 B．120 C．130 D．150 4．若等边△ABC的边长为2cm，那么△ABC的面积为（　　） A． cm2 B．2 cm2 C．3 cm2 D．4cm2 5．如图，一根长25m的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离底端7m．如果梯子的顶端下滑4m，那么梯足将滑动（　　）． A．7m B．8m C．9m D．10m 6．如图，一大楼的外墙面与地面垂直，点P在墙面上，若米，点P到的距离是8米，有一只蚂蚁要从点P爬到点B，它的最短行程是（　　）米． A． B． C． D． 7．如图，长方体的底面是边长为6的正方形，高，若棱的中点处有一只蚂蚁，要沿着长方体的外表面爬到顶点处，则它需要爬行的最短路程是（　　） A．10 B． C．12 D．14 8．如图，梯子 AB 斜靠在墙面上，AC⊥BC，AC=BC，当梯子的顶端 A 沿AC 方向下滑 xm时，梯足 B 沿CB 方向滑动ym，则x 与y的大小关系是(　　). A．x=y B．x>y C．x<y D．不确定 9．如图，在底面周长约为4米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点A到点C，B为的中点），石柱柱身高约1.8米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为（　　） A．7.6米 B．7.9米 C．8.2米 D．8.5米 10．如图，桌上有一个圆柱形盒子（盒子厚度忽略不计），高为，底面周长为，在盒子外壁离上沿的点处有一只蚂蚁，此时，盒子内壁离底部的点处有一滴蜂蜜，蚂蚁沿盒子表面爬到点处吃蜂蜜，求蚂蚁爬行的最短距离（　　） A． B． C． D． 11．如图，在墙角处放着一个长方体木柜（木柜与墙面和地面均没有缝腺），一只蚂蚁从柜角处沿着木柜表面爬到柜角处．若，，，则蚂蚁爬行的最短路程是（　　） A． B． C． D．12 12．现有一个圆柱体水晶杯（容器厚度忽略不计），其底面圆的周长为，高为，在杯子内壁离容器底部的点B处有一滴蜂蜜，与蜂蜜相对，此时一只蚂蚁正好在杯子外壁，离容器上沿的点A处，则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 13．一艘轮船从港口A先向东行驶8海里，再向南行驶15海里到达港口B，港口B与港口A之间的距离是　 　海里． 14． 如图，某人到岛上去探宝，从点A处登陆后先往东走4km，又往北走1.5km，遇到障碍后又往西走2km，再折回向北走到4.5km处往东一拐，仅走0.5km就找到了宝藏，那么登陆点A与宝藏埋藏点B之间的距离是　 　 km. 15．如图，圆柱的高为，底面圆的周长为，一只蚂蚁从下底面的点A处沿圆柱侧面爬到正对面母线的中点B处觅食，蚂蚁爬行的最短距离为　 　． 16．如图是一个三级台阶，每一级的长，宽和高分别是50cm，30cm，10cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，若一只壁虎从A点出发沿着台阶面爬到B点，则壁虎爬行的最短路线的长是　 　． 17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC=40cm，AC＝30cm，动点P从点B出发沿射线BA以2cm/s的速度运动．则当运动时间t＝　 　s时，△BPC为直角三角形． 三、解答题 18．为实现核心素养导向的教学目标，走向综合性、实践性的课程教学变革，某中学推进项目式学习，组织八年级数学研学小组进行了“测量隧道长度”的项目式学习活动． 项目主题 测量隧道的长度 测量工具 测角仪、测距仪等 测量示意图 数据说明 ，米，米 特别说明 测量过程中注意保障人身安全！ 请你根据以上测量结果，计算隧道的长度． 19．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市街路上行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：） 20．如图，公园有一块三角形空地，过点A修垂直于的小路，过点D修垂直于的小路（小路宽度忽略不计），经测量，米，米，米． （1）求小路的长； （2）求小路的长． 21．一梯子长，如图那样斜靠在一面墙上，梯子底端到墙的距离长． （1）这架梯子的顶端离地面有多高？ （2）设梯子顶端到水平地面的距离为，底端到垂直墙面的距离为，若，根据经验可知：当时，梯子最稳定，使用时最安全．若梯子的顶端下滑了到，梯子底端滑动到处，请问此时使用梯子是否安全． 22．如图，一架云梯斜靠在一面墙上，且云梯长，云梯底端到墙的距离为7m． （1）这架云梯的顶端到地面的距离有多高？ （2）如果云梯的顶端A到下滑到A＇处，那么它的底部在水平方向也滑动了吗？ 23．新情境·日常生活如图，在城市A 的正北方向 50km的B 处，有一无线电信号发射塔.已知该发射塔发射的无线电信号的有效半径为100km，AC 是一条公路，从A 城发往C 城的班车的速度为60km/h. （1）当班车从A 城出发开往C 城时，某人在班车上立即打开无线电收音机，班车行驶了0.5h的时候接收信号最强.此时班车到发射塔的距离是多少千米(离发射塔越近，信号越强)? （2）班车从A 城到C 城共行驶了 2 h，请判断到 C 城后是否还能接收到信号，并说明理由. 24．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点E，F在边AB上，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处，再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处， （1）求∠ECF的度数； （2）若CE＝4，B′F＝1，求线段BC的长和△ABC的面积． 参考答案 1．C 2．C 3．C 4．A 5．B 6．D 7．A 8．B 9．C 10．D 11．A 12．A 13．17 14．6.5 15． 16．130cm 17．16或25 18．720米 19．这辆小汽车超速了 20．（1）解：∵AD⊥BC， ∴∠ADB=90°， ∵AB=13，BD=5， ∴根据勾股定理，得， ∴小路AD的长为12米； （2）解：∵AD⊥BC， ∴∠ADC=90°， 由（1）得AD=12， ∵CD=9， ∴根据勾股定理，得， ∵DE⊥AC， ∴， ∴， ∴小路DE的长为7.2米. 21．（1） （2）所以此时使用梯子不安全． 22．（1）解∶在中，由勾股定理得， 即， 所以 ， 即这架云梯的顶端到地面的距离有高； （2）解：梯子的底部在水平方向不是滑动了．理由： 令云梯的顶端下滑了至点，则 ， 在中，由勾股定理得， 即 所以 ， 即梯子的底端在水平方向也滑动了． ∴梯子的底部在水平方向不是滑动了． 23．（1）解：如图，过点 B 作BM⊥AC于点M. ∵班车行驶了0.5h的时候接收信号最强，即到达点 M 处， ∴AM=60×0.5=30(km). 又∵AB=50km， ∴ 由 勾 股 定 理，得 BM = ∴ 此时班车到发射塔的距离是40km （2）解：能. 理由：如图，连结BC. ∵AC=60×2=120(km)，AM=30km， ∴ CM = AC-AM = 120-30 =90(km). ∴ 由 勾 股 定 理，得 BC = ∴ 到C 城后还能接收到信号​​​​​​​ 24．（1）解：由折叠可得，∠ACE＝∠DCE＝∠ACD，∠BCF＝∠B'CF＝∠BCB'， 又∵∠ACB＝90°， ∴∠ACD+∠BCB'＝90°， ∴∠ECD+∠FCD＝×90°＝45°， 即∠ECF＝45°； （2）解：由折叠可得：∠DEC＝∠AEC＝90°，BF＝B'F＝1， ∴∠EFC＝45°＝∠ECF， ∴CE＝EF＝4， ∴BE＝4+1＝5， 在Rt△BCE中，由勾股定理得：BC＝ 设AE＝x，则AB＝x+5， ∵Rt△ACE中，AC2＝AE2+CE2， Rt△ABC中，AC2＝AB2-BC2， ∴AE2+CE2＝AB2-BC2， 即x2+42＝（x+5）2-41， 解得：x＝， ∴AE＝，AB＝AE+BE＝+5＝ ∴S△ABC＝ 学科网（北京）股份有限公司 $